专题2.2-2.3一元二次方程的解法及根与系数的关系（10大题型 小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年数学北师大版九年级上册

**基本信息** 以“解法-判别式-根与系数关系”为主线，构建“模块通关-专题攻坚-压轴拓展”三阶训练体系，提炼“步骤化+思想化”解题方法，逻辑递进培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|5模块（含典例+3变式）|直接开平方法、配方法（五步法）、公式法、因式分解法（四步法）|从特殊形式到一般解法，构建降次核心逻辑| |根的判别式|2模块|判别式符号与根的情况对应，参数范围求解步骤|连接解法与方程性质，深化逻辑推理| |根与系数关系|2模块|代数式变形（含两根和差积）、参数求解四步法|从定性到定量，实现不解方程用根的关系| |微专题与压轴|2微专题+2压轴|换元法、配方法应用分类，综合运用与新定义问题处理|融合数学思想，对接中考创新题型|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.2---2.3一元二次方程的解法及根与系数的关系》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 角的概念 模块11 求一个角的余角和补角 模块2 角的表示方法 模块12与余角补角有关的计算 模块3 钟面角 微专题1角n等分线的有关计算 模块4 度分秒换算与相关计算 微专题2实际问题中角度计算问题 模块5 方向角 微专题3角计算中的整体思想 模块6折叠角 微专题4角计算中的方程思想 模块7角的大小比较 微专题5角计算中的分类讨论思想 模块8 角的平分线 压轴1 三角板中角度计算问题 模块9角的尺规作图 压轴2 角计算中的新定义问题 模块10 几何图形中角度计算问题 压轴3 动角问题的计算 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 模块通关·举一反 三 【模块一】可化为 我们可以通过直接开平方的方式将二次方程降次为一次方程求解，根据常数p 的取值不同，方程根的情况可分为三种： ①当 p>0 时，对等式两边开平方可得x=，此时方程有两个不相等的实数根， ② 当p=0 时，原方程变为 x2=0 ，此时方程有两个相等的实数根，即x1=x2=0 ； ③ 当p<0 时，因为任意实数的平方都为非负数，因此不存在实数x 满足等式，此时方程没有实数根。 【典例1】（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 【变式1-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程即可； （2）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【变式1-2】．一元二次方程的根为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，形如或的一元二次方程可采用直接开平方法的方法解一元二次方程． 【变式1-3】解方程：． 【答案】 【分析】将方程整理为，再利用直接开平方法求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴ ，    ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是本题的关键． 【模块二】可化为的解法 .这类方程可通过整体换元，结合直接开平方的思路求解：我们将一次式 mx+n 看作一个整体，根据常数 p 的取值不同，方程根的情况同样分为三类： ① 当p>0 时，对等式两边开平方可得mx+n=，由此转化为两个一元一次方程mx+n=和mx+n=-，分别求解两个一次方程，即可得到原方程两个不相等的实数根； ② 当p=0 时，原方程可化为（mx+n）2=0 ，此时开平方后得mx+n=0 ，原方程有两个相等的实数根； ③ 当p<0 时，由于任意实数的平方都为非负数，不存在满足等式的实数 x ，因此原方程没有实数根。掌握这种形式方程的解法后，就可以为后续配方法、公式法解一般形式的一元二次方程打好基础。 【典例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程的两边同时开平方， 得________， 即________或________， 所以________， ________． 【答案】 ±3 3 －3 2 －1 【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可 【详解】∵ ∴±3 ∴3，-3 ∴2，-1 【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键 【变式2-1】解方程： 【答案】或 【分析】利用平方根的概念进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】此题考查了利用平方根解方程，掌握解题步骤与方法是解题的关键． 【变式2-2】解方程：． 【答案】 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式2-3】解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)变形后直接利用平方根的性质求解； (2)移项变性后，利用平方根的性质求解； (3)移项变形后，利用立方根的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，理解掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． 【模块三】配方 对于一般的二次多项式 ax2+bx+c，首先将二次项和一次项整体提取二次项系数a ，得到 a(x2+x）+c 接着在括号内凑完全平方，加上一次项系数一半的平方，同时再减去这个平方以保持多项式的值不变，即变形为；最后将括号内前三项整理为完全平方式，合并常数项后即可得到最终的配方结果。 【典例3】（25-26九年级上·海南·月考）配方：______=（______）；（______）． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式． 根据完全平方公式进行配方即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，，． 【变式3-1】对二次三项式进行配方，得， (1)______，______． (2)求：当x为何值时，此二次三项式的值为7？ 【答案】(1) (2)当时，此二次三项式的值为7 【分析】（1）根据完全平方公式配方变形求解即可； （2）令，利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为： （2）解：根据题意得， 即， ， ∴ ∴当时，此二次三项式的值为7． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式及配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式3-2】．已知关于x的方程的左边是完全平方式，则a为（　　） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵关于x的方程的左边是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【变式3-3】．已知是完全平方式，则常数的值是 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式配方后，列方程，利用配方法求解即可得到答案． 【详解】解： ， ，即， ，则，即，解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用完全平方式求参数，利用配方法得到方程，再由配方法解方程是解决问题的关键． 【模块四】配方法解一元二次方程 其核心逻辑是通过恒等变形将一般形式的一元二次方程转化为可直接开平方降次的完全平方式，是求解一元二次方程、推导根的判别式与根与系数关系的重要基础，具体操作流程可总结为“一化、二移、三配、四开、五求解”： ①化1：若一元二次方程的二次项系数不为1，将方程整体同时除以二次项系数，将二次项系数化为1； ②移项：把方程中的常数项移到等号的右侧，使方程左侧只保留含未知数的二次项和一次项； ③配方：在方程两侧同时加上一次项系数一半的平方，将左侧多项式整理为完全平方式，右侧合并常数项得到常数结果； ④开方：若右侧常数为非负数，对两侧同时开平方得到两个一元一次方程；若右侧常数为负数，则说明原方程没有实数根，直接终止求解即可； ⑤求解：分别解得到的两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的两个根。在一元二次方程根与系数关系的相关证明、待定系数求解问题中，配方法也是常用的推导工具，我们常通过配方结合平方的非负性，推导出根和系数满足的关系。 【典例4】（25-26九年级上·山西朔州·月考）佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法解，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． （1）观察解答过程可得答案； （2）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； （2）解：移项得：， 配方得：，即， 开平方，得． 解得，． 【变式4-1】用配方法解方程：x2﹣2x﹣8=0． 【答案】x1=4，x2=﹣2 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解． 【详解】方程移项得：x2﹣2x=8， 配方得：x2﹣2x+1=9，即（x﹣1）2=9， 开方得：x﹣1=3或x﹣1=﹣3， 解得：x1=4，x2=﹣2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式4-2】用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）（2）， ， ， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键． 【变式4-3】解方程：（配方法）． 【答案】， 【分析】先把方程化成，它的二次项系数为，为了便于配方，需要把二次项系数化为． 【详解】移项，得 ． 二次项系数化为，得 ． 配方，得 ， ． 由此可得 ， ，． 【点睛】本题主要考查采用配方法解一元二次方程，牢记配方法的定义（通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法）是解题的关键． 【模块五】判断方程根的情况 首先要将给定方程整理为一元二次方程的一般形式，据此确定系数 a,b,c 的取值，再代入公式计算根的判别式，最后根据判别式的符号判断根的情况： （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 若题目给定了根的具体情况，也可以反过来利用判别式的符号，构造不等式求解方程中未知参数的取值范围。 【典例5】（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式5-1】已知关于x的方程．求证：无论k取何值，这个方程总有实数根． 【答案】见解析 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断，求证； 【详解】证明：， ∴无论k取何值，这个方程总有实数根． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判定，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【变式5-2】如果是实数，且不等式的解集是，那么关于的一元二次方程的根的情况如何？ 【答案】无实数根 【分析】由一元一次不等式解的情况线确定参数m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式即可进行判定． 【详解】解：由的解集是，可知，即， 对一元二次方程， 其中，，， ∴， ∵， ∴恒成立 故该一元二次方程无实数根． 【点睛】本题考查根据一元一次不等式解的情况线确定参数的取值范围、根据一元二次方程根的判别式判断根的情况．掌握相关结论是解题关键． 【变式5-3】已知关于的一元二次方程． (1)不解方程，判断方程的根的情况； (2)方程有两个不相等的正整数根时，求整数的值． 【答案】(1)当时，方程有两个相等的实数根，当且时，方程有两个不相等的实数根 (2) 【分析】（1）由一元二次方程的定义可得出，再利用根的判别式，套入数据即可得出，由此即可得出结论； （2）结合（1）的结论可得出且，设方程的两个根分别为、，利用根与系数的关系可得出，再根据、均为正整数，为整数，即可得出结论． 【详解】（1）解： 方程是关于的一元二次方程， ， ， 当时，方程有两个相等的实数根，当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：方程有两个不相等的正整数根， 且． 设方程的两个根分别为、， ， 、均为正整数， 为正整数， 为整数，且， ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找出，（2）找出为正整数． 【模块六】 用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的步骤： 第一步将原方程整理为的一般形式，确定a,b,c的取值； 第二步计算判别式，根据的符号判断根的情况，若可直接得出方程无实数根； 第三步若，将相关值代入求根公式计算，得到方程的两个根。 【典例6】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 【变式6-1】用公式法解一元二次方程 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程公式法，先计算根的判别式的值，然后利用求根公式写出方程的解．熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 【变式6-2】解一元二次方程： 【答案】，． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先求解，再利用求根公式解方程即可，熟记公式法解一元二次方程是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：，． 【变式6-3】解方程 【答案】， 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 ，， ∴ ∴ 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【模块七】 因式分解法解方程 （其核心思路是通过因式分解把一元二次方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再利用“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，将二次方程降次为两个一元一次方程求解。具体解题步骤为：第一步 先把方程整理，将所有项移到方程左侧，使方程右侧化为0； 第二步 对左侧的二次多项式进行因式分解，得到(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步 分别令两个一次因式等于0，得到两个一元一次方程； 第四步 分别求解这两个一元一次方程，得到的结果就是原一元二次方程的两个根。相较于公式法，因式分解法往往能简化计算过程，是解一元二次方程更便捷的选择。 【典例7】（25-26九年级上·吉林白城·月考）用因式分解方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解： 解：， ∴或， ∴，． 【变式7-1】解方程 【答案】 解： ， 或 解得： 【变式7-2】用适当的方法解下列方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可，掌握因式分解法，直接开平方法，配方法，公式法等解一元二次方程常用的方法是解题关键． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 【变式7-3】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）首先利用完全平方公式变形为，然后利用直接开方法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴或， 解得，； （2）解： ， ， ∴， 解得． 【模块八】 用适当方法解一元二次方程 我们可以按照以下优先级和规则来选择： ① 若方程符合直接降次的形式，如形如(x+m)2=n这类方程，优先选择直接开平方法，步骤简便计算量小； ② 若方程左边可以通过提公因式、乘法公式或十字相乘分解为两个一次因式的乘积，右边为0，优先选择因式分解法，这种方法往往能大幅简化计算，是解这类题目的最优选择，就如前面的典例所示； ③ 若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，也可以优先选择配方法，步骤相比公式法更简洁； ④ 若上述方法都不适用，我们选择通用的公式法，公式法可以解所有有实数根的一元二次方程，只需先确定各项系数、计算判别式，再代入求根公式即可。 如果题目明确要求使用指定方法求解，则需要按照题目要求选择对应方法作答。 【典例8】用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程的特征选择合适的方法是解题的关键． （1）采用配方法求解； （2）采用公式法求解； （3）采用因式分解法求解； （4）将左边展开整理后，采用配方法求解． 【详解】（1）， 移项，得， 配方，得， ∴， 开方，得， ∴，； （2） ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； （3）， 移项，得， 因式分解，得， ∴，， 解得，； （4） 整理，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，． 【变式8-1】请选择适当的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法， （1）利用公式法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∴，； （2）∵， ∴， 则或， 解得：． 【变式8-2】请选择适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先化为一般式，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，； （3）解：， ， 或， ，； （4）解：， ， ，即， 或， ，． 【变式8-3】解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即“降次”．根据一元二次方程的特点，可以利用配方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程，请你利用两种不同的方法解下列一元二次方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法解一元二次方程、平方差公式因式分解法解一元二次方程等，熟记一元二次方程的解法，根据方程的结构特征选择恰当的解法是解决问题的关键． 【详解】解：方法一：， ， ， ，即， 或，解得； 方法二：， ，即， ，直接开平方得或，解得． 【模块九】根据根的判别式求参数的值或取值范围 这类问题的解题核心是结合根的存在情况得到关于判别式的不等式（或等式），同时不要忘记一元二次方程隐含的二次项系数不为0的限制条件，具体解题可以遵循以下步骤： 第一步，先将给定方程整理为标准的一元二次方程形式，明确二次项系数、一次项系数与常数项，若二次项系数含参数要提前标注范围限制； 第二步，根据题目给出的根的情况，比如“有两个不相等的实数根”“有两个实数根”“没有实数根”等，对应写出判别式Δ的符号关系，列出不等式或等式； 第三步，求解所列的不等式或等式，再结合二次项系数不为0的要求，最终得到参数的取值范围或具体取值。 【典例9】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题需要同时满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个实数根要求根的判别式，求解两个不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，即， 又∵方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， 综上，的取值范围是且． 【变式9-1】．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后解不等式与方程即可得到满足条件的a的值． 【详解】根据题意得，且， 解得且； 故选：B． 【变式9-2】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根．则的值是（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意得到一元二次方程根的判别式，构建方程求解，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故选：D． 【变式9-3】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，即可列式作答． 【详解】解：因为x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 则， 解得 因为，， 所以，， 那么k的取值范围是且， 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的判别式；当一元二次方程有两个不相等的实数根，则，当一元二次方程有两个相等的实数根或有一个实数根，则，当一元二次方程没有实数根，则． 【模块十】 运用根与系数的关系计算 第一步，先确认一元二次方程存在两个实数根，即先判断判别式，再明确方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入公式得到两根之和=-与两根之积=； 第二步，对所求的对称式进行恒等变形，将其整理为仅含有和的表达式，除了前文提到的，常见的变形形式还有：： 等； 第三步，将已经求得的两根之和=-与两根之积=的数值代入变形后的式子，计算即可得到所求对称式的最终结果。， 【典例10】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围； （2）先根据（1）中k的取值范围确定k的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． （2）解：的最大整数为， ， ∴，， 则． 【变式10-1】若非零实数，（）满足，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据非零实数，()满足，，得出是方程的解，再根据一元二次方程根根与系数的关系得出与的值，把算式变形代入计算即可，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵非零实数，()满足，， ∴是方程的解， ∴，， ∴， 故选：． 【变式10-2】设是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若一元二次方程（）的两根为，则，，解题的关键是熟练运用根与系数的关系． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 【变式10-3】已知关于的方程三个根分别为，，，则计算的值是（    ） A． B．10 C． D．20 【答案】C 【分析】由题意可得，解得或，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了高次方程的解法思路及一元二次方程根与系数的关系，灵活运用所学知识是关键． 【模块十一】运用根与系数的关系求参数的值 第一步：根据方程有实数根的条件，利用根的判别式得到参数的取值范围，这是求解的前提，可避免后续出现不符合要求的增根； 第二步：根据一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系，写出两根之和、两根之积关于所求参数的表达式； 第三步：将题目给出的两根之间的数量关系，整理变形为含有两根之和、两根之积的形式，代入上述表达式，得到只含目标参数的方程； 第四步：解出参数后，结合第一步得到的参数取值范围进行检验，筛选出符合所有条件的参数值。 【典例11】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的两个实数根．若，求（    ） A．3 B． C．4 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系，将条件转化为关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵方程是， ∴设，，， 则，， ∴， 代入，， 得， 给定， ∴， 解得， ∴， 当时，方程为，其根的判别式，满足题意 此时，方程确为二次方程，符合条件． 故选：D． 【变式11-1】已知关于x的一元二次方程的两个实数根满足，则实数m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式等知识点，先利用根的判别式的意义得到，再利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于m的方程后利用m的取值范围得到满足条件的m的值，熟记概念并灵活运用是解本题的关键． 【详解】根据题意得， 解得， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴m的值为3． 故答案为：3 【变式11-2】已知：关于的方程 (1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)已知求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程． （1）由根的判别式可得答案； （2）由，根据，计算可得． 【详解】（1）证明：在中， ， ， 方程总有两个实数根； （2）解：，， ，即， 解得：． 【变式11-3】己知关于x的一元二次方程 (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别是和，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式： （1）证明根的判别式的值大于0即可； （2）利用根与系数关系，构建方程求解． 【详解】（1）证明：∵， 又， ∴， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 换元法解一元二次方程 第一步：换元，观察原方程（或可化为一元二次方程的复合方程）的结构特征，将方程中重复出现、具有整体规律的复杂代数式设为新的未知数，将原方程转化为关于新未知数的标准一元二次方程，完成简化降次。 第二步：解新方程，根据一元二次方程的求解方法，求出新未知数的所有可能值。 第三步：回代计算，将得到的新未知数的值代回换元时所设的关系式中，计算得到原方程未知数的对应值。 第四步：检验得解，将计算得到的原未知数的值代回原方程验证，舍去不符合题意的增根，最终整理得到原方程的全部解。 【典例12】若实数x、y满足，则的值是（    ） A．或1 B．2 C．2或 D．1 【答案】D 【分析】设，则方程为，解方程求出或，由此得到答案． 【详解】解：设，则方程为 ∴或， ∵， ∴，即， 故选：D． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握方程的特点选择简单的解法是解题的关键． 【变式12-1】若，则的值是（    ） A． B．1 C．1或 D．1或6 【答案】B 【分析】设，而，可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设， ∴ ∴， ∴， ∴或， 解得：，（不符合题意舍去）； ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本题的关键． 【变式12-2】已知关于的方程的两根为，，则方程的两根之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案． 【详解】设， ∴一元二次方程可化为：， ∵关于的方程的两根为，， ∴，，即：或， 解得：，， ∴的两根之和为， 故选：B． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，懂得换元思想． 【变式12-3】方程有四个互不相等的实数根，则下列值中不满足要求的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】方程含有绝对值，先化简原方程为两个方程，再利用一元二次方程有两个不等实数根时，根的判别式，建立关于的不等式，结合根与系数的关系，即可求得的取值范围． 【详解】设，则原方程为：即， ∵方程有个互不相等的实数根， ∴方程有个互不相等的正实数根， 设与是方程的两个根， ∴， 解得，故、、符合题意，不符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根．注意方程中含有绝对值时，要把方程化为两个方程后分析求解． 【微专题二】配方法的应用 配方法的应用主要分为四类，分别是解一元二次方程、求代数式的最值、判断代数式的正负取值范围、解决与方程根相关的判定问题。 配方法的使用核心是对二次多项式配方，使用步骤为：首先若二次项系数不为1，先提取二次项系数，将括号内二次项系数化为1；之后在括号中加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数，保证代数式的值不变；最后将含未知数的部分整理为完全平方式，再结合具体问题求解即可：如果是解一元二次方程，就可以将方程整理为“完全平方式=非负常数”的形式，之后直接开平方得到方程的解；如果是求代数式最值，根据完全平方式大于等于0的非负性质，就能直接读出代数式的最大值或最小值。 【典例13】（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 【变式13-1】代数式的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【答案】D 【分析】利用配方法把所给代数式变形为，根据偶次方的非负性推出，由此即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值一定不小于1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将所给代数式变形为是解题的关键． 【变式13-2】已知实数满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．运用整体的思想是解题的关键． 由，整理得，即，然后求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴，整理得， ∴， 解得，， 故答案为：2． 【变式13-3】阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式， 例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系， 　　　　； 所以　　0（填“”、“”、“”； (2)将多项式变形为的形式，并求出多项式的最小值； (3)求证：、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1)1；2； (2)最小值为 (3)证明见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键； （1）模仿题干的例题配方即可，利用平方的非负性与0比较大小； （2）将多项式配方，根据平方的非负性求出多项式的最小值； （3）对多项式进行配方即可证明多项式的值总为正数． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：1；2；； （2）解： ， ， 当时，有最小值，最小值为； （3）证明： ， ，， ， 、取任何实数时，多项式的值总为正数． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 根的判别式与根与系数的关系的综合运用 常见的综合运用主要分为三类，具体用法如下： 1. 求解一元二次方程中的未知参数：先利用根的判别式确定参数的初步取值范围，保证方程存在实数根，再结合题目给出的两根满足的关系（如两根互为相反数、两根平方和为定值等），利用根与系数的关系将关系转化为关于参数的方程，解出参数后代入之前得到的取值范围检验，舍去不符合要求的解即可。 2. 不解方程求与两根相关代数式的值：先验证判别式非负，确认方程存在实数根后，将所求代数式通过因式分解、配方等恒等变形，转化为仅含和的形式，再代入根与系数关系得到的结果计算即可，常见可变形的代数式包括，常见的变形形式还有：： 等； 3. 根据根的符号特征求参数范围：若已知根的符号（如两个正根、两个负根、一正一负根等），首先需要满足判别式符合存在对应根的要求，再结合根与系数关系得到不等式组，解不等式组即可得到参数的取值范围。 【典例14】（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ． 【变式14-1】（25-26九年级上·广西南宁·月考）已知，是方程的两个根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求的代数式降次变形，再结合根与系数的关系得到两根乘积，代入计算即可． 【详解】 ，是方程的两个根， 由方程根的定义得，， 由一元二次方程根与系数的关系得， ， 又， ， 由，得， ， 原式， 将代入得：原式． 【变式14-2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若，方程的两个实数根分别为（其中），若y是m的函数，且，求这个函数的解析式． (3)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)24 【分析】（1）利用求出关于的式子，然后证明关于的式子大于或等于0即可； （2）利用公式法确定两根，代入即可得出这个函数解析式； （3）利用根与系数的关系求出的值，即可得到与分别是关于的方程的两个根，利用根与系数的关系得到，即，代入代数式化简即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， 方程有两个实数根； （2） 解：由（1）可知，方程有两个实数根， ， ， ， ，， ． ． （3）解：a与分别是关于x的方程的两个根． ，， 与是整数， 与同为整数， 是正整数， ， 方程为， ， ， 将代入 原式 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系求出；（3）利用根与系数的关系求出代入原式求解． 【变式14-3】阅读下列材料： 材料1：若关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，则，. 材料2：已知实数，满足，，且，求的值. 解：根据题意可知，实数，是方程的两个不相等的实数根 根据材料1，得， ∴，. ∴ 根据上述材料，解答下列问题： (1)若一元二次方程的两个根分别为，，则___________，___________； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)已知实数，分别满足，，且，求的值. 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （2）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1），； 故答案为；； （2），，且， 、可看作方程， ，， ； （3）把变形为， ∴实数和可看作方程的两根，， ∴，， 【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 【压轴二】 一元二次方程背景下的新定义问题 一元二次方程背景下的新定义问题是初中数学一元二次方程模块中常见的创新题型，也是各地中考常考的题型之一。这类题型会结合一元二次方程的性质，给出一个课本中未涉及的全新定义或规则，要求学生在理解新定义的基础上，运用已学的根的判别式、根与系数关系、一元二次方程解法等知识分析解决问题，重点考查学生的知识迁移能力与逻辑推理能力。 这类题目通常分多个小问递进设置难度，第一问多围绕一元二次方程的基础性质设问，最典型的设问就包含“求证：方程有两个实数根”这类问题，解答时我们只需要先根据新定义的规则整理出待证方程的一般形式，计算出根的判别式，再通过配方、恒等变形证明≥0，即可完成证明。后续小问则会结合新定义进一步考查代数式求值、参数范围求解等内容，只需要紧扣定义、结合相关知识逐步推导即可求解。 【典例15】.如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是否为“差1方程”？ (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”， 求m的值； (3)若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 【答案】(1)是 (2)或 (3)16 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．熟练掌握因式分解法，公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）因式分解法求得，，然后根据“差1方程”的定义进行判断作答即可； （2）因式分解法得，，由“差1方程”的定义可得或，计算求解即可； （3）由题可得，，公式法解方程得，由“差1方程”的定义得，整理得，，即，然后求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，， ∵， ∴是“差1方程”； （2）解：， ， 解得，，， 方程（是常数）是“差1方程”， ∴或， 解得或； ∴的值为或； （3）解：由题可得，， ∴解方程得， 关于的方程（，是常数，）是“差1方程”， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴时，的最大值为16． 【变式15-1】定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． (1)下列方程是“自然方程”的是_______；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“自然方程”，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算， （1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可； 熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 解得：，， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ②， ， ∵， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ③， ， 或， 解得：，， ∴，故此选项符合题意； 故答案为：③； （2）， ， 或， 解得：，， ∵方程是“自然方程”， ∴， 解得：或， ∴的值为或． 【变式15-2】若时，代数式的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． (1)代数式的“x优值”是； (2)判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； (3)代数式存在两个“x优值”且差为5，求n的值． 【答案】(1)0和1 (2)不存在“x优值”．理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了求代数式的值，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）利用新定义的规定，通过计算判定即可得出结论； （2）假定存在“优值”，得到一元二次方程，利用根的判别式解答即可得出结论； （3）设“优值”为，则有，利用一元二次方程飞解法求得“优值”，再利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）∵当时，代数式的值为0， 当时，代数式的值为1， ∴和1都是的“优值”． 故答案为：0和1； （2）不存在“优值”． 理由如下： 假设存在优值为，则有， 整理得：， 则， ∵无论取何值时，， ∴方程没有实数根， 即代数式不存在“优值”． （3）设“优值”为，则有， 整理得：， ∵两个“x优值”差为5， 或 或 【变式15-3】阅读与思考 若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是1和2，则方程就是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2)0或 【分析】此题考查了用解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． （1）用因式分解法求解该方程，再根据“倍根方程”的定义进行判断即可； （2）用因式分解法求解该方程，根据“倍根方程”的定义得出或，则或，再进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． 解得：， ∵， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是． （2）解： ， ， ∵该返程是“倍根方程”， 或，则或， 当时，． 当时，． 综上，代数式的值为0或． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.方程的根为（    ） A．2 B．根号2 C．2 D．根号2 【答案】C 【分析】直接开平方法解一元二次方程，即可得解． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法，解一元二次方程，是解题的关键． 2．用配方法解一元二次方程时，配方成的形式，则，的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 因此，， 故选C． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 3.用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（　　） A．，， B． ，， C． ，， D．，， 【答案】D 【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得a，b，c的值． 【详解】解：化为一般形式为：， ，，． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 4.方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解可得． 【详解】解：， ， 或， 所以． 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5.若关于x的一元二次方程（k＋2）x＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．k＜－2 B．k＞2 C．k＜2且k≠－2 D．k＞－2且k≠2 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得到 且 解得：k<2且k． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义以及方程根的情况与判别式的关键，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系． 二 填空题 6.方程的根是 ． 【答案】 【分析】两边开方，然后解关于的一元一次方程． 【详解】解：由原方程，得． 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 7.方程的解是 【答案】或 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴方程的解是或． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 8.关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】k＜2且k≠1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 9.若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】6 【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案． 【详解】∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键． 10.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值为 ． 【答案】0或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，通过对完全平方公式变形求值．由“邻根方程”定义可得，由根与系数的关系可得，，再根据即可求出m的值． 【详解】解：中， ， 方程有两个实数根， 设是“邻根方程”的两个根，， 则，，， ， ， ， 解得或， m的值为0或． 故答案为：0或． 三解答题 11.用配方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）方程变形得：， 两边除以3得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，. 【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．根据要求解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）； (4)（用因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先把二次项系数化为1，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求解即可得到答案； （2）整理后求出的值，再代入公式求出答案即可； （3）因式分解得到，从而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （4）因式分解得到，从而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， 或， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 或， ； （4）解：， ， 或， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择合适的方法是解一元二次方程的关键． 13.已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若此方程的两实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2)的值是4 【分析】（1）根据题意并结合一元二次方程的根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系并结合题意求解即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得； （2）根据根与系数的关系得，， ， ， 解得， ， ． 故的值是4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根的判别式和根与系数的关系． 14.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：不论k为何实数，方程总有实数根； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）列出一元二次方程根的判别式，通过配方，可得，进而即可得到结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，，结合，可得关于k的方程，进而解方程即可求解． 【详解】（1）∵ ， ∵， ∴， ∴无论取何值，该方程总有实数根； （2）根据题意得：，， ， 即 即 解得 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握的根满足，，是解题的关键． 15．定义：如果两个实数m，n满足，均为整数，则称m，n为一组“齐整数”．现有一组“齐整数”，且x，y满足，求的值 【答案】14或8或18或9 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，先把已知条件中的方程组的两根方程相减，然后把所得结果分解因式，求出，根据都是整数，分三种情况讨论，求出和的值，再利用完全平方公式求出答案即可．解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法，注意利用分类讨论的数学思想． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， ①当时，是方程的两根，，方程无解； ②当时，是方程的两根，，方程有解； ③当时，是方程的两根，，方程无解； ④当时，是方程的两根，，方程有解； ⑤当时，是方程的两根，，方程有解； ⑥当时，是方程的两根，，方程有解； 综上可知：或或或 ∴当时， 则； 当时， 则； 当时， 则； 当时， 则； 综上可知：的值为14或8或18或9． 故答案为：14或8或18或9． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.2---2.3一元二次方程的解法及根与系数的关系》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 角的概念 模块11 求一个角的余角和补角 模块2 角的表示方法 模块12与余角补角有关的计算 模块3 钟面角 微专题1角n等分线的有关计算 模块4 度分秒换算与相关计算 微专题2实际问题中角度计算问题 模块5 方向角 微专题3角计算中的整体思想 模块6折叠角 微专题4角计算中的方程思想 模块7角的大小比较 微专题5角计算中的分类讨论思想 模块8 角的平分线 压轴1 三角板中角度计算问题 模块9角的尺规作图 压轴2 角计算中的新定义问题 模块10 几何图形中角度计算问题 压轴3 动角问题的计算 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 模块通关·举一反 三 【模块一】可化为 我们可以通过直接开平方的方式将二次方程降次为一次方程求解，根据常数p 的取值不同，方程根的情况可分为三种： ①当 p>0 时，对等式两边开平方可得x=，此时方程有两个不相等的实数根， ② 当p=0 时，原方程变为 x2=0 ，此时方程有两个相等的实数根，即x1=x2=0 ； ③ 当p<0 时，因为任意实数的平方都为非负数，因此不存在实数x 满足等式，此时方程没有实数根。 【典例1】（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【变式1-1】解方程： (1)； (2)． 【变式1-2】．一元二次方程的根为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】解方程：． 【模块二】可化为的解法 .这类方程可通过整体换元，结合直接开平方的思路求解：我们将一次式 mx+n 看作一个整体，根据常数 p 的取值不同，方程根的情况同样分为三类： ① 当p>0 时，对等式两边开平方可得mx+n=，由此转化为两个一元一次方程mx+n=和mx+n=-，分别求解两个一次方程，即可得到原方程两个不相等的实数根； ② 当p=0 时，原方程可化为（mx+n）2=0 ，此时开平方后得mx+n=0 ，原方程有两个相等的实数根； ③ 当p<0 时，由于任意实数的平方都为非负数，不存在满足等式的实数 x ，因此原方程没有实数根。掌握这种形式方程的解法后，就可以为后续配方法、公式法解一般形式的一元二次方程打好基础。 【典例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程的两边同时开平方， 得________， 即________或________， 所以________， ________． 【变式2-1】解方程： 【变式2-2】解方程：． 【变式2-3】解方程： (1) (2) (3) 【模块三】配方 对于一般的二次多项式 ax2+bx+c，首先将二次项和一次项整体提取二次项系数a ，得到 a(x2+x）+c 接着在括号内凑完全平方，加上一次项系数一半的平方，同时再减去这个平方以保持多项式的值不变，即变形为；最后将括号内前三项整理为完全平方式，合并常数项后即可得到最终的配方结果。 【典例3】（25-26九年级上·海南·月考）配方：______=（______）；（______）． 【变式3-1】对二次三项式进行配方，得， (1)______，______． (2)求：当x为何值时，此二次三项式的值为7？ 【变式3-2】．已知关于x的方程的左边是完全平方式，则a为（　　） A． B．3 C． D．不能确定 【变式3-3】．已知是完全平方式，则常数的值是 ． 【模块四】配方法解一元二次方程 其核心逻辑是通过恒等变形将一般形式的一元二次方程转化为可直接开平方降次的完全平方式，是求解一元二次方程、推导根的判别式与根与系数关系的重要基础，具体操作流程可总结为“一化、二移、三配、四开、五求解”： ①化1：若一元二次方程的二次项系数不为1，将方程整体同时除以二次项系数，将二次项系数化为1； ②移项：把方程中的常数项移到等号的右侧，使方程左侧只保留含未知数的二次项和一次项； ③配方：在方程两侧同时加上一次项系数一半的平方，将左侧多项式整理为完全平方式，右侧合并常数项得到常数结果； ④开方：若右侧常数为非负数，对两侧同时开平方得到两个一元一次方程；若右侧常数为负数，则说明原方程没有实数根，直接终止求解即可； ⑤求解：分别解得到的两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的两个根。在一元二次方程根与系数关系的相关证明、待定系数求解问题中，配方法也是常用的推导工具，我们常通过配方结合平方的非负性，推导出根和系数满足的关系。 【典例4】（25-26九年级上·山西朔州·月考）佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 【变式4-1】用配方法解方程：x2﹣2x﹣8=0． (1)； (2)． 【变式4-3】解方程：（配方法）． 【模块五】判断方程根的情况 首先要将给定方程整理为一元二次方程的一般形式，据此确定系数 a,b,c 的取值，再代入公式计算根的判别式，最后根据判别式的符号判断根的情况： （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 若题目给定了根的具体情况，也可以反过来利用判别式的符号，构造不等式求解方程中未知参数的取值范围。 【典例5】（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【变式5-1】已知关于x的方程．求证：无论k取何值，这个方程总有实数根． 【变式5-2】如果是实数，且不等式的解集是，那么关于的一元二次方程的根的情况如何？ 【变式5-3】已知关于的一元二次方程． (1)不解方程，判断方程的根的情况； (2)方程有两个不相等的正整数根时，求整数的值． 【模块六】 用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的步骤： 第一步将原方程整理为的一般形式，确定a,b,c的取值； 第二步计算判别式，根据的符号判断根的情况，若可直接得出方程无实数根； 第三步若，将相关值代入求根公式计算，得到方程的两个根。 【典例6】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【变式6-1】用公式法解一元二次方程 【变式6-2】解一元二次方程： 【变式6-3】解方程 【模块七】 因式分解法解方程 （其核心思路是通过因式分解把一元二次方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再利用“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，将二次方程降次为两个一元一次方程求解。具体解题步骤为：第一步 先把方程整理，将所有项移到方程左侧，使方程右侧化为0； 第二步 对左侧的二次多项式进行因式分解，得到(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步 分别令两个一次因式等于0，得到两个一元一次方程； 第四步 分别求解这两个一元一次方程，得到的结果就是原一元二次方程的两个根。相较于公式法，因式分解法往往能简化计算过程，是解一元二次方程更便捷的选择。 【典例7】（25-26九年级上·吉林白城·月考）用因式分解方法解方程：． 【变式7-1】解方程 【变式7-2】用适当的方法解下列方程：． 【变式7-3】解方程： (1) (2) 【模块八】 用适当方法解一元二次方程 我们可以按照以下优先级和规则来选择： ① 若方程符合直接降次的形式，如形如(x+m)2=n这类方程，优先选择直接开平方法，步骤简便计算量小； ② 若方程左边可以通过提公因式、乘法公式或十字相乘分解为两个一次因式的乘积，右边为0，优先选择因式分解法，这种方法往往能大幅简化计算，是解这类题目的最优选择，就如前面的典例所示； ③ 若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，也可以优先选择配方法，步骤相比公式法更简洁； ④ 若上述方法都不适用，我们选择通用的公式法，公式法可以解所有有实数根的一元二次方程，只需先确定各项系数、计算判别式，再代入求根公式即可。 如果题目明确要求使用指定方法求解，则需要按照题目要求选择对应方法作答。 【典例8】用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【变式8-1】请选择适当的方法解下列方程： (1)； (2) 【变式8-2】请选择适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-3】解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即“降次”．根据一元二次方程的特点，可以利用配方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程，请你利用两种不同的方法解下列一元二次方程： 【模块九】根据根的判别式求参数的值或取值范围 这类问题的解题核心是结合根的存在情况得到关于判别式的不等式（或等式），同时不要忘记一元二次方程隐含的二次项系数不为0的限制条件，具体解题可以遵循以下步骤： 第一步，先将给定方程整理为标准的一元二次方程形式，明确二次项系数、一次项系数与常数项，若二次项系数含参数要提前标注范围限制； 第二步，根据题目给出的根的情况，比如“有两个不相等的实数根”“有两个实数根”“没有实数根”等，对应写出判别式Δ的符号关系，列出不等式或等式； 第三步，求解所列的不等式或等式，再结合二次项系数不为0的要求，最终得到参数的取值范围或具体取值。 【典例9】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【变式9-1】．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 【变式9-2】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根．则的值是（    ） A． B．6 C． D．9 【变式9-3】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【模块十】 运用根与系数的关系计算 第一步，先确认一元二次方程存在两个实数根，即先判断判别式，再明确方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入公式得到两根之和=-与两根之积=； 第二步，对所求的对称式进行恒等变形，将其整理为仅含有和的表达式，除了前文提到的，常见的变形形式还有：： 等； 第三步，将已经求得的两根之和=-与两根之积=的数值代入变形后的式子，计算即可得到所求对称式的最终结果。， 【典例10】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 【变式10-1】若非零实数，（）满足，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】设是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知关于的方程三个根分别为，，，则计算的值是（    ） A． B．10 C． D．20 【模块十一】运用根与系数的关系求参数的值 第一步：根据方程有实数根的条件，利用根的判别式得到参数的取值范围，这是求解的前提，可避免后续出现不符合要求的增根； 第二步：根据一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系，写出两根之和、两根之积关于所求参数的表达式； 第三步：将题目给出的两根之间的数量关系，整理变形为含有两根之和、两根之积的形式，代入上述表达式，得到只含目标参数的方程； 第四步：解出参数后，结合第一步得到的参数取值范围进行检验，筛选出符合所有条件的参数值。 【典例11】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的两个实数根．若，求（    ） A．3 B． C．4 D．0 【变式11-1】已知关于x的一元二次方程的两个实数根满足，则实数m的值为 ． 【变式11-2】已知：关于的方程 (1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)已知求出的值． 【变式11-3】己知关于x的一元二次方程 (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别是和，且，求m的值． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 换元法解一元二次方程 第一步：换元，观察原方程（或可化为一元二次方程的复合方程）的结构特征，将方程中重复出现、具有整体规律的复杂代数式设为新的未知数，将原方程转化为关于新未知数的标准一元二次方程，完成简化降次。 第二步：解新方程，根据一元二次方程的求解方法，求出新未知数的所有可能值。 第三步：回代计算，将得到的新未知数的值代回换元时所设的关系式中，计算得到原方程未知数的对应值。 第四步：检验得解，将计算得到的原未知数的值代回原方程验证，舍去不符合题意的增根，最终整理得到原方程的全部解。 【典例12】若实数x、y满足，则的值是（    ） A．或1 B．2 C．2或 D．1 【变式12-1】若，则的值是（    ） A． B．1 C．1或 D．1或6 【变式12-2】已知关于的方程的两根为，，则方程的两根之和为（　　） A． B． C． D． 【变式12-3】方程有四个互不相等的实数根，则下列值中不满足要求的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【微专题二】配方法的应用 配方法的应用主要分为四类，分别是解一元二次方程、求代数式的最值、判断代数式的正负取值范围、解决与方程根相关的判定问题。 配方法的使用核心是对二次多项式配方，使用步骤为：首先若二次项系数不为1，先提取二次项系数，将括号内二次项系数化为1；之后在括号中加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数，保证代数式的值不变；最后将含未知数的部分整理为完全平方式，再结合具体问题求解即可：如果是解一元二次方程，就可以将方程整理为“完全平方式=非负常数”的形式，之后直接开平方得到方程的解；如果是求代数式最值，根据完全平方式大于等于0的非负性质，就能直接读出代数式的最大值或最小值。 【典例13】（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【变式13-1】代数式的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【变式13-2】已知实数满足，则 ． 【变式13-3】阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式， 例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系， 　　　　； 所以　　0（填“”、“”、“”； (2)将多项式变形为的形式，并求出多项式的最小值； (3)求证：、取任何实数时，多项式的值总为正数． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 根的判别式与根与系数的关系的综合运用 常见的综合运用主要分为三类，具体用法如下： 1. 求解一元二次方程中的未知参数：先利用根的判别式确定参数的初步取值范围，保证方程存在实数根，再结合题目给出的两根满足的关系（如两根互为相反数、两根平方和为定值等），利用根与系数的关系将关系转化为关于参数的方程，解出参数后代入之前得到的取值范围检验，舍去不符合要求的解即可。 2. 不解方程求与两根相关代数式的值：先验证判别式非负，确认方程存在实数根后，将所求代数式通过因式分解、配方等恒等变形，转化为仅含和的形式，再代入根与系数关系得到的结果计算即可，常见可变形的代数式包括，常见的变形形式还有：： 等； 3. 根据根的符号特征求参数范围：若已知根的符号（如两个正根、两个负根、一正一负根等），首先需要满足判别式符合存在对应根的要求，再结合根与系数关系得到不等式组，解不等式组即可得到参数的取值范围。 【典例14】（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【变式14-1】（25-26九年级上·广西南宁·月考）已知，是方程的两个根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式14-2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若，方程的两个实数根分别为（其中），若y是m的函数，且，求这个函数的解析式． (3)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值． 【变式14-3】阅读下列材料： 材料1：若关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，则，. 材料2：已知实数，满足，，且，求的值. 解：根据题意可知，实数，是方程的两个不相等的实数根 根据材料1，得， ∴，. ∴ 根据上述材料，解答下列问题： (1)若一元二次方程的两个根分别为，，则___________，___________； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)已知实数，分别满足，，且，求的值. 【压轴二】 一元二次方程背景下的新定义问题 一元二次方程背景下的新定义问题是初中数学一元二次方程模块中常见的创新题型，也是各地中考常考的题型之一。这类题型会结合一元二次方程的性质，给出一个课本中未涉及的全新定义或规则，要求学生在理解新定义的基础上，运用已学的根的判别式、根与系数关系、一元二次方程解法等知识分析解决问题，重点考查学生的知识迁移能力与逻辑推理能力。 这类题目通常分多个小问递进设置难度，第一问多围绕一元二次方程的基础性质设问，最典型的设问就包含“求证：方程有两个实数根”这类问题，解答时我们只需要先根据新定义的规则整理出待证方程的一般形式，计算出根的判别式，再通过配方、恒等变形证明≥0，即可完成证明。后续小问则会结合新定义进一步考查代数式求值、参数范围求解等内容，只需要紧扣定义、结合相关知识逐步推导即可求解。 【典例15】.如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是否为“差1方程”？ (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”， 求m的值； (3)若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 【变式15-1】定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． (1)下列方程是“自然方程”的是_______；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“自然方程”，求的值． 【变式15-2】若时，代数式的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． (1)代数式的“x优值”是； (2)判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； (3)代数式存在两个“x优值”且差为5，求n的值． 【变式15-3】阅读与思考 若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是1和2，则方程就是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若是“倍根方程”，求代数式的值． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.方程的根为（    ） A．2 B．根号2 C．2 D．根号2 2．用配方法解一元二次方程时，配方成的形式，则，的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 3.用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（　　） A．，， B． ，， C． ，， D．，， 4.方程的解是（　　） A． B． C． D． 5.若关于x的一元二次方程（k＋2）x＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．k＜－2 B．k＞2 C．k＜2且k≠－2 D．k＞－2且k≠2 二 填空题 6.方程的根是 ． 7.方程的解是 8.关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 9.若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 10.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值为 ． 三解答题 11.用配方法解下列方程 (1) (2) 12．根据要求解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）； (4)（用因式分解法）． 13.已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若此方程的两实数根满足，求的值． 14.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：不论k为何实数，方程总有实数根； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求k的值． 15．定义：如果两个实数m，n满足，均为整数，则称m，n为一组“齐整数”．现有一组“齐整数”，且x，y满足，求的值 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $