30.1.1直线与圆相离、相切、相交（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系，涵盖定义、公共点个数及圆心到直线距离d与半径r的数量关系判定。课堂导入通过“日出”动态演示抽象圆与直线，结合温故知新中点与圆位置关系，搭建从已知到新知的学习支架。 导学案通过动态演示、动手操作（移动钥匙环观察公共点）和小组探究，引导学生经历位置关系生成过程，培养几何直观与空间观念。结合例题及中考真题，强化d与r双向等价关系应用，提升推理能力与应用意识，帮助学生掌握判定方法，发展数学思维。

30.1.1直线与圆相离、相切、相交 （导学案） （1）理解直线与圆相离、相切、相交三种位置关系的定义，能根据图形准确区分三种位置关系，掌握切线、切点、割线的基本概念.掌握圆心到直线的距离d与圆半径r的数量关系，能熟练用几何法（公共点个数）和代数法（d与r大小关系）判定直线与圆的位置关系. 能运用判定方法完成基础计算、图形判断与简单实际应用. （2）通过动态演示、动手操作、小组探究，经历直线与圆三种位置关系的生成过程，培养观察、归纳、抽象概括的能力. 经历“图形位置→数量关系”的转化过程，体会数形结合、转化建模的数学思想，建立几何位置关系的通用探究方法. （3）在动态几何探究中感受几何图形的变化规律，激发几何学习兴趣，培养主动探究的学习习惯.在合作辨析、例题探究中养成严谨、规范的几何解题思维，提升数学学习的自信心与逻辑性. 重点：直线与圆相离、相切、相交三种位置关系的定义与图形特征；利用圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判定直线与圆的位置关系. 难点：理解“直线与圆的位置关系”和“d与r大小关系”的双向等价关系（位置定数量、数量判位置）；准确区分点到圆、直线到圆的位置关系判定差异，规避概念混淆错误. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 动态情境演示：播放“日出”动态画面，将太阳抽象为圆、地平线抽象为直线，让学生观察太阳升起过程中，直线与圆的位置变化. 问题驱动：（1）太阳升起的过程中，圆和直线出现了几种不同的位置？（2）可以通过什么特征区分这些位置关系？ 学生观察、小组交流，初步感知直线与圆有三种不同的位置状态，教师引出本节课课题：30.1.1直线与圆相离、相切、相交. 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ148－149 【学法指导】自研课本Ｐ148－149 （一）直线与圆位置关系（公共点个数判定） 思考 如图，在纸上画一条直线，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，在移动钥匙环的过程中，圆与直线会有几种位置关系？它们的公共点个数又是如何变化的？ 学生动手操作：平移直线，展示直线与圆从无交点→一个交点→两个交点的完整变化过程. 通过操作观察得到直线和圆位置有以下三种: 引导学生观察、归纳，师生共同总结三种位置关系的几何定义： （1）直线与圆相离：直线与圆没有公共点； （2）直线与圆相切：直线与圆有且只有1个公共点，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点； （3）直线与圆相交：直线与圆有2个公共点，这条直线叫做圆的割线. （二）数量关系探究（d与r大小关系判定） 思考 如图 ，设⊙O的半径为r， 圆心O到直线的距离为d.在直线与圆的三种位置关系中，d与r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？ 回顾旧知：点到直线的距离定义、点与圆的位置关系判定方法? 核心提问：能否用圆心O到直线的距离d和圆的半径r的大小关系，精准判定直线与圆的位置关系？ 小组合作探究，结合图形分析三种位置的数量特征，师生共同推导双向等价判定定理： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则： 直线与⊙0相离⇋d>r; 直线与⊙0相切⇋d=r; 直线与⊙0相交⇋d<r. 教师强调：左边是几何位置，右边是代数数量，双向等价、可以互相推导，实现数形互通. 【自研自探】自研课本Ｐ148－149 典型例题 例1 已知⊙O的半径r=6cm，圆心O到直线的距离为d，根据下列条件，判断直线与⊙O的位置关系： （1）d=4cm；（2）d=6cm；（3）d=7cm. 【分析】本题考查直线与圆位置关系的数量判定法，核心步骤为：明确半径r的值→对比d与r的大小→根据等价关系判定位置.熟记三组双向判定关系，准确对比数值大小，规范书写判定过程.学生易混淆大小对应关系，出现“d<r判相离、d>r判相交”的反向错误. 【详解】解：已知⊙O半径r=6cm, （1）当d=4cm时，4cm< 6cm，即d<r,直线与⊙O相交; （2）当d=6cm时，6cm= 6cm，即d=r,直线与⊙O相切; （3）当d=7cm时，7cm> 6cm，即d>r,直线与⊙O相离. 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12.以边AB的中点D为圆心，以r为半径作⊙D.若r=2.5.分别判断AC，BC 与OD的位置关系. 【分析】要判断AC，BC 与OD 的位置关系，只需求出圆心D到AC，BC的距离，再根据其与半径的大小关系作出别断. 【详解】解：如图，过圆心D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，则DE，DF的长分 别为圆心D到AC，BC的距离. 连接CD，由D为AB的中点，得CD=AD=BD，因而E，F分别为 AC，BC的中点. 所以DE=BC，DF=AC. ∵BC=12，AC=5，r=2.5， ∴DE>r，DF=r. ∴AC与⊙D相离，BC与⊙D相切. 第二环节 合作探究 1.讨论直线与圆的三种位置关系？怎样根据交点个数来判断？ 2.讨论怎样根据圆的半径与圆心到直线距离的大小关系来判断直线与圆的位置关系？ 1．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，求半径r的取值范围. 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 课本课堂练习P150. 1．（2026·舟山校考）若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：∵直线与半径为5的相离， ∴圆心与直线的距离． 2.（2026成都市新都区中考数学二诊试卷）圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 3．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（  ） A． B．3 C．4 D．5 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 知识技能:（1）三种位置关系：相离（0个公共点）、相切（1个公共点）、相交（2个公共点）；（2）核心概念：切线、切点、割线；（3）判定两种方法：①几何法（公共点个数）②代数法（d与r大小关系双向判定）. 思想方法:（1）数形结合思想：将几何图形位置关系与代数数量关系相互转化；（2）转化建模思想：用已知的点到直线距离知识，探究未知的线圆位置关系；（3）分类讨论思想：按三种位置分类归纳，形成完整知识体系. 易错提醒:（1）混淆判定关系：牢记d<r相交、d=r相切、d>r相离，切勿反向记忆；（2）概念混淆：区分点与圆、直线与圆的判定逻辑，不可混用；（3）理解误区：相切是“有且只有1个公共点”，不是“有1个公共点”，表述必须严谨. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.1直线与圆相离、相切、相交 （导学案） （1）理解直线与圆相离、相切、相交三种位置关系的定义，能根据图形准确区分三种位置关系，掌握切线、切点、割线的基本概念.掌握圆心到直线的距离d与圆半径r的数量关系，能熟练用几何法（公共点个数）和代数法（d与r大小关系）判定直线与圆的位置关系. 能运用判定方法完成基础计算、图形判断与简单实际应用. （2）通过动态演示、动手操作、小组探究，经历直线与圆三种位置关系的生成过程，培养观察、归纳、抽象概括的能力. 经历“图形位置→数量关系”的转化过程，体会数形结合、转化建模的数学思想，建立几何位置关系的通用探究方法. （3）在动态几何探究中感受几何图形的变化规律，激发几何学习兴趣，培养主动探究的学习习惯.在合作辨析、例题探究中养成严谨、规范的几何解题思维，提升数学学习的自信心与逻辑性. 重点：直线与圆相离、相切、相交三种位置关系的定义与图形特征；利用圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判定直线与圆的位置关系. 难点：理解“直线与圆的位置关系”和“d与r大小关系”的双向等价关系（位置定数量、数量判位置）；准确区分点到圆、直线到圆的位置关系判定差异，规避概念混淆错误. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 动态情境演示：播放“日出”动态画面，将太阳抽象为圆、地平线抽象为直线，让学生观察太阳升起过程中，直线与圆的位置变化. 问题驱动：（1）太阳升起的过程中，圆和直线出现了几种不同的位置？（2）可以通过什么特征区分这些位置关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ148－149 【学法指导】自研课本Ｐ148－149 （一）直线与圆位置关系（公共点个数判定） 思考 如图，在纸上画一条直线，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，在移动钥匙环的过程中，圆与直线会有几种位置关系？它们的公共点个数又是如何变化的？ 学生动手操作： 引导学生观察、归纳，师生共同总结三种位置关系的几何定义： （1）直线与圆相离：直线与圆没有公共点； （2）直线与圆相切：直线与圆有且只有1个公共点，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点； （3）直线与圆相交：直线与圆有2个公共点，这条直线叫做圆的割线. （二）数量关系探究（d与r大小关系判定） 思考 如图 ，设⊙O的半径为r， 圆心O到直线的距离为d.在直线与圆的三种位置关系中，d与r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？ 回顾旧知：点到直线的距离定义、点与圆的位置关系判定方法? 核心提问：能否用圆心O到直线的距离d和圆的半径r的大小关系，精准判定直线与圆的位置关系？ 小组合作探究，结合图形分析三种位置的数量特征，师生共同推导双向等价判定定理： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则： 直线与⊙0相离⇋d>r; 直线与⊙0相切⇋d=r; 直线与⊙0相交⇋d<r. 教师强调：左边是几何位置，右边是代数数量，双向等价、可以互相推导，实现数形互通. 【自研自探】自研课本Ｐ148－149 典型例题 例1 已知⊙O的半径r=6cm，圆心O到直线的距离为d，根据下列条件，判断直线与⊙O的位置关系： （1）d=4cm；（2）d=6cm；（3）d=7cm. 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12.以边AB的中点D为圆心，以r为半径作⊙D.若r=2.5.分别判断AC，BC 与OD的位置关系. 第二环节 合作探究 1.讨论直线与圆的三种位置关系？怎样根据交点个数来判断？ 2.讨论怎样根据圆的半径与圆心到直线距离的大小关系来判断直线与圆的位置关系？ 1．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，求半径r的取值范围. 课本课堂练习P150. 1．（2026·舟山校考）若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 2.（2026成都市新都区中考数学二诊试卷）圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（  ） A． B．3 C．4 D．5 知识技能:（1）三种位置关系： 个公共点）、 个公共点）、 个公共点）；（2）核心概念： 、 、 ；（3）判定两种方法：① ，② . 思想方法:（1）数形结合思想： ；（2）转化建模思想： ；（3）分类讨论思想： . 易错提醒:（1）混淆判定关系：牢记d<r 、d=r 、d>r 离，切勿反向记忆；（2）概念混淆：区分 、 的判定逻辑，不可混用；（3）理解误区：相切是“ ”，不是“ ”，表述必须严谨. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $