精品解析：黑龙江大庆外国语学校2025—2026学年度第二学期初四年级第七次数学阶段学情自测

2025—2026学年度第二学期初四年级 数学试题 1.本试卷共4页、28题、120分．考试时间120分钟． 2.答题前，考生先将自己准考证号、班级、姓名在试卷、答题卡相应位置填写清楚． 3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5.保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题涉及的知识点是，几何体的三视图，主视图是从物体正面观察得到的视图，俯视图是从物体上面观察得到的视图． 【详解】解：A、圆柱：主视图是长方形，俯视图是圆，两者不相同，此选项不符合题意； B、圆锥：主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，两者不相同，此选项不符合题意； C、球：无论从哪个方向看，视图都是圆，所以主视图和俯视图相同，此选项符合题意； D、四棱柱：主视图是带虚线的长方形，俯视图是四边形，两者不相同，此选项不符合题意． 2. 下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义即可判断． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 4. 把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的16倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可知，新分式的值为，扩大为原来的4倍． 5. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需分两种情况讨论，题目未说明方程为一元二次方程，方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，结合方程解的性质和一元二次方程根的判别式求解，再合并结果即可得到k的取值范围． 【详解】解：当 ，即 时，原方程为 ，解得 ，方程有实数根，符合要求； 当，即 时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式 ，代入 ，， 得： ， 解得 ，即此时 的范围是 且 ． 综上可知，的取值范围是 ． 6. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，其中，，延长到点，使，连接，先得出，再令，求出的长，进而可得的长，然后在中，计算的正切即可． 【详解】解：如图，在中，，， 延长到点，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 令，则， ∴， ∴在中，． 7. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图有一正六边形与一正n边形的部分图形，其中G、E、H、I为正n边形中连续的四个顶点，F在上，C、D、H、I四点共线．求n值为何？（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】设正边形的每个内角的度数为，则，先求出，的度数，再根据三角形的外角性质可得的值，然后根据正多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：设正边形的每个内角的度数为，则， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 解得， ∴正边形的每个内角的度数为， ∴， 解得． 9. “齐齐哈尔烤肉”是当地特色美食．某商场推出大、小两种牛肉礼盒，每个大礼盒含牛肉5千克，每个小礼盒含牛肉3千克，某游客欲购买45千克的牛肉，且大、小礼盒均可选购（允许只购买一种礼盒），则不同的购买方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】C 【解析】 【分析】设大、小礼盒的购买数量，根据总重量列出二元一次方程，求方程的非负整数解个数，即可得到不同购买方案的数量． 【详解】解：设购买大礼盒个，小礼盒个． 根据题意得 ， 整理得 ， 为非负整数， 必须是3的倍数，且 ，解得 ． 且，可得的取值为，共4种，对应的取值分别为，均符合要求． 10. 如图，在正方形中，，是平面内一点，，连接，过点作的垂线交直线于点．下列结论：①；②；③当时，；④的最小值为，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，得到，， 则，由正方形的性质得到，， 则可证明，得到，进而得到 ，据此可判断①②；过点作，当时，则，可得，据此可判断③；作的外接圆，设该外接圆圆心为，在优弧上取一点，连接，可证明，过点作交延长线于，连接，根据，可得当点在直线上时，有最小值，最小值为的值，据此可判断④． 【详解】解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，故①正确； ， ，即，故②正确； 如图所示，过点作， 当时，则， ，故③错误； 如图所示，作的外接圆，设该外接圆圆心为，在优弧上取一点，连接， ， ， ， ， ， 如图所示，过点作交延长线于，连接， ， ，， ， ， ， 当点在直线上时，有最小值，最小值为的值，即最小值为， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等，解决本题的关键是综合运用以上知识． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件．从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取两个条件都满足的公共部分． 【详解】解：根据题意得到：， 解得． 故答案为：． 12. 据中国信息通讯研究院测算，截止到2025年12月，我国人工智能核心产业规模已突破120000亿元，显示出我国在人工智能领域的强劲势头．数据“120000亿”用科学记数法表示为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：数据“120000亿”用科学记数法表示为． 13. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：原式 ． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，按下列步骤作图： ①在和上分别截取、，使． ②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M． ③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知，是的平分线，可求，如图，作于，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，最小值为，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，是的平分线， ∴， 如图，作于， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作角平分线，正弦，垂线段最短，三角形内角和定理等知识．确定线段和最小的情况是解题的关键． 16. 直线经过点，当时，y的最大值为6，则k的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据直线经过点得到，再分，，三种情况结合当时，y的最大值为6进行求解即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 当时，则，则直线即为直线， 又∵当时，y的最大值为6， ∴此种情况不成立； 当时，则y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， 联立①②得：； 当时，则y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 联立①③得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中的点的特征，坐标系中点的规律，由，…，得下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，由，所以的坐标在第二象限，然后通过下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，故在第四象限的角平分线上，，得,由图形可得，，即可求解． 【详解】解：∵，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴在第二象限， ∵下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，故在第四象限的角平分线上，， ∴, 由图形可得，， 故答案为：． 18. 定义把函数：的图像绕点旋转，得到新函数的图像，我们称是关于点P的相关函数，函数的图像的顶点纵坐标为a．下列结论正确的是_________． ①当时，新函数的函数解析式为； ②若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，函数的解析式为； ③当时，函数的图像与直线相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图像有公共点，结合函数图像，n的取值范围是或或． 【答案】①② 【解析】 【分析】对于①，先把原抛物线化成顶点式，得到它的顶点坐标；根据点绕定点旋转后点的坐标变化，求出旋转之后抛物线的顶点，写出解析式判断①；对于②，先得到时抛物线解析式，确定对称轴，分类讨论区间上函数的最大值、最小值，根据求出参数，验证得到解析式；对于③，先求出时上A、B、D三点坐标，利用旋转坐标变换求出、，再分、两大情况，结合图像线段与抛物线有交点的边界条件列出不等式求出n的取值范围，对比判断③对错，最后汇总正确结论即可． 【详解】解：①由题意得是抛物线， 假设题目所给的和如下图所示， 点和点分别是和的顶点， 则由旋转得，， ， 函数的顶点坐标为， 当时，点P的坐标为， 新函数的顶点坐标为，则函数的表达式为：；故①正确； ②， 函数：， 函数的顶点坐标为， 把代入函数得：， 关于的对称点为，即， 根据抛物线的对称性可知，当时，； 分情况讨论： 当时，（不符合题意，舍去）； 当时，，， ，解得，（不合题意，舍去）， 函数的图像是由函数的图像绕点旋转得到的， 函数的图像关于对称， 当时，的解析式为， 故②正确； ③，函数：， 函数：， 当时，，即， 化简得， 解得或； 当时，， 点A，B，D的坐标分别为，，， 线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段， 如图，假如点在点上方， 点的坐标为，点的坐标为， 分情况讨论： 当时， 如图，当点在点B的左侧（含点B）时，线段与函数的图像有公共点， ， ； 如图，当点在点B的右侧，且点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图像有公共点， 且，解得， ； 当时， 如图，点在点A的右侧（含点A）时，线段与函数的图像有公共点， ， ， 综上所述，或或．所以③不正确； 故正确答案是：①②． 三、解答题（共10个题，共66分） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，结合进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1 【答案】； 【解析】 【分析】先把括号里的分式通分，然后把除法转化成乘法进行化简，然后再把a的值代入求值即可． 【详解】解：原式= =； 当a=+1时，原式=． 【点睛】分式的化简求值是本题的考点，正确化简分式是解题的关键． 21. 2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等．求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ 【答案】A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元 【解析】 【分析】设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价元，根据等量关系：用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等，列出分式方程并求解即可，注意检验． 【详解】解：设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价元， 依题意，得：， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元； 22. 《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）该学校九年级有名学生，估计约有多少名学生至少阅读完部必读名著； （3）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 【答案】（1）； （2）名 （3） 【解析】 【分析】（1）学生总数=看完“部”名著的学生数所占比例；看完“1部”名著的学生数=学生总数剩余学生人数； （2）根据样本估计总体，至少阅读完“部”必读名著包括读了“2部”、“3部”、“4部”的学生数，用学生总数三种情况的学生所占的总比例即可； （3）列表可得出所有等可能的结果以及两人恰好阅读同一部名著的结果数，再利用概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查一共抽取了（名）学生． 由题意得，“部”的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示． 【小问2详解】 （名）． 答：估计约有名学生至少阅读完部必读名著． 【小问3详解】 列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有种等可能的结果，其中两人恰好阅读同一部名著的结果有种， 两人恰好阅读同一部名著的概率为． 23. 无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为，已知楼和楼之间的距离为90米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空： ， ； （2）求此时无人机距离地面的高度． 【答案】（1）； （2）米 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，再利用平角和直角三角形内角，即可求解． （2）过点P作于点G，先把俯角、仰角转化为几何角度，再利用三角形内角判定等腰，最后借助全等三角形转化线段长度． 【小问1详解】 ∵，， ∴． 过点A作于点E， 则， ∴． 【小问2详解】 过点P作于点G，交于点F， 则，米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 则， ∴， ∴（米）， ∴（米）． ∴此时无人机距离地面的高度为米． 24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）2 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行内错角相等，结合角平分线推出，由等边对等角得到，又，所以，由一组对边平行且相等证出四边形是平行四边形，再由邻边，证明平行四边形是菱形； （2）利用菱形对角线互相垂直平分求出的长，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半在中得到，再在中由勾股定理算出，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， 在中，点O是斜边中点， ， ， ， 在中，，， ， ． 25. 某超市销售一款水杯，每个可获利元，每周可以销售个．经调研：售价每降低元，每周可多销售个．设每个降价元（），每周总利润为元． （1）求与的函数表达式； （2）当取何值时，每周的总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，每周总利润最大，最大总利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由总利润等于销售量乘以单件利润，可得出与的函数关系式； （2）将与的函数关系式转换为顶点式，结合，即可得出最大利润和所对应的售价． 【小问1详解】 解：结合题意，得 ， 故与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：， ∵，抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下； ∴当时，利润最大，其值为元． 26. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度至直线与轴交于点，与的图象交于点，连接，，求的面积； （3）在（2）的条件下，直接写出的值． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据三角形的面积公式列式，代入数据计算即可． （3）先运用勾股定理算出，，，结合平行的性质得同底等高，．结合等面积法算出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， ∴的面积； 【小问3详解】 解：， ∴，， 过点作，如图所示： 由题意得：， ∴同底等高， ． ∵， 则 ∴， 27. 如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接．若，． （1）证明：； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平行线的判定与性质、等腰三角形的性质及同弧所对的圆周角相等，证明即可； （2）设，则得，在中，利用勾股定理建立方程求得x的值，再证明即可求解； （3）过点D作于H，证明，则可求得，进而求得，利用面积相等可求得，再由三角函数即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点D作于H， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 28. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期初四年级 数学试题 1.本试卷共4页、28题、120分．考试时间120分钟． 2.答题前，考生先将自己准考证号、班级、姓名在试卷、答题卡相应位置填写清楚． 3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5.保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的16倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 5. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 如图有一正六边形与一正n边形的部分图形，其中G、E、H、I为正n边形中连续的四个顶点，F在上，C、D、H、I四点共线．求n值为何？（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 9. “齐齐哈尔烤肉”是当地特色美食．某商场推出大、小两种牛肉礼盒，每个大礼盒含牛肉5千克，每个小礼盒含牛肉3千克，某游客欲购买45千克的牛肉，且大、小礼盒均可选购（允许只购买一种礼盒），则不同的购买方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 10. 如图，在正方形中，，是平面内一点，，连接，过点作的垂线交直线于点．下列结论：①；②；③当时，；④的最小值为，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 据中国信息通讯研究院测算，截止到2025年12月，我国人工智能核心产业规模已突破120000亿元，显示出我国在人工智能领域的强劲势头．数据“120000亿”用科学记数法表示为_______________． 13. 因式分解：=___． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 15. 如图，在中，，，，按下列步骤作图： ①在和上分别截取、，使． ②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M． ③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是__________． 16. 直线经过点，当时，y的最大值为6，则k的值为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 18. 定义把函数：的图像绕点旋转，得到新函数的图像，我们称是关于点P的相关函数，函数的图像的顶点纵坐标为a．下列结论正确的是_________． ①当时，新函数的函数解析式为； ②若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，函数的解析式为； ③当时，函数的图像与直线相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图像有公共点，结合函数图像，n的取值范围是或或． 三、解答题（共10个题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1 21. 2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等．求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ 22. 《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）该学校九年级有名学生，估计约有多少名学生至少阅读完部必读名著； （3）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 23. 无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为，已知楼和楼之间的距离为90米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空： ， ； （2）求此时无人机距离地面的高度． 24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 某超市销售一款水杯，每个可获利元，每周可以销售个．经调研：售价每降低元，每周可多销售个．设每个降价元（），每周总利润为元． （1）求与的函数表达式； （2）当取何值时，每周的总利润最大？最大总利润是多少？ 26. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度至直线与轴交于点，与的图象交于点，连接，，求的面积； （3）在（2）的条件下，直接写出的值． 27. 如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接．若，． （1）证明：； （2）求的值； （3）求的值． 28. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $