第二十五章 图形的相似 单元测试（河北专用）2026-2027学年冀教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为冀教版九上图形的相似单元测试，结合东方明珠塔黄金分割、小孔成像等现实情境，覆盖相似判定、比例线段等核心知识，梯度设计合理，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|相似图形判定、比例线段、黄金分割应用|融入东方明珠塔、小孔成像情境，基础与应用结合| |填空题|4/12|相似面积比、黄金矩形折叠、矩形加工|结合舞台设计、零件加工，考查数学思维| |解答题|8/72|相似性质证明、位似作图、测量应用|设计信号塔测量、植物园路径等综合题，体现数学语言表达|

学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试—图形的相似（河北专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：冀教版2024九年级上册第二十五章—图形的相似 一、选择题（共36分） 1．（本题3分）下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列线段a、b、c、d是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（本题3分）如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． （生活实际·数学应用·原创）5．（本题3分）古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现，一个点将一线段分为两部分，较长段与全段的比等于较短段与较长段的比（比值约为），这一比例兼具几何美感与数学规律性，这个点被称为这条线段的黄金分割点．如图，上海东方明珠塔的塔身高为，在塔身上装置了下球体、中球体和上球体（太空舱），分别计算位于塔身的，，之间，要使塔身显得非常协调美观．塔身的黄金分割点位于（    ） A．下球体 B．下球体与中球体之间 C．中球体 D．上球体 6．（本题3分）小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）、若物体的高为，小孔O到的距离为，则实像的高为（    ）． A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）用放大镜看到的六边形与原六边形相比较，不发生改变的是（    ） A．每条边的长度 B．周长 C．面积 D．每个内角的度数 9．（本题3分）点P为线段的黄金分割点，且，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（   ） A．5米 B．米 C．8米 D．10米 11．（本题3分）如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（   ） A． B． C． D． 12．（本题3分）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题（共12分） 13．（本题3分）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为________m．（，结果精确到） 14．（本题3分）如图，在中，，则与的面积比为___________． 15．（本题3分）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，且，交于点，则的长度为_____． 16．（本题3分）将一张矩形纸片进行如图所示的操作：沿对角线折叠，得到折痕；折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；过点折叠纸片，使点分别落在边、上，展开得到折痕．如果矩形是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边______． 三、解答题（共72分） 17．（本题7分）如图，点，，分别是边，，上的点，已知，，，，求的长． 18．（本题8分）如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 19．（本题8分）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米（米），他的影长米，已知小明的身高米，点E 在上，且，，求信号发射塔的高度．    20．（本题8分）如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，，求EF的长； (2)若，，，求BE的长． 21．（本题9分）已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值． (2)若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值． （数学思维·原创）22．（本题9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上，为格点，请用无刻度直尺作图： (1)在边上确定一点，使； (2)以点为位似中心，在网格内画出的位似，且位似比为． 23．（本题11分）如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 24．（本题12分）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F． ①求证：； ②若，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试—图形的相似（河北专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：冀教版2024九年级上册第二十五章—图形的相似 一、选择题（共36分） 1．（本题3分）下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的判定，矩形的性质，关键是掌握相似多边形的判定方法；由相似多边形的判定方法，即可判断． 【详解】解：相似多边形是指边数相同且对应角相等、对应边成比例的平面图形，题中图形角度都是90度，只需对应边成比例即可， A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：A． 2．（本题3分）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质． 根据比例的基本性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； B．由可得，符合已知条件，原式子正确，符合题意； C．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； D．由可得，即，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意． 故选：B． 3．（本题3分）下列线段a、b、c、d是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握成比例线段的概念．根据比例线段的定义，分别计算与，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解：、，不是成比例线段，故此选项不符合题意； 、，不是成比例线段，故此选项不符合题意； 、，是成比例线段，故此选项符合题意； 、，不是成比例线段，故此选项不符合题意， 故选：． 4．（本题3分）如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，即，又，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意； B、，不能证明，符合题意； C、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； D、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； 故选：B． （生活实际·数学应用·原创）5．（本题3分）古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现，一个点将一线段分为两部分，较长段与全段的比等于较短段与较长段的比（比值约为），这一比例兼具几何美感与数学规律性，这个点被称为这条线段的黄金分割点．如图，上海东方明珠塔的塔身高为，在塔身上装置了下球体、中球体和上球体（太空舱），分别计算位于塔身的，，之间，要使塔身显得非常协调美观．塔身的黄金分割点位于（    ） A．下球体 B．下球体与中球体之间 C．中球体 D．上球体 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金分割的比值并计算对应长度是解题的关键．根据黄金分割的定义，先计算塔身高度的黄金分割点对应的长度，再判断该长度所在的区间，从而确定位置． 【详解】解：∵ 黄金分割比值约为，塔身高度为， ∴ 黄金分割点对应的长度为． ∵ ，此区间对应中球体的位置， ∴ 塔身的黄金分割点位于中球体． 故选：C． 6．（本题3分）小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）、若物体的高为，小孔O到的距离为，则实像的高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用．易证明， ， 从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可． 【详解】解：，， ∴， ， ， ，， ， 即， ， ，， ， 解得． 故选：C． 7．（本题3分）如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解：， ，， 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 8．（本题3分）用放大镜看到的六边形与原六边形相比较，不发生改变的是（    ） A．每条边的长度 B．周长 C．面积 D．每个内角的度数 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质． 根据相似多边形的性质即可得解． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的六边形与原六边形是相似的关系， ∴用放大镜看到的六边形与原六边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变． 故选：D． 9．（本题3分）点P为线段的黄金分割点，且，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为． 根据黄金分割的定义，点P为线段的黄金分割点且时，较长部分与较短部分的比值等于整体与较长部分的比值，即．据此分析各选项． 【详解】解：∵点P为的黄金分割点，且， ∴由黄金分割定义，有． 选项A：，符合黄金分割比例，正确； 选项B：，符合黄金分割比例，正确； 选项C：，与定义不符，错误； 选项D：，符合黄金分割比例，正确； 故选：C． 10．（本题3分）如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（   ） A．5米 B．米 C．8米 D．10米 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解决问题的关键．根据，得出∽，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由题意知，米，米，米，， 则米， ， ∽ ，即， 解得， 即路灯的高为8米； 故选：C． 11．（本题3分）如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，由矩形矩形可得，，又可证，得到，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 12．（本题3分）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 二、填空题（共12分） 13．（本题3分）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为________m．（，结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，掌握解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义．根据黄金分割点的定义结合图形的特征求解即可． 【详解】解：∵舞台的黄金分割点处，， ， ， ， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，在中，，则与的面积比为___________． 【答案】9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 由可知与相似，由可知相似比，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 又， ． 故答案为：9． 15．（本题3分）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，且，交于点，则的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比．设，则，可得是的高，证明四边形是矩形，得到，从而得，根据相似三角形的性质得到，代入即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，是高， ∴，即是的高， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 即，的长度为． 故答案为：． 16．（本题3分）将一张矩形纸片进行如图所示的操作：沿对角线折叠，得到折痕；折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；过点折叠纸片，使点分别落在边、上，展开得到折痕．如果矩形是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，翻折变换，黄金分割，相似三角形的判定和性质，设与交于点，由矩形的性质可得，，，，则，由折叠性质可知：，，故，设，，，根据勾股定理求出，则，再证明，最后由相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵矩形是一个黄金矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴设，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．（本题7分）如图，点，，分别是边，，上的点，已知，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 答：的长为． 18．（本题8分）如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【答案】 证明：在中，为边上一点，， ， ， ， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】略 19．（本题8分）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米（米），他的影长米，已知小明的身高米，点E 在上，且，，求信号发射塔的高度．    【答案】19.8米 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，根据对应边成比例即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， ，即， ， 即信号发射塔的高度为19.8米． 20．（本题8分）如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，，求EF的长； (2)若，，，求BE的长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案； （2）过点A作交于点G，交于点H，可得四边形均为平行四边形，从而得到，再由，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作交于点G，交于点H， ∵， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴． 21．（本题9分）已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值． (2)若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例，线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）设，得到，代入，求出 ，则，即可解答． （2）推导出，将代入求解即可． 【详解】（1）解：设， 则 ∵ ∴， 解得， ∴． （2）∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴， ∴ ∴． （数学思维·原创）22．（本题9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上，为格点，请用无刻度直尺作图： (1)在边上确定一点，使； (2)以点为位似中心，在网格内画出的位似，且位似比为． 【答案】(1) 如图：所要求作的P点． (2) 解：如图：即为所求． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、格点作图、位似作图等知识点，掌握相似三角形的性质以及位似的性质是解题的关键． （1）如图：取格点D、E使得，连接与的交点即为所求点P； （2）先根据位似的性质确定的对应点，然后再顺次连接即可． 【详解】（1）解：证明：由图可知：， ∴， ∴． （2）略 23．（本题11分）如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ； (2) 证明：， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用平行判定相似，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据，可以推得结论成立； （2）先根据，得出，再证明，可得出，从而可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 24．（本题12分）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F． ①求证：； ②若，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） 【答案】①证明见解析；②；（2） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质； （1）①由矩形得到，，根据，得到，则，即可证明； ②由中点得到，根据，得到，则，据此解方程即可； （2）延长交于，先证明，得到，设，则，再证明得到，代入即可得到，，则，最后求小丽沿路线到达入口E处所走的路程为． 【详解】解：（1）①证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）； （2）延长交于，如图， ∵矩形，， ∴，，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴小丽沿路线到达入口E处所走的路程为． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试—图形的相似（河北专用） 细目表 题号 难度 知识点 一、选择题（36分） 1 容易 相似图形,相似多边形的性质 2 容易 比例的性质 3 容易 成比例线段 4 容易 选择或补充条件使两个三角形相似 5 容易（原创） 黄金分割 6 适中 相似三角形实际应用 7 容易 由平行判断成比例的线段 8 容易 相似多边形的性质 9 适中 黄金分割 10 适中 相似三角形实际应用 11 适中 相似多边形的性质,相似三角形的判定与性质综合 12 困难 相似三角形——动点问题 二、填空题（12分） 13 容易 黄金分割 14 容易 利用平行判定相似,利用相似三角形的性质求解 15 适中 根据矩形的性质求线段长,相似三角形实际应用 16 适中 相似三角形的判定与性质综合,矩形与折叠问题,黄金分割,用勾股定理解三角形 三、解答题（72分） 17 容易 由平行截线求相关线段的长或比值 18 容易 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 19 容易 相似三角形的判定与性质综合,相似三角形实际应用 20 容易 由平行截线求相关线段的长或比值,相似三角形的判定与性质综合 21 容易 比例的性质,成比例线段 22 适中（原创） 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形,在坐标系中画位似图形,无刻度直尺作图,在网格中画与已知三角形相似的三角形 23 适中 利用平行判定相似,相似三角形的判定与性质综合 24 困难 相似三角形的判定与性质综合,根据矩形的性质求线段长,相似三角形实际应用 学科网（北京）股份有限公司 $