学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（新教材冀教版，范围：八年级上册第12和13章）

**基本信息** 聚焦分式与全等三角形核心内容，通过风筝大赛、冰墩墩等真实情境考查应用意识，设置规律探究、动态几何题发展推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|分式化简、全等判定|结合风筝大赛情境考查几何直观| |填空题|4/12|角平分线性质、分式求值|设置开放结论题（16题多结论判断）| |解答题|8/72|分式方程应用、动态几何探究|23题冰墩墩利润问题体现模型意识，24题分层探究发展推理能力|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版八年级上册第12和13章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 3．下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，且AB//DE，判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．解分式方程时，去分母可得（   ） A． B． C． D． 7．如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（    ） A． B． C． D． 8．将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 11．已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 12．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，当与全等时，的值为（    ） A．2.4 B．2.4或2 C．2.4或2.5 D．2或2.5 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．计算：_______． 14．如图，在中，，是的角平分线，是上一点，且，若，则______． 15．已知，则的值为__________． 16．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题11分，24题12分。 17．计算及解方程 (1)计算：． (2)解分式方程：． 18．如图，交于点O，，．求证：． 19．下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式① ② ③ (1)这位同学的解答，在第 步出现错误，错误的原因是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 20．小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 21．发现：（1）；（2）；（3）… 尝试：直接写出第n个式子____________________________；（用含n的代数式表示） 论证：请证明你在“尝试”中猜想的等式成立； 应用：请利用上述规律解方程： 22．小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，．垂足为D，已知米，请根据上述信息求标语的长度． 23．2022年第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． (1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价； (2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为75元，且全部售完，求两次的利润总和． 24．和均为等腰三角形，且，，，连接、，它们所在的直线交于点． （1）观察发现：如图1，当时，线段与的数量关系是______，的度数是______； （2）探究证明：如图2，当时，线段与的数量关系是______，的度数是______，根据图2证明你的猜想； （3）拓展推广：当为任意角时，线段与的数量关系是______，的度数是______．（用含的式子表示） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13._______________ 14. ___________ 15. _________________ 16. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（8分） 19．（8分）(1) ； 20．（8分）（1） （2）_______ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分）尝试：____________________________；（用含n的代数式表示） 论证： 应用： 22．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23． （11分） 24． （12分）（1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][DJ 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13 15. 6 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) B 19.(8分)(1) 20.(8分)(1) B (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分)尝试： (用含n的代数式表示) 论证： 应用： 22.(9分) B人行道 A ←一行车道 行车道→ 0隔离带 C KD人行道 富强民主文明和谐自由平等公正法治爱国敬业诚信友善 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(11分) 24.(12分)(1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版八年级上册第12和13章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 3．下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，且AB//DE，判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．解分式方程时，去分母可得（   ） A． B． C． D． 7．如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（    ） A． B． C． D． 8．将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 11．已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 12．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，当与全等时，的值为（    ） A．2.4 B．2.4或2 C．2.4或2.5 D．2或2.5 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．计算：_______． 14．如图，在中，，是的角平分线，是上一点，且，若，则______． 15．已知，则的值为__________． 16．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题11分，24题12分。 17．计算及解方程 (1)计算：． (2)解分式方程：． 18．如图，交于点O，，．求证：． 19．下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式① ② ③ (1)这位同学的解答，在第 步出现错误，错误的原因是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 20．小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 21．发现：（1）；（2）；（3）… 尝试：直接写出第n个式子____________________________；（用含n的代数式表示） 论证：请证明你在“尝试”中猜想的等式成立； 应用：请利用上述规律解方程： 22．小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，．垂足为D，已知米，请根据上述信息求标语的长度． 23．2022年第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． (1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价； (2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为75元，且全部售完，求两次的利润总和． 24．和均为等腰三角形，且，，，连接、，它们所在的直线交于点． （1）观察发现：如图1，当时，线段与的数量关系是______，的度数是______； （2）探究证明：如图2，当时，线段与的数量关系是______，的度数是______，根据图2证明你的猜想； （3）拓展推广：当为任意角时，线段与的数量关系是______，的度数是______．（用含的式子表示） 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 题号 2 U 6 答案 C D C A C B 题号 > 8 9 10 11 12 答案 W B D A D B 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.-1 14.26 15.8 16.①③④ 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题11 分，24题12分。 a-2,2-a_a-2a-11 17.【详解】(1)解：原式(a+1(a-1)a-1(a+1(a-)2-aa+1.…3 分 x-1=3 (2)解：x-1x-x 去分母，得-xx-)=3 解得x=3」 检验：当r=3时， x(x-1)=6≠0 ∴原分式方程的解为x=3 7分 18.证明：片AC=BD,BC=AD,3分 在△ABC和△ADB中， AC=BD BC=AD AB=AB’6分 115 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .△ABC≌△BAD. ∠C=∠D.8分 19.(1)①，去括号没有变号.2分 (2) 2x ）x2-2x -X÷ 解：（x+2 x+2 -2x-x(c+2x+2 x+2x(x-2) =2x-x2-2xx+2 x+2 x(X-2）4分 x+2 x+2x(x-2) 一x = X-2,6分 -2≤x≤2，且x≠-2,0,2， 当时式母 -1 当x=1时，原式1一21 8分 20.(1)【详解】 如图，△EBD即为所求作的三角形： 、E .6分 (2)②.8分 215 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 111 21.【详解】尝试：n(n+nn+1;2分 11n+1-n1 论证：右边nn+1n(n+l)n(n+)左边， 111 .n(n+1）nn+l;5分 1 1 170 应用：解方程：十(+x+2+++9x+10)+10+10 1,11,11 …+1.1 170 x+1x+1x+2'x+2x+3 x+99x+100(x+1)(x+100) 11 1 170 x+1'x+1x+100(x+1)(x+100) 21 170 .x+1x+100（x+1)(x+100) 2(x+100)-(x+1) 170 ·.(x+1)(x+100) (x+1)(x+100) x+199 170 .(x+1)(x+100)（x+1)(x+100) .x+199=170 .x=-29 经检验：当x=-29时， (x+28)(x+29)=0.（x+29)(x+30)=0 或 ,8分 所以，原方程无解9分 22.【详解】解：AB∥CD, ∴∠ABO=∠CDO, .OD⊥CD. .∠CD0=90°. .∠AB0=90°， 即OB1AB,2分 315 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·相邻两平行线间的距离相等 .0B=0D,4分 在△ABO和△CDO中， [∠ABO=∠CDO OB=OD ∠AOB=∠COD1 △ABO≌ACDO(ASA) 7分 CD=AB=10(m) 答：标语CD的长度为l0m 9分 23.【详解】(1)解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价为 (1+20%)x 元， 3000 3000 =10 依题意得： x 1+20%)x ,3分 解得：x=50, 经检验：X=50是方程的解，且符合题意，5分 答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元.6分 3000 3000 75× 十 3000×2=2250 (2)解：由题意可得 50 50×(1+20%) （元)，10分 答：两次的总利润为2250元.11分 24. 【详解】(1)AD=BE,60°：2分 D G 4/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)AD=BE,90°4分 证明：设AF交BO于G, ,∠AOB=∠DOE=90, ∴.∠AOB+∠BOD=∠DOE+∠BOD, 即∠AOD=∠BOE, .OA=OB,OD=OE. ∴.△AOD≌△BOE, ∴.AD=BE,∠OAD=∠OBE, :∠OGA=∠DGB. .∠AFB=∠AOB=90°： 故答案为：AD=BE,90°；10分 0 D G B (3)AD=BE,B .12分 5/5 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版八年级上册第12和13章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，同分母分式相加，分母不变，分子相加． 根据同分母分式加法法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的性质得出，，然后结合已知，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴，， ∵， ∴， 故选∶D． 3．下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 4．如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，且AB//DE，判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 【答案】A 【分析】根据所给条件证明即可； 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在△ABC和△DEF中 ∵ ∴． 故选A 【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件．解题的关键在于找出证明全等的条件． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 6．解分式方程时，去分母可得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断． 【详解】解：去分母得：， 故选：B． 7．如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，利用判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 8．将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用酒精的总质量不变列方程即可． 【详解】设需要加水， 由题意得， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 9．若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘除法和整式，根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案． 【详解】解：， ∵运算的结果为整式， ∴中式子一定有公因式的整式， ∴只有D项符合， 故选：D． 10．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 11．已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程计算的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， ∵分式方程的增根为， ∴将代入整式方程，得， 计算得． 12．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，当与全等时，的值为（    ） A．2.4 B．2.4或2 C．2.4或2.5 D．2或2.5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法运算，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 14．如图，在中，，是的角平分线，是上一点，且，若，则______． 【答案】 【分析】先由三角形的内角和定理得，又是的角平分线，则，从而证明，再由全等三角形的性质可得，然后通过三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．已知，则的值为__________． 【答案】8 【分析】先对分式的分子分母进行因式分解，再根据分式乘除的运算法则运算即可求解． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 【点睛】运用整体代入法解题． 16．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】 ①③④ 【分析】证明，得到，据此可判断①；证明，得到，据此可判断③④；过点作于点，证明，得到，可证明，推出，则可证明，再由，得到，据此可判断②． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 综上所述，正确的有①③④ ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题11分，24题12分。 17．计算及解方程 (1)计算：． (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解： 去分母，得， 解得． 检验：当时，． ∴原分式方程的解为． 18．如图，交于点O，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可证明，继而利用全等性质即可得到本题答案． 【详解】略 19．下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式① ② ③ (1)这位同学的解答，在第 步出现错误，错误的原因是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】(1)①，去括号没有变号 (2) 解： ， ∵，且， 当时，原式； 当时，原式． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． （1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：第①步出现错误，错误的原因是去括号没有变号； 故答案为：①，去括号没有变号； （2）略 20．小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 【答案】(1) 如图，即为所求作的三角形； (2)② 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定．熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据题意作图步骤进行作图即可； （2）根据作图痕迹，利用即可证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据作图可知：，，， ∴， 即判定的依据是②， 故答案为：②． 21．发现：（1）；（2）；（3）… 尝试：直接写出第n个式子____________________________；（用含n的代数式表示） 论证：请证明你在“尝试”中猜想的等式成立； 应用：请利用上述规律解方程： 【答案】尝试：； 论证：右边左边， ∴； 应用：原方程无解 【分析】尝试：根据所给式子可发现规律，得出第n个式子； 论证：证明右边等于左边即可； 应用：运用上述规律解方程即可． 【详解】尝试：∵（1）；（2）；（3）… ∴第n个式子为：， 故答案为：； 论证：略 应用：解方程： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 经检验：当时，或， 所以，原方程无解 【点睛】本题主要考查了数字规律，分式运算以及解分式方程，正确找出规律是解答本题的关键． 22．小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，．垂足为D，已知米，请根据上述信息求标语的长度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，灵活选用判定三角形全等的方法是解题的关键．利用平行线的性质和题意证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 答：标语的长度为． 23．2022年第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． (1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价； (2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为75元，且全部售完，求两次的利润总和． 【答案】(1)第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元 (2)两次的总利润为2250元 【分析】（1）设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价，根据题意列方程求解即可； （2）根据总利润=销售额－成本计算即可． 【详解】（1）解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元． （2）解：由题意可得（元）， 答：两次的总利润为2250元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，有理数四则运算的应用，理解题意列出正确方程是解题关键． 24．和均为等腰三角形，且，，，连接、，它们所在的直线交于点． （1）观察发现：如图1，当时，线段与的数量关系是______，的度数是______； （2）探究证明：如图2，当时，线段与的数量关系是______，的度数是______，根据图2证明你的猜想； （3）拓展推广：当为任意角时，线段与的数量关系是______，的度数是______．（用含的式子表示） 【答案】（1），60°；（2），90°，理由见解析；（3）， 【分析】（1）设AF交BD于G，证明，推出，，得到； （2）证明，推出，，根据及三角形内角和定理即可证得； （3）根据（1）与（2）直接得到结论． 【详解】（1）证明：设AF交BO于G， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，60°； （2），90° 证明：设AF交BO于G， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：，90°； （3）证明：由（1）与（2）可得， 故答案为：，． 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $