专题39 常量与变量（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-多元表征”为主线，构建“四题型四步法”方法体系，系统培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常量与变量的确定|1典3变|定过程→看变化→辨主次→作检验|从概念内涵（变化过程中量的属性）到外延（自变量与因变量的判定）| |表格表示关系|1典3变|读表求值→趋势判断→估算预测|通过实际情境数据，建立变量间的直观对应| |关系式表示关系|1典3变|定双量→找等式→列式子→化形式→写范围|从几何与实际问题中抽象等量关系，培养符号意识| |图象表示关系|1典3变|读轴→分段→判势→抓点→运算|结合生物、运动等跨学科情境，发展数据观念与几何直观|

专题39 常量与变量 （题型突破·举一反三） ▌题型01 常量与变量的确定 【典例1】C． 【变式1-1】B． 【变式1-2】B． 【变式1-3】B． ▌题型02 用表格表示变量之间的关系 【典例1】 【解答】解：（1）根据3分钟后每分钟按0.11元（不足1分钟按1分钟计）解答如下： 当通话4分钟时，话费为0.22+（4﹣3）×0.11＝0.33元， 当通话5分钟时，话费为0.22+（5﹣3）×0.11＝0.44元， 即①处为0.33；②处为0.44； （2）上述变化中，自变量和因变量分别是通话时间和话费； （3）∵3分钟后每分钟按0.11元（不足1分钟按1分钟计）， ∴通话9.5分钟时的话费是0.22+（10﹣3）×0.11＝0.99元； （4）设通话时间为t分钟，话费为w元，根据题意得： 当t＞3时，w＝0.22+0.11（t﹣3）＝0.11t﹣0.11， ∵小明在一次通话中话费是1.43元， ∴0.11t﹣0.11＝1.43， 解得：t＝14， 3分钟后每分钟按0.11元（不足1分钟按1分钟计）， 即小明本次通话时间为大于13分钟且不超过14分钟． 【变式1-1】 【解答】解：（1）表格中的两个变量，销售数量是自变量，销售总价是因变量． （2）销售数量x每增加1kg，销售总价y增加8元，所以销售总价y与销售数量x的关系式为：y＝8x+0.5． （3）丽丽一家共摘了6.5kg草莓，相当于x＝6.5， 所以应付的钱数为：y＝8×6.5+0.5＝52.5（元）． 【变式1-2】 【解答】解：（1） b ﹣3 ﹣2 ﹣0.5 0 1 3 5 100 a 10 5 1.25 1 2 4 10 26 10001 （2）由题意得：a＝b2+1， 常量是1，变量是a和b． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由表格可知，水温在22℃时不再发生变化， ∴当天的室温大概是22℃． 故答案为：22； （2）根据题意可知，在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致； （3）根据题意可知，时间从15min至25min之间，平均每分钟温度降低1℃， ∵奶粉的适宜冲泡温度为42℃， ∴小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等18分钟． ▌题型03 用关系式表示变量间的关系 【典例1】 【解答】解：（1）变量是y和x，其中x是自变量． （2）变量是y和t，其中t是自变量． （3）变量是m和V，其中V是自变量． （4）变量是V和r，其中r是自变量． 【变式1-1】 【解答】解：（1）y＝﹣2πx+4中变量是x，y，常量是﹣2π，4； （2）s＝v0t+at2（其中v0，a为定值）中变量是t，s，常量是v0，a． 【变式1-2】 【解答】解：（1）S＝xx2+10x， 周长20cm是常量；一边xcm，面积Scm2是变量． （2）当x＝6时， S＝﹣x2+10x ＝﹣62+10×6 ＝﹣36+60 ＝24． 【变式1-3】 【解答】解：（1）依题意得：y＝4x， ∴用水量xt和水费y元是变量，自来水价为4元/t为常量； （2）依题意得：w＝30﹣0.2t， ∴手机通话时间为tmin和话费卡中的余额为w元是变量，手机通话费为0.2元/min为常量； （3）依题意得：C＝πr， ∴半径为r，圆周长为C为变量，圆周率π为常量； （4）依题意得：y＝10﹣x， ∴第一个抽屉放入的书本数x本，第二个抽屉放入书本数y本是变量，书本总数10本是常量． ▌题型04 用图象表示变量间的关系 【典例1】 【解答】解：（1）由图象知，此图反映的自变量是时间，因变量是活动强度； 故答案为：时间；活动强度； （2）由图象知，植物的呼吸作用强度在0时～12时逐渐增强，在12时～24时逐渐减弱；植物的光合作用发生在4时～20时之间； （3）由图象知，曲线Ⅰ，Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是在6时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大． 【变式1-1】 【解答】解：（1）过程中存在的变量有温度和呼吸作用强度， 故答案为：温度；呼吸作用强度； （2）在35℃左右，豌豆苗的呼吸作用强度最强，温度从0℃到50℃时，豌豆苗的呼吸作用强度是先增强后减弱， 故答案为：增强；减弱． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由图象可得：图中反映的是年龄与平均身高增长速度这两个变量之间的关系；自变量是年龄； （2）由图象可得：当年龄大于11岁时，男生的平均身高增长速度大于女生． 【变式1-3】 【解答】解：（1）自变量是：骑行时间，因变量是：离家的距离． 故答案为：骑行时间；离家的距离； （2）东东出发2h后到达离家最远的地方，此时离家30km． 故答案为：2；30； （3）第1小时∼2小时的速度：（30﹣10）÷（2﹣1）＝20（km/h）， 第2小时∼4小时的速度：（30﹣20）÷（4﹣2）＝5（km/h）， （4）去时：（20﹣10）÷20+1＝1.5h， 出发至返回途中：由图可知骑行4h时，东东与家相距也为20km， 所以当骑行1.5h或4h时，东东与家相距20km． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题39 常量与变量 （题型突破·举一反三） 题型01 常量与变量的确定 题型02 用表格表示变量之间的关系 题型03 用关系式表示变量之间的关系 题型04 用图象表示变量之间的关系 ▌题型01 常量与变量的确定 1. 在某一个变化过程中： （1）变量：数值可以发生改变的量。 （2）自变量：主动发生变化的量； （3）因变量：跟随自变量而改变的量。 （4） 常量：数值始终保持不变的量。 关键前提：必须指定同一个变化过程。脱离过程，无法判定常量与变量。 2. 解题步骤 （1）定过程：找准题目描述的变化过程。 （2）看变化：该过程当中，数值能否改变。可变即为变量，不变即为常量。 （3）辨主次：主动调节是自变量，被动跟随是因变量。 （4） 作检验：改变自变量取值，观察另外一个量是否随之改变。 【典例1】（2026春•绛县期末）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【变式1-1】（2026春•无棣县期末）小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的自变量是（　　） A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 【变式1-2】（2026春•辽阳校级期末）在圆的周长公式l＝2πr中，下列关于变量、常量的说法正确的是（　　） A．π、r、l均是变量，2是常量 B．l和r是变量，2和π是常量 C．l是变量，2，π和r是常量 D．l是变量，r是常量 【变式1-3】（2026春•威海期末）一列高铁列车以350km/h的速度在铁轨上飞驰，它行驶的时间为t（h），行驶路程为s（km），下列说法正确的是（　　） A．350km/h和s（km）是常量，t（h）是变量 B．350km/h是常量，t（h）和s（km）是变量 C．350km/h和t（h）是常量，s（km）是变量 D．350km/h，t（h）和s（km）都是变量 ▌题型02 用表格表示变量之间的关系 1. 读取表格，直接求值 （1）分清表格两列：自变量、因变量； （2） 根据自变量的值，横向查找，得到对应的因变量。 2. 判断因变量的增减趋势 依次自上而下观察数据，自变量逐步变大：因变量上升即为递增；数字下降即为递减。 3. 依据表格数据，进行估算预测 （1）观察相邻两行数据的增量； （2）判断增量是否稳定。增量恒定为一次函数；增量持续变大，属于加速变化； （3）合理估算后续取值。 【典例1】（2026春•招远市期末）某通信公司手机收费如下：前3分钟（不足3分钟按3分钟计）0.22元，3分钟后每分钟按0.11元（不足1分钟按1分钟计）． 时间/分钟 1 2 3 4 5 6 … 话费/元 0.22 0.22 0.22 ① ② 0.55 （1）请填写上面表格①②处的内容； （2）上述变化中，自变量和因变量分别是什么？ （3）请求出通话9.5分钟时的话费是多少元？ （4）如果小明在一次通话中话费是1.43元，请问小明本次通话时间多长？ 【变式1-1】（2026春•高青县期末）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量x（kg） 1 2 3 4 … 销售总价y（元） 8.5 16.5 24.5 32.5 … （1）表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）请写出销售总价y（元）与销售数量x（kg）的关系式； （3）丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？ 【变式1-2】已知数a比数b的平方大1． （1）填写下表： b ﹣3 ﹣2 ﹣0.5 0 1 3 5 100 a 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）请指出问题中的常量和变量，并写出a与b之间的关系式． 【变式1-3】（2025春•太谷区期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： （1）室温大概是　 　 ℃； （2）你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ （3）某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ ▌题型03 用关系式表示变量间的关系 1. 根据几何图形列关系式 （1）写出面积原始公式； （2） 将固定量作为常量，变化边长设为自变量； （3）化简等式，因变量单独放在左侧； （4）标注自变量取值范围。 2. 实际应用题列关系式 （1）寻找题目当中的等量关系； （2）设置自变量、因变量； （3） 使用字母代替数量，列出等式； （4）整理成y=代数式的形式。 3. 解题步骤 （1） 定双量：分清自变量、因变量； （2）找等式：提取题干固有的等量关系； （3）列式子：字母代替数量，列出方程； （4）化形式：整理成因变量=自变量代数式； （5）写范围：结合实际写出自变量取值区间。 【典例1】下列函数关系中，有哪些变量？其中自变量是什么？ （1）大米每千克8元，则销售金额y元与销售量xkg之间的关系满足表达式y＝8x； （2）向空水池中注水，若注水速度为0.2m3/min，则注水量ym3与注水时间tmin之间的关系满足表达式y＝0.2t； （3）水的密度是1×103kg/m3，则水的质量mkg与体积Vm3之间的关系满足表达式m＝1000V； （4）球的体积V与其半径r之间的关系满足表达式． 【变式1-1】分别指出下列变化过程中的变量与常量： （1）y＝﹣2πx+4； （2）s＝v0t+at2（其中v0，a为定值）． 【变式1-2】（2025春•大名县期末）周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2． （1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量； （2）当x＝6时，求S的值． 【变式1-3】（2025秋•扶绥县校级月考）指出下列问题中的变量和常量： （1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，户月用水量为xt，月应交水费为y元．（2）某地手机通话费为0.2元/min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元． （3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为π． （4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本． ▌题型04 用图象表示变量间的关系 1. 读坐标轴：读懂横轴、纵轴代表的实际量； 2. 分阶段：按照拐点把图像分成若干段； 3. 判走势：每一段判断上升、下降、水平； 4. 抓特殊点：起点、拐点、终点、与坐标轴交点； 5. 做运算：提取坐标数值列式计算。 【典例1】（2026春•市北区期末）如图，生物兴趣小组的同学在实验室条件下测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线I）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线，观察曲线，回答下列问题： （1）自变量是　 　 ，因变量是　 　 ； （2）该植物在哪个时间段呼吸作用逐渐增强？在哪个时间段呼吸作用逐渐减弱？植物的光合作用发生在哪个时间段内？ （3）曲线Ⅰ，Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是什么？ 【变式1-1】（2025春•中阳县月考）豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，观察下列图形，并回答相关问题． （1）过程中存在的变量有　 　 和　 　 ． （2）在什么温度左右，豌豆苗的呼吸作用强度最强？温度从0℃到50℃时，豌豆苗的呼吸作用强度是先　　 　 后　 　 ．（填“减弱”“不变”或“增强”） 【变式1-2】（2025春•任泽区期末）据调查，某地区青春期男、女生平均身高增长速度（厘米/年）呈现如图所示的规律，请你仔细观察函数图象，回答下列问题： （1）图中反映的是哪两个变量之间的关系？自变量是什么？ （2）当年龄是多少时，男生的平均身高增长速度大于女生？ 【变式1-3】（2025春•东营区期末）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的关系． （1）在这个变化过程中自变量是 　 　，因变量是 　 　 ； （2）东东 　 　 时到达离家最远的地方，此时离家　 　 km； （3）分别求出在第1小时∼2小时和第2小时∼4小时东东骑自行车的速度； （4）骑行多长时间时，东东与家相距20km？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题39 常量与变量 （题型突破·举一反三） 题型01 常量与变量的确定 题型02 用表格表示变量之间的关系 题型03 用关系式表示变量之间的关系 题型04 用图象表示变量之间的关系 ▌题型01 常量与变量的确定 1. 在某一个变化过程中： （1）变量：数值可以发生改变的量。 （2）自变量：主动发生变化的量； （3）因变量：跟随自变量而改变的量。 （4） 常量：数值始终保持不变的量。 关键前提：必须指定同一个变化过程。脱离过程，无法判定常量与变量。 2. 解题步骤 （1）定过程：找准题目描述的变化过程。 （2）看变化：该过程当中，数值能否改变。可变即为变量，不变即为常量。 （3）辨主次：主动调节是自变量，被动跟随是因变量。 （4） 作检验：改变自变量取值，观察另外一个量是否随之改变。 【典例1】（2026春•绛县期末）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【分析】根据常量与变量的定义即可判断． 【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：C． 【变式1-1】（2026春•无棣县期末）小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的自变量是（　　） A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 【分析】根据常量、变量、自变量和因变量的定义判断即可． 【解答】解：购物小票中数量、单价和金额中，单价不变，金额随数量的变化而变化， ∴单价是常量，金额和数量是变量，其中数量是自变量，金额是因变量． 故选：B． 【变式1-2】（2026春•辽阳校级期末）在圆的周长公式l＝2πr中，下列关于变量、常量的说法正确的是（　　） A．π、r、l均是变量，2是常量 B．l和r是变量，2和π是常量 C．l是变量，2，π和r是常量 D．l是变量，r是常量 【分析】在圆的周长公式l＝2πr中，2是固定系数，π是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径r可取不同值，对应的周长l会随之改变，故l和r是变量，据此可判断正确选项． 【解答】解：2和π是固定不变的量，为常量；l随r的变化而变化，因此l和r是变量． 故选：B． 【变式1-3】（2026春•威海期末）一列高铁列车以350km/h的速度在铁轨上飞驰，它行驶的时间为t（h），行驶路程为s（km），下列说法正确的是（　　） A．350km/h和s（km）是常量，t（h）是变量 B．350km/h是常量，t（h）和s（km）是变量 C．350km/h和t（h）是常量，s（km）是变量 D．350km/h，t（h）和s（km）都是变量 【分析】根据定义判断各量即可得到答案． 【解答】解：∵高铁行驶速度350km/h，保持不变， ∴350km/h是常量； ∵行驶时间t可以取不同的数值，行驶路程s随t的变化而变， ∴t和s是变量． 故选：B． ▌题型02 用表格表示变量之间的关系 1. 读取表格，直接求值 （1）分清表格两列：自变量、因变量； （2） 根据自变量的值，横向查找，得到对应的因变量。 2. 判断因变量的增减趋势 依次自上而下观察数据，自变量逐步变大：因变量上升即为递增；数字下降即为递减。 3. 依据表格数据，进行估算预测 （1）观察相邻两行数据的增量； （2）判断增量是否稳定。增量恒定为一次函数；增量持续变大，属于加速变化； （3）合理估算后续取值。 【典例1】（2026春•招远市期末）某通信公司手机收费如下：前3分钟（不足3分钟按3分钟计）0.22元，3分钟后每分钟按0.11元（不足1分钟按1分钟计）． 时间/分钟 1 2 3 4 5 6 … 话费/元 0.22 0.22 0.22 ① ② 0.55 （1）请填写上面表格①②处的内容； （2）上述变化中，自变量和因变量分别是什么？ （3）请求出通话9.5分钟时的话费是多少元？ （4）如果小明在一次通话中话费是1.43元，请问小明本次通话时间多长？ 【分析】（1）根据3分钟后每分钟按0.11元（不足1分钟按1分钟计）解答即可； （2）根据题意可得自变量和因变量分别是通话时间和话费； （3）根据3分钟后每分钟按0.11元（不足1分钟按1分钟计）解答即可； （4）设通话时间为t分钟，话费为w元，根据题意得：当t＞3时，w＝0.22+0.11（t﹣3）＝0.11t﹣0.11，即可求解． 【解答】解：（1）根据3分钟后每分钟按0.11元（不足1分钟按1分钟计）解答如下： 当通话4分钟时，话费为0.22+（4﹣3）×0.11＝0.33元， 当通话5分钟时，话费为0.22+（5﹣3）×0.11＝0.44元， 即①处为0.33；②处为0.44； （2）上述变化中，自变量和因变量分别是通话时间和话费； （3）∵3分钟后每分钟按0.11元（不足1分钟按1分钟计）， ∴通话9.5分钟时的话费是0.22+（10﹣3）×0.11＝0.99元； （4）设通话时间为t分钟，话费为w元，根据题意得： 当t＞3时，w＝0.22+0.11（t﹣3）＝0.11t﹣0.11， ∵小明在一次通话中话费是1.43元， ∴0.11t﹣0.11＝1.43， 解得：t＝14， ∵3分钟后每分钟按0.11元（不足1分钟按1分钟计）， 即小明本次通话时间为大于13分钟且不超过14分钟． 【变式1-1】（2026春•高青县期末）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量x（kg） 1 2 3 4 … 销售总价y（元） 8.5 16.5 24.5 32.5 … （1）表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）请写出销售总价y（元）与销售数量x（kg）的关系式； （3）丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？ 【分析】（1）自变量是自身主动发生变化的量，因变量是跟随自变量的变化而变化的量； （2）观察表中销售总价y随销售数量x变化的规律，发现销售数量x每增加1kg，销售总价y增加8元，据此可得关系式； （3）运用关系式计算就可以了． 【解答】解：（1）表格中的两个变量，销售数量是自变量，销售总价是因变量． （2）销售数量x每增加1kg，销售总价y增加8元，所以销售总价y与销售数量x的关系式为：y＝8x+0.5． （3）丽丽一家共摘了6.5kg草莓，相当于x＝6.5， 所以应付的钱数为：y＝8×6.5+0.5＝52.5（元）． 【变式1-2】已知数a比数b的平方大1． （1）填写下表： b ﹣3 ﹣2 ﹣0.5 0 1 3 5 100 a 　10　 　5　 　1.25　 　1　 　2　 　4　 　10　 　26　 　10001　 （2）请指出问题中的常量和变量，并写出a与b之间的关系式． 【分析】根据函数的表示方法以及常量变量的定义进行填空即可． 【解答】解：（1） b ﹣3 ﹣2 ﹣0.5 0 1 3 5 100 a 10 5 1.25 1 2 4 10 26 10001 （2）由题意得：a＝b2+1， 常量是1，变量是a和b． 【变式1-3】（2025春•太谷区期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： （1）室温大概是　22　 ℃； （2）你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ （3）某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 【分析】（1）根据表格可知从55min开始水温不在发生变化，此时水温约等于室温，即可得出结果； （2）根据表格数据描述特点； （3）结合表格数据分析求解． 【解答】解：（1）由表格可知，水温在22℃时不再发生变化， ∴当天的室温大概是22℃． 故答案为：22； （2）根据题意可知，在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致； （3）根据题意可知，时间从15min至25min之间，平均每分钟温度降低1℃， ∵奶粉的适宜冲泡温度为42℃， ∴小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等18分钟． ▌题型03 用关系式表示变量间的关系 1. 根据几何图形列关系式 （1）写出面积原始公式； （2） 将固定量作为常量，变化边长设为自变量； （3）化简等式，因变量单独放在左侧； （4）标注自变量取值范围。 2. 实际应用题列关系式 （1）寻找题目当中的等量关系； （2）设置自变量、因变量； （3） 使用字母代替数量，列出等式； （4）整理成y=代数式的形式。 3. 解题步骤 （1） 定双量：分清自变量、因变量； （2）找等式：提取题干固有的等量关系； （3）列式子：字母代替数量，列出方程； （4）化形式：整理成因变量=自变量代数式； （5）写范围：结合实际写出自变量取值区间。 【典例1】下列函数关系中，有哪些变量？其中自变量是什么？ （1）大米每千克8元，则销售金额y元与销售量xkg之间的关系满足表达式y＝8x； （2）向空水池中注水，若注水速度为0.2m3/min，则注水量ym3与注水时间tmin之间的关系满足表达式y＝0.2t； （3）水的密度是1×103kg/m3，则水的质量mkg与体积Vm3之间的关系满足表达式m＝1000V； （4）球的体积V与其半径r之间的关系满足表达式． 【分析】（1）根据变量和自变量的定义判断即可； （2）根据变量和自变量的定义判断即可； （3）根据变量和自变量的定义判断即可； （4）根据变量和自变量的定义判断即可． 【解答】解：（1）变量是y和x，其中x是自变量． （2）变量是y和t，其中t是自变量． （3）变量是m和V，其中V是自变量． （4）变量是V和r，其中r是自变量． 【变式1-1】分别指出下列变化过程中的变量与常量： （1）y＝﹣2πx+4； （2）s＝v0t+at2（其中v0，a为定值）． 【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，据此即可求得答案． 【解答】解：（1）y＝﹣2πx+4中变量是x，y，常量是﹣2π，4； （2）s＝v0t+at2（其中v0，a为定值）中变量是t，s，常量是v0，a． 【变式1-2】（2025春•大名县期末）周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2． （1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量； （2）当x＝6时，求S的值． 【分析】（1）根据函数的定义来确定常量与变量；根据矩形的面积公式写出S与x之间的关系式； （2）代入数值求S的值． 【解答】解：（1）S＝xx2+10x， 周长20cm是常量；一边xcm，面积Scm2是变量． （2）当x＝6时， S＝﹣x2+10x ＝﹣62+10×6 ＝﹣36+60 ＝24． 【变式1-3】（2025秋•扶绥县校级月考）指出下列问题中的变量和常量： （1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，户月用水量为xt，月应交水费为y元．（2）某地手机通话费为0.2元/min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元． （3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为π． （4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本． 【分析】（1）由于户月用水量为xt是变化的，月应交水费为y元随户月用水量为xt的变化而变化，而自来水价为4元/t是不变化的，据此可得处答案； （2）由于手机通话时间为tmin是变化的，话费卡中的余额为w元随手机通话时间为tmin的变化而变化，而手机通话费0.2元/min是不变化的，据此可得处答案； （3）由于圆的半径r是变化的，圆的周长C随圆的半径变化而变化，而圆周率π是不变化的，据此可得处答案； （4）由于第一个抽屉放入的书本数x本是变化的，第二个抽屉放入的书本数y本随第一个抽屉放入的书本数x的变化而变化，而书本总数10本是不变化的，据此可得出答案． 【解答】解：（1）依题意得：y＝4x， ∴用水量xt和水费y元是变量，自来水价为4元/t为常量； （2）依题意得：w＝30﹣0.2t， ∴手机通话时间为tmin和话费卡中的余额为w元是变量，手机通话费为0.2元/min为常量； （3）依题意得：C＝πr， ∴半径为r，圆周长为C为变量，圆周率π为常量； （4）依题意得：y＝10﹣x， ∴第一个抽屉放入的书本数x本，第二个抽屉放入书本数y本是变量，书本总数10本是常量． ▌题型04 用图象表示变量间的关系 1. 读坐标轴：读懂横轴、纵轴代表的实际量； 2. 分阶段：按照拐点把图像分成若干段； 3. 判走势：每一段判断上升、下降、水平； 4. 抓特殊点：起点、拐点、终点、与坐标轴交点； 5. 做运算：提取坐标数值列式计算。 【典例1】（2026春•市北区期末）如图，生物兴趣小组的同学在实验室条件下测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线I）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线，观察曲线，回答下列问题： （1）自变量是　时间　 ，因变量是　活动强度　 ； （2）该植物在哪个时间段呼吸作用逐渐增强？在哪个时间段呼吸作用逐渐减弱？植物的光合作用发生在哪个时间段内？ （3）曲线Ⅰ，Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是什么？ 【分析】（1）根据函数图象即可得到结论； （2）根据图象中提供的信息即可得到结论； （3）根据图象中提供的信息即可得到结论． 【解答】解：（1）由图象知，此图反映的自变量是时间，因变量是活动强度； 故答案为：时间；活动强度； （2）由图象知，植物的呼吸作用强度在0时～12时逐渐增强，在12时～24时逐渐减弱；植物的光合作用发生在4时～20时之间； （3）由图象知，曲线Ⅰ，Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是在6时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大． 【变式1-1】（2025春•中阳县月考）豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，观察下列图形，并回答相关问题． （1）过程中存在的变量有　温度　 和　呼吸作用强度　 ． （2）在什么温度左右，豌豆苗的呼吸作用强度最强？温度从0℃到50℃时，豌豆苗的呼吸作用强度是先　增强　 后　减弱　 ．（填“减弱”“不变”或“增强”） 【分析】（1）根据变量的意义，即可解答； （2）根据图中的信息，即可解答． 【解答】解：（1）过程中存在的变量有温度和呼吸作用强度， 故答案为：温度；呼吸作用强度； （2）在35℃左右，豌豆苗的呼吸作用强度最强，温度从0℃到50℃时，豌豆苗的呼吸作用强度是先增强后减弱， 故答案为：增强；减弱． 【变式1-2】（2025春•任泽区期末）据调查，某地区青春期男、女生平均身高增长速度（厘米/年）呈现如图所示的规律，请你仔细观察函数图象，回答下列问题： （1）图中反映的是哪两个变量之间的关系？自变量是什么？ （2）当年龄是多少时，男生的平均身高增长速度大于女生？ 【分析】（1）由函数图象即可得出答案； （2）由函数图象即可得出答案． 【解答】解：（1）由图象可得：图中反映的是年龄与平均身高增长速度这两个变量之间的关系；自变量是年龄； （2）由图象可得：当年龄大于11岁时，男生的平均身高增长速度大于女生． 【变式1-3】（2025春•东营区期末）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的关系． （1）在这个变化过程中自变量是 　骑行时间　 ，因变量是 　离家的距离　 ； （2）东东 　2　 时到达离家最远的地方，此时离家 　30　 km； （3）分别求出在第1小时∼2小时和第2小时∼4小时东东骑自行车的速度； （4）骑行多长时间时，东东与家相距20km？ 【分析】（1）在坐标系中，根据横坐标代表自变量，纵坐标代表因变量，即可求解； （2）由图象信息，即可求解； （3）由图象信息，可求出第1小时∼2小时这一段共走的路程及时间，再求速度即可，求第2小时∼4小时的速度，方法类似； （4）根据图象可以得到有两个时间点，再分别确定时间即可． 【解答】解：（1）自变量是：骑行时间，因变量是：离家的距离． 故答案为：骑行时间；离家的距离； （2）东东出发2h后到达离家最远的地方，此时离家30km． 故答案为：2；30； （3）第1小时∼2小时的速度：（30﹣10）÷（2﹣1）＝20（km/h）， 第2小时∼4小时的速度：（30﹣20）÷（4﹣2）＝5（km/h）， （4）去时：（20﹣10）÷20+1＝1.5h， 出发至返回途中：由图可知骑行4h时，东东与家相距也为20km， 所以当骑行1.5h或4h时，东东与家相距20km． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $