解三角形专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以正余弦定理为核心，通过分层题型系统构建解三角形方法体系，强化逻辑推理与数学建模能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|2题|正弦定理求边长、余弦定理求距离|从基本公式到实际问题的直接应用| |综合判断|8题|边角互化、三角形解的个数判断、形状判定|公式推导与多情境下的灵活迁移| |拓展探究|5题|函数求最值、面积公式综合应用、角平分线性质|知识网络构建与复杂问题的数学建模|

2026-2027学年高三数学一轮复习解三角形习题集一 一、单选题（共10分） 1．（本题5分）在等边三角形中，D、E、F分别在边上，且．则三角形面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 二、多选题（共48分） 3．（本题6分）在中，角的对边分别是，若，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 4．（本题6分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则一定是钝角三角形 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形 D．若为锐角三角形，则 5．（本题6分）对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则的面积为 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若且有两解，则的取值范围是 6．（本题6分）在中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（    ） A．若，且有两解，则的取值范围是 B．若，且，则恰有一解. C．若，且为钝角三角形，则的取值范围是 D．若，且为锐角三角形，则的取值范围是 7．（本题6分）在中，角所对的边依次为，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为钝角三角形 C．若的外接圆半径是，内切圆半径为r，则 D．若，则的面积是 8．（本题6分）已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若的三角形有两解 9．（本题6分）在中，下列结论中，正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是 10．（本题6分）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 三、解答题（共77分） 11．（本题15分）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若，求的取值范围． 12．（本题15分）设锐角的内角的对边分别是，． (1)求C； (2)若，，求的值． 13．（本题15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满. (1)求C； (2)若，求外接圆的半径； (3)已知角C的平分线交于点，且，当取最小值时，求的面积. 14．（本题15分）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求； (3)若为上一点，且的面积为，求． 15．（本题17分）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若点M在线段上，，，求的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高三数学一轮复习解三角形专题一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B AC AD ACD AD BC ABD AB BCD 1．A 【分析】结合已知，引入来表达，且据勾股定理可求出，则在和中，分别用正弦定理可表达，即可表达面积，从而分析最值. 【详解】设， ， ， ， 在中，，即， ， 同理，在中，， 的边长， 其中， 时，取得最大值为， . 故选：A. 2．B 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 3．AC 【分析】根据及余弦定理可判断A；根据及正弦定理可判断B；由的值及同角三角函数的基本关系可求，，根据正弦定理求出，代入求出可判断C；根据三角形面积公式可判断D. 【详解】由余弦定理可得，解得，故A正确； 由及正弦定理，可得, 化简可得. 因为，所以，所以，即. 因为，所以，故B错误； 因为，所以且，代入， 可得，解得，. 因为，，， 所以由正弦定理可得， 由，可得， 化简可得，解得或（舍），故C正确； . 故选:AC. 4．AD 【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B；利用余弦定理统一成边化简后可判断C；利用正弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，因为，则，所以为钝角，故A正确； 对于B，在，，，， ， 则由正弦定理得，，得， 所以无解，故B错误； 对于C，因为，即， 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，若为锐角三角形，则，所以， 则，故D正确. 故选：AD. 5．ACD 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A说法正确； 选项B：中，若，则由正弦定理得，解得， 所以或，所以或，的面积或，B说法错误； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，则， 又因为在单调递增，所以，C说法正确； 选项D：如图所示， 若有两解，则，解得，D说法正确； 故选：ACD 6．AD 【分析】根据正弦定理，判断三角形的解的个数，即可判断AB，根据余弦定理和三边的关系，即可判断CD. 【详解】A选项：由正弦定理，，， 且，则，选项A正确； 选项B：，所以无解，故B错误； C选项：①为最大边：，且，此时； ②为最大边：，且，此时，选项C错误； D选项：，且，所以，选项D正确； 故选；AD. 7．BC 【分析】根据条件，令，选项A，将代入，得，即可判断A错误；选项B，利用余弦定理得，即可求解；选项C，利用正弦定理得，再利用等面积法得，即可求解；选项D，根据条件得，，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理知， 令， 对于选项A，，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以角为钝角，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知，由正弦定理得， 所以，得到， 又，得到，所以，故选项C正确， 对于选项D，，得到，所以，又， 所以的面积为，故选项D错误， 故选：BC. 8．ABD 【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可；对于B，由余弦定理得，即可判断三角形为等腰三角形；对于C，根据余弦定理只能得，即为锐角，无法判断的情况；对于D，利用正弦定理得，即可判断三角形解的个数. 【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得， ，所以，即，故A正确； 对于B，由余弦定理得， 化简得，故为等腰三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理， 因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误； 对于D，若，则由正弦定理得， 因为，所以三角形有两解，故D正确； 故选：ABD. 9．AB 【分析】对A，根据及角A、B的范围，可判断A的正误；对B，根据大边对大角原则，可判断B的正误；对C，根据条件及余弦定理，可判断C的正误；对D，利用三角形个数的情况，可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，且，且， 所以，所以是等腰三角形，所以选项A正确； 对于B，由，则，可得，所以选项B正确； 对于C，由，以及余弦定理可得， 又，所以，但不知角的值， 不一定为锐角三角形，所以C错误； 对于D，由，若三角形有两解，则， 所以长的取值范围是，所以D错误. 故选：AB. 10．BCD 【分析】根据正弦定理和二倍角公式即可判断AB；对C，利用余弦定理和二次函数性质即可判断；对D，根据三角形面积公式和乘“1”法即可判断. 【详解】对于A：若，根据正弦定理则， 即，因为，所以或 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对B，因为，则，， 则根据正弦定理有， 故B正确； 对C，设，. 则， ， 所以 ， 当时，三角形的面积取得最大值，故C正确； 对D，由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确. 故选：BCD. 11．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理整理得等式，根据同角三角函数的商式关系，结合正弦函数，可得答案； （2）由正弦定理以及三角函数恒等式，整理函数解析式，换元，结合二次函数性质，可得答案. 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 由，，则， 即，而，故, 又，所以. （2）由正弦定理，且，则，， 由， 则 ， 由，则，即， 可得， 令，则， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， ，，，所以. 12．(1) (2)22 【分析】（1）应用正弦定理计算求解得出结合角的范围即可求解； （2）应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】（1）由及正弦定理，得．     而，所以，．     又为锐角三角形，所以，所以． （2）由正弦定理，     得，．     因为，所以．     由余弦定理得，     即，     所以． 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简求值； （2）先应用余弦定理计算得出，再应用正弦定理求解； （3）应用面积计算得，再结合基本不等式计算得出得，，最后应用面积公式计算求解. 【详解】（1）由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得， 即， 又，所以， 所以， 又，所以. （2）由（1）和余弦定理得， 所以. 设外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以. （3）由（1）得， 因为角的平分线交于点， 所以， 又， 所以， 又，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取得最小值， 由，解得，， 所以. 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）在和中，分别用余弦定理得到方程，结合，得到，求出答案； （2）由（1）可知，故，在中，由正弦定理得到方程，求出，利用同角三角函数关系和正弦和角公式得到； （3）由的面积和三角形面积公式得到方程，求出． 【详解】（1）在中， 由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得 ，② 又， 所以，③ 由①②③得， 所以， 又，所以； （2）由（1）可知， 又，所以， 在中，由正弦定理得，即， 解得，所以， 所以． （3）由的面积为，得， 解得． 15．(1) (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理边角互化，化简得到，所以； （2）利用面积关系可得关系，然后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得， 而，则，两边平方得， 又，所以，，于是，解得，所以． （2）由（1）知，由，则， 由，，则， 则，即， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $