28.1 第2课时 旋转的性质 导学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“旋转的性质”，核心内容为利用旋转的对应边相等、对应角相等及图形全等性质进行几何证明。通过知识链接表格梳理旋转性质与几何语言，搭建学习支架，衔接前期旋转概念，为特殊三角形和四边形证明奠定基础。 资料以例题与变式分层设计，针对等边三角形、等腰直角三角形及平行四边形、菱形证明，强化旋转角与全等性质的综合运用。当堂检测题梯度合理，培养学生几何直观与推理能力，符合“用数学思维思考现实世界”的核心素养，助力学生掌握图形旋转的证明方法。

28.1 第2课时 旋转的性质 班级______　姓名______　学号______ 【学习目标】 ① 能利用旋转的性质（对应角相等、对应边相等、旋转前后图形全等）进行几何证明 ② 会运用旋转的性质证明特殊三角形（等边三角形、等腰直角三角形） ③ 会运用旋转的性质证明特殊四边形（平行四边形、菱形） 【学习重难点】 重点：旋转的性质（对应角相等、对应边相等、旋转前后图形全等）及其在几何证明中的应用　难点：综合运用旋转角相等与旋转前后图形全等两个性质，进行特殊三角形与特殊四边形的判定证明 【知识链接】 图例 旋转的性质 几何语言 (1)对应点到旋转中心的距离 . (2)对应点与旋转中心所连线段所成的角相等, 都 旋转角. (3)旋转前、后的图形 . ∵旋转， ∴ OA＝OA′，OB＝OB′， OC＝OC′， ∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′, △ABC≌△A′B′C′ ⁠ . 【合作交流】 知识点1 　利用旋转的性质证明特殊三角形 【例1】如图，点P为等边三角形ABC内部的一点，△ABP旋转后能与△CBP′重合. (1)旋转中心是 __________ ，旋转角是 __________ 度； (2)连接PP′，△BPP′是什么三角形？说明你的理由； (3)若点A，P，P′三点共线，求∠PP′C的度数. 【变式1】(人教新教材P94例2改编)如图，在正方形 ABCD中，△ABE绕点B旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，连接EE′. (1)△BEE′是 __________ 三角形； (2)EE′＝ __________ ； (3)判断△EE′C的形状并证明. 知识点2 　利用旋转的性质证明特殊四边形 【例2】如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA1B1. (1)OA1＝ ________ ，∠AOB1＝ __________ ； (2)连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形. 【变式2】如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°得到的，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE. (1)求证：△BDE≌△BCE； (2)四边形ABED的形状为 __________ . 【当堂检测】 1. 如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3.将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′，则线段AA′的长为(　　) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB′C′，点B′恰好落在AC边上，则CC′＝(　　) A. 10 B. 2 C. 2 D. 4 3. (人教新教材P111T8改编)如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠BAC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到AB上方，使DE∥AB，连接CE. (1)判断△ACE的形状，并证明； (2)作BF⊥AD于点F，求证：BF＝CE. 4. 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长AD交FG于点H. (1)求证：△EDC≌△HFE； (2)若∠BCE＝60°，连接BE，CH，求证：四边形BEHC是菱形. 【学习小结】 课堂总结：利用旋转的性质证明特殊三角形或特殊四边形，通常利用旋转角相等或旋转前后图形全等两个性质来证明. 参考答案与解析 知识链接 答案：相等；等于；全等 合作交流 例1　答案：（1）点B、60 解：(2)△BPP′是等边三角形.理由如下： ∵旋转角为60°，∴∠PBP′＝60°. 又∵BP＝BP′，∴△BPP′是等边三角形. 解：(3)由(2)，得△BPP′是等边三角形， ∴∠BPP′＝60°. ∵点A，P，P′三点共线， ∴∠APB＝180°－∠BPP′＝120°. ∴∠BP′C＝120°. ∵∠PP′B＝60°， ∴∠PP′C＝∠BP′C－∠PP′B＝60°. 变式1　答案：（1）等腰直角（2）2 解：(3)△EE′C是直角三角形. 证明如下：由旋转，得E′C＝AE＝1. ∵E′C2＋EE′2＝12＋(2 )2＝9，EC2＝32＝9， ∴E′C2＋EE′2＝EC2. ∴△EE′C是直角三角形. 例2　答案：（1）6、135 解：(2)证明：∵∠AOA1＝∠OA1B1＝90°， ∴OA∥A1B1. ∵OA＝AB＝A1B1， ∴四边形OAA1B1是平行四边形. 变式2　 解：(1)证明：由旋转，得BD＝BC，∠ABD＝∠EBC. ∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°. ∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝30°. ∴∠EBC＝∠ABD＝30°. ∴∠EBD＝∠DBC－∠EBC＝30°. ∴∠EBD＝∠EBC. 在△BDE和△BCE中， ， ∴△BDE≌△BCE(SAS). （2）菱形　 当堂检测 第1题　答案：C 第2题　答案：D 第3题　 解：(1)△ACE是等边三角形.证明如下： ∵∠ACB＝3∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝30°. ∵将△ABC绕点A逆时针旋转， ∴AE＝AC，∠AED＝90°. ∵DE∥AB, ∴∠AED＋∠BAE＝180°.∴∠BAE＝90°. ∴∠CAE＝60°. ∴△ACE是等边三角形. 解：(2)证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转， ∴∠EAC＝60°＝∠DAB. ∵∠ABC＝90°－30°＝60°， ∴∠DAB＝∠ABC. 又∵∠AFB＝∠ACB＝90°，AB＝AB， ∴△ABC≌△BAF. ∴BF＝AC. ∵△ACE是等边三角形，∴AC＝CE. ∴BF＝CE. 第4题　 证明：(1)∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到， ∴FE＝AB＝DC，∠F＝∠EDC＝90°，FH∥EC. ∴∠FHE＝∠CED. 在△EDC和△HFE中， ∴△EDC≌△HFE(AAS). (2)若∠BCE＝60°，连接BE，CH，求证：四边形BEHC是菱形. 证明：(2)由(1)，得△EDC≌△HFE，∴EH＝EC. ∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到， ∴EH＝EC＝BC，EH∥BC. ∴四边形BEHC为平行四边形. ∵∠BCE＝60°，EC＝BC， ∴△BCE是等边三角形. ∴BE＝BC. ∴四边形BEHC是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $