第三十章 直线与圆的位置关系（四大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“直线与圆的位置关系”单元内容，涵盖位置判定、圆的切线、三角形内切圆、正多边形与圆四大知识范畴，搭建了从基础概念辨析到核心定理应用再到综合问题解决的递进式学习支架。 清单以“核心重难点标注”和“易错点精准突破”构建知识体系，将“圆的切线”标注为核心重难点，用“大大离、小小交、等就切”口诀强化位置判定，培养学生几何直观与推理意识。针对切线判定设计“有点连半径证垂直，无点作垂直证半径”的辅助线策略，配套易错点总结和对点训练，学生可高效自主复习，教师能据此优化教学环节。

第三十章 直线与圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 （垂线段长度），分为三种位置： 1. 相离 ，直线与圆没有公共交点； 1. 相切 ，直线与圆仅有 1个公共点，这条直线叫做圆的切线，公共点称作切点； 1. 相交 ，直线与圆有2个公共交点，这条直线叫做圆的割线。 判定两种方法： ① 数量判定：比较 与 的大小（最常用）； ② 交点个数判定：数直线和圆公共点数量。 知识点二 圆的切线（本章核心重难点） 1. 切线的判定定理 经过半径的 外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定做题两种常用思路： （1）有公共点：连半径，证垂直；连接圆心与交点，证明夹角90°； （2）无公共点：作垂直，证半径；过圆心向直线作垂线，证明垂线段长度等于半径。 2. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 辅助线口诀：见到切线，立刻连接圆心和切点，得到垂直关系。 3. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线： ① 两条切线长度相等； ② 圆心和该点的连线平分两条切线的夹角。 知识点三 三角形的内切圆 1. 定义：与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；内切圆圆心叫做三角形的 内心。 1. 内心位置：三角形三条角平分线的交点。 1. 内心核心性质： ① 内心到三角形三边距离相等，距离长度就是内切圆半径 ； ② 内心永远在三角形内部； ③ 内心平分三角形三个内角。 1. 直角三角形内切圆半径公式： 设直角边 ，斜边 ， 任意三角形：（ 为三角形面积） 知识点四 正多边形与圆 1. 基本概念 把一个圆 等分，顺次连接各分点，可得到圆的内接正 边形；这个圆叫做正多边形的外接圆。 1. 正多边形四大要素 · 外接圆半径 ：正多边形顶点到中心的距离； · 边心距 ：中心到正多边形一条边的垂线段长（也是内切圆半径）； · 中心角：相邻两条半径的夹角，度数：； · 边长：正多边形每条边长度。 1. 计算方法： 正多边形可被半径拆分为 个全等等腰三角形，取一半得到直角三角形，利用勾股定理、三角函数可求边长、边心距、周长、面积。 1. 常见：正三角形、正方形、正六边形计算为高频考点。 易错点1 直线与圆的位置关系的判定 易错提醒 易错点总结 1. 混淆 d（圆心到直线距离）与普通线段长，误用斜边长代替垂线段距离，导致判定完全错误。 2. 记反大小关系：把 d>r 当成相交，d<r 当成相离，口诀记反。 3. 仅凭图像目测位置，不计算 d 与 r，看图判断极易出错。 4. 分不清相切、相交的交点个数，记错数量特征。 注意事项总结 1. 判定唯一标准：必须是圆心到直线的垂线段距离 d，不是任意线段。 2. 铁律口诀：大大离、小小交、等就切，d>r 相离；d=r 相切；d<r 相交 3. 做题必须计算对比，禁止肉眼看图判断。 4. 牢记交点数：相离0个、相切1个、相交2个。 【对点训练】1．在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用矩形性质和勾股定理求出对角线的长度，再通过相似三角形得到圆心O到的距离与的关系，结合圆与线段有两个公共点的条件，推导得到的取值范围． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴ 过点作于 ∵， ∴ ∴ ∴， 即， 整理得 ∵半径为，且与边（线段）有两个公共点 ∴需满足两个条件：①直线与相交，②端点在外（或圆上）． ①直线与相交，即圆心到的距离小于半径则， ∴， 解得 ②端点在外（或圆上），则 综上，． 易错点2 切线判定与性质综合 易错提醒 易错点总结 1. 切线判定缺少条件：只证垂直，忘记说明“半径外端”，条件不全扣分。 2. 两种辅助线方法乱用：有公共点却作垂线、无公共点却连半径，方法错位。 3. 切线性质不会用：遇切线不会连圆心切点，错失直角条件，无法解题。 4. 综合题中跳步证明，垂直关系推导不严谨，逻辑扣分。 注意事项总结 1. 切线判定两种满分模板： ① 有点：连半径，证垂直（已知直线过圆上一点） ② 无点：作垂直，证半径（未知交点） 2. 判定定理缺一不可：过半径外端 + 垂直半径 同时满足才是切线。 3. 见到切线第一反应：连圆心与切点，得90°直角。 4. 证明过程必须写全关键条件，不跳步。 【对点训练】2．如图，是的直径，C点在上，平分交于D，过D作直线的垂线，交的延长线于E，连接． (1)求证：； (2)求证：直线是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在中，平分， ∴， ∴； (2)证明：连接半径，如图1所示： 则， ∴， ∵于E， 在中， 由（1）知 ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； (3)2 【分析】（1）证，根据圆中弧、弦、角的关系即可求解； （2）连接半径，可得；根据、即可求证； （3）过点D作于F，可得，在中求出可推出，，据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作于F，如图2所示： ∵平分交于D，于E， ∴， ∵， ∴半径， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，． 易错点3 切线长定理的应用 易错提醒 易错点总结 1. 记错定理：误以为任意两条切线都相等，忽略必须是圆外同一点引出的两条切线。 2. 只记得切线长相等，忘记“圆心与外点连线平分夹角”，漏用角度条件。 3. 双切线图形不会找全等、等腰三角形，无法进行边角计算。 4. 多切线复杂图形，找错对应切线，线段等量代换混乱。 注意事项总结 1. 切线长定理适用前提：同一个圆、同一个圆外点引出两条切线。 2. 两大结论同时用：①切线长相等 ②连线平分夹角。 3. 双切线模型必有：等腰三角形、直角三角形、全等三角形。 4. 周长题型常用：切线长等量替换，实现边长抵消简化计算。 【对点训练】3．如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为，则，，得到的周长为，勾股定理求出，利用，求出，证明四边形是正方形，得到，求出，即可得到结果． 【详解】解：如图，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为， 则，， ∴的周长为， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 易错点4 三角形的内切圆 易错提醒 易错点总结 1. 混淆内心与外心：内心看成垂直平分线交点、外心看成角平分线交点。 2. 乱用内切圆半径公式，直角三角形与普通三角形公式混用。 3. 误解内心性质：误以为内心到顶点距离相等（实际是到三边距离相等）。 4. 面积公式 记不牢，计算出错。 注意事项总结 1. 区分口诀：内心角分线（切三边），外心中垂线（过三顶点）。 2. 内心唯一性质：到三角形三边距离相等，永远在三角形内部。 3.公式区分： ①直角三角形： ②任意三角形：（为周长） 4. 求内切圆半径优先用面积法，通用万能。 【对点训练】4．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 易错点5 正多边形与圆的综合 易错提醒 易错点总结 1. 混淆概念：外接圆半径、边心距、边长三者对应错乱。 2. 中心角度数计算错误，忘记公式 。 3. 不会构造直角三角形，无法用勾股、三角函数求边长、边心距。 4. 正六边形、正三角形特殊值记忆错误，导致填空选择题丢分。 注意事项总结 1. 概念分清： ①外接圆半径：顶点到中心 ②边心距：中心到边长（内切圆半径） 2. 中心角万能公式：。 3. 所有正多边形计算通用方法： 4. 取等腰三角形一半 构造直角三角形求解。 5. 熟记特例： ①正六边形边长 = 外接圆半径 ②正四边形中心角 ③正三边形中心角 【对点训练】5．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且． (1)猜想的形状，并说明理由． (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 【分析】（1）根据正六边形的性质，求出圆心角，再由等边三角形的判定定理得出结论； （2）根据三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由扇形面积公式求出扇形的面积，再求出的面积，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：为等边三角形． 理由：六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ． ． 是等边三角形． （2）解：如图，过点作，垂足为． ∵点是的内心， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 2．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在优弧上取点，连接，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图所示，连接，在优弧上取点，连接， 、是切线， ， ， ， 又∵圆内接四边形的对角互补， ． 3．如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 4．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 5．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 二、填空题 6．已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 7．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 8．如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 【答案】40 【分析】根据切线长定理得到，，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵是的内切圆，与，，的切点分别为，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 三、解答题 9．如图，是的直径，是的切线，切点是D，过点A的直线与交于点C． (1)求证：． (2)若，求证：是的切线． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵是的切线，切点是点D， ∴， ∴； (2) 连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴是的切线． 【分析】此题考查了圆的切线的性质定理和判定，圆的半径相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用圆的半径相等得到，根据切线的性质得，即可证明； （2）连接，由，，得到，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 10．如图，是的直径，弦于点E，F为延长线上一点，且与相切，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求劣弧的长度（结果保留）． 【答案】(1)证明：如图，连接， 与相切， ， 即， ， ，是直径， ， ， ， ， 即平分； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，即，根据直角三角形的性质得到，求得，等量代换得到，根据角平分线的定义得到平分； （2）连接，证明为等边三角形，即可求得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 劣弧的长度为． 11．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 12．如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点为上一点，过点的切线交延长线于点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，证明，，，进一步可得，可得，可证明； （2）连接，证明与是等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 13．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 14．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到，即可得出结论； （2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 15．如图1，在矩形ABCD中（），对角线，相交于点O，点A关于的对称点为．连接交于点E，连接． (1)求证： ； (2)以点O为圆心，为半径作圆． ①如图2，若与相切于点F，求的度数； ②若，与相切，则的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由点关于的对称点为可知点E是的中点，，从而得到是的中位线，继而得到，从而证明； （2）①连接，证明是等边三角形，得到，由是的角平分线即可得到答案；②设与相切于点Q，连接，证明四边形是正方形，证明是等腰直角三角形，设则，，解得,即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵点关于的对称点为， ∴点E是的中点，， 又∵四边形是矩形， ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴， ∴ （2）①连接， ∵与相切于点F， ∴， ∵， ∴ ∴是的中位线， ∵是的中位线，， ∴ ∴是的垂直平分线，也是矩形的对称轴， ∴， 根据轴对称的性质，， ∴是等边三角形， ∴ ∵，， ∴是的角平分线， ∴ ②如图，设与相切于点Q，连接， 根据切线长定理得到， 由（1）可知，，则， ∴四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， 设则， 在中，，则， 解得, ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了切线性质定理、切线长定理、三角形中位线定理、轴对称的性质定理、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线是关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 （垂线段长度），分为三种位置： 1. 相离 ，直线与圆______________________； 1. 相切 ，直线与圆仅有 __________个公共点，这条直线叫做圆的__________，公共点称作__________； 1. 相交 ，直线与圆有__________公共交点，这条直线叫做圆的__________。 判定两种方法： ① 数量判定：比较 与 的大小（最常用）； ② 交点个数判定：数直线和圆__________数量。 知识点二 圆的切线（本章核心重难点） 1. 切线的判定定理 经过半径的__________，并且__________于这条半径的直线是圆的切线。 判定做题两种常用思路： （1）有公共点：__________，__________；连接圆心与交点，证明夹角__________； （2）无公共点：__________，__________；过圆心向直线作垂线，证明垂线段长度等于__________。 2. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的__________。 辅助线口诀：见到切线，立刻连接圆心和切点，得到__________关系。 3. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线： ① 两条切线__________相等； ② 圆心和该点的连线平分两条切线的__________。 知识点三 三角形的内切圆 1. 定义：与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；内切圆圆心叫做三角形的__________。 1. 内心位置：三角形三条____________________的交点。 1. 内心核心性质： ① 内心到三角形三边距离相等，距离长度就是内切圆半径 ； ② 内心永远在三角形内部； ③ 内心平分三角形三个内角。 1. 直角三角形内切圆半径公式： 设直角边 ，斜边 ， 任意三角形：（ 为三角形面积） 知识点四 正多边形与圆 1. 基本概念 把一个圆 等分，顺次连接各分点，可得到圆的内接__________；这个圆叫做正多边形的_________。 1. 正多边形四大要素 · 外接圆半径 ：正多边形顶点到__________的距离； · 边心距 ：中心到正多边形一条边的__________（也是内切圆半径）； · 中心角：相邻两条半径的夹角，度数：__________； · 边长：正多边形每条边长度。 1. 计算方法： 正多边形可被半径拆分为 个全等等腰三角形，取一半得到直角三角形，利用勾股定理、三角函数可求边长、边心距、周长、面积。 1. 常见：正三角形、正方形、正六边形计算为高频考点。 易错点1 直线与圆的位置关系的判定 易错提醒 易错点总结 1. 混淆 d（圆心到直线距离）与普通线段长，误用斜边长代替垂线段距离，导致判定完全错误。 2. 记反大小关系：把 d>r 当成相交，d<r 当成相离，口诀记反。 3. 仅凭图像目测位置，不计算 d 与 r，看图判断极易出错。 4. 分不清相切、相交的交点个数，记错数量特征。 注意事项总结 1. 判定唯一标准：必须是圆心到直线的垂线段距离 d，不是任意线段。 2. 铁律口诀：大大离、小小交、等就切，d>r 相离；d=r 相切；d<r 相交 3. 做题必须计算对比，禁止肉眼看图判断。 4. 牢记交点数：相离0个、相切1个、相交2个。 【对点训练】1．在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点2 切线判定与性质综合 易错提醒 易错点总结 1. 切线判定缺少条件：只证垂直，忘记说明“半径外端”，条件不全扣分。 2. 两种辅助线方法乱用：有公共点却作垂线、无公共点却连半径，方法错位。 3. 切线性质不会用：遇切线不会连圆心切点，错失直角条件，无法解题。 4. 综合题中跳步证明，垂直关系推导不严谨，逻辑扣分。 注意事项总结 1. 切线判定两种满分模板： ① 有点：连半径，证垂直（已知直线过圆上一点） ② 无点：作垂直，证半径（未知交点） 2. 判定定理缺一不可：过半径外端 + 垂直半径 同时满足才是切线。 3. 见到切线第一反应：连圆心与切点，得90°直角。 4. 证明过程必须写全关键条件，不跳步。 【对点训练】2．如图，是的直径，C点在上，平分交于D，过D作直线的垂线，交的延长线于E，连接． (1)求证：； (2)求证：直线是的切线； (3)若，，求的长． 易错点3 切线长定理的应用 易错提醒 易错点总结 1. 记错定理：误以为任意两条切线都相等，忽略必须是圆外同一点引出的两条切线。 2. 只记得切线长相等，忘记“圆心与外点连线平分夹角”，漏用角度条件。 3. 双切线图形不会找全等、等腰三角形，无法进行边角计算。 4. 多切线复杂图形，找错对应切线，线段等量代换混乱。 注意事项总结 1. 切线长定理适用前提：同一个圆、同一个圆外点引出两条切线。 2. 两大结论同时用：①切线长相等 ②连线平分夹角。 3. 双切线模型必有：等腰三角形、直角三角形、全等三角形。 4. 周长题型常用：切线长等量替换，实现边长抵消简化计算。 【对点训练】3．如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 易错点4 三角形的内切圆 易错提醒 易错点总结 1. 混淆内心与外心：内心看成垂直平分线交点、外心看成角平分线交点。 2. 乱用内切圆半径公式，直角三角形与普通三角形公式混用。 3. 误解内心性质：误以为内心到顶点距离相等（实际是到三边距离相等）。 4. 面积公式 记不牢，计算出错。 注意事项总结 1. 区分口诀：内心角分线（切三边），外心中垂线（过三顶点）。 2. 内心唯一性质：到三角形三边距离相等，永远在三角形内部。 3.公式区分： ①直角三角形： ②任意三角形：（为周长） 4. 求内切圆半径优先用面积法，通用万能。 【对点训练】4．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 易错点5 正多边形与圆的综合 易错提醒 易错点总结 1. 混淆概念：外接圆半径、边心距、边长三者对应错乱。 2. 中心角度数计算错误，忘记公式 。 3. 不会构造直角三角形，无法用勾股、三角函数求边长、边心距。 4. 正六边形、正三角形特殊值记忆错误，导致填空选择题丢分。 注意事项总结 1. 概念分清： ①外接圆半径：顶点到中心 ②边心距：中心到边长（内切圆半径） 2. 中心角万能公式：。 3. 所有正多边形计算通用方法： 4. 取等腰三角形一半 构造直角三角形求解。 5. 熟记特例： ①正六边形边长 = 外接圆半径 ②正四边形中心角 ③正三边形中心角 【对点训练】5．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且． (1)猜想的形状，并说明理由． (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 一、单选题 1．如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 7．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 8．如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 三、解答题 9．如图，是的直径，是的切线，切点是D，过点A的直线与交于点C． (1)求证：． (2)若，求证：是的切线． 10．如图，是的直径，弦于点E，F为延长线上一点，且与相切，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求劣弧的长度（结果保留）． 11．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 12．如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 13．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 14．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 15．如图1，在矩形ABCD中（），对角线，相交于点O，点A关于的对称点为．连接交于点E，连接． (1)求证： ； (2)以点O为圆心，为半径作圆． ①如图2，若与相切于点F，求的度数； ②若，与相切，则的面积为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $