精品解析：四川达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期学数学学 情自测试题

四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）和轴对称图形（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）定义即可求出答案. 【详解】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意. 故选：B. 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，解题的关键在于熟练掌握相关定义. 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、不能分解因式，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、不能分解因式，故此选项不符合题意． 3. 下列几个变形中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，解题的关键在于正确掌握不等式性质． 根据“不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除除以同一个负数，不等号方向改变；”逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、如果，当，时，，故A选项不符合题意； B、如果，当，时，，故B选项不符合题意； C、如果，，那么，故C选项符合题意； D、如果，当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在四边形中，交于点O，O为中点，下列条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键 【详解】解：∵O为的中点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A 5. 如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形平移的性质以及面积的计算，解题的关键是利用平移后图形面积不变的性质，通过面积的等量代换求出阴影部分的面积． 根据平移的性质可知与面积相等；结合题目给出的阴影部分面积计算方法，通过等量代换得出阴影部分面积等于矩形的面积；再根据矩形面积公式计算即可． 【详解】∵向上平移 得到， ∴的面积的面积(平移不改变图形的面积)． 由题意可知，阴影部分的面积的面积矩形的面积的面积． ∴阴影部分的面积=矩形的面积． ∵，，且， ∴矩形的面积． 即阴影部分的面积为． 故选：A． 6. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形与矩形的性质，从边、角、对角线三方面，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、对边相等，是菱形和矩形都具有的性质，故选项A不符合题意； B、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项B不符合题意； C、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项C不符合题意； D、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形与矩形的性质，熟练掌握菱形与矩形的性质是解题的关键． 7. 关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 解得 8. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式和分式有意义的条件；根据分式和二次根式的定有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：代数式有意义的的取值范围是， 解得：， 故答案为：． 10. 若为整数，且是 的一个因式，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，若 是多项式 的一个因式，则当 时，多项式的值为零，把代入多项式可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：将 代入多项式 ， 可得： ， 解得：． 故答案为：． 11. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 12. 已知，，则代数式的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了代数式求值，分式的加法运算，先计算出，再整体代入，，计算即可． 【详解】解：，，， ， 故答案为：3． 13. 如图，在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于点F，连接、，过点D作于点G．若，，四边形是菱形，则的长为__ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，三角形中位线，得，结合菱形的面积，三角形的面积得到，解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点D、E分别是边的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的多种解法（因式分解法、公式法），解题的关键是观察方程结构，优先选用简便的因式分解法，无法因式分解时利用求根公式求解． （1）移项后利用平方差公式因式分解求解； （2）十字相乘法因式分解求解； （3）化为标准式后套用求根公式求解； （4）先展开、移项、合并同类项整理成一元二次方程标准形式，再因式分解求解． 【小问1详解】 解： 或 解得 【小问2详解】 解： 或 解得 【小问3详解】 ∵， 方程有两个不相等的实数根， 即 【小问4详解】 解： 或 解得 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，得到最简形式后，代入求值． 【详解】解： ， 当时，． 16. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 17. 如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）由四边形是平行四边形，得，则，根据垂直平分线性质得，证明，所以，从而证明四边形是平行四边形，又，则有四边形是菱形； （）由四边形是菱形，则，所以，则，证明，所以，从而求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 18. 点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H． （1）如图1，证明：； （2）如图2，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴点A，C关于对称， ∴． ∵ ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，再证明，即可得出结论； （2）证明，得出，即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由四边形是正方形， 得，． 由， 得， 得，即， 得， 得， 得． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若方程的两个实数根为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】题考查的是一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 将代入方程可得，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算． 【详解】解：∵为方程的实数根， ∴，即， ∴ ∵方程的两个实数根为，， ∴， ∴． 故答案为：． 20. 如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为_____元． 【答案】8 【解析】 【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段和设的函数关系式，比较y值大小即可． 【详解】解：设y关于x的函数关系式为， 当时，将代入中得： ， 解得：， ∴； 当时，将代入中得： ， 解得：， ∴； 当时，， 当时，， （元）． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段和射线的函数关系式是解题的关键． 21. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接， 根据中，，，得到，根据，得到，根据旋转得到，，，，得到为等边三角形，得到，得到，推出为等边三角形，得到． 本题主要考查了旋转，含30度角的直角三角形，等边三角形．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定． 【详解】解：连接，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即点与点B之间的距离为． 故答案为：． 22. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元一次不等式组的解集为，可求出，解分式方程可得，结合分式方程的解为负整数且，即可得出整数a的值，再求它们的和即可得出答案． 【详解】， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴， 解分式方程得：， ∵分式方程的解为负整数且， ∴是负整数且， ∴或， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案是． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解以及解分式方程、一元一次不等式组的解集，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解题的关键，注意分式有意义的条件． 23. 如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点O，G是的中点，线段（点E在点F的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是__． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点P，连接，，设与的交点为H，根据平行四边形的判定和性质，三角形中位线，得到，继而得到，根据，故当三点共线时，取得最小值，即F与H重合时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 如图，取的中点P，连接，，设与的交点为H， ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵正方形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵, 故当三点共线时，取得最小值，即F与H重合时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ 【答案】（1）A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元 （2）该商店有5种进货方案 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程，并找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元，根据用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品件，根据商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组，求出正整数解，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元； 【小问2详解】 解：设购进A种商品a件，则购进B种商品件， 由题意得：， 解得： ， ∵a为正整数， ∴， 答：该商店有5种进货方案． 25. 课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 知识应用 （2）在中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2），证明如下： 如图所示，过点作交于，连接， ， ， ，即， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 互相平分， 点为的中点， 三点共线， ， 在中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明； （2）过点作交于，连接，则，先证明是等边三角形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则． 【详解】略 26. 如图，在下方的直线． （1）P为直线上一动点，连接．若，． ①如图1，求证：四边形是平行四边形； ②如图2，，，作于点D，连接，若，求的长； （2）如图3，，，作于点D，连接,，若的面积始终为3，求长的最大值． 【答案】（1）①证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ②4 （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）①利用得到内错角相等，结合已知角相等推出两组对边分别平行证得平行四边形；②过点C作垂线构造矩形，设未知数结合面积法、勾股定理建立方程求出线段长； （2）利用平行线间三角形面积相等，求出BP长度，取中点构造两条定长线段，依据求出最大值． 【小问1详解】 解：①略 ②解：过C作于点H，交于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴， 则四边形是矩形， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过B作交于点P，作交于点Q， ∴， ∴． 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 取中点O，连接，则， 在中，， ∵是直角三角形，O是中点， ∴， 根据三角形三边关系可得，， ∴最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几个变形中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 4. 如图，在四边形中，交于点O，O为中点，下列条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 7. 关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 10. 若为整数，且是 的一个因式，则的值为________________． 11. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 12. 已知，，则代数式的值是______． 13. 如图，在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于点F，连接、，过点D作于点G．若，，四边形是菱形，则的长为__ ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 17. 如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，求证：． 18. 点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H． （1）如图1，证明：； （2）如图2，若，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若方程的两个实数根为，，则的值为______． 20. 如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为_____元． 21. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 22. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是__________． 23. 如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点O，G是的中点，线段（点E在点F的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是__． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ 25. 课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 知识应用 （2）在中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论 26. 如图，在下方的直线． （1）P为直线上一动点，连接．若，． ①如图1，求证：四边形是平行四边形； ②如图2，，，作于点D，连接，若，求的长； （2）如图3，，，作于点D，连接,，若的面积始终为3，求长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $