重难点专训01 平面向量与几何图形综合应用七大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法-题型-分层”三维架构系统整合平面向量与几何图形综合应用，提炼6大通法，覆盖7类核心题型，实现从基础运算到复杂几何问题的递进突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|6种通法|系统归纳基底法、坐标法、数量积投影法等，明确原理、步骤与适用场景|从平面向量基本定理到坐标化思想，再到极化恒等式等高级技巧，构建方法体系| |题型通法及变式提升|7类33题|针对线性运算、数量积、共线垂直等题型，提炼通法与变式处理策略|从单一几何图形（三角形、平行四边形）到综合应用（三角形“四心”、圆），形成问题解决链| |重难专题分层过关练|11题（巩固4+创新7）|通过基础巩固与创新情境题，强化方法迁移与综合应用|结合上海模考题，覆盖高频考点，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养|

重难点专训01 平面向量与几何图形综合应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 向量线性运算与几何图形 3 题型2 数量积与几何度量 4 题型3 向量共线与三点共线 5 题型4 向量垂直与几何图形判定 6 题型5 向量模长与最值问题 7 题型6 向量与三角形"四心" 7 题型7 向量与圆（极化恒等式·圆幂） 8 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 9 解题方法及技巧提炼 通法一 基底法（线性表示法） ★ 方法原理 根据平面向量基本定理，选取两个不共线向量作为基底，将目标向量用基底线性表示，再进行运算。 核心步骤：① 选基底 → ② 表示目标向量 → ③ 利用基底间的数量积关系计算。 【适用场景】图形中存在明显的不共线向量（如三角形两边、平行四边形邻边），且基底间的夹角和模长已知或易求。 通法二 坐标法（建系法） ★ 方法原理 建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，将向量运算转化为代数运算。 核心步骤：① 建立坐标系（尽量利用图形的对称性和垂直关系）→ ② 写出各点坐标 → ③ 向量坐标化 → ④ 代数计算。 【适用场景】图形中存在直角、对称中心、规则多边形（矩形、正方形、正三角形），或涉及动点轨迹、最值问题。 通法三 数量积投影法 ★ 方法原理 利用数量积的几何意义：a·b = |a| × (b在a方向上的投影)。当一个向量的模和方向固定时，数量积的变化由另一个向量的投影决定。 核心公式： 【适用场景】一个向量固定（模和方向已知），另一个向量在某条直线或曲线上运动，求数量积的最值或范围。 通法四 几何意义法 ★ 方法原理 充分利用向量运算的几何意义（加法的平行四边形法则、减法的三角形法则、数乘的伸缩、数量积的投影），通过几何图形直接求解。 关键转化：|a+b| 和 |a−b| 对应平行四边形的两条对角线；|a−b| 对应两点间距离。 【适用场景】题目条件具有明显的几何特征（如模长关系对应三角形形状、向量和差对应对角线），可通过构造几何图形简化计算。 通法五 极化恒等式法 ★ 极化恒等式 向量形式：在 △ABC 中，若 M 为 BC 中点，则 【适用场景】涉及两个共起点向量的数量积，且这两个向量终点连线的中点已知或易求。极化恒等式将数量积转化为"中线长平方 − 半底边长平方"，在圆和三角形中极为高效。 通法六 等和线与奔驰定理法 ★ 等和线定理 已知平面内一组基底 OA, OB 及任一向量 OP，若 当点 P 在直线 AB 上时，λ + μ = 1； 当点 P 在与 AB 平行的直线 l 上时，λ + μ = k（定值），直线 l 称为等和线。 特别地：过原点 O 的等和线 λ + μ = 0；与 AB 关于 O 对称的等和线 λ + μ = −1。 ★ 奔驰定理 已知 O 为 △ABC 内一点，记 △BOC、△COA、△AOB 的面积分别为 S、、，则 【适用场景】等和线适用于"向量分解系数和"的最值问题；奔驰定理适用于三角形内点与面积比相关的问题。 题型通法及变式提升 题型1 向量线性运算与几何图形 1. 三角形法则：加法"首尾相接"，减法"同起点，指向被减"。 2. 中点公式：D 为 BC 中点 ⟺ 3. 重心性质：G 为重心 ⟺ 4. 系数观察：若 ，则 λ + μ = 1 ⟺ P 在 BC 上。 1．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示 3．（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 题型2 数量积与几何度量 4．如图，在平行四边形中， ，，， 是对角线的交点，点、满足．则的值为________． 5．（25-26高三下·上海宝山·期中）如图，平行四边形中，是的中点，是的三等分点，若，则__________. 6．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 7．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 8．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为________．    9．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）球是一个半径为1的球，其大圆上有一个内接正二十四边形是球面上一点，是正二十四边形边上一点，均不与重合，记，则的取值范围是__________. 题型3 向量共线与三点共线 1. 向量共线：a ∥ b ⟺ 存在 λ 使 b = λa（a ≠ 0）。 2. 坐标形式：(x₁,y₁) ∥ (x₂,y₂) ⟺ x₁y₂ − x₂y₁ = 0。 3. 三点共线：A、B、C 共线 ⟺ AB ∥ AC ⟺ 存在 λ 使 OC = (1−λ)OA + λOB。 4. 系数特征：若 OP = λOA + μOB，则 P 在 AB 上 ⟺ λ + μ = 1。 10.若三点不能构成三角形，则______. 11．在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时______． 12．（24-25高三下·上海·阶段检测）在中，在边上（与不重合），延长到，使得，若（为常数），则的长度是________． 13.如图所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则的最大值为__ . 14．在 中，点 、 、 分别在直线 、 、 上，设，，，其中 、 、 为实数，则 、 、 三点共线的充要条件是（    ）    A． B． C． D． 题型4 向量垂直与几何图形判定 1. 垂直判定：a ⊥ b ⟺ a·b = 0。 2. 坐标形式：(x₁,y₁) ⊥ (x₂,y₂) ⟺ x₁x₂ + y₁y₂ = 0。 3. 直角三角形判定：△ABC 中，∠C = 90° ⟺ CA·CB = 0。 4. 菱形判定：平行四边形 ABCD 为菱形 ⟺ |AB| = |AD| ⟺ (AB+AD)·(AB−AD) = 0。 5. 矩形判定：平行四边形 ABCD 为矩形 ⟺ AB ⊥ AD ⟺ AB·AD = 0。 15.在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 16．在中，向量与向量垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）    A． B． C． D． 18.在中，角所对的边分别为，已知：，且，求角__________. 题型5 向量模长与最值问题 1. 模长平方：|a ± b|² = |a|² + |b|² ± 2a·b。 2. 三角不等式：||a| − |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|。 3. 坐标法求最值：将模长表示为坐标的函数，用代数方法求最值。 4. 几何意义：|a − b| 表示两点间距离；|a + b| 可构造平行四边形对角线。 19.已知，，则（）的最小值为（     ） A． B． C． D．无最小值 20．（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 21．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 22．（2026·上海浦东新·三模）已知平面向量，满足，则的最小值是______________． 题型6 向量与三角形"四心" 设 O 为 △ABC 所在平面内一点： 1. 重心 G：GA + GB + GC = 0；OG = (OA + OB + OC)/3。 2. 外心 O：|OA| = |OB| = |OC|；(OA+OB)·AB = 0。 3. 垂心 H：HA·HB = HB·HC = HC·HA；OA·BC = OB·CA = OC·AB。 4. 内心 I：a·IA + b·IB + c·IC = 0（a,b,c为三边长）。 23.O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 24．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 25．已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型7 向量与圆（极化恒等式·圆幂） 1. 圆上向量数量积：若 A、B 为定点，P 在圆上，取 AB 中点 M，则 PA·PB = |PM|² − |MA|²。 2. 圆幂定理：过圆外一点 P 作割线 PAB，则 PA·PB = PO² − r²（数量积形式需注意方向）。 3. 直径性质：AB 为直径 ⟺ 对圆上任意点 P，PA·PB = |PO|² − r² = 0（当 O 为 AB 中点且 P 在圆上时）。 4. 切线性质：PT 为切线 ⟺ PT ⊥ OT ⟺ PT·OT = 0。 26．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 27．（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为________ 28．（25-26高三上·上海·期中），若平面向量满足，则的最大值为_____. 29．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知平面内的三个非零向量，满足： ， ， ，则当 取得最大值时， ______. 30．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量满足，则的最小值为__________. 31．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时，______________. 32．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是___________. 33．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）已知，（,2,3）均为实数，且满足 ，，， ，且 的最大值是_____ 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则___________． 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆），已知为球的直径，点，N在球面上，且是等边三角形，若球体积的大小与表面积的大小相同，且，则，两点的球面距离为__________． 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 4．（2025·上海普陀·一模）设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是___________． 创新提升 1.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.    2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知平面上两点，距离为2，为平面上任一点，动点均满足，则的最大值是_______. 3．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为______. 4．（25-26高三上·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、，若，，则的取值范围是______. 5．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 6．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值为__________. 7．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，正三角形ABC边长为2，若正三角形ABC所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是_____________. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 平面向量与几何图形综合应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 向量线性运算与几何图形 3 题型2 数量积与几何度量 5 题型3 向量共线与三点共线 9 题型4 向量垂直与几何图形判定 13 题型5 向量模长与最值问题 15 题型6 向量与三角形"四心" 18 题型7 向量与圆（极化恒等式·圆幂） 20 重难专题分层过关练 26 巩固过关 26 创新提升 29 解题方法及技巧提炼 通法一 基底法（线性表示法） ★ 方法原理 根据平面向量基本定理，选取两个不共线向量作为基底，将目标向量用基底线性表示，再进行运算。 核心步骤：① 选基底 → ② 表示目标向量 → ③ 利用基底间的数量积关系计算。 【适用场景】图形中存在明显的不共线向量（如三角形两边、平行四边形邻边），且基底间的夹角和模长已知或易求。 通法二 坐标法（建系法） ★ 方法原理 建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，将向量运算转化为代数运算。 核心步骤：① 建立坐标系（尽量利用图形的对称性和垂直关系）→ ② 写出各点坐标 → ③ 向量坐标化 → ④ 代数计算。 【适用场景】图形中存在直角、对称中心、规则多边形（矩形、正方形、正三角形），或涉及动点轨迹、最值问题。 通法三 数量积投影法 ★ 方法原理 利用数量积的几何意义：a·b = |a| × (b在a方向上的投影)。当一个向量的模和方向固定时，数量积的变化由另一个向量的投影决定。 核心公式： 【适用场景】一个向量固定（模和方向已知），另一个向量在某条直线或曲线上运动，求数量积的最值或范围。 通法四 几何意义法 ★ 方法原理 充分利用向量运算的几何意义（加法的平行四边形法则、减法的三角形法则、数乘的伸缩、数量积的投影），通过几何图形直接求解。 关键转化：|a+b| 和 |a−b| 对应平行四边形的两条对角线；|a−b| 对应两点间距离。 【适用场景】题目条件具有明显的几何特征（如模长关系对应三角形形状、向量和差对应对角线），可通过构造几何图形简化计算。 通法五 极化恒等式法 ★ 极化恒等式 向量形式：在 △ABC 中，若 M 为 BC 中点，则 【适用场景】涉及两个共起点向量的数量积，且这两个向量终点连线的中点已知或易求。极化恒等式将数量积转化为"中线长平方 − 半底边长平方"，在圆和三角形中极为高效。 通法六 等和线与奔驰定理法 ★ 等和线定理 已知平面内一组基底 OA, OB 及任一向量 OP，若 当点 P 在直线 AB 上时，λ + μ = 1； 当点 P 在与 AB 平行的直线 l 上时，λ + μ = k（定值），直线 l 称为等和线。 特别地：过原点 O 的等和线 λ + μ = 0；与 AB 关于 O 对称的等和线 λ + μ = −1。 ★ 奔驰定理 已知 O 为 △ABC 内一点，记 △BOC、△COA、△AOB 的面积分别为 S、、，则 【适用场景】等和线适用于"向量分解系数和"的最值问题；奔驰定理适用于三角形内点与面积比相关的问题。 题型通法及变式提升 题型1 向量线性运算与几何图形 1. 三角形法则：加法"首尾相接"，减法"同起点，指向被减"。 2. 中点公式：D 为 BC 中点 ⟺ 3. 重心性质：G 为重心 ⟺ 4. 系数观察：若 ，则 λ + μ = 1 ⟺ P 在 BC 上。 1．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由向量三角形加法法则可知，在中，， 在中，，又为的中点，为的中点， 所以，，因此， 又因为，所以. 2.如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示 【答案】 【详解】设为线段的中点，则也为线段的中点， 则， 所以. 3．（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 题型2 数量积与几何度量 4．如图，在平行四边形中， ，，， 是对角线的交点，点、满足．则的值为________． 【答案】 【详解】设，，由题意得，，， 由平面向量数量积公式，则. ∵四边形是平行四边形，是对角线的交点， ∴，，. 由，则. 由，则， ∴， ∴. 5．（25-26高三下·上海宝山·期中）如图，平行四边形中，是的中点，是的三等分点，若，则__________. 【答案】 【详解】， ， 所以 ，又， 所以，解得， 所以，所以. 6．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 7．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【详解】由题意，， . 设，因为为内角，所以， 所以当时，有最小值. 所以，所以. 所以， 所以， 所以为直角三角形，. 如图，，， 设，，. 所以，. 所以当时，取得最小值，为. 8．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为________．    【答案】 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示直角坐标系，     ，四边形是矩形， ， 设，，则，则，， ， 当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 9．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）球是一个半径为1的球，其大圆上有一个内接正二十四边形是球面上一点，是正二十四边形边上一点，均不与重合，记，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】设球心O为坐标原点，正二十四边形所在平面为平面， 点都在单位圆上，即 . 点A是球面上一点，所以,点B是正二十四边形上一点，所以 . 已知，, 则， 故，故， 又因为是正二十四边形且内接于以O为圆心的圆，其顶点的向量和为零向量， 即 ，故， 即. ， 故，同理，即， 故. 当点位于正二十四边形边上（非顶点）时，最小值为中心到边的距离， 趋近于顶点时，最大值趋近于1. 故，则， ， 由半角公式可得 则. 题型3 向量共线与三点共线 1. 向量共线：a ∥ b ⟺ 存在 λ 使 b = λa（a ≠ 0）。 2. 坐标形式：(x₁,y₁) ∥ (x₂,y₂) ⟺ x₁y₂ − x₂y₁ = 0。 3. 三点共线：A、B、C 共线 ⟺ AB ∥ AC ⟺ 存在 λ 使 OC = (1−λ)OA + λOB。 4. 系数特征：若 OP = λOA + μOB，则 P 在 AB 上 ⟺ λ + μ = 1。 10.若三点不能构成三角形，则______. 【答案】 【详解】当三点共线，即时，三点不能构成三角形. 由已知得， ， 由得，，解得. 故答案为：. 11．在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时______． 【答案】 【详解】, , 由于M，N，C三点共线，故, 因此，解得. 故答案为： 12．（24-25高三下·上海·阶段检测）在中，在边上（与不重合），延长到，使得，若（为常数），则的长度是________． 【答案】1或3； 【详解】设，则由题， 因为三点共线，所以， 所以，则由得， 因为，所以， 设，则，    因为，所以， 所以，所以， 化简得或，即或3. 故答案为：1或3. 13.如图所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则的最大值为__ . 【答案】 【详解】如图所示，建立直角坐标系，则，，，，， 又Q是线段CD上的动点，设， 则，可得 设，， 由P、M、Q三点共线，设 利用向量相等消去可得：， 令，，则在上单调递减， 故当时，取得最大值 故答案为： 14．在 中，点 、 、 分别在直线 、 、 上，设，，，其中 、 、 为实数，则 、 、 三点共线的充要条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 即， 由，可得， 即， 则 由，可得， 即， 则 、 、 三点共线 存在实数 ，使得， 即， 因为不共线，由平面向量基本定理可得： ， 解得：，代入， 得：， 即 化简得： ， 即 . 题型4 向量垂直与几何图形判定 1. 垂直判定：a ⊥ b ⟺ a·b = 0。 2. 坐标形式：(x₁,y₁) ⊥ (x₂,y₂) ⟺ x₁x₂ + y₁y₂ = 0。 3. 直角三角形判定：△ABC 中，∠C = 90° ⟺ CA·CB = 0。 4. 菱形判定：平行四边形 ABCD 为菱形 ⟺ |AB| = |AD| ⟺ (AB+AD)·(AB−AD) = 0。 5. 矩形判定：平行四边形 ABCD 为矩形 ⟺ AB ⊥ AD ⟺ AB·AD = 0。 15.在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【详解】四边形中，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以，即，所以平行四边形为矩形. 故选：C 16．在中，向量与向量垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的三边对的三角分别为， 因为向量与向量垂直，可得， 即,可得，所以， 又因为，可得，即， 所以，可得， 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以当，即时，取得最大值. 故选：A. 17．如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方法一： 因为为等边三角形，是边的中点.所以.故. 所以. 因为是边上的中点，所以有. 因此. 故选：D 方法二：    以为原点，，为轴，轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，. 则，，，. 所以. 又因为，，所以有 两式作差得.故. 故选：D 18.在中，角所对的边分别为，已知：，且，求角__________. 【答案】 【详解】由得，， 由正弦定理得：， 所以；即； 又，所以， 又，所以. 故答案为：. 题型5 向量模长与最值问题 1. 模长平方：|a ± b|² = |a|² + |b|² ± 2a·b。 2. 三角不等式：||a| − |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|。 3. 坐标法求最值：将模长表示为坐标的函数，用代数方法求最值。 4. 几何意义：|a − b| 表示两点间距离；|a + b| 可构造平行四边形对角线。 19.已知，，则（）的最小值为（     ） A． B． C． D．无最小值 【答案】A 【详解】由，，不妨设， 设，，可得， 则，则， 如图所示，作，则为的最小值， 可知，所以的最小值为. 20．（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 【答案】 【详解】如图建立空间直角坐标系,    则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 21．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】设，对平方得： ， 由于, ，所以当时，取到最小值， 即， 因为，所以， 由余弦定理可得：， 取中点为，则， 因为为边上任意一点，则的最小值为点到的距离， 再由正弦定理可得：， 所以，即的最小值为. 22．（2026·上海浦东新·三模）已知平面向量，满足，则的最小值是______________． 【答案】5 【详解】设向量，的夹角为，， ， 令， ， 又在上单调递减，且， 则有唯一解，设为， 时，，即，单调递增； 时，，即，单调递减； 又，所以， 即的最小值是． 题型6 向量与三角形"四心" 设 O 为 △ABC 所在平面内一点： 1. 重心 G：GA + GB + GC = 0；OG = (OA + OB + OC)/3。 2. 外心 O：|OA| = |OB| = |OC|；(OA+OB)·AB = 0。 3. 垂心 H：HA·HB = HB·HC = HC·HA；OA·BC = OB·CA = OC·AB。 4. 内心 I：a·IA + b·IB + c·IC = 0（a,b,c为三边长）。 23.O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为分别表示与同方向的单位向量，如图，不妨分别记为， 故以为两邻边的平行四边形为菱形，则平分， 因，可知O点落在的平分线上； 同理由，可知O点也落在的平分线上， 故点O是三条角平分线的交点，即三角形的内心. 24．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 25．已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】设边上的高为， 则， 由， 得. 因为为角平分线上的向量，且， 所以动点P的轨迹一定通过的内心. 题型7 向量与圆（极化恒等式·圆幂） 1. 圆上向量数量积：若 A、B 为定点，P 在圆上，取 AB 中点 M，则 PA·PB = |PM|² − |MA|²。 2. 圆幂定理：过圆外一点 P 作割线 PAB，则 PA·PB = PO² − r²（数量积形式需注意方向）。 3. 直径性质：AB 为直径 ⟺ 对圆上任意点 P，PA·PB = |PO|² − r² = 0（当 O 为 AB 中点且 P 在圆上时）。 4. 切线性质：PT 为切线 ⟺ PT ⊥ OT ⟺ PT·OT = 0。 26．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 27．（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为________ 【答案】 【详解】如图所示：为的外心，以O为原点，平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 因等边的高为，则， 因圆，则设， 则， 所以，所以当时，的最大值为. 故答案为： 28．（25-26高三上·上海·期中），若平面向量满足，则的最大值为_____. 【答案】 【详解】如图，设， 因为， 所以，故， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，由得，由，得, 故. 由，得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示两点间的距离， 所以的最大值为. 故答案为：. 29．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知平面内的三个非零向量，满足： ， ， ，则当 取得最大值时， ______. 【答案】 【详解】设分别为的终点，为中点，由 ，得， 又，故的终点在的中垂线上， 且由勾股定理得 . 如图所示，建立坐标系： ，，，， 公共起点（即 ）. 在中，由正弦定理可得， 为外接圆半径，故， 令外接圆圆心为，易知在线段垂直平分线上，可设为， 根据对称性，以，为例，可得所在圆的方程为， ，令， 则， 代入，得：， 令，由基本不等式得：， 当且仅当等号成立，即，故， 由对称性可知当，圆的方程为时，同理可得最大值为. 30．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为， 所以，则，解得， 因为，所以， 以起点为坐标原点，为x轴正方向，与x轴垂直方向为y轴正方向建系，如图所示， 则，设， 因为，所以，整理得， 表示以为圆心，半径为1的圆， 则 又表示与距离的平方， 则的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 31．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时，______________. 【答案】 【详解】令， 由，所以是边长为2的等边三角形， 且，则原点在以为直径的圆周上（不与重合），为圆心，如下图示， 若，则， 所以要使最大，只需尽量小，且点在其轨迹的左上部， 所以，仅当与点轨迹左上部相切时最小，即如图中时，最小， 由，故. 故答案为： 32．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 33．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）已知，（,2,3）均为实数，且满足 ，，， ，且 的最大值是_____ 【答案】25 【详解】设向量， .由，，，可得， 因为， 所以， 移项得到，即， 这表明点在以为直径的圆上. 根据两点间距离公式，可知， 要求的最大值，即求的最大值，也就是求的最大值. 因为，所以当三点共线且在的两侧时，取得最大值， 此时. 另外，此时在以为直径的圆与圆的交点位置，如图所示， 因为，， 所以的最大值为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则___________． 【答案】 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，在等腰中，， 且分别为的中点， 则，， 由平面向量的减法法则可得， 而， 则，所以解得. 故答案为：. 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆），已知为球的直径，点，N在球面上，且是等边三角形，若球体积的大小与表面积的大小相同，且，则，两点的球面距离为__________． 【答案】 【详解】根据球的体积与表面积相等，则球的半径，设的边长为， 则，又因 ，设线段的中点为， 则根据向量加法的平行四边形法则，有，则， 连接，所以，因为为的中点， 则，同时， 则 ，解得， 又因，所以为等腰三角形，故，且， 和相交于，所以面，在的边长为，，， 因为，故，即， 解得，代入， 得， 则，因为， 所以， 即，解得，且， 故，. 因为 ， ，所以为等边三角形， 所以球心角，则的距离为 . 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】如图，在的反向延长线上取点，使得， 过作，分别交和的延长线于点、， 则，， 由于， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处）， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 4．（2025·上海普陀·一模）设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是___________． 【答案】 【详解】以正六边形的中心为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 由，得轴交于点，交于点， 由，得在以线段为直径的圆上，圆心为，半径为， 因此 ， 则， 当且仅当是圆与线段的交点时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 创新提升 1.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.    【答案】 【详解】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系    则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知平面上两点，距离为2，为平面上任一点，动点均满足，则的最大值是_______. 【答案】 【详解】如图以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 则，，设， 由可得， 整理得，即， 又，则，即， 故动点在以为直径的单位圆上，其轨迹方程为， 不妨设， 则， ， 将上式看成关于角的函数， 则可得 ， 设，则， 故当时，即时，. 3．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为______. 【答案】 【详解】由题可得， 所以， 如图，设， 则，可得， 则点在以为直径的圆上运动， 由图可得，当时，， 设，则， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、，若，，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上， 以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当都在线段上时，等号成立， ， 当且仅当O在线段上，且在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 5．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】不妨设，因为， 则有，整理得， 即向量的终点的轨迹是以原点为顶点，焦点为的抛物线， 设，由得，整理得， 即向量的终点的轨迹是以为圆心，半径的圆， ，其中表示到的距离， 由阿波罗尼斯圆的定义有：平面内到两个定点的距离之比为常数， 且定点与圆心三点必共线，所以必在轴上， 设使，点满足，即， ， ， 则有，解得， 则， 易得三点共线时取最小值，问题转化为抛物线上的动点到定点的最短距离， ， 当时取最小值 ，即， 即， 即的最小值为.    6．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，则，得， 当时，，则，得，即， 所以， 设夹角为，，则， 设夹角为，，则， 当时，可得，解得， ，解得（舍去），所以，即， 当，可得，解得（舍去）， ，解得，所以，即， 设，则，则， 当取最小值，且与反向时，取得最小值； 可知， 因为，所以当时，， 根据四边形法则，可知与夹角为，当时，为最小值. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，正三角形ABC边长为2，若正三角形ABC所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】当时，点P分别在以为直径的圆上，而这三个圆不会交于同一点，故此时不存在P； 所以不妨设， 则点P分别在以为直径的圆上、圆外、圆内，即如图所示加粗的部分圆弧，不包含端点. 设正三角形ABC的重心为G，则,故， 设中点为E，中点为D，则， ， 由于正三角形ABC边长为2，则可求得， 则，， 则，故， 故答案为：.    8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $