重难点专训01 空间角和距离的求法五大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“空间角和距离”为核心，构建“通法归纳-题型突破-分层训练”三阶体系，融合几何与向量双路径，强化空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法|6大通法|平移法、射影法等6类通法，含步骤技巧及几何/向量法对比|从概念生成到方法选择，构建“传统几何-向量坐标”双路径| |题型突破|5类题型（25题）|每题型对应核心解法+变式处理，如异面直线角用平移/向量法|题型与方法一一对应，覆盖棱柱、棱锥等几何体| |分层训练|27题（巩固12+创新15）|结合上海卷真题，突出二面角等核心考点|从基础应用到创新拓展，适配一轮复习梯度需求|

重难点专训01 空间角和距离的求法 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 异面直线所成的角 2 题型2 直线与平面所成的角 7 题型3 二面角（上海卷绝对核心） 13 题型4 点到平面的距离 20 题型5 综合大题（证明＋角＋距离） 25 重难专题分层过关练 32 巩固过关 32 创新提升 40 解题方法及技巧提炼 通法一：平移法——求异面直线所成的角 步骤：选点平移（常取中点，用中位线）→ 构造三角形 → 解三角形（余弦定理或勾股）。 技巧：平行四边形对边平移；补形（补成长方体、正方体）让平移更直观。 提醒：异面直线角只取锐角或直角。 通法二：射影法（定义法）——求线面角 步骤：过斜线上一点作平面的垂线（关键是找垂足）→ 连接垂足与斜足，得射影 → 解直角三角形。 技巧：垂足常借助”面面垂直性质”定位；线面角正弦值 = 垂线段长 ÷ 斜线段长。 通法三：三垂线法——求二面角 步骤：面内取点作面于 → 过作棱于 → 连接，由三垂线定理，即平面角。 本质：把一个二面角翻译成直角三角形（、、构成）。 通法四：向量坐标法（最通用，必须掌握） 口诀：“一建系、二求向量、三代公式”。 建系三原则：①找两两垂直且共点的三条直线作轴；②让尽量多的点落在坐标轴上；③利用对称性简化坐标。 求法向量小技巧：平面内取两个不共线向量，叉乘（行列式）得法向量；求出后回代检验、。 通法五：等体积法——求点到平面的距离 适用：体积和某个面的面积易求时。 步骤：选四面体换顶点 → 用两种方式表示体积 → 。 通法六：射影面积法——求二面角 若二面角的一个半平面在另一个半平面内的射影面积为，原面积为，则。 适用：射影图形面积易求时（如等腰三角形、直角三角形背景）。 所求对象 首选几何法 首选向量法 考场建议 异面直线所成角 平移＋余弦定理 小题几何法快，大题向量法稳 线面角 找射影解直角三角形 优先向量法，谨记是sin不是cos 二面角 定义法/三垂线/射影面积 向量法＋锐钝判断 点面距 等体积法 两法都会，互为检验 线面距/面面距 化归为点面距 化归为点面距 先证平行再转化 题型通法及变式提升 题型1 异面直线所成的角 ①平移法——平移其中一条（常用中点、平行四边形对边），构造三角形，用余弦定理； ②向量法——。 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    【答案】 【详解】在圆内，延长交圆上一点，连接， 因为是圆的直径， 所以，因此是异面直线与所成的角（或其补角）， 在圆中，因为， 所以， 由圆柱的性质可知：底面圆，与底面圆所成的角为， 所以，因为，所以， 因此有， ， 因为， 所以， 所以， 因为底面圆，底面圆， 所以， 因此， 在中，由余弦定理可知： ， 故答案为：    2．（2025·上海奉贤·一模）在正四棱台中，异面直线与所成角的大小为______． 【答案】 【详解】   取中点，取中点，连接. 因为四棱台是正四棱台， 所以平面，平面， 所以， 又因为是正方形，所以， 且平面，所以平面， 平面，所以， 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 3．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． (1)求异面直线与直线所成角． (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 【详解】（1）因为平面，且平面，所以． 又因为四边形为矩形，所以． 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以． 故异面直线与所成的角为． （2）连接交于点，在中，为中点，为中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为点在线段上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离（或者视为定值）． 即． 在中，． 点到平面（即底面）的距离，所以． 所以． 故三棱锥的体积为． 5.如图，在正四棱柱中，底面边长为2，到平面的距离为. (1)求正四棱柱的高： (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，, 故，，. 设平面的一个法向量为， 则， 可取. 设到平面的距离为， 则， 解得. 故正四棱柱的高为. （2）由(1)可知，， 故，. 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型2 直线与平面所成的角 ①定义法（射影法）——过斜线上一点作平面的垂线找垂足，连接垂足与斜足得射影，再解直角三角形； ②向量法——设直线方向向量、平面法向量，则。 6．（2026·上海静安·二模）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 【答案】 【详解】设的中点为，在底面的投影为，如图， 由对称性可知在上， 就是与底面所成角， 又 ，， 又是等腰直角三角形，， ，， ． 7．（25-26高三下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. (1)求证：平面平面PAC： (2)若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 【详解】（1）在四棱锥中，底面为菱形，所以， 又因为底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2）设，底面为菱形，， 因此菱形面积，四棱锥体积​， 由题可知​​，得，即. 由于，则为中点，故. 连接，又由于是的中点，则 ，， 从而底面，即， 又，从而平面，可知与平面所成角为. ，由于 ， 故与平面所成角的大小为. 8．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）如图，已知直三棱柱所有棱长均为2，过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点.    (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求证：，并求四面体的体积. 【详解】（1）在直三棱柱中，侧棱底面， 所以是在底面内的射影， 所以就是直线与平面所成的角. 因为点为中点，所以，又， 所以在，， 所以直线与平面所成的角的大小为； （2）设点到平面的距离为， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 因为平面，平面，所以平面， 所以点和点到平面的距离相等，均为. 又因为直三棱柱的所有棱长均为2，点为中点，侧棱底面， 所以 . 9．（2025·上海静安·一模）已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．    (1)证明：平面； (2)若2，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】(1)因为，，则，可得， 且平面， 平面，所以平面. （2）方法一：以 为坐标原点，以 ， ，所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：    则， 可得， 设平面的法向量为 ，则， 令，则，，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值是． 方法二：由题意可知：，，， 则， ， 设点 到平面的距离为 ， 因为三棱锥的体积即为三棱锥 -的体积， 则，解得， 设直线与平面所成角为 ，则， 所以直线与平面所成角的正弦值． 10．（25-26高三下·上海浦东新·期中）如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 【详解】(1)因为平面平面，为等边三角形，取中点，连接， 则，又平面，平面平面， 由面面垂直的性质得平面， 平面，因此.又， 平面，故平面. 又因为，所以平面，得证. （2） 连接，因为是边长为​的等边三角形， 所以. 由线面角定义可知，与平面所成角为​， 在中，​，得​​. 设，则，​​， 代入得，解得，即. 因为平面，平面，， 故平面平面，且为等边三角形， 则到平面的距离等于到的距离， ​​所以， 因此体积​. 题型3 二面角（上海卷绝对核心） 求法：①定义法；②三垂线法；③垂面法（作与棱垂直的平面截二面角）；④射影面积法；⑤向量法（先取绝对值，再判锐钝）。 与面面角区分：新教材中”平面与平面的夹角”指两平面所成角中的锐角（或直角），范围，；二面角是图形，范围。审题时注意”二面角……的余弦值”与”平面与平面的夹角”设问的差别。 11．（2026·上海·二模）在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 【答案】 【详解】法一：在正四棱台中，， 因为，，所以为异面直线与所成的角， 即，过点作平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示： 由正四棱台性质可知，点在线段上，， 所以，，， 由二面角定义可知即为二面角的平面角， 而，故. 法二：如图，作出符合题意的图形，作下底面中心，上底面中心， 以为原点，建立空间直角坐标系，设正四棱台的高为， 由题意得，，则，， ，，则，， 因为异面直线与所成角为， 所以，解得， 由题意得面的法向量为， 则，，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 得到，由图可知，是锐角，则， 由已知得，由同角三角函数的基本关系得， 故. 12．（2026·上海虹口·三模）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为4．    (1)求正四棱柱的侧面积；并求二面角的余弦值； (2)若棱上的点满足，点是线段（含端点和）上的动点，求证：恒成立． 【详解】（1）四棱柱为正四棱柱，四棱柱的四个侧面为全等的矩形； 正四棱柱的底面边长为2，高为4， ，即正四棱柱的侧面积为32. 连接，交于点，连接，；   四棱柱为正四棱柱，四边形是正方形，四个侧面为全等的矩形. 是的中点. 由，，得； ； 四边形是正方形，； 是二面角的平面角. 由，，得，，； 在中，； 二面角的余弦值为. （2）四棱柱为正四棱柱，，，两两垂直；以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.    则，，，，，， ，； ，点是线段（含端点和）上的动点，，，得，； ，； ； ； 恒成立 13．（2026·上海·三模）在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【详解】(1)取的中点，连接. 因为为的中点，所以，且. 又因为，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2）分别取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在等腰梯形中，过点作于点. 因为，所以， 又，所以. 以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于的直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 则，设平面的法向量为， 则，即，取，得， 易知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则， 所以二面角的大小为. 14．（2026·上海长宁·二模）如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以， 则圆锥的高， 则圆锥的体积； （2）因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，则与平面所成角为，所以， 又因为，所以，取的中点，连结，， 因为，， 所以，，为二面角的平面角, 因为，， 所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 15．（25-26高三上·上海·期中）如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，为棱中点.为棱上一点. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求的长度. 【详解】(1)为棱中点，为正三角形， . 又三棱柱是直三棱柱， 面，又面， ， 而，，平面， 面， 面，∴面面； （2）方法一：由（1）得面，，面， ，， 是二面角的平面角，由图易知为锐角， 设，在中，，，， 由余弦定理得， 则，所以； 方法二：以为原点，建立直角坐标系如图： 则，，，，， ，，， 设平面、平面的法向量分别为，， ，可以是， ，可以是， 二面角的余弦值为， ，解得或， 由于二面角为锐角，所以，故. 题型4 点到平面的距离 ①等体积法（换顶点、换底面）； ②向量法，其中为平面内任一点，为平面法向量。 16．（25-26高三上·上海·开学考试）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为___________.    【答案】 【详解】如图所示，作中点为，连接，因为，所以，    又因为是等腰直角三角形，且，所以， 因为，，是公共边，所以， 所以，所以， ，平面，平面，所以平面. 所以为点P到底面的距离，即. 在中，根据勾股定理，. 因为，，，平面，平面， 所以平面，所以为点到平面的距离， 在等腰直角三角形中，. 故答案为：. 17.如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，则直线到平面的距离为___________．    【答案】 【详解】因为正方体， 所以平面平面， 因为平面平面， 平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 所以点B到平面的距离即为直线到平面的距离， 连接，取中点F，连接EF，如图所示，    则，， ， 所以， 所以， ， 设B到平面的距离为h， 因为， 所以， 即，解得， 所以直线到平面的距离为. 故答案为： 18．（2026·上海·三模）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    【答案】 【详解】连接，由题意可知，， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 点在底面圆上，且点在直径同侧，设， 母线长，为等腰三角形， ， 设边上的高为，则， ， 令，则，开口向下，对称轴为， 当时，面积最大，此时， ，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， 点到平面距离为． 19．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【详解】(1)连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线平面， ∴平面平面，∵平面， ∴平面．    （2）设点到平面的距离为， 因为分别是的中点， 所以， 因为底面， 所以底面，因为底面， 所以， 因为底面为正方形，，分别是的中点 所以，，     因为， 所以， . 20．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 【详解】(1)证明： 因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 题型5 综合大题（证明＋角＋距离） 21．（24-25高三下·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 【详解】(1) 取的中点，连接， ，， ，，且 ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，, ，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面； （2） 连接，，， 由(1)可知，，四边形是平行四边形， ，且， 是异面直线和所成角，即， 设，，，， 是等边三角形，，，即， ，，， 由(1)知，平面，， ， ， 设点到平面的距离为， ，即，即， ，即点到平面的距离为. 22．（24-25高三上·上海·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且AB = 2．    (1)求直线与底面所成角大小； (2)求证：； (3)求点C到侧面的距离； (4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB = 2，． 侧面为菱形，. D为AC的中点，. 点在底面上的投影为AC的中点D，底面. 即为直线与底面所成角， 在中，有，. 即直线与底面所成角为. (2)证明：由（1）知，平面. 平面，故， 又底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，D为AC的中点，， 又，平面，故平面， 平面，故. （3）由（1）（2）知，平面，， 故以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   是以为斜边的等腰直角三角形，，，则. 在中，有， 则，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，则， 则点C到侧面的距离为：. （4）假设存在满足条件的点， 则存在，使得， 则， 由（3）知，平面的一个法向量为， 因为直线与侧面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，又，故， 因此存在满足条件的点，且，即． 23．如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 【详解】(1)因为且， ， 所以， 因此与共面； （2）以点为坐标原点，所成直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量是 则， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 所以平面与平面所成的锐二面角的大小为； （3），， 从而点到平面的距离为， 由可化简得，， 设与平面所成角为， 则， 令，则 ，（当时取等号）， 所以， 因为时，严格增， 所以当时，与平面所成的角取得最大值， 此时，即时， 与平面所成的角取得最大值. 24.如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 【详解】(1) 取中点G，连接， 则，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （i）以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 则． 设平面的法向量为， 则，取，则 设平面的法向量为， 设二面角为， 则 ， 因为为锐角，所以； （ii）由（i）平面的一个法向量为， 点到平面的距离 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________. 【答案】 【详解】 根据，可由题意将所求角转化为将绕旋转所得到的直线与所成的角， 即可将其转移到圆锥中求解，图中直线与重合，圆锥母线为,如下图： 由旋转可转化到， 在正方体中，假设正方体的边长为，则可知 所以，即在圆锥中有，， 由可得， 由等边三角形，可得， 在中，由余弦定理， 从而可得旋转后直线方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为， 所以直线AB与直线所成角的大小为. 故答案为：. 2．如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 3．（2025·上海松江·三模）在正六棱锥中，直线过，，，，，中的两个不同的点，已知与直线所成角最小，则满足条件的直线的条数为______条. 【答案】3 【详解】设点为底面正六边形的中心，连接、，可得是直线与底面所成的角， 由直线与平面所成角的性质，可知是底面内的直线与所成角的最小值， 显然直线即为满足题意的直线， 由正六边形的性质，可知，所以、的所在直线与直线所成角都相等， 综上所述，当与所成角为最小值时，满足条件的直线有、、，共3条. 故答案为：3 4．（24-25高三上·上海金山·阶段检测）在四面体中，，，，则直线与的夹角为_____. 【答案】 【详解】设的中点为，连接，， ，， 在与中，，， ， ，，又为的中点， ，又，且，平面， 平面，又平面，， 所以直线与的夹角为. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）由已知，四边形为正方形，且平面， 所以即四棱锥的高， 所以， 即四棱锥的体积为. （2）根据已知，连接，作图如下. 由（1）知，又为正方形的对角线， 所以， 又，即是等边三角形，所以， 设点到平面的距离为， 则，解得， 即点到平面的距离为. 6．（24-25高三下·上海·开学考试）直三棱柱中，，，. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）在直三棱柱中，， 为异面直线与所成角，，， ，， ，， 平面，平面，，， 故，，， 故异面直线与所成角的大小为. （2） 连接，，， 平面，平面，， ，平面， 平面， 而，则平面， 设点到平面的距离为，由等体积法可得， 则， 解得，故点到平面的距离为. 7．（24-25高三上·上海浦东新·期末）如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． (1)若，求三棱锥的体积； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值． 【详解】（1）依题意，平面，由，得， 所以三棱锥的体积. （2）过点作圆柱的母线，连接， 则，于是四边形为平行四边形，， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 由，得，，， 则，， 由平面，得， 在中，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，，求： (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【详解】(1)因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面，所以点C到平面即直线CD到平面的距离. 方法1：以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量. 所以点C到平面的距离. 方法2：连接交于点，则， 因为平面 所以平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 所以是点C到平面的距离， 因为，所以，即直线CD到平面的距离为. 创新提升 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知椭圆的短轴长为2，分别为左、右焦点，过椭圆上顶点作椭圆所在平面的垂线，在垂线上取点，使得直线与椭圆所在平面所成角为，则空间中的点到平面的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知椭圆的短轴长为2，即， 故椭圆方程为，则， 由题意知平面，则为直线与椭圆所在平面所成角， 即， 在中，，故， 则， 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，则可得， 则点到平面的距离为. 2．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为______． 【答案】 【详解】根据已知条件，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，    设正四棱柱的高为，令，，， 所以，， 因为，所以，即， 整理得，因为棱上至少存在一点使得， 所以关于的方程，至少有一个解， 即，整理得，解得， 因为，所以，所以棱长的最大值为. 故答案为： 3．（2026·上海黄浦·二模）如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且． (1)求证：平面平面； (2)若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小． 【详解】(1)证明如下： 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）解法一：由平面，平面，可知， 又因为是正三角形，所以． 设，由，， 可得，故， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成的角的大小为． 解法二：连接，过作平面，垂足为，连接， 则就是直线与平面所成的角， 取的中点，连接，取的中点，连接， 因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为、分别为、的中点，所以，则， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以平面，且， 因为，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，， 所以， 所以，解得， 又， 故，则， 所以与平面所成的角的大小为． 解法三：设是的中点，连接、、， 因为，，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 点与到平面的距离相等． 由四边形是正方形，、、分别为、、的中点， 故，所以，故，即， 又平面平面，平面，平面平面， 故平面，易知，故到平面的距离也为， 又， 设与平面所成的角为，则，故， 所以与平面所成的角的大小为． 4．（25-26高二上·上海·期中）如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 【详解】（1）以点O为原点，直线OB，分别为y，z轴， 过O于AB垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，，， 设， 则， ，． 当时， ，． 设异面直线与所成的角为，从而， 因此，异面直线与所成的角为； （2）由（1）知，． 易得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为， 则， 由是圆柱底而圆周上与不重合的一动点知，，则， 则，所以，所以， 所以，又，所以， 即锐二面角的范围为． 5．（2026·上海·三模）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点． (1)求证：； (2)求直线CP与平面POD所成角的大小． 【详解】(1)因，点O是AB的中点，则， 因平面平面ABCD，且平面平面，平面PAB， 故平面ABCD，又平面ABCD，故． （2）如图，取CD中点E，连接OE，由（1）知平面ABCD， 因为为的中点，为的中点，，可得， 因，故，则可分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系． 又，，，， 则，，， 于是，，，， 设平面POD的一个法向量为， 则，故可取， 设直线CP与平面POD所成角为，则， 即直线CP与平面POD所成角的大小为． 6．（2026·上海黄浦·三模）如图，三棱锥中，，，，为的中点． (1)证明：； (2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为， 所以为等边三角形，则. 同理，因为， 所以为等边三角形，则，所以. 因为为的中点，所以. 又因为,为的中点，所以. 因为平面， 所以平面, 因为平面， 所以. （2）不妨设由（1）可知. 在中，，， 所以. 因为为的中点，所以，. 在中，， 所以 在中，， 所以. 由（1）知平面，且平面， 所以， 故两两垂直. 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 则 所以,. 因为， 所以 所以. 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为 7．（25-26高三下·上海宝山·期中）如图，在四棱锥中，是边长为1的正方形，平面是的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【详解】(1)如图，连接交于点，可得点是的中点， 因为四边形是边长为1的正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以， 由，平面， 得平面； （2）设（）， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可取， 设直线与平面所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去），即， 故. 8．（2026·上海闵行·二模）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为底面圆的一条直径，且. (1)求异面直线与所成角的大小（用反三角表示）； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）根据题意建立以底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于方向为轴的空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，所以， 所以，， ，， 设异面直线所成角为，则 所以异面直线与所成角为 （2），，， 设平面的法向量为， 则由，，得，令，则， 所以 设点到平面的距离为，则 9．（2026·上海浦东新·三模）如图，平行六面体，点在底面上的投影落在线段上（不含端点）． (1)求证：直线平面； (2)若侧棱与底面所成的角为，求平面与底面所成二面角的大小． 【详解】（1）连接、，作底面于， 由题，底面，又底面，故， 因为四边形为平行四边形，且， 因此四边形为菱形， 平面，平面， 因此，平面; （2）解法一：作于，连接， 由题，底面，即在底面的射影， 所以，即侧棱与底面所成的角， 在直角中，由，知． 设，则由题意可知， 又底面，是底面的斜线，是在底面的射影． 因为，所以（三垂线定理），（注：可用线面垂直证明） 所以即为二面角的平面角 ，又平面平面， 因此，平面与底面所成角为或； 解法二：作于，连接 由题，底面，即在底面的射影， 所以，即侧棱与底面所成的角． 在直角中，由，知． 故为菱形的中心，即此时． 以为坐标原点，分别以、与的方向为、与轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令，则、、 则 设平面的法向量为，则， 从而得到平面的一个法向量为， 又底面的一个法向量为， 从而 所以，平面与底面的二面角是或． 10．（2026·上海·模拟预测）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 【详解】(1)因为，平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以； （2）如图，分别取，的中点，，连接，，则，， 因为是正三角形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，，，， 故，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 则可取， 因为平面， 所以即为平面的一个法向量， 则， 所以二面角的大小为． 11．（2026·上海普陀·二模）如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且. (1)求证：直线平面； (2)求点A到平面的距离. 【详解】(1)如图1，连接， 由正三棱柱的结构特征可知， 在正三棱柱中是正三角形，侧面均为矩形，平面. 因为D是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面平面. 又平面平面，所以平面. 又平面，所以. 因为，所以矩形为正方形，所以， 又，所以， 因为平面，，所以直线平面. （2）方法一：设点A到平面的距离为h， 因为平面，所以到平面的距离相等，都为. 由（1）知，侧面均为正方形，所以，， 又，所以为等腰三角形，所以. 又，即， 所以，解得，即点A到平面的距离为. 方法二：取的中点，连接，由（1）可知两两互相垂直， 所以以D为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 即，所以点A到平面的距离为. 12．（2026·上海浦东新·三模）如图，在圆台中，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，圆台的侧面积为．是圆的一条弦，．是圆台的一条母线． (1)若，证明：； (2)若是圆的直径，求二面角的正切值． 【详解】(1)侧面积（母线长）． 圆台高． 建系：，． 上底面圆方程为（平面）． 下底面圆方程为（平面）． 是圆的弦，，圆半径， 由． 即弦对应的圆心角为． 不妨取，． （此时，，验证正确）． 是圆台母线：母线上、下端点在两底面的对应方位角相同． 即若在圆上方位角为，则在圆上同方位角处， ，． 时，在的垂直平分面上． 中点，垂直平分面为． 在圆上且满足． 取，对应． ，． ，故．证毕． （2）是圆的直径，故与关于对称， ，． 在圆上与同方位：． 平面：三点，，均在平面上（上底面所在平面）， 故平面的法向量（竖直向上）． 平面：设其法向量为． ，． 两式相减：．代入第二式：． 取，得． 二面角的余弦：． ． 13．如图，在正四棱柱中，，，点、、、分别在棱、、、上，，，． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积； (3)点在棱上，当二面角大小为时，求线段的长． 【详解】(1)解：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ，， 又不在同一条直线上，. （2）解：，点到平面的距离为， 故. （3）解：设， 则， 设平面的法向量， 则， 令，得， ， 设平面的法向量，则， 令，得，， ， 化简可得，，解得或， 或，. 14．（2026·上海·三模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，且，，，，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成的角的大小． 【详解】(1)取中点，连接，由为中点，得且， 又，，则且，四边形为平行四边形， 因此，又平面，平面， 所以平面. (2)由为的中点，，，得四边形为平行四边形， 则，而，则，由是等边三角形，得， 又平面，因此平面，而平面. 所以平面平面. （3）在正中，，取中点，连接，则， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，在平面内作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由（2）知，则， ，设平面的法向量为， 则，令，得， 设与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成的角为. 15．如图所示，在四棱锥中，侧面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)求线段PA中点M到平面PCD的距离； (3)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【详解】(1)取的中点，连接，， 为等边三角形，， 又平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，又， ，平面， 所以平面，又平面, 所以； （2）由（1）以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立下图所示空间直角坐标系， 是边长为2的等边三角形，， ，则，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，即，令，则， 又， 到平面的距离． （3）假设线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 则， ，， 设平面的法向量为， ，，， ， 令，则， 又平面的法向量为， ， 化简得，解得或，又，，（舍去）， 存在点，此时． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 空间角和距离的求法 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 异面直线所成的角 2 题型2 直线与平面所成的角 4 题型3 二面角（上海卷绝对核心） 6 题型4 点到平面的距离 8 题型5 综合大题（证明＋角＋距离） 9 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 14 解题方法及技巧提炼 通法一：平移法——求异面直线所成的角 步骤：选点平移（常取中点，用中位线）→ 构造三角形 → 解三角形（余弦定理或勾股）。 技巧：平行四边形对边平移；补形（补成长方体、正方体）让平移更直观。 提醒：异面直线角只取锐角或直角。 通法二：射影法（定义法）——求线面角 步骤：过斜线上一点作平面的垂线（关键是找垂足）→ 连接垂足与斜足，得射影 → 解直角三角形。 技巧：垂足常借助”面面垂直性质”定位；线面角正弦值 = 垂线段长 ÷ 斜线段长。 通法三：三垂线法——求二面角 步骤：面内取点作面于 → 过作棱于 → 连接，由三垂线定理，即平面角。 本质：把一个二面角翻译成直角三角形（、、构成）。 通法四：向量坐标法（最通用，必须掌握） 口诀：“一建系、二求向量、三代公式”。 建系三原则：①找两两垂直且共点的三条直线作轴；②让尽量多的点落在坐标轴上；③利用对称性简化坐标。 求法向量小技巧：平面内取两个不共线向量，叉乘（行列式）得法向量；求出后回代检验、。 通法五：等体积法——求点到平面的距离 适用：体积和某个面的面积易求时。 步骤：选四面体换顶点 → 用两种方式表示体积 → 。 通法六：射影面积法——求二面角 若二面角的一个半平面在另一个半平面内的射影面积为，原面积为，则。 适用：射影图形面积易求时（如等腰三角形、直角三角形背景）。 所求对象 首选几何法 首选向量法 考场建议 异面直线所成角 平移＋余弦定理 小题几何法快，大题向量法稳 线面角 找射影解直角三角形 优先向量法，谨记是sin不是cos 二面角 定义法/三垂线/射影面积 向量法＋锐钝判断 点面距 等体积法 两法都会，互为检验 线面距/面面距 化归为点面距 化归为点面距 先证平行再转化 题型通法及变式提升 题型1 异面直线所成的角 ①平移法——平移其中一条（常用中点、平行四边形对边），构造三角形，用余弦定理； ②向量法——。 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    2．（2025·上海奉贤·一模）在正四棱台中，异面直线与所成角的大小为______． 3．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． (1)求异面直线与直线所成角． (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 5.如图，在正四棱柱中，底面边长为2，到平面的距离为. (1)求正四棱柱的高： (2)求异面直线与所成角的余弦值. 题型2 直线与平面所成的角 ①定义法（射影法）——过斜线上一点作平面的垂线找垂足，连接垂足与斜足得射影，再解直角三角形； ②向量法——设直线方向向量、平面法向量，则。 6．（2026·上海静安·二模）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 7．（25-26高三下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. (1)求证：平面平面PAC： (2)若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 8．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）如图，已知直三棱柱所有棱长均为2，过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点.    (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求证：，并求四面体的体积. 9．（2025·上海静安·一模）已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．    (1)证明：平面； (2)若2，求直线与平面所成角的正弦值． 10．（25-26高三下·上海浦东新·期中）如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 题型3 二面角（上海卷绝对核心） 求法：①定义法；②三垂线法；③垂面法（作与棱垂直的平面截二面角）；④射影面积法；⑤向量法（先取绝对值，再判锐钝）。 与面面角区分：新教材中”平面与平面的夹角”指两平面所成角中的锐角（或直角），范围，；二面角是图形，范围。审题时注意”二面角……的余弦值”与”平面与平面的夹角”设问的差别。 11．（2026·上海·二模）在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 12．（2026·上海虹口·三模）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为4．    (1)求正四棱柱的侧面积；并求二面角的余弦值； (2)若棱上的点满足，点是线段（含端点和）上的动点，求证：恒成立． 13．（2026·上海·三模）在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 14．（2026·上海长宁·二模）如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 15．（25-26高三上·上海·期中）如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，为棱中点.为棱上一点. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求的长度. 题型4 点到平面的距离 ①等体积法（换顶点、换底面）； ②向量法，其中为平面内任一点，为平面法向量。 16．（25-26高三上·上海·开学考试）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为___________.    17.如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，则直线到平面的距离为___________．    18．（2026·上海·三模）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    19．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 20．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 题型5 综合大题（证明＋角＋距离） 21．（24-25高三下·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 22．（24-25高三上·上海·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且AB = 2．    (1)求直线与底面所成角大小； (2)求证：； (3)求点C到侧面的距离； (4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 23．如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 24.如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________. 2．如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 3．（2025·上海松江·三模）在正六棱锥中，直线过，，，，，中的两个不同的点，已知与直线所成角最小，则满足条件的直线的条数为______条. 4．（24-25高三上·上海金山·阶段检测）在四面体中，，，，则直线与的夹角为_____. 5．（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 6．（24-25高三下·上海·开学考试）直三棱柱中，，，. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 7．（24-25高三上·上海浦东新·期末）如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． (1)若，求三棱锥的体积； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值． 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，，求： (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 创新提升 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知椭圆的短轴长为2，分别为左、右焦点，过椭圆上顶点作椭圆所在平面的垂线，在垂线上取点，使得直线与椭圆所在平面所成角为，则空间中的点到平面的距离为（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为______． 3．（2026·上海黄浦·二模）如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且． (1)求证：平面平面； (2)若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小． 4．（25-26高二上·上海·期中）如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 5．（2026·上海·三模）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点． (1)求证：； (2)求直线CP与平面POD所成角的大小． 6．（2026·上海黄浦·三模）如图，三棱锥中，，，，为的中点． (1)证明：； (2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 7．（25-26高三下·上海宝山·期中）如图，在四棱锥中，是边长为1的正方形，平面是的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 8．（2026·上海闵行·二模）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为底面圆的一条直径，且. (1)求异面直线与所成角的大小（用反三角表示）； (2)求点到平面的距离. 9．（2026·上海浦东新·三模）如图，平行六面体，点在底面上的投影落在线段上（不含端点）． (1)求证：直线平面； (2)若侧棱与底面所成的角为，求平面与底面所成二面角的大小． 10．（2026·上海·模拟预测）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 11．（2026·上海普陀·二模）如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且. (1)求证：直线平面； (2)求点A到平面的距离. 12．（2026·上海浦东新·三模）如图，在圆台中，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，圆台的侧面积为．是圆的一条弦，．是圆台的一条母线． (1)若，证明：； (2)若是圆的直径，求二面角的正切值． 13．如图，在正四棱柱中，，，点、、、分别在棱、、、上，，，． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积； (3)点在棱上，当二面角大小为时，求线段的长． 14．（2026·上海·三模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，且，，，，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成的角的大小． 15．如图所示，在四棱锥中，侧面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)求线段PA中点M到平面PCD的距离； (3)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $