空间向量与立体几何：证明面面垂直、补全面面垂直的条件 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦面面垂直证明与条件补充，通过多样化几何体典例构建“证明-补充”双向训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明面面垂直|6题（例1-3、变式1-3）|证明题：通过线面垂直转化，涉及圆锥、四棱锥、折叠体等多几何体|从线面垂直判定切入，结合空间向量与几何推理，构建“线⊥面→面⊥面”证明路径| |补全面面垂直的条件|6题（例1-3、变式1-3）|条件补充题：逆向应用判定定理，需确定动点位置或参数值|基于已知条件反推线面垂直所需要素，形成“面⊥面←线⊥面”条件探究逻辑链|

2027届高三数学一轮复习专项训练 空间向量与立体几何：证明面面垂直、补全面面垂直的条件专项训练 考点目录 证明面面垂直 补全面面垂直的条件 考点一 证明面面垂直 例1．（2026·广东佛山·模拟预测）在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． (1)求证：平面平面； (2)当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：由题意得：平面，面， 则． 又，，面，面， 故面，面， 故． 又，，面，面， 故面． 又面， 故面面. (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，再由判定定理可得面，从而得，结合，可得面，由面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系，设，由，可得，由三点共线及，可得．再由异面直线与夹角的余弦值为，求得，取，求出两平面与平面的法向量，即可得答案. 【详解】（1）略； （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系： 因为圆锥的高为3．母线长为5， 所以底面半径, 由题意，，，，． 设， 则，， 又，即， 即， 又， 设， ， 又， 代入坐标得：， 解得：． 故． 又， ，． 设异面直线与夹角为， 则， 解得． 由对称性，结合， 不妨取， 此时，，． 设面的法向量， 则， 不妨令，则． 同理，设面的法向量， 则． 设平面与平面夹角为， ． 例2．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为底面是正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. (2) 【分析】（1）由题意有，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，构建合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由题意，正方形的边长为，则， 在中，，， 因为，所以， 在中，设为与的交点，则， 所以，故是等边三角形，， 由（1）知平面平面，且交线为，过作于， 而平面，则平面 ， 在中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立如图空间直角坐标系， 所以，，，，， 因为在上，且，所以， 因为底面且，可得， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 例3．（25-26高三上·四川宜宾·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)求二面角的大小； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明：设的中点为N，的中点为M， 连结、、． ，．① ，且平面平面，平面平面，平面， 平面． 又平面， ．② 又平面，且， 由①、②知平面． 由，，得四边形为平行四边形， ， 平面， 又平面， ∴平面平面． 【分析】（1）根据二面角平面角的概念明确二面角的平面角，再利用三角形的边角关系求角. （2）根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1），且平面平面，平面平面，平面， 平面． 平面， ，又， 为二面角的平面角． 是等边三角形， ，即二面角的大小为． （2）略 变式1．（2026·广东汕头·三模）已知菱形ABCD中，，，E为AD中点，如图一所示，现将沿着BE按顺时针方向旋转折叠，使得点A到达点P，如图二所示． (1)当时，证明：平面平面PBE； (2)当三棱锥的体积第二次达到时，求平面PDE与平面PCD所成角的余弦值． 【答案】(1)在菱形ABCD中，由，得是正三角形， 由E为AD中点，得， 在图二中，， 由，得， 又，BE，平面PBE，因此平面PBE， 由，得平面PBE， 又平面PBC，所以平面平面PBE． (2) 【分析】（1）求出是正三角形，由E为AD中点得到，利用勾股定理的逆定理得到，利用线面垂直的判定定理得到平面PBE，利用线面垂直的性质定理得到平面PBE，利用面面垂直的判定定理得到结论. （2）设到底面的距离为，利用三棱锥的体积公式求出．利用线面垂直的判定定理得平面，利用面面垂直的判定定理得到平面平面PED，利用面面垂直的性质定理得到平面BEDC，从而得到，求出，得到为正三角形.解法1：利用空间向量法求解，求出平面的法向量，求出平面PCD的法向量，利用向量的数量积求出平面与平面PCD所成角的余弦值．解法2：过C作交的延长线于，得到，由平面得平面，利用线面垂直的定义得到，过作交的延长线于，连接CG，又，利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到，从而平面与平面PCD所成角为，利用勾股定理求出，求出，得到，在，，中，利用勾股定理分别求出，，，在中，求出，代入数值得到平面PDE与平面PCD所成角的余弦值． 【详解】（1）略. （2）设到底面的距离为， 三棱锥的体积，解得． 由，，，得平面PDE， 又平面BEDC，所以平面平面PED， 又两平面交线为，过点P作，则平面BEDC； 则， 则，所以为正三角形， 解法1：作，则平面PDE，直线Ox，OD，OP两两垂直， 以O为原点，直线Ox，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 取平面的法向量， 设平面PCD的法向量为，则， 取，得， 所以平面与平面PCD所成角的余弦值为． 解法2：过C作交的延长线于，则， 由平面PDE得平面PDE，又平面，则， 过作交的延长线于，连接CG， 又，平面，平面， 又平面，可得， 因为三棱锥的体积第二次达到， 则平面PDE与平面PCD所成角为， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，， 所以，所以， 所以， 在中，， 在中， 在中，， ， 在中，， 故平面PDE与平面PCD所成角的余弦值为． 变式2．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，. (1)求证：平面平面PAD． (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)∵为的中点，，， ∴，且，∴四边形是平行四边形，∴， ∵底面为直角梯形，，，∴． 又，平面， ∴平面．∵平面，∴平面平面． (2). 【分析】（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证； （2）借助题设运用空间向量的数量积公式求解． 【详解】（1）略 （2）∵，平面底面，平面底面，平面， ∴底面， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 即， ∴，，，∴， ，， 设平面的法向量，则， 取，得，平面的法向量． 设二面角的平面角为，则. 变式3．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，，，，，E是CD的中点． (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成的角的正弦值为，求四棱锥外接球的直径. 【答案】(1)因为，是的中点，所以． 平面，平面， 所以． 是平面内的两条相交直线，所以平面． 平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再应用面面垂直判定定理证明； （2）先建系，再设点应用线面角正弦值得出，最后应用球的性质计算求解直径. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设， 则相关各点的坐标为：，，，，． ，由（1）知，平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则，解得， 取中点为四边形的中心， 取中点，，所以平面，，为球心， 所以直径； 考点二 补全面面垂直的条件 例1．（25-26高二上·海南·期中）如图，三棱柱中，，底面，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，是棱上的动点. (1)当为何值时，平面平面? (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，设，求出两相关平面的法向量，由求出z即可求解； （2）求出两相关平面的法向量，由. 【详解】（1）因为底面，底面， 所以，又即， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 由题， 则， 设，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则，，则，， 取，则， 若平面平面，则， 此时，即G为线段的中点， 所以当时，平面平面； （2）由（1）平面的一个法向量为，且， 设为平面的一个法向量，则， 所以，取，则， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 例2．（2025·安徽·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，，． (1)在线段上找一点，使平面平面，求的长； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点为，连接，可得，又可得，进而可得平面，可得平面平面，可求得的长； （2）取中点为，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面，， 因为平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 此时. （2）取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点， 、所在直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 例3．（2026·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 当点为中点时，平面平面， 证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以. 在正方形中，，所以， 在正方形中，，因为，所以， 因为面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）当点为中点时，平面平面，依题意可得，从而得到，再由，即可证明平面，从而得证； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可. 【详解】（1）略 （2）因为四棱锥是正四棱锥且所有棱长均为，设， 则，，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 设，则，因为，， 所以，则，解得，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 取，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变式1．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）. (1)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点F，N分别是PB，BC的中点时，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）根据题意，先证明平面，再证明平面，再利用面面垂直的性质定理作，得平面，再计算求解即可； （2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式，得到结论． 【详解】（1）存在，； 理由如下：由，，，平面， 所以平面，又平面， 故，又，平面，故平面， 又平面,故平面平面，又平面平面， 平面，作，则平面，又平面， 故平面平面，由题意，不妨设， 则中，由等面积得，所以， 则，所以. （2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由（1），， , ， ，, 设平面的法向量为， 由，取， 易知平面PDE的法向量为， 设平面和平面的夹角为,故. 变式2．（2026·陕西安康·模拟预测）如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)点M为棱的中点. 【分析】（1）证明，结合可得平面，即得证. （2）取的中点，的中点，连接交于点，连接，，证得平面，可得当点M为棱的中点时，平面. 【详解】（1）在直四棱柱中，平面，平面，则， 而，且平面，于是平面，而平面， 所以． （2）当点M为棱的中点时，平面平面． 如图，取的中点，的中点，连接交于点，连接，， 显然，则O是的中点，由N是DC的中点，，得， 在直四棱柱中，平面，平面， 于是平面平面，而平面平面，平面， 则平面，当点M为棱的中点时，，且， 因此是平行四边形，即，有平面，又平面，则平面平面， 所以点M为棱的中点时，有平面平面. 变式3．（2026·安徽淮北·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，． (1)求证：面面ABCD； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点Q，. 【分析】（1）结合余弦定理，勾股定理可得，又，所以面PAB，进而得出结论； （2）建立以A为原点的空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量，设，求得平面BEQF的法向量，由得出答案. 【详解】（1）在中，因为，， 所以，， 所以，则，即， 又，，面PAB， 所以面PAB，又面ABCD， 所以面面ABCD； （2）假设存在点Q，使得平面平面PAD； 如图，以A为原点，分别以，为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，，， 设是平面PAD的法向量，则，取， 设，其中． 则 连接EF，因平面BEQF，平面PAC，平面平面，故， 取与同向的单位向量， 设是平面BEQF的法向量， 则，取． 由平面平面PAD，知，有，解得． 故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面平面PAD． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 空间向量与立体几何：证明面面垂直、补全面面垂直的条件专项训练 考点目录 证明面面垂直 补全面面垂直的条件 考点一 证明面面垂直 例1．（2026·广东佛山·模拟预测）在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． (1)求证：平面平面； (2)当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 例2．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 例3．（25-26高三上·四川宜宾·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)求二面角的大小； (2)求证：平面平面． 变式1．（2026·广东汕头·三模）已知菱形ABCD中，，，E为AD中点，如图一所示，现将沿着BE按顺时针方向旋转折叠，使得点A到达点P，如图二所示． (1)当时，证明：平面平面PBE； (2)当三棱锥的体积第二次达到时，求平面PDE与平面PCD所成角的余弦值． 变式2．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，. (1)求证：平面平面PAD． (2)若，求二面角的余弦值. 变式3．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，，，，，E是CD的中点． (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成的角的正弦值为，求四棱锥外接球的直径. 考点二 补全面面垂直的条件 例1．（25-26高二上·海南·期中）如图，三棱柱中，，底面，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，是棱上的动点. (1)当为何值时，平面平面? (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 例2．（2025·安徽·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，，． (1)在线段上找一点，使平面平面，求的长； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 例3．（2026·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 变式1．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）. (1)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点F，N分别是PB，BC的中点时，求平面和平面的夹角的余弦值. 变式2．（2026·陕西安康·模拟预测）如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 变式3．（2026·安徽淮北·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，． (1)求证：面面ABCD； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $