第一章 集合与常用逻辑用语（单元分层自测·能力提升卷）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 高一年级数学第一章集合与常用逻辑用语单元卷，整合重庆、安徽等地阶段检测及期末真题，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识，注重能力梯度与数学思维培养，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|命题否定、集合元素个数、充分必要条件|结合各地真题，基础与能力题结合，培养抽象能力| |多选题|3题|集合概念、充分条件判断|多选项设计，考查逻辑推理意识| |填空题|3题|子集个数、参数范围|简洁设问，强化数学语言表达| |解答题|5题|集合运算与逻辑条件综合|分层设问，如内积定义新情境题，发展创新意识|

2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A A B A A A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 BD ACD AC 三、 3、 填空题（共3小题，共15分） 12． 13．64 14． 4、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）当时，，，（3分） 根据交集的概念可得（6分） （2）当，即时，，满足；（8分） 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）当时，，而，则，（4分） 所以或.（7分） （2）由命题“，都有”是真命题，得，而 B 为非空集合，（9分） 因此，解得，（12分） 所以实数a的取值范围是.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即，（4分） 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为．（7分） （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或，（11分） 即，时, .（15分） 18．（17分） 【详解】（1）当时，集合， （3分） 且或，所以或.（7分） （2）因为，则， 又因为，则，可得，（9分） 又因为或，则，解得，（12分） 所以m的取值范围是．（17分） 19．（17分） （1）（i）， 所以，，， 所以是 “的子集”；（3分） 因为所以不是“的子集”.（5分） （ii）由（i）得，是 “的子集”， 因为，的元素个数为4， 设，， 所以，，，（8分） 所以，， 所以，或者， 所以或者（10分） (2)证明：假设中有三个元素， 记为， 且， 构造一个新元素，， 所以可能为3，1，-1，-3，记，（13分） 所以为奇数，所以每个除以8都会余1，（例如，除以8都余1） 所以， 即； 同时， 所以， 所以，即，（15分） 即，不成立，与假设矛盾， 所以中至多有两个元素.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）命题，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）设全集，，或，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 6．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 8．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·贵州毕节·期末）下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 13．（26-27高一上·山东聊城·开学考试）满足的集合A共有______个. 14．（2026高三·全国·专题练习）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 16．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知全集，集合，非空集合，其中. (1)当时，求； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 17．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 18．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 19．（25-26高一下·北京·期末）给定正整数，定义集合.对任意，定义和的内积为：.若的非空子集满足：对任意互不相同的，都有，则称为“的子集”. (1)当时，设，记集合. （i）分别判断和是否为“的子集”，并说明理由； （ii）若集合是的子集，且的元素个数为4，当时，求. (2)当时，若为的子集，证明：中至多有两个元素 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）命题，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”的否定为“”. 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为且，所以有5个元素. 3．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）设全集，，或，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 故. 5．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 6．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 7．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 8．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 二、多选题 9．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】根据集合元素的互异性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据元素互异性且，即且， 根据选项知符合条件. 10．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 11．（25-26高一下·贵州毕节·期末）下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 【答案】AC 【详解】对于A选项，取，则，故A正确； 对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”， 若，不妨取，，此时，即“”“”， 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，由全称量词命题的否定可知， 命题“，”的否定是“，”，故D错误. 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 13．（26-27高一上·山东聊城·开学考试）满足的集合A共有______个. 【答案】64 【详解】依题意，集合是集合与集合的子集的并集， 而集合有个子集， 所以集合的个数为64. 14．（2026高三·全国·专题练习）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围. 【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题． 所以对任意实数，方程都有实数解． 故而对任意固定的实数都有解． 即关于的不等式对任意固定的实数都有解． 对不等式分情况讨论： ①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解. 当时,关于的二次函数开口向上, 其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意. ②.若,即.关于的二次函数开口向下, 其最大值为. 要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负, 即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意. 因此，的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的概念即可求出； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 16．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知全集，集合，非空集合，其中. (1)当时，求； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的并集和补集运算定义求解. （2）由已知可得，再结合非空列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，，而，则， 所以或. （2）由命题“，都有”是真命题，得，而 B 为非空集合， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 17．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可. (2)利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围, 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 18．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 19．（25-26高一下·北京·期末）给定正整数，定义集合.对任意，定义和的内积为：.若的非空子集满足：对任意互不相同的，都有，则称为“的子集”. (1)当时，设，记集合. （i）分别判断和是否为“的子集”，并说明理由； （ii）若集合是的子集，且的元素个数为4，当时，求. (2)当时，若为的子集，证明：中至多有两个元素. 【答案】(1)（i）是 “的子集”， 不是“的子集”； （ii）或者 (2)证明：假设中有三个元素， 记为， 且， 构造一个新元素，， 所以可能为3，1，-1，-3，记， 所以为奇数，所以每个除以8都会余1，（例如，除以8都余1） 所以， 即； 同时， 所以， 所以，即， 即，不成立，与假设矛盾， 所以中至多有两个元素. 【详解】（1）（i）， 所以，，， 所以是 “的子集”； 因为所以不是“的子集”. （ii）由（i）得，是 “的子集”， 因为，的元素个数为4， 设，， 所以，，， 所以，， 所以，或者， 所以或者 （2）略 【点睛】运用题目所给的条件将问题中的元素代入计算可直接验证是否为的子集，同样，通过设变量可以由的子集找元素. 学科网（北京）股份有限公司2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）命题，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）设全集，，或，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 6．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 8．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·贵州毕节·期末）下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 13．（26-27高一上·山东聊城·开学考试）满足的集合A共有______个. 14．（2026高三·全国·专题练习）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 16．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知全集，集合，非空集合，其中. (1)当时，求； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 17．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 18．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 19．（25-26高一下·北京·期末）给定正整数，定义集合.对任意，定义和的内积为：.若的非空子集满足：对任意互不相同的，都有，则称为“的子集”. (1)当时，设，记集合. （i）分别判断和是否为“的子集”，并说明理由； （ii）若集合是的子集，且的元素个数为4，当时，求. (2)当时，若为的子集，证明：中至多有两个元素 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $