学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（新教材冀教版，范围：九年级上册第23.24.章＋25章1-4节）

**基本信息** 2026-2027学年九年级数学9月学情自测卷，覆盖一元二次方程、相似图形、统计等核心知识，通过生物试验园地、商场销售等真实情境，融合几何直观、数据意识与模型意识，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|方程定义、相似性质、统计量|基础概念辨析，如第4题结合队员年龄数据考众数中位数| |填空题|4/12|方差、黄金分割、相似矩形|文化渗透与空间观念，如第14题鹦鹉螺曲线黄金分割应用| |解答题|8/72|方程求解、统计分析、几何证明、动点问题|综合应用，如24题矩形动点面积探究融合运算能力与创新意识，23题商场销售模型体现应用意识|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版九年级上册第23.23章++25章1-4节。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根是（　　） A． B． C．， D．， 3．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某中学足球队的18名队员的年龄情况如表：则这些队员年龄的众数和中位数分别是（    ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 人数 3 6 4 4 1 A．14，14 B．14， C．14，15 D．15，14 5．某校规定学生的学期数学成绩由平时、期中、期末三部分组成，权重分别为．小明平时、期中、期末成绩依次为90分、85分、92分，则他的学期数学成绩为（     ） A．89分 B．89.5分 C．90分 D．90.5分 6．已知，则下列结论一定成立的是（） A．， B． C． D． 7．把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 9．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 10．已知一组数据3，4，x，5，6的平均数是4，则这组数据的方差是（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．甲、乙两名同学为参加全国青少年机器人竞赛，进行校内选拔，经过几轮比赛后，他们成绩的平均数都为95分，甲的方差为，乙的方差为，若学校准备选择一个成绩好且稳定的学生去参加，则最后________（填“甲”或“乙”）被派去参加比赛． 14．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为______cm． 15．如图，矩形在矩形内，与，与 之间的距离都为，与 ，与 之间的距离都为，已知，，当______时，矩形矩形． 16．如图，在菱形中，在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点分别在边上，点在对角线上．若，则阴影部分的面积为__________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题11分，24题12分。 17．（本题7分）已知，求和值． 18．（本题8分）解方程： (1)； (2)； (3)． 19．（本题8分）甲、乙两组同学的跳绳成绩 （单位：次/min）如下： 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 王芳在记录乙组同学的跳绳成绩时，把242错记成了224，此时乙组跳绳成绩的平均数和中位数是否都受影响？请你解释其中的原因． 20．（本题8分）已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 21．（本题9分）某市射击队为了从，两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将，两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】（1）小明计算平均数，（环），___________（环）；通过散点图比较：___________（填“>”“<”或“=”）； （2）小颖计算四分位数并绘制了、两名运动员的箱线图．①处应填___________环，②处应填___________环；③处应填___________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数___________选手射击成绩的中位数（填或）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① ② 9.5 10 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】（3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 22．（本题9分）如图，为对角线上任意一点．求证：．    23．（本题11分）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？    24．（本题12分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C D B B D 题号 7 8 9 10 11 12 答案 B A C A C C 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．乙 14． 15． 16． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题11分，24题12分。 17．（本题7分） 【详解】解：∵， ∴，，..............................................3分 ∴，．..............................................7分 18．（本题8分）【详解】（1）解： 即；..............................................3分 （2）解： ∵， ∴原方程无实数根；..............................................2分 （3）解： 即．..............................................3分 19．（本题8分）【详解】 乙组跳绳成绩的平均数和中位数不是都受影响，其中平均数受影响，中位数不受影响， ∵乙组原始成绩（单位：次）从小到大排列为：141，148，170，199，242， ∴原始平均数为 ，..............................................3分 原始中位数为排序后第3个数据，即170， ∵错记242为224后，成绩从小到大排列为：141，148，170，199，224， ∴错记后的平均数为 ， 错记后的中位数为排序后第3个数据，即170，..............................................6分 ∵，， ∴记录错误影响平均数，不影响中位数．..............................................8分 20．（本题8分）【详解】(1)证明：∵对于一元二次方程， ∴ ． ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；..............................................3分 （2）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴ ，..............................................5分 ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵第三边的长是， ∴， 整理得，即， 解得，，..............................................7分 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形．..............................................8分 21． 【详解】（本题9分）（1）9，；..............................................2分 （2），9，，=；..............................................6分 （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛， 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．..............................................9分 22．（本题9分） 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， ，..............................................3分 ∴..............................................6分 ∴， ．..............................................9分 23．（本题11分）【详解】（1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件，..............................................3分 （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元；..............................................4分 （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元．..............................................4分 24．（本题12分）【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于；..............................................4分 ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于；..............................................38分 （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于．..............................................12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ===-==-。。==--=--。====-=●一一==- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13. 14. 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21. (9分)(1) (2) (3) 22.(9分) 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版九年级上册第23.24章+25章1-4节。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根是（　　） A． B． C．， D．， 3．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某中学足球队的18名队员的年龄情况如表：则这些队员年龄的众数和中位数分别是（    ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 人数 3 6 4 4 1 A．14，14 B．14， C．14，15 D．15，14 5．某校规定学生的学期数学成绩由平时、期中、期末三部分组成，权重分别为．小明平时、期中、期末成绩依次为90分、85分、92分，则他的学期数学成绩为（     ） A．89分 B．89.5分 C．90分 D．90.5分 6．已知，则下列结论一定成立的是（） A．， B． C． D． 7．把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 9．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 10．已知一组数据3，4，x，5，6的平均数是4，则这组数据的方差是（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．甲、乙两名同学为参加全国青少年机器人竞赛，进行校内选拔，经过几轮比赛后，他们成绩的平均数都为95分，甲的方差为，乙的方差为，若学校准备选择一个成绩好且稳定的学生去参加，则最后________（填“甲”或“乙”）被派去参加比赛． 14．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为______cm． 15．如图，矩形在矩形内，与，与 之间的距离都为，与 ，与 之间的距离都为，已知，，当______时，矩形矩形． 16．如图，在菱形中，在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点分别在边上，点在对角线上．若，则阴影部分的面积为__________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题11分，24题12分。 17．（本题7分）已知，求和值． 18．（本题8分）解方程： (1)； (2)； (3)． 19．（本题8分）甲、乙两组同学的跳绳成绩 （单位：次/min）如下： 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 王芳在记录乙组同学的跳绳成绩时，把242错记成了224，此时乙组跳绳成绩的平均数和中位数是否都受影响？请你解释其中的原因． 20．（本题8分）已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 21．（本题9分）某市射击队为了从，两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将，两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】（1）小明计算平均数，（环），___________（环）；通过散点图比较：___________（填“>”“<”或“=”）； （2）小颖计算四分位数并绘制了、两名运动员的箱线图．①处应填___________环，②处应填___________环；③处应填___________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数___________选手射击成绩的中位数（填或）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① ② 9.5 10 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】（3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 22．（本题9分）如图，为对角线上任意一点．求证：．    23．（本题11分）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 24．（本题11分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版九年级上册第23.24章+25章1-4节。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2．一元二次方程的根是（　　） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】利用直接开平方法解方程即可． 本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得， 二次项系数化为1，得， 两边直接开平方，得，． 故选：C． 3．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质．由相多三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】解：因为两个图形相似： 解得：，，； ， 观察四个选项，D选项符合题意； 故选：D． 4．某中学足球队的18名队员的年龄情况如表：则这些队员年龄的众数和中位数分别是（    ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 人数 3 6 4 4 1 A．14，14 B．14， C．14，15 D．15，14 【答案】B 【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】根据图表数据，同一年龄人数最多的是14岁，共6人， 所以众数是14， 18名队员中，按照年龄从小到大排列， 第9名队员的年龄是14岁，第10名队员的年龄是15岁， 所以，中位数是． 故选：B． 5．某校规定学生的学期数学成绩由平时、期中、期末三部分组成，权重分别为．小明平时、期中、期末成绩依次为90分、85分、92分，则他的学期数学成绩为（     ） A．89分 B．89.5分 C．90分 D．90.5分 【答案】B 【详解】解：， 小明的学期数学成绩为（分）． 6．已知，则下列结论一定成立的是（） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例式的变形和运算是关键． 根据比例，得，逐一验证各选项是否符合比例关系． 【详解】解：选项A：当时，，但，故A不一定成立. 选项B：当时，，但，故B不一定成立. 选项C：当时，，但，两者不相等，故C不一定成立. 选项D：∵，∴，故选项D成立， 故选：D． 7．把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】计算每个选项的总离差平方和，其中总离差平方和为两组离差平方和之和，比较大小后即可得到总离差平方和最小的分组． 【详解】解：对于选项A：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项B：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项C：∵单元素组的离差平方和为， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项D：∵的平均数， ∴， ∵单元素组的离差平方和为，即， ∴. 比较大小得， 所以最佳分组为选项B． 8．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】讨论m+2与0的关系，当m+2≠0时，得到判别式与系数的关系，由此进行求解即可． 【详解】解：①m+2=0时，方程为只有一个解，不符合已知条件； ②m+2≠0即m≠-2时，方程有两个不相等的实根等价于△>0， 即, 解得，且； 故选A． 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握判别式与系数的关系． 9．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 10．已知一组数据3，4，x，5，6的平均数是4，则这组数据的方差是（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据，求方差，根据平均数的定义列出关于x的方程，解方程求出x，再根据方差计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴这组数据的方差是， 故选：A． 11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程． 将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形，用表示出新矩形的长与宽，再根据“种植面积为平方米”列出方程即可． 【详解】解：设小道的宽为米， 则将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形的长为米，宽为米， 可列方程为， 故选：C． 12．如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，根据平行线分线段成比例和三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴ 在△BFA和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．甲、乙两名同学为参加全国青少年机器人竞赛，进行校内选拔，经过几轮比赛后，他们成绩的平均数都为95分，甲的方差为，乙的方差为，若学校准备选择一个成绩好且稳定的学生去参加，则最后________（填“甲”或“乙”）被派去参加比赛． 【答案】乙 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差判定稳定性是解题的关键．比较甲、乙的方差即可得出答案． 【详解】解：∵甲、乙成绩的平均数相同，乙的方差小于甲的方差， ∴乙发挥更稳定， ∴最后乙被派去参加比赛． 故答案为：乙． 14．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为______cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故答案为：． 15．如图，矩形在矩形内，与，与 之间的距离都为，与 ，与 之间的距离都为，已知，，当______时，矩形矩形． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的判定，解题的关键是熟练掌握相似多边形对应角相等和对应边成比例． 先根据矩形和矩形的对应角相等，，，再根据相似多边形的定义得出，即可得到矩形矩形，求出x的值即可． 【详解】解：∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ∴， ∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ， ∴， ∵矩形和矩形中， ∴当时，矩形矩形， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．如图，在菱形中，在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点分别在边上，点在对角线上．若，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】如图，连接交于O，易证四边形是菱形，同理：四边形是菱形，再证明四边形是菱形，利用菱形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可求得菱形的面积为；进而求得菱形的面积为，同理菱形的面积为，最后根据求解即可． 【详解】解：如图：连接交于O， ∵菱形中， ∴， ∵菱形， ∴，即， ∴△EBQ是等边三角形， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是菱形，同理：四边形是菱形， ∴， ∵菱形和菱形， ∴， ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴，即， ∴菱形的面积为； 设，则， 由题意可得：， ∴，即，解得：， ∴，， ∴， ∴，即 ∴菱形的面积为， 如图：连接交于I，则， ∴，即， ∴菱形的面积为，同理菱形的面积为， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题11分，24题12分。 17．（本题7分）已知，求和值． 【答案】， 【分析】根据比例的性质和计算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 【点睛】本题主要考查比的性质和计算，掌握其运算方法是解题的关键． 18．（本题8分）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)方程无实数根 (3) 【详解】（1）解： 即； （2）解： ∵， ∴原方程无实数根； （3）解： 即． 19．（本题8分）甲、乙两组同学的跳绳成绩 （单位：次/min）如下： 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 王芳在记录乙组同学的跳绳成绩时，把242错记成了224，此时乙组跳绳成绩的平均数和中位数是否都受影响？请你解释其中的原因． 【答案】 乙组跳绳成绩的平均数和中位数不是都受影响，其中平均数受影响，中位数不受影响， ∵乙组原始成绩（单位：次）从小到大排列为：141，148，170，199，242， ∴原始平均数为 ， 原始中位数为排序后第3个数据，即170， ∵错记242为224后，成绩从小到大排列为：141，148，170，199，224， ∴错记后的平均数为 ， 错记后的中位数为排序后第3个数据，即170， ∵，， ∴记录错误影响平均数，不影响中位数． 【分析】分别计算乙组原始成绩与错记成绩的平均数和中位数，对比判断二者是否受记录错误影响． 【详解】略 20．（本题8分）已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)证明：∵对于一元二次方程， ∴ ． ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，是以为斜边的直角三角形． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，从而得到，再根据勾股定理可得关于的方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴ ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵第三边的长是， ∴， 整理得，即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 21．（本题9分）某市射击队为了从，两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将，两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】（1）小明计算平均数，（环），___________（环）；通过散点图比较：___________（填“>”“<”或“=”）； （2）小颖计算四分位数并绘制了、两名运动员的箱线图．①处应填___________环，②处应填___________环；③处应填___________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数___________选手射击成绩的中位数（填或）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① ② 9.5 10 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】（3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，；（2），9，，=； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛， 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，求众数，求中位数，根据方差判断稳定性，求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据平均数和方差的意义解答即可； （2）先把选手A，B的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：运动员B的平均数为： （环）， 根据散点图得：运动员A的成绩的波动比运动员B大， ∴． 故答案为：9，； （2）解：选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， ∴下四分位数为，即； 中位数为，即； 选手B的数据从小到大排列为8，8，9，9，9，9，10，10， ∴上四分位数为，即， 基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数等于选手B射击成绩的中位数，． 故答案为：，9，，=； （3）略 22．（本题9分）如图，为对角线上任意一点．求证：．    【答案】 证明：四边形为平行四边形， ， ， ∴ ∴， ． 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而根据平行线分线段成比例定理得到，由此即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 23．（本题11分）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 【答案】(1)当每件盈利元时，每天可销售件 (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 (3)商场日盈利不能达到元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件， （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元； （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元． 24．（本题12分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13._______________ 14. ___________ 15. _________________ 16. _________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（8分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分）（1） ， ； （2） ， ， ， ； （3） 22．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23． （11分） 24． （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $