30.1.2圆的切线（第2课时 切线长定理 ）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦切线长定理，通过回顾切线性质与判定，引导学生动手过圆外一点作两条切线，观察猜想切线长及夹角关系，衔接单条切线性质到双切线对称关系，构建知识支架。 以“猜想—证明—归纳”为主线，学生自主用全等证明定理培养逻辑推理，双切线模型隐含结论（如OP垂直平分AB）提升几何直观，例题结合测量铁环半径等实际问题培养模型观念。助力学生夯实基础，教师易实施，提升教学效率。

30.1.2 圆的切线（第二课时：切线长定理）（教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版（2024版）义务教育教科书数学九年级上册第30章直线与圆的位置关系，30.1直线与圆，30.1.2圆的切线第二课时内容.在学生掌握切线的判定定理、切线的性质定理基础上，本节课核心教学内容包括：切线长的定义、切线长定理的推导与理解、切线长定理的几何语言表达，利用定理进行线段相等、角度计算、几何证明，同时掌握切线长基本几何模型，为后续三角形内切圆、圆的综合计算与证明奠定基础.本节课中的过圆外一点作圆的切线作图为选学内容. 2. 内容解析 本节课是直线与圆位置关系板块的核心提升课时，承接上一课时切线的性质与判定，实现从“单条切线性质”到“两条切线对称关系”的知识进阶.切线长定理是圆中线段相等、角相等、垂直平分关系的重要判定依据，是中考圆题型高频考点，常结合三角形、四边形、垂直、全等知识综合考查.同时本节课的对称几何模型，是后续学习三角形内心、内切圆半径计算的前置必备知识，在初中圆几何体系中起到承上启下、综合串联的关键作用.本节课遵循“概念区分—动手操作—猜想验证—定理证明—模型应用”的递进逻辑.先区分“切线（直线）”与“切线长（线段）”的概念差异，再通过圆的轴对称性引导学生猜想两条切线的数量与角度关系，通过全等三角形完成严谨推证，归纳切线长定理，最后结合例题落实定理应用，符合九年级学生几何推理的认知规律.本节课重点落实三大核心素养：逻辑推理（定理全等推证、规范几何说理）、几何直观（识别切线长对称模型、挖掘隐含垂直与相等关系）、数学建模（固化圆外一点双切线经典几何模型），培养学生数形结合、转化推理的几何思维. 基于以上分析，本节课的教学重点为：切线长的定义，切线长定理的理解与应用（线段相等、角度计算、简单证明）. 教学目标 (1)准确区分切线与切线长的概念，掌握切线长的定义.理解并熟练掌握切线长定理的内容，能准确写出定理文字语言、图形语言、符号语言.能利用切线长定理解决线段求值、角度计算、简单几何证明问题，掌握双切线基本几何模型的隐含结论. （2）经历“观察图形—动手操作—猜想结论—全等证明—归纳定理”的完整探究过程，提升几何猜想与逻辑推证能力.通过例题探究与模型归纳，学会挖掘图形隐含条件，掌握圆双切线问题的通用解题思路. （3）在定理探究与几何建模中，感受圆的轴对称几何美感，激发几何学习兴趣.在严谨的推理论证、规范解题过程中，养成实事求是、严谨细致的数学思维品质. 2.目标解析 目标1要求学生识记切线长定义、切线长定理内容，能区分切线与切线长，会用符号语言表述定理，能完成基础的线段、角度简单计算. 目标2要求学生能独立完成切线长定理的推证，熟练识别双切线几何模型，能结合切线性质、全等三角形知识进行综合推理，规范书写证明步骤. 目标3学生建立圆外双切线几何模型思维，能主动挖掘图形中相等线段、相等角、垂直关系等隐含条件，形成“看图建模、用定理解题”的几何核心素养. 学生已熟练掌握切线的性质与判定定理、圆的半径性质、全等三角形判定与性质、轴对称图形性质，具备基本的几何证明与计算能力，能独立完成简单切线证明题.学生容易混淆切线和切线长概念；只会机械套用定理，不会挖掘图形隐含条件；对双切线模型的综合边角关系梳理不全面，综合推理能力薄弱.九年级学生具象几何直观能力较强，但综合建模、多知识点融合推理能力不足，适合通过动手操作、模型拆解、定理推证、例题精讲分层突破重难点. 基于以上分析，本节课的教学难点为：区分切线（直线，不可度量）与切线长（线段，可度量）的概念；挖掘双切线图形中的隐含垂直、全等、角平分、线段相等综合关系；综合运用切线性质、全等三角形、切线长定理解决综合题型. 创设情景，引入新课 回顾旧知：提问切线的性质定理、判定定理核心内容，梳理单条切线的核心结论（切线垂直于过切点的半径）. 操作设问：过圆上一点可作几条切线？过圆外一点可以作圆的几条切线？ 学生动手画图：过圆外一点P，作⊙O的两条切线PA、PB（A、B为切点） (1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C； (2）以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点； (3）作直线PA，PB，即所求作的切线. 观察图形猜想：PA与PB、∠APO与∠BPO有何数量关系？ 引出课题：本节课探究圆外一点双切线的数量与角度规律——切线长定理. （设计意图：衔接上节课切线知识，通过动手画图创设几何情境，激发学生猜想探究欲望，自然导入新知，构建新旧知识连贯体系.） 探究点1 切线长概念辨析 定义归纳：切线长：从圆外一点引圆的切线，这点到切点之间的线段的长度，叫做圆的切线长. 概念对比辨析： 切线：是直线，无限延伸、不可度量长度； 切线长：是线段，两个端点分别为圆外定点与切点、可度量长度. （设计意图：直击学生易错点，精准区分两个易混概念，从根源规避概念认知错误，夯实知识基础.） 探究点2　切线长定理推导证明 几何猜想：如图，PA、PB切⊙ O于A、B两点，则PA=PB，∠APO=∠BPO。 自主证明：学生独立思考，小组合作完成证明，教师引导辅助线做法：连接OA、OB. 师生规范推证： 证明：∵ PA、PB是⊙O的切线 ∴OA⊥PA，OB⊥PB（切线的性质定理） ∴∠OAP=∠OBP=90° 又OA=OB，OP=OP ∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL) ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 归纳切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言固化：若PA、PB切⊙O于A、B，则PA=PB，∠APO=∠ BPO. 模型拓展隐含结论：双切线模型中，OP垂直平分弦AB，图形关于直线OP轴对称. （设计意图：让学生亲历“猜想—证明—归纳”的几何探究全过程，以全等知识为依托理解定理本质，杜绝死记硬背；拓展模型隐含结论，提升学生识图与综合解题能力.) 典型例题 例1 已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，∠APB=60°，OA=3，求△PAB周长. 【分析】本题为切线长定理与直角三角形、特殊角综合计算题.解题思路：利用切线性质得直角，结合切线长定理得角平分线，推出特殊直角三角形，利用勾股定理或特殊直角三角形性质求解线段长.核心是切线性质定理、切线长定理、直角三角形边角关系. 【详解】解：∵PA是⊙O的切线，A为切点， OA⊥PA，即∠OAP=90°（切线的性质定理） ∵PA、PB是⊙O切线 ∠APO=∠APB（切线长定理） ∵∠APB=60° ∴∠APO=30° 在Rt△OAP中，∠APO=30°，OA=3 ∴OP=2OA=6 由勾股定理得： PA===3 ∵∠APB=60°，PA=PB ∴△PAB为等边三角形， ∴△PAB周长为3×3=9. 答：△PAB周长为9. 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，求铁环的半径． 【分析】过作于，连接、，由切线长定理可得为的平分线，即，从而有，再由直角三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求出铁环的半径． 【详解】解：过作于，连接、，如图， ∵为的切线，为的切线， ∴为的平分线，即， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即铁环的半径为． （设计意图：例题分层设计，基础辨析题夯实概念核心，解决学生“概念模糊、判断出错”的问题；实际应用题对接课堂导入情境，强化数学建模能力，实现知识从理解到应用的转化.同时通过详细分析与详解，规范学生解题步骤，培养严谨的解题习惯.） 课本课堂练习P154. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 【详解】【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． 1．（25-26陕西安康·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 2．（2026.珠海校考）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴. 3．（2026·内江·模拟）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 【详解】（1）证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． (2)证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）核心概念：切线（直线，不可度量）、切线长（线段，可度量）；（2）切线长定理：圆外一点引圆两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分切线夹角；（3）核心模型：双切线模型三大结论：PA=PB、∠APO=∠BPO、OP⊥AB.（4）必会应用：线段求值、角度计算、简单几何证明. 思想方法：（1）数形结合思想：依托几何图形挖掘边角关系，实现图形与数量条件互通；（2）转化思想：将圆的切线问题转化为直角三角形、全等三角形问题求解；（3）模型化思想：归纳双切线固定几何模型，实现题型归类、方法迁移. 易错提醒：（1）概念混淆：切勿将“切线”和“切线长”混用，分清直线与线段的区别；（2）定理漏条件：切线长定理只适用于圆外一点引两条切线的情况；（3）审题疏漏：解题易忘记“切线垂直于过切点半径”的隐含直角条件；（4）推理漏洞：直接套用结论不写依据，几何证明、计算步骤不规范. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题30.1第6、9、10题. 探究性作业：课本习题30.1第11、12题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 30.1.2 圆的切线（第二课时：切线长定理） 一、核心概念 二、切线长定理 三、双切线模型隐含结论 四、核心思想 五、易错提醒 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $