30.1.2切线长定理教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦切线长定理，通过知识预备回顾不在同一直线上的3点确定圆、圆周角定理等旧知，引导学生动手作图过圆外一点作切线，自然引出切线长定义，再经全等证明推导定理，构建知识支架。 亮点在于注重动手操作与逻辑推理，学生经历定理推导过程发展几何直观与推理能力，例题练习结合勾股定理等综合应用培养知识迁移与数形结合素养。分层设计与板演纠错提升学生解题能力，帮助教师针对性教学，提高课堂效率。

30.1.2切线长定理教学设计 一、素养目标 1.理解切线长定理内容，掌握定理相关线段与角度关系，能完成基础计算与证明题； 2.经历定理推导过程，发展几何逻辑推理能力，学会结合勾股定理综合解题； 3.规范几何答题步骤，养成严谨审题习惯，提升知识迁移与数形结合解题素养. 二、教学重点、难点 重点：掌握切线长的定义及切线长定理，熟练掌握它的应用. 难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 三、教学过程 知识预备 1.不在同一条直线上的___个点确定一个圆. 2.半圆(或直径)所对的圆周角是_____，90°的圆周角所对的弦是_____. 答案：1、3 2、直角，直径 思考 如图，P是⊙O外一点，如何过点P作⊙O的切线？ 分析：因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与⊙O相切， 所以需在⊙O上确定一点A， 满足OA⊥AP，即∠OAP＝90°. 由此可知，点O，P，A可以确定一个圆， OP是这个圆的直径. 因此以OP为直径作圆，该圆与⊙O的交点即为所要确定的点. 做法如下，如图： (1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C； (2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点； (3)作直线PA，PB，即所求作的切线. 可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切.我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长(如图中的线段PA，PB的长)，叫作这点到圆的切线长. 注意：切线是一条直线，无法度量，切线长是切线 上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离， 可以度量. 思考 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过点O，P作直线OP.线段PA与PB，∠APO与 ∠BPO有什么关系？ 如图，连接OA和OB. ∵ PA和PB是⊙O的两条切线 ∴ OA⊥AP，OB⊥BP 又 OA＝OB，OP＝OP ∴ Rt△POA≌Rt△POB (HL) ∴ PA＝PB，∠APO＝∠BPO 由此得出切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何符号语言： ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B ∴ PA＝PB，∠APO＝∠BPO. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 例题讲解 例3 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO＝30°，OP＝2，求△PAB的周长. 解：如图，连接OA. ∵ PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点 ∴ PA＝PB，∠APO＝∠BPO，OA⊥PA 又 ∠APO＝30° ∴ ∠APB＝60° ∴ △PAB是等边三角形 ∴ AB＝PA＝PB 又 在Rt△POA中，∠APO＝30°，OP＝2 ∴ OA＝1，PA＝＝ ∴ △PAB的周长为 四、课堂练习 1.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°. 求∠P的度数. 2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E. (1)写出图中所有垂直关系； (2)如果PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径长. 参考答案： 1、 ∠P的度数是50°。 2、 （1）OA┴PA，OB┴PB，OP┴AB （2）半径长为3. 五、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 六、教学反思 本节课带领学生动手画图推导切线长定理，学生能够熟记定理内容，但实际解题时问题较多。不少学生不会同时运用线段相等、角平分线两个结论，在结合直角三角形、勾股定理综合计算时思路卡顿，几何证明步骤书写也不够严谨。课堂变式题型训练不足，对学困生的针对性指导欠缺。后续我会归类典型例题，分层设计练习题，增加板演纠错环节，着重训练学生整合多个知识点解题的能力，规范答题格式，加深学生对定理的灵活运用。 学科网（北京）股份有限公司 $