第一章 集合与常用逻辑用语第二章一元二次函数、方程和不等式章末综合测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第一章《集合与常用逻辑用语》、第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元卷，120分钟150分，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖两章核心知识，注重基础巩固与实际应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8题40分|集合关系、充要条件、函数性质|通过具体集合关系判断（如第2题集合包含关系求参数范围），考查抽象能力与推理意识| |多项选择|3题18分|集合子集、命题否定、不等式应用|第11题结合集合子集个数与方程根的分布，体现批判性思维与逻辑推理| |填空题|3题15分|集合运算、命题否定、基本不等式|第14题利用基本不等式求最值，培养运算能力与数学眼光| |解答题|5题77分|集合综合运算、不等式应用、实际建模|第18题库房造价、19题理财投资问题，通过数学建模解决实际问题，发展模型观念与应用意识|

第一章《集合与常用逻辑用语》 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 章末综合测试 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 2．设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，则. 4．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 5．下列说法不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】A选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确； B选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，该菱形有一个角为直角，则为正方形，正确； D选项，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，错误. 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 对于A选项，，当且仅当时，等号成立， 即，A错； 对于B选项，，所以，B对； 对于C选项，不妨取，则，C错； 对于D选项，不妨取，则，D错. 7．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用“1的代换”构造符合基本不等式的结构，进而求解的最小值. 【详解】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 8．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式可解得，即， ∵任何集合和空集的交集都是空集，∴. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据子集、空集、元素的性质和概念，对各选项进行分析判断． 【详解】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 10．下列说法正确的是（   ） A．集合的真子集有16个 B．若集合，，则 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】求出真子集个数判断A；确定集合关系判断B；由一元二次方程根的分布求出范围判断C；利用充分不必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，集合的真子集的个数为，A错误； 对于B，集合，，因此，B正确； 对于C，方程有两个不相等的负根，则，解得，C正确； 对于D，由，得；反之，由，得或，则“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：BCD 11．下列说法正确的是（   ） A．集合满足，则满足条件的集合有8个 B．不等式的解集是 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABD 【分析】根据集合的包含关系及子集个数、一元二次不等式的求解、充分条件、必要条件及充分必要条件逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：集合满足，则集合中必含元素0，剩余元素1,2,3可任选（选或不选）. 剩余3个元素的子集数为个，因此满足条件的集合有8个，A正确； 选项B：该不等式对应二次函数的二次项系数为-1，图象开口向下，对应方程的两根为1,3， 故解集为，B正确； 选项C：当，，此时，但，如故推不出； 当，，此时，但推不出； 故“”是“”的既不充分也不必要条件，C错误； 选项D：若方程有一正一负根， 则，解得， 故“关于的方程有一正一负根”的充要条件为“”，D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 13．命题“方程有实根”的否定形式是________，其为________命题． 【答案】 方程没有实根 真 【详解】命题“方程有实根”的否定形式是：方程没有实根， 因为，故方程没有实根，其为真命题. 14．已知，则的最小值为______________. 【答案】1 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知全集，集合，，求： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据交集运算可得； （2）根据补集和并集运算求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以，所以或. 16．若，当时，；当时，数轴表示如图所示，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】由数轴，得到时的取值范围，再结合时的取值范围，得到实数的取值范围. 【详解】当时，由图， 则解得； 又时，， 综上可知，实数的取值范围是． 17．比较下列各组M，N的大小. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法结合因式分解比大小即可； （2）利用分子有理化比较即可. 【详解】（1）由题意知 ， 而，所以，则 （2）易知，且， 又，所以. 18．某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 【答案】(1) (2)216000元. 【分析】（1）利用矩形面积公式即可求出总造价函数解析式； （2）利用基本不等式求解最小值即可得解. 【详解】（1）根据题意可得库房左侧面和右侧面的墙面面积之和为， 库房前面和后面的墙面面积之和为， 所以. （2）由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立. 故该库房的最低总造价为216000元. 19．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资万元时，两类产品的收益分别为万元和万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系. (2)该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？ 【答案】(1)投资债券等稳健型产品的收益与投资额的函数关系为， 投资股票等风险型产品的收益与投资额的函数关系为. (2)投资债券等稳健型产品万元，投资股票等风险型产品万元时，收益最大，为万元. 【分析】（1）由题意设出函数解析式，待定系数法可求解. （2）将所求转化为求两个函数和的最大值问题，进行求解. 【详解】（1）设投资万元时，投资债券等稳健型产品的收益为万元，投资股票等风险型产品 的收益为万元，由题可知，，所以， 投资债券等稳健型产品的收益与投资额的函数关系为， 投资股票等风险型产品的收益与投资额的函数关系为. （2）设投资债券等稳健型产品万元，投资股票等风险型产品万元，由题得，投资收益 .令，则， ，则原问题即为求的最大值. 所以当二次函数取对称轴时，，此时即. 故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元时，收益最大，为3万元. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《集合与常用逻辑用语》 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 章末综合测试 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 2．设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列说法不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．集合的真子集有16个 B．若集合，，则 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．“”是“”的充分不必要条件 11．下列说法正确的是（   ） A．集合满足，则满足条件的集合有8个 B．不等式的解集是 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 13．命题“方程有实根”的否定形式是________，其为________命题． 14．已知，则的最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知全集，集合，，求： (1)； (2) 16．若，当时，；当时，数轴表示如图所示，求实数m的取值范围. 17．比较下列各组M，N的大小. (1)； (2) 18．某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 19．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资万元时，两类产品的收益分别为万元和万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系. (2)该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第一章《集合与常用逻辑用语》 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 章末综合测试（答案版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A D B D D AC BCD 题号 11 答案 ABD 1.A 2.A 3.A 4.A 5.D 6.B 7.D 8.D 9.AC 10.BCD 11.ABD 12.（-0,-3] 13 方程x2+x+1=0没有实根 真 14.1 15.)f-2<x≤2 ②r<-3或之3 16.{mm<3} 17.(1)M≥N (2)M<N 答案第1页（共2页） 720000 18.(1)y= +7200x+72000(x>0) x (2)216000元. 19.Q投资债券等稳健型产品的收益与投资额的函数关系为心)-日(20)， 1 投资股票等风险型产品的收益与投资额的函数关系为8)=2V(x之0) (2)投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元时，收益最大，为3万元. 答案第2页（共2页）