27.2 第2课时 反比例函数的图象与性质的应用 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦反比例函数图象与性质的应用，通过自主探究表格回顾双曲线象限分布及增减性，搭建学习支架，衔接前期图象性质知识，引导学生掌握增减性比较、取值范围求解及与一次函数值大小比较的方法。 资料采用分层设计，自主探究夯实基础，合作交流通过例题与变式强化易错点，当堂检测结合教材改编题巩固。总结“三线四区”比较方法，培养学生数学思维与几何直观，提升运用数学语言解决问题的能力，助力师生高效教学。

27.2 第2课时 反比例函数的图象与性质的应用 班级______　姓名______　学号______ 【学习目标】 ① 能熟练运用反比例函数的增减性比较同一支上两点函数值的大小 ② 会求反比例函数在给定自变量（或函数值）范围内的取值范围 ③ 掌握反比例函数与一次函数值大小比较的方法（代入法、图象法、增减性法，即过交点画竖线分区域比大小） 【学习重难点】 重点：反比例函数增减性的使用前提：必须在同一象限内（同一支上）比较；由图象位置或增减性反求 k 的取值范围；反比例函数与一次函数交点问题：联立解析式求交点，分区域比较函数值大小　难点：增减性易错：忽略“同一象限内”前提，跨象限比较函数值大小；双曲线与直线交点分区域讨论时区间端点的开闭（含等号与否） 【自主探究】 1. 反比例函数y＝ (k≠0)的图象是双曲线. 象限 增减性 几何语言［(x1，y1)和(x2，y2)在图象上］ k＞0 在每一支上，y随x的增大而 . ∵x1＞x2＞0或x1＜x2＜0,∴y1 y2或y1 y2. k＜0 在每一支上，y随x的增大而 . ∵x1＞x2＞0或x1＜x2＜0,∴y1 y2或y1 y2. 2. (1)函数y＝ 的图象位于第 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ⁠； (2)函数y＝－ 的图象位于第 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ⁠. 【合作交流】 知识点1 　反比例函数的增减性 【例1】若点A(1，y1)，B(2，y2)在反比例函数y＝()/() 的图象上，则y1，y2的大小关系是(　　) A. y2＜0＜y1 B. 0＜y2＜y1 C. y1＜0＜y2 D. y1＜y2＜0 【变式1】若点A(－2，y1)，B 在反比例函数y＝－ 的图象上， 则y1 y2.(填“＞”“＜”或“＝”) 【例2】已知点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在双曲线y＝ 上，且x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系为 ⁠. 【变式2】已知点A(a，y1)，B(a＋1，y2)是反比例函数y＝ 图象上的两点，若当a＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是 ⁠. 【例3】已知反比例函数y＝－ ，当－4≤x≤－2时，求y的取值范围. 【变式3】(人教新教材P73T4改编)已知反比例函数y＝ ，当1＜y≤3时，求x的取值范围. 知识点2 　反比例函数与一次函数值大小比较 【例4】如图，直线y1＝ax与双曲线y2＝－ 交于 A(－1，3)，B(1，－3)两点. (1)当 时，y1＝y2； (2)当 时，y1＞y2； (3)当 时，y1≤y2. 直线y1＝ax与双曲线交于A(－1，3)、B(1，－3)两点的函数图象 【变式4】如图，直线y1＝ax＋b与双曲线y2＝ 交于A(2，2)，B(－1，－4)两点. (1)当 时，y1＝y2； (2)当 时，y1＞y2； (3)当 时，ax＋b≤ . 直线y1＝ax＋b与双曲线交于A(2，2)、B(－1，－4)两点的函数图象 【当堂检测】 1. (人教新教材P85T5改编)在反比例函数y＝ 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围为 ⁠. 2. (人教新教材P71T3改编)对于反比例函数y＝－()/() ，下列说法不正确的是(　　) A. 点(－2，1)在它的图象上 B. 当x＞0时，y随x的增大而增大 C. 它的图象在第二、四象限 D. 若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 3. 如图，反比例函数y1＝()/() 的图象与一次函数y2＝kx＋b的图象相交于A，B两点，若y1＜y2，则x的取值范围是(　　) A. 1＜x＜3 B. 0＜x＜1 C. x＜0或1＜x＜3 D. x＞3或0＜x＜1 检测第3题的函数图象 4. (人教新教材P73T5改编)如图是反比例函数y＝ 的图象的一支. (1)m的值为 ⁠； (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，如果x1＞x2，那么y1和y2的大小关系为⁠ ⁠； (3)当－4＜x≤－1时，y的取值范围为 ⁠； (4)若点(a，y)在该函数图象上，且a≥－2， 则y的取值范围为 ⁠. 反比例函数y＝k/x图象的一支 【学习小结】 课堂总结： 1. (易错点)反比例函数的增减性必须指出在同一象限内或在象限的同一支上. 2. 比较反比例函数的函数值大小的方法：(1)代入法； (2)图象法；(3)增减性. 3. 反比例函数与一次函数值大小比较的方法：过交点，画竖线，分区域，比大小.(简称：三线四区) 参考答案与解析 自主探究 第1题　答案：一、三、减小、＜、＞、二、四、增大、＞、＜ 第2题　答案：一、三、减小、二、四、增大 合作交流 例1　答案：B 变式1　答案：＞ 例2　答案：y1＜y2 变式2　答案：k＜0 例3　 解：∵反比例函数为y＝－ ，－8＜0， ∴其函数图象分布在第二、四象限， 在每一个象限内，y随x的增大而增大. 当x＝－2时，y＝4；当x＝－4时，y＝2， ∴当－4≤x≤－2时，y的取值范围是2≤y≤4. 变式3　 解：∵反比例函数为y＝ ，6＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小. 当y＝1时，x＝6；当y＝3时，x＝2， ∴当1＜y≤3时，x的取值范围是2≤x＜6. 例4　答案：x＝－1或1、x＜－1或0＜x＜1、－1≤x＜0或x≥1 变式4　答案：x＝－1或2、－1＜x＜0或x＞2、x≤－1或0＜x≤2 当堂检测 第1题　答案：k＞1 第2题　答案：D 第3题　答案：C 第4题　答案：（1）－1（2）y1＞y2； （3） （4）y≥3或y＜0 学科网（北京）股份有限公司 $