22.5 第2课时 图形在平面直角坐标系中的位似变换（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系中的位似变换，通过回顾位似图形定义、判断方法及作图步骤导入，以“位似能否用坐标关系表示”衔接旧知与新知，搭建学习支架。 其亮点在于以四边形OABC坐标变换实例，引导学生观察坐标规律，培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过问题链归纳位似性质，发展推理意识（数学思维），结合练一练、典例精析，帮助学生用坐标语言表达变换（数学语言），助力学生巩固知识，教师提升教学效率。

第2课时 图形在平面直角坐标系中的位似变换 第22章 相似形 22.5 简单的位似图形 九年级上册数学（沪科版） 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫作 ， 这个交点叫作 ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ，对应线段 . 2. 如何判断两个图形是不是位似图形? 位似图形 位似中心 相似比 平行或者在一条直线上 导入新课 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 基本模型： 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？ 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O(0，0)，A(2，2)，B(6，4)，C(8，2). 问题1：将四边形OABC 的顶点坐标按 (x，y)→(2x，2y) 的方式放大，画出放大后的新图形，它与原图形有何关系？ 平面直角坐标系中的位似变换 1 A B C 新知探究 新图形四个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A1(4，4)，B1(12，8)，C1(16，4)，依次连接 O，A1，B1，C1，即可得到放大后的四边形OA1B1C1. 这时根据点的坐标可知 A1，A，O 三点在一条直线上，B1，B，O 三点在一条直线上， C1，C，O三点在一条直线上，且 A B C A1 B1 C1 因此四边形 OA1B1C1 与四边形 OABC 位似，位似中心为原点 O，相似比 k＝2. A B C A1 B1 C1 问题2：将四边形OABC 的顶点坐标按(x，y)→(x，y) 的方式缩小，写出缩小后各点的坐标，在图中画出缩小后的图形. 仿照上面的分析，写出你的思考过程及研究后得到的结论. 新图形四个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A2(1，1)， B2(3，2)，C2(4，1)，依次连接 O，A2，B2， C2，即可得到缩小后的 四边形OA2B2C2. A B C A1 B1 C1 这时根据点的坐标可知 A2，A，O 三点在一条直线上，B2，B，O 三点在一条直线上，C2，C，O三点在一条直线上，且 A B C A1 B1 C1 因此四边形 OA2B2C2 与四边形 OABC 位似，位似中心为原点 O，相似比 k＝. 问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个 图形的位似图形可以作两个． 2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的 坐标的比为－k． 3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1 时，图形缩小为原来的 k 倍． 归纳： 1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 D 的坐标为 ( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1) D x y A B C D 练一练 2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)， 以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 的三个顶点坐标分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )， 则 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比是 . 1 : 3 例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2. 2 4 6 2 －2 －4 x y A B O 典例精析 2 4 6 2 －2 －4 x y A B O 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0). A′ B′ 顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形. 还有其他画法吗？自己试一试. 提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ，即 (－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标. 3.在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3. 练一练 16 O C 解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘以 ；在平面直角坐标系中描点 O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接 O，A'，B'，C'. 2 4 6 4 6 B' －2 －4 －4 x y A B A' C' 17 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面 直角坐标系中描点 O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″. O C 2 4 6 4 6 B″ －2 －4 －4 x y A B A″ C″ 平面直角坐标系中的图形变换 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 2 4.将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化． (1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度； (2) 关于 x 轴对称； (3) 以 C 为位似中心， 将 △ABC 放大 1.5 倍； (4) 以 C 为中心，将 △ABC 顺时针旋转 180°． x y A B C 练一练 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 C 课后练习 2. 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( ) A．(4，－3) B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6) A A(-5,3) (-1,1) B(1,3) y x D(4,3) C' O 3. 如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 . (－2a，－2b) 23 4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积 是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 . 6 O x y A D C B G F E 5. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和 点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正 方形的位似中心的坐标是___________________． (1，0) 或 (－5，－2) 6. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)， C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放 大为原来的 2 倍． C 2 4 6 －4 x y A B 2 －2 答案： A' (4，－4)， B' (8， －10)， C' (10，－4)； B' A' C' A" B" C" A″ (－4，4)， B″ (－8，10)， C″ (－10，4). (1) 以点 M 为位似中心，相似比为 2，画出 △ABC 的 位似图形 △A′B′C′； 7. 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2). 解：如图所示. x y A B C M A′ B′ C′ (2) 写出 △A′B′C′ 的各顶点坐标. 答：△A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ (3，6)，B′ (5，2)， C′ (11，4). 8. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)，点 B 的坐标为 (4，0). (1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移 1 个单位长度后得 △A1O1B1， 则点 A1 的坐标为 ， △A1O1B1 的面积为 ； (2，4) 8 (2) 将 △AOB 绕原点旋转 180° 后得 △A2O2B2，则点 A2 的 坐标为 ； (－3，－4) 4 x y A B 4 3 O (3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3 的 坐标为 ； (4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △AOB 放大后得 △A4O4B4，若点 B 在 x 轴负半轴上，则点 A4 的坐标为 ，△A4O4B4的面积为 . (3，－4) (－6，－8) 32 4 x y A B 4 3 O 平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似变换 平面直角坐标系中的图形变换 坐标变化规律 平面直角坐标系中的位似图形的画法 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $