精品解析：黑龙江省大庆第一中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年初四下学期第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题时间：120分钟；卷面分值：120分； 2．请在答题卡上按要求书写作答； 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数据80.16亿用科学记数法表示为． 故选：C． 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 3. 下列各组整式中，不是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类项，掌握同类项的定义是解题的关键．根据“同类项是字母相同且相同字母的指数也相同”，可得答案． 【详解】解：A、与字母相同且相同字母的指数也相同，故该选项正确，不符合题意； B、常数也是同类项，故该选项正确，不符合题意； C、与字母相同且相同字母的指数也相同，故该选项正确，不符合题意； D、与相同字母的指数不同，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 4. 一不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中黄球约有（ ）个． A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，由概率结果还原事件．解决问题的关键是熟练掌握频率估计概率，利用概率公式构建方程，求出黄球个数． 设黄球有x个，根据口袋中装有10个红球，摸到红球的频率为0.4，根据用频率估计概率得到，解方程即可． 【详解】设黄球有x个， ∵大量重复实验，摸到红球的频率为0.4， ∴摸到红球的概率的估计值为0.4， ∴， 解得，． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴口袋中黄球约有15个． 故选：D． 5. 如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图：①作射线；③在线段上截取 ，．则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了两点间的距离．根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到 【详解】解：如图，． 故选：C． 6. 下列说法正确的有（ ）个 ①若两个三角形全等，则这两个三角形关于某条直线成轴对称；②数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数；③一条直线就是一个平角；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤实数a的算术平方根是． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形与轴对称性质、相反数的定义、直线间的关系、算术平方根的定义，正确理解前面的定义是解题的关键． 根据全等三角形与轴对称性质、相反数的定义、直线间的关系、算术平方根的定义，进行逐一判断． 【详解】解：①全等三角形不一定关于某条直线对称，仅当存在对称轴时成立，因此①错误； ②数轴上原点两旁的点若到原点的距离相等，则所表示的数互为相反数，但题目未强调“距离相 等”，因此②错误； ③平角是的角，而直线是无限延伸的几何图形，两者概念不同，因此③错误； ④在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，但题目未说明“同一平面”，因此④错误； ⑤实数a的算术平方根是，但题目没有给定，因此⑤错误； 故选：A． 7. 已知是以为未知数的一元一次方程，如果，那么的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义，则x2系数为0，且x系数≠0，得出m＝−3；由|a|≤|m|，得a−m≥0，a＋m≤0，∴|a＋m|＋|a−m|＝−a−m＋a−m＝−2m＝6． 【详解】∵一元一次方程则x2系数为0，且x系数≠0 ∴m2−9＝0，m2＝9，m＝±3，−（m−3）≠0，m≠3， ∴m＝−3，|a|≤|−3|＝3， ∴−3≤a≤3， ∴m≤a≤−m， ∴a−m≥0，|a−m|＝a−m，a＋m≤0，|a＋m|＝−a−m， ∴原式＝−a−m＋a−m＝−2m＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值以及一元一次方程的定义，解题的关键是知道如何去绝对值以及一元一次方程的定义. 8. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，交于点G，假设点B的坐标，先表示出点C的坐标，再利用几何性质表示出点A的坐标，利用反比例函数定义求解即可． 【详解】解：过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，交于点G，如图： 设 是等腰直角三角形 轴 ，点C的纵坐标为 四边形是矩形 ，， 点G的横坐标为 点A是反比例函数的图象上一点 解得或（舍去） ． 故选：A． 9. 如图，在中，，平分，平分，，相交于点，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，先求出，进而利用勾股定理即可得出，进而求出，最后判断出即可求解，求出是解题的关键． 【详解】解：如图， 过点作于， 连接， ∵，是分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，根据勾股定理得， ， ∵平分，平分， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：． 10. 已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图像经过点，两点，则的值可能是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征，有一定难度． 由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】如图，根据题意可知，该二次函数开口向下 对称轴为， ， 与点相比，点更靠近对称轴， 即，整理得， 当时，有， 解得， 当时，有， 解得， 综上，或． 故选：． 二、填空题（每空3分，共24分） 11. 四个实数，6，，中，最大的无理数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数大小的比较方法、无理数的特征，正确理解实数的大小比较方法是解题的关键． 首先判断哪些是无理数，利用“放缩法”进行比较无理数大小即可． 【详解】解：四个实数，6，，中，有理数有6，无理数有，，， ，，而，即， 由于，则，即， 而，即， 因此，即最大的无理数是． 故答案为：． 12. 若线段，，则线段a，b的比例中项为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的定义，一般的，如果三个数a，b，c满足比例式，则b就叫做a，c的比例中项．设线段a，b的比例中项为x，然后列比例式求解即可． 【详解】解：设线段a，b的比例中项为x，由题意得， ， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 13. 已知一组数据的方差：，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和算术平均数的定义．由题意知，这组数据分别为4、7、9、、，且平均数为5，再根据算术平均数的定义可得答案． 【详解】解：由题意知，这组数据分别为4、7、9、、，且平均数为5， ， 解得：， 故答案为：5 14. 按照一定规律排列的一列数依次为：按此规律排下去，这列数中的第九个数是______． 【答案】-82 【解析】 【分析】先看符号，奇数个为负数，偶数个为正．再看各个数的绝对值，规律是n2+1，根据规律求解即可． 【详解】奇数个为负数，偶数个为正． 第一个数的绝对值是12+1=2， 第二个数的绝对值是22+1=5， 第三个数的绝对值是32+1=10， 第九个数的绝对值是92+1=82， 所以这列数中的第九个数是-82． 故答案为：-82． 【点睛】本题主要考查了数字类规律探索，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．本题应从符号和绝对值两方面进行分析． 15. 如图，在中，，，以点为圆心，为半径画弧，分别与交于点，若图中阴影部分的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解直角三角形，等边三角形的性质，过点作于，连接，先解得到，再证明是等边三角形得到，，解求出，最后根据，进行求解即可，正确作出辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，连接， ， ，， ， ， 以的长为半径画弧，分别交、于点、， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 16. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程得到，分式方程无解有两种情况，当和当时，分式方程有增根，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴当，即时，原方程无解； 当，即时， 则 ∵原方程无解， ∴原方程有增,即或 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 17. 如图，在正方形和中，点在边上，，，若点共线，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角函数，掌握正方形的性质是解题的关键． 连接、，交于点N，根据正方形性质得出，根据已知条件求出和的值，利用勾股定理求出和的值即可． 【详解】解：连接、，交于点N，与交于点M，如图： 在正方形和中，，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， 在中， ， 在中， ， ， , 即． 故答案为：． 18. 中，，，点为上的一点，且，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆、等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 在的右侧，分别过点C、D作、，、交于点E，作的外接圆，连接交于点F，点D在圆上运动，当点D于点F重合时，最小，连接、，根据，可以得到，并且，由勾股定理得到，再次证明利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在的右侧，分别过点C、D作、，、交于点E，作的外接圆，连接交于点F，点D在圆上运动，当点D于点F重合时，最小，连接、，如图： ， ． 故答案为：4． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算，正确化简是解题的关键． 分别计算绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式混合运算和化简求值．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】解：原式 当时， 原式． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程， ； ∴此方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得， ∵此方程恰有一个根小于， ∴， 解得． 22. 如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) （1）求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)； （2）若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 【答案】（1）菜鸟驿站与超市的距离约为 （2） 解：小南上美术网课会迟到，理由：在中，， ， ， ． ， 小南上美术网课会迟到． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和用三角函数解决实际问题，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，先根据三角函数求出的长，再根据三角函数求的长即可； （2）先根据三角函数求出的长，再计算即可． 【小问1详解】 解：过点作交的延长线于点，则， 由题意可知，，，， ，是等腰直角三角形， ， ． 答：菜鸟驿站与超市的距离约为． 【小问2详解】 略 23. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.，B.，C.，D.，E.）． ①八年级学生成绩在D组的具体数据是：，，，，，，． ②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 m 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取八年级学生的样本容量是______； （2）频数分布直方图中，C组的频数是_______； （3）本次抽取八年级学生成绩的中位数_______； （4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）； （5）若八年级有名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于分的学生有______人． 【答案】（1） （2） （3） （4）八 （5）该年级成绩不低于分的学生约有人； 【解析】 【分析】（1）根据样本容量是抽取的个数求解即可得到答案； （2）利用总数减去其它频数即可得到答案； （3）找到最中间两个数求平均即可得到答案； （4）根据方差越大波动越大，方差越小波动越小即可得到答案； （5）利用总人数乘以符合的频率即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析， ∴本次抽取八年级学生的样本容量是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴C组的频数是； 【小问3详解】 解：∵，， ∴中位数落在D组上， ∴ ，两个数是：，， ∴中位数是：； 【小问4详解】 解：∵， ∴八年级的学生测试成绩较整齐； 【小问5详解】 解：由题意可得， （人）， 答：该年级成绩不低于分的学生约有人； 【点睛】本题考查中位数，方差，样本容量，利用频率估算，解题的关键是熟练掌握几个定义． 24. 在平行四边形ABCD中，AC⊥CD． （1）如图1，延长DC到E，使CE = CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形； （2）如图2，点F，G分别是BC，AD的中点，连接AF，CG，判断四边形AFCG的形状并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形AFCG是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CE，AB=CD，再由CE = CD，可得AB=CE，可得到四边形ABEC是平行四边形，再由AC⊥CD．即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得BC=AD，BC∥AD，再由点F，G分别是BC，AD的中点，可得CF=AG，可得到四边形AFCG是平行四边形，再由直角三角形的性质，AF=CF，即可求解． 【小问1详解】 证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD， ∴AB∥CE， ∵CE = CD， ∴AB=CE， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∵AC⊥CD． ∴∠ACE=90°， ∴四边形ABEC是矩形； 【小问2详解】 解：四边形AFCG是菱形，理由如下： 在平行四边形ABCD中，BC=AD，BC∥AD， ∵点F，G分别是BC，AD的中点， ∴BC=2CF，AD=2AG，CF∥AG， ∴CF=AG， ∴四边形AFCG是平行四边形， ∵四边形ABEC是矩形， ∴∠BAC=90°， ∴BC=2AF， ∴AF=CF， ∴四边形AFCG是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质是解题的关键． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点A，过点作轴，垂足为，连接，已知四边形是平行四边形，且其面积是． （1）求点A的坐标及和的值； （2）求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标； （3）若直线与四边形和反比例函数图象均无公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】令，则，解得，得到，根据平行四边形的性质求出，设，再根据平行四边形的面积是，列出方程得到，把分别代入，，即可求出m、k的值； 联立直线和双曲线的解析式，求解，即可得到答案； 找出邻界点直线经过点时的值，直线与双曲线在第四象限相切时的值，即可得出t的取值范围． 【小问1详解】 令，则， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 轴， 设， 平行四边形的面积是， ， ， ，， ， 点在直线上， ， 即，，； 【小问2详解】 由知，， 直线的解析式为， 由知，， 反比例函数的解析式为， 联立解得，（点的坐标）或， 一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为； 【小问3详解】 当直线过点时，， ， 当直线与第四象限的双曲线相切时， ， ， ， （舍），或， 直线与四边形和反比例函数图象均无公共点时，． 【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形．熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质，函数与方程的关系，是解决问题的关键． 26. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝，x为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）． （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式； （3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？ 【答案】（1），27；（2）W＝，且x为正整数；（3）17天 【解析】 【分析】（1）根据“第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克”将x和y的值代入相应的函数解析式求解； （2）先求得第x天的销售量，然后根据利润＝（售价﹣成本价）×销售量分段列出函数解析式； （3）结合一次函数和二次函数的性质及利润不低于1224元的条件分析求解． 【详解】解：（1）∵第14天的售价为34元/千克， ∴当x＝14时，y＝34， ∵1＜14＜20， ∴把x＝14，y＝34代入y＝mx﹣82m中， 14m﹣82m＝34， 解得：m＝﹣， ∵第27天的售价为27元/千克， ∴当x＝27时，y＝27， ∵27＞20， ∴把y＝27代入y＝n中， 得：n＝27， 故答案为：﹣，27； （2）由题意，第x天的销售量为42+6（x﹣1）＝6x+36， ∴第x天的售价为y＝， ∴当1≤x＜20时， W＝（﹣x+41﹣21）（6x+36）＝﹣3x2+102x+720， 当20≤x＜30时， W＝（27﹣21）（6x+36）＝36x+216， 综上，W＝，且x为正整数， （3）当1≤x＜20，W＝1224时， ﹣3x2+102x+720＝1224， 解得：x1＝6，x2＝28， ∵﹣3＜0， ∴当W≥1224时，6≤x＜20，且x为正整数， ∴x可取6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共14天， 当20≤x≤30，W＝1224时， 36x+216＝1224， 解得：x＝28， ∵36＞0， ∴当W≥1224时，28≤x≤30，且x为正整数， ∴x可取28，29，30共3天， 14+3＝17（天）， 综上，当天利润不低于1224元的共有17天． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，分段分析函数解析式，掌握一次函数和二次函数的性质是解题关键． 27. 如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，交于点，连接交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定及性质、圆周角定理、相似三角形性质与判定，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，再根据平行线的性质得到，进而证明为的切线即可； （2）作于点，通过角度关系得到，利用相似三角形的性质得到比例关系即可； （3）连接，设，那么，由圆的直径对应的圆周角是直角得到，根据勾股定理得到半径长，利用得到长即可． 【小问1详解】 证明：为的平分线， ， ， ， ， ． 是圆的直径， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 为的切线． 【小问2详解】 证明：作于点，则， 由（1）知是切线，， ， ∵， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：连接，设，那么，如图： ， ， ， 是圆的直径， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ， ． ． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接． （1）抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果） （2）在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数； （3）如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当时，点的横坐标是定值，理由： 设点的坐标为，点的坐标为． ∵直线与不重合， ∴且且． 如图3，由点，点， 可得到直线的解析式为：． ∵， ∴可设直线的解析式为：． 将代入， 得． ∴． ∴点的坐标可以表示为． 设直线的解析式为：， 由点，点，得 ， 解得． ∴直线的解析式为：． 同上，由点，点， 可得到直线的解析式为：． ∴． ∴． ∴． ∴点的横坐标为定值3． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线直线的解析式为：，直线的解析式为：．联立两直线解析式，得出点的坐标为．方法1：由题意可得：．过点E作轴于点F．计算得出，又，可得，根据相似三角形的性质得出；方法2：如图2，延长与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点．等面积法求得，解即可求解．方法3：如图2，过点作于点．根据，得出，进而得出； （3）设点的坐标为，点的坐标为．由点，点，可得到直线的解析式为：．得出点的坐标可以表示为．由点，点，得直线的解析式为：．同理可得可得到直线的解析式为：．联立可得，则点的横坐标为定值3． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 ∵点，点， 设直线的解析式为：． ∴， ∴， 直线的解析式为：． 同上，由点，可得直线的解析式为：． 令，得． ∴点的坐标为． 方法1：由题意可得：． ∴． 如图1，过点E作轴于点F． ∴． ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， 即． 方法2：如图2，延长与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ， ∴． ∴ ∴，即． 方法3：如图2，过点作于点． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年初四下学期第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题时间：120分钟；卷面分值：120分； 2．请在答题卡上按要求书写作答； 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组整式中，不是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 一不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中黄球约有（ ）个． A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5. 如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图：①作射线；③在线段上截取 ，．则的长是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的有（ ）个 ①若两个三角形全等，则这两个三角形关于某条直线成轴对称；②数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数；③一条直线就是一个平角；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤实数a的算术平方根是． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知是以为未知数的一元一次方程，如果，那么的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分，平分，，相交于点，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图像经过点，两点，则的值可能是（ ） A. 0 B. C. D. 二、填空题（每空3分，共24分） 11. 四个实数，6，，中，最大的无理数是________． 12. 若线段，，则线段a，b的比例中项为__________． 13. 已知一组数据的方差：，则的值为______． 14. 按照一定规律排列的一列数依次为：按此规律排下去，这列数中的第九个数是______． 15. 如图，在中，，，以点为圆心，为半径画弧，分别与交于点，若图中阴影部分的面积为，则______． 16. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 17. 如图，在正方形和中，点在边上，，，若点共线，则__________． 18. 中，，，点为上的一点，且，则的最小值为__________． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值： ，其中． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 22. 如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) （1）求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)； （2）若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 23. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.，B.，C.，D.，E.）． ①八年级学生成绩在D组的具体数据是：，，，，，，． ②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 m 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取八年级学生的样本容量是______； （2）频数分布直方图中，C组的频数是_______； （3）本次抽取八年级学生成绩的中位数_______； （4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）； （5）若八年级有名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于分的学生有______人． 24. 在平行四边形ABCD中，AC⊥CD． （1）如图1，延长DC到E，使CE = CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形； （2）如图2，点F，G分别是BC，AD的中点，连接AF，CG，判断四边形AFCG的形状并说明理由． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点A，过点作轴，垂足为，连接，已知四边形是平行四边形，且其面积是． （1）求点A的坐标及和的值； （2）求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标； （3）若直线与四边形和反比例函数图象均无公共点，直接写出的取值范围． 26. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝，x为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）． （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式； （3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？ 27. 如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，交于点，连接交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接． （1）抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果） （2）在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数； （3）如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $