限时训练卷19 解三角形专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形核心素养，覆盖定理应用、范围最值、实际建模等题型，构建从基础到综合的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础定理应用|单选1-5题、多选9-11题、填空12-14题|考查正弦余弦定理直接应用、三角形形状判断|以定理为核心，构建"概念-性质-应用"逻辑链条| |综合条件转化|单选6-8题、解答15-16题|结合三角恒等变换、不等式求范围|体现"条件转化-模型构建-运算求解"思维过程| |实际情境建模|解答17题、单选6题|涉及测量航海等实际问题，需数学建模|强化"现实问题-数学抽象-模型求解"应用意识|

2027年高考一轮限时训练卷19　解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·贵州遵义·期中）在中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得. 所以， 因为，， 所以. 因为，所以，所以. 所以. 2．（25-26高三·山东枣庄·期末）在中，若，，，则满足条件的三角形个数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据正弦定理求出的值，再根据大边对大角的原理判断的解的个数，进而即可确定满足条件的三角形个数． 【详解】在中，由正弦定理有，则， 又，则，所以只能是锐角，即只有一个解， 故满足条件的三角形个数为． 3．（26-27高三上·贵州·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理将已知角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理代入化简即可求得的值. 【详解】由正弦定理，及，得 ① 已知，由余弦定理得， 将①中代入分子得： ，化简得 ② 将②代入①得：，整理得， 由于，两边同除以得，故. 4．（2026高三·全国·专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理得，，则周长为，可转化为，由即可求周长的取值范围. 【详解】因为， 所以. 所以，. 因为，所以，，且. 所以周长 因为，所以. 所以. 所以 所以周长取值范围为. 5．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知 ，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合三角恒等变换得，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以， 又，， ， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以，即或或， 所以或或， 所以为直角三角形. 6．（25-26高三·广东潮州·期末）“凤凰塔”是我市的古建筑之一，始建于明万历十三年（1585），塔有七层八面，第一、二层为石砌，第三层以上为砖砌，塔身中空，夹壁中有螺旋形台阶可登顶层，塔基须弥座分雕龙、凤、鹤、马、羊等各种祥禽瑞兽和精美的花卉，建造工程浩大，彰显我市古代人们的智慧.为了测量其高度，设凤凰塔高为，在与点同一水平面且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为，，，且，则凤凰塔的高约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用邻补角余弦互为相反数，结合余弦定理列等式，消去角度直接解出塔高. 【详解】设塔高，则，在中，， 因为， 所以由余弦定理得， 化简得， 解得，故塔高约为. 7．（2026高三·全国·专题练习）锐角中，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及余弦定理，再利用正弦定理、三角形内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角形的为锐角三角形得出角的范围即可求解 【详解】由，得， 由余弦定理得，所以， 即，由正弦定理得, 因为, 所以, 即. 因为为锐角三角形， 所以或，解得或（舍）， 因为为锐角三角形，. 所以. 故选：B. 8．（2026高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及余弦定理可得，再利用余弦定理及基本不等式可得，从而可计算面积的最大值. 【详解】由余弦定理得. 因为，所以. 由和余弦定理得. 所以，当且仅当时等号成立． 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，，则 D．一定为锐角三角形 【答案】ABC 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，结合得，故（A正确），（B正确）． 若，，则，（C正确）． 因为，则，如取，，此时，为钝角三角形，故不一定为锐角三角形（D错误）． 10．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）在锐角中，，，分别为三个内角，，的对边，若，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用正弦定理和锐角三角形角度均小于90°进行求解. 【详解】由正弦定理和二倍角公式可得：， 因为是锐角三角形，所以，解得：， 则，，即：， 又， 则ABC可能，D不可能. 11．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列关系中能确定的形状为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A项利用正弦定理边化角进行判定；B项由正弦定理判定直角三角形； C项利用余弦定理和勾股定理进行判定；D项正弦定理和二倍角公式进行判定. 【详解】对于A，由正弦定理可知，，， . 所以，且，，，得， 所以三角形为等边三角形，故A错误； 对于B，根据正弦定理：且， 所以,， 又因为，， 所以，，故三角形为直角三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理得. 又，所以，满足勾股定理，三角形为直角三角形，C正确； 对于D，由正弦定理得： . 当，即，此时三角形为等腰三角形； 当时，即，所以，所以此时为直角三角形. 故可能为等腰三角形，可能为直角三角形，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，已知，，，边上的中线的长度为______． 【答案】 【分析】已知两边及其夹角，可通过余弦定理求第三边，利用向量关系计算中线长即可． 【详解】由，，，根据余弦定理可得： ，解得； 由中线满足向量关系可得： ， 则． 13．（2026高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为______． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用余弦定理和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以面积的最大值为. 14．（25-26高三·甘肃平凉·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理将用表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】 中，易得， 又，所以，. 由余弦定理得，整理得. 所以，当且仅当时取等号， 此时，能构成三角形， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·云南丽江·期末）已知的内角，，所对应的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换，化简计算即可求解； （2）由余弦定理、正弦定理结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即，得， 即， 即. 又，， 所以，即，所以. （2）由，得， 由余弦定理得， 所以. 当时，因为，所以， 所以为直角三角形. 又，所以. 因为，所以， 所以； 当时，所以． 由余弦定理得， 又，所以，由，解得， 所以，故. 综上所述，的面积为． 16．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小． (2)若M为的内心，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简，可得，即可求解： （2）由M为的内心及，可得，设，利用余弦定理结合基本不等式即可求得周长的取值范围． 【详解】（1）已知，由正弦定理得：， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，所以. （2） 因为M为的内心，由(1)知， 所以， 所以， 设，又，即， 在中，由余弦定理得，， 所以，， ，当且仅当时等号成立， 又，所以， 所以周长的取值范围为：. 17．（2026高三·全国·专题练习）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 【答案】(1)海里/小时 (2)航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇，理由如下： 设小艇与轮船在B处相遇，则 故． ，， 即，解得． 又时，． 故时，t取得最小值，且最小值等于． 此时，在中，有， 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 【分析】（1）由余弦定理得到航行距离，从而得到最小值； （2）由余弦定理和分式不等式得到，故时，t取得最小值，且最小值等于，进而确定航行方案 【详解】（1）相遇时，轮船的航行到点，则， 设相遇时小艇航行的距离为S海里， 在中，由余弦定理得 ， 故当时，，此时． 即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． （2）略 18．（26-27高三上·湖北·开学考试）记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． (1)若为的角平分线，，，求的面积； (2)若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用角平分线将三角形面积分割为两个小三角形面积之和，建立与的关系，再结合余弦定理建立方程组消去，解出后直接代入面积公式即可； （2）利用中线向量公式将表示为的函数，结合余弦定理和正弦定理消去，转化为关于角的三角函数；再由锐角三角形条件确定角的范围，从而得到的取值范围． 【详解】（1）因为是的角平分线，所以． 因为，所以． 因为， 所以，化简得． 又因为，由余弦定理得，所以． 所以，解得． 所以的面积为． （2）由余弦定理，得，即． 因为为边的中线，所以． 所以． 由正弦定理，得， 所以． 所以 ． 因为为锐角三角形，， 所以，解得． 所以． 所以． 所以，即． 19．（25-26高三·河北·期末）在凸四边形中，对角线平分，，，，． (1)证明：； (2)求； (3)求； (4)点为的中点，线段的垂直平分线交于点，求的面积． 【答案】(1)证明：在中，因为，设，． 由三角函数定义得． 在中，由于平分，故． 由正弦定理，得， 整理得， 即． (2) (3) (4) 【详解】（1）略. （2）在中，由内角和定理得． 则． 由题意，代入得， 整理得． 将代入上式得，， 整理得． 由于，上式变为，提取公因式得． 因为，故，即． 由于四边形为凸四边形，则，故． （3）由（1）（2）知，则． 由得，， 所以． 在中，由余弦定理， 解得． 因为，故． （4）以为原点，射线为轴正方向建立如图平面直角坐标系，则点坐标为，点坐标为． 因为点为的中点，则点坐标为． 设点坐标为． 因为在的垂直平分线上，则， 即，解得， 故．   2 / 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9．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，，则 D．一定为锐角三角形 10．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）在锐角中，，，分别为三个内角，，的对边，若，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列关系中能确定的形状为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，已知，，，边上的中线的长度为______． 13．（2026高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为______． 14．（25-26高三·甘肃平凉·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·云南丽江·期末）已知的内角，，所对应的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 16．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小． (2)若M为的内心，，求周长的取值范围． 17．（2026高三·全国·专题练习）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 18．（26-27高三上·湖北·开学考试）记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． (1)若为的角平分线，，，求的面积； (2)若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 19．（25-26高三·河北·期末）在凸四边形中，对角线平分，，，，． (1)证明：； (2)求； (3)求； (4)点为的中点，线段的垂直平分线交于点，求的面积． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $