第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（基础篇）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 人教A版高一数学集合与常用逻辑用语基础单元卷，19题覆盖单选、多选、填空、解答，注重基础巩固与能力检测，通过具体问题发展数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合关系（第1题）、命题否定（第2题）、子集个数（第3题）|基础概念辨析，梯度合理| |多选|3/18|充分必要条件（第9题）、集合运算（第11题）|多角度考查，区分度高| |填空|3/15|集合表示（第12题）、充分条件参数（第13题）、容斥原理（第14题）|结合实际情境（运动会人数）| |解答|5/77|命题改写（第15题）、集合元素个数（第16题）、参数范围（第17-18题）、开放选条件（第19题）|分层设问，综合应用，体现逻辑推理与数学表达|

第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据常用数集的概念进行判断即可. 【解答过程】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 2．（5分）（25-26高一上·云南曲靖·期末）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解． 【解答过程】由全称量词命题的否定为存在量词命题，知原命题的否定为：. 故选：C. 3．（5分）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解题思路】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【解答过程】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 4．（5分）（25-26高一上·江苏宿迁·期中）命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出命题的否定，即可得到，根据二次函数的性质求出，即可得解. 【解答过程】命题“”的否定为， 因为为真命题，又，当且仅当时取等号， 即，所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 5．（5分）（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】图中阴影部分表示，再根据交集和补集的定义计算即可得出答案. 【解答过程】全集， 可得，又图中阴影部分表示， 故选：C． 6．（5分）（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【解题思路】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断. 【解答过程】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C. 7．（5分）（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】A 【解题思路】由必要不充分条件的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为 ，所以或， 即由不能推出，但由能推出， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出， 不满足是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，因为，所以， ，则，或， 即由能推出，但由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直， 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形， 即由不能推出，由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故D不正确. 故选：A. 8．（5分）（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【解题思路】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【解答过程】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【解题思路】由命题的真假判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D. 【解答过程】对于A，当时，，故A正确； 对于B，因为时，， 又因为当时，恒成立，故命题“”是假命题，故B错误； 对于C，由，即，解得或； 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当且时，，即充分性成立， 当时，如，此时不满足且，即必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：ACD. 10．（6分）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【解题思路】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【解答过程】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 11．（6分）（25-26高一上·江西赣州·期中）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 【答案】ABD 【解题思路】根据交集和并集运算判断AB，举反例判断C，结合元素的互异性和子集关系，分类讨论判断不成立，即可判断D. 【解答过程】A选项：当时，，，所以，正确； B选项：当时，或即， 当时，，，，有4个元素； 当时，，，，有4个元素；正确； C选项：由A选项可知当时，，， ，符合，但是不满足，错误； D选项：当时，，则，， 根据集合中元素满足互异性，得到，所以， 当时，，，不满足； 当即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 综上，不存在，使得，所以，正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·上海·期中）已知，则__________． 【答案】 【解题思路】直接根据元素与集合的关系进行求解即可. 【解答过程】已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【解答过程】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·湖南邵阳·期中）振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有__________人． 【答案】1 【解题思路】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人，由题意作出韦恩图，根据题意得出关于的等式即可求解． 【解答过程】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人， 由题意作出韦恩图如图所示： 由图可得，解得． 故同时参加200m比赛和400m比赛的有1人． 故答案为：1． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 【答案】(1)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等；假命题 (2)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；真命题 (3)若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数；假命题 【解题思路】（1）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据绝对值的知识判断命题的真假. （2）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据矩形的知识判断命题的真假. （3）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据无理数的知识判断命题的真假. 【解答过程】（1）命题：绝对值相等的数也相等， 改写为：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等. 命题是假命题，比如和，两个数的绝对值都是，但是这两个数不相等. （2）命题：矩形的对角线相等， 改写为：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等. 命题是真命题，因为矩形的对角线是相等的. （3）命题：两个无理数的和是无理数， 改写为：若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数. 命题是假命题，如和都是无理数，但这两个数的和为是有理数. 16．（15分）（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 17．（15分）（25-26高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【解答过程】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 18．（17分）（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分和两种情况进行讨论即可； （2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可． 【解答过程】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 19．（17分）（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为. 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（5分）（25-26高一上·云南曲靖·期末）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 4．（5分）（25-26高一上·江苏宿迁·期中）命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 7．（5分）（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 8．（5分）（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 10．（6分）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 11．（6分）（25-26高一上·江西赣州·期中）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·上海·期中）已知，则__________． 13．（5分）（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________. 14．（5分）（25-26高一上·湖南邵阳·期中）振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有__________人． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 16．（15分）（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 17．（15分）（25-26高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 18．（17分）（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 19．（17分）（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $