第2.5.3节《二次函数的应用（3）——抛物线型实际问题》讲义 2026-2027学年鲁教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的应用——抛物线型实际问题，系统梳理从建立平面直角坐标系、用顶点式/交点式求解析式，到定宽求高、定高求宽的核心方法，衔接二次函数基本性质，形成“性质-建模-应用”的学习支架。 通过多建系方式对比（如以拱门底部、顶点为原点）和“思考”引导（如车通过路线分析），培养几何直观与推理意识，结合拱门、抛射运动等实例强化模型意识。课中助力教师引导探究，课后学生可借分类练习查漏补缺，提升应用能力。

《2.5.3二次函数的应用——抛物线型实际问题》讲义 【学习目标】 1.会根据抛物线型实际场景（拱门、隧道、抛射运动等）建立合适平面直角坐标系，用顶点式 / 交点式求二次函数解析式。 2.掌握两类核心解题方法：定宽求高、定高求宽，能判断车辆能否通过拱洞、求解水池 / 拱桥尺寸、抛射运动落地点距离。 3.能区分不同建系方式的坐标差异，规避建系、代值计算类易错点，规范解决抛物线实际应用问题。 4.会结合二次函数解决利润类综合实际问题，利用函数式求解累积利润、单期利润。 一、“拱门、隧道、桥洞”类通过问题 1.问题1：基础方法与规范学习 如图，某工厂的大门呈抛物线形， 大门底部AB宽为4m，顶部C距地面的高度为4.4m。 (1)试建立适当的平面直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式; (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65 m，装货宽度为2.4m，那么这辆汽车能否顺利通过大门? 【做法1】 解：（1）以AB所在直线为x轴，过点C作AB垂线为y轴，建立平面直角坐标系xoy. ∴A（-2,0），B（2,0），顶点C（0,4.4）思考1：根据抛物线上已知点的坐标特点，可以怎样设抛物线的解析式？ 答案：设顶点式y=ax2+4.4， 或交点式y=a（x+2）（x-2） ∵抛物线顶点为（0,4.4） ∴设抛物线y=ax2+4.4 又∵抛物线过B（2,0） ∴a·22+4.4=0 ∴a=－1.1 ∴y=－1.1x2+4.4 （－2≤x≤2） （2）（方法1：定宽求高） 当x=2.4÷2=1.2时， y=－1.1×1.22+4.4=2.816 ∴宽为2.4m的车，能通过拱门的最大高度为2.816m，思考2：（1）想让车尽可能通过，车性质的路线应该是怎样的？答案：从正中央过 （2）要判断车是否能通过拱门，需要求什么？然后和谁比较？怎样求呢？你有几种想法，和同伴交流。 答案：（方法1）定宽求高：即求出宽为2.4m的车，能顺利通过拱门的最大高度；用该高度与车原高度2.65比较即可判断；将x=1.2代入抛物线解析式即可求。 （方法2）定高求宽：即求出高为2.65m的车，能顺利通过拱门的最大宽；用该宽度和车实际宽2.4m进行比较即可判断；令y=2.65代入抛物线解析式，求出x值后，该值的2倍即为可通过的最大车宽。 ∵2.816＞2.65 ∴该车可以顺利通过拱门。 （方法2：定高求宽） 当y=2.65时，－1.1x2+4.4 =2.65 ，发现x值并不好计算， ∴该方法并不一定好用。 方法比较： 定宽求高的方法，是代入x值，是一定可以求出一个y值的。而定高求宽的方法，是代入y值，最后一定会有开平方的步骤来求x值，不一定能够开得尽，所以该方法不一定方便计算。 【做法2】 解：（1）以直线AB为x轴，过点A作AB垂线为y轴，建立之间坐标系xAy ∴顶点C（2,4.4），A（0,0），B（4,0）思考3：如果不计算，根据【做法1】的结果，你能猜出【做法2】中的抛物线的表达式吗？为什么？ 答案：因为抛物线的形状,即开口方向和开口大小都不变，所以a得值不变，仍然是-1.1； 还知道抛物线的顶点（2,4.4），所以可以写出抛物线的顶点式y=－1.1(x-2)2+4.4； 或者根据抛物线与x轴的两个交点（0,0），（4,0）,也可以写出抛物线的交点式为y=－1.1x(x-4)=－1.1x2+4.4x 设抛物线y=a(x-2)2+4.4 ∵过A(0,0) ∴0=a(0-2)2+4.4，a=－1.1 ∴抛物线y=－1.1(x-2)2+4.4=－1.1x2+4.4x， （0 ≤ x ≤ 4） 思考4：根据前方方法比较，所以在【做法2】中，直接选择“定宽求高”的方法求出宽2.4m的车，能通过拱门的最大高度。那么，还是代入x=1.2来求吗？如果是请求出结果并进行判断。如果不是，应该代入x=多少呢？ 答案：不能代入x=1.2； 此时应该代入x=，求出的y值才是2.4m的车能够通过的最大高度。 （2） 当x=时， y=－1.1(0.8-2)2+4.4=2.816 ∴2.4m的车，能通过拱门的最大高度为2.816m， ∵2.816＞2.65 ∴∴该车可以顺利通过拱门。 【做法3】补充下列做法 （1）若以点C为坐标原点，过点C作AB平行线为x轴，过点C作AB垂线为y轴，建立平面直角坐标系xCy.则： ①顶点C（ ， ），点A（ ， ），点B（ ， ）。 ②根据前方做法的结果，直接写出抛物线的解析式为：____________________； （2）①画图：你能在图中画出一个矩形，代表2.4m宽的且刚好能通过拱门的车吗？ ②将x=_________代入抛物线解析式，解得y=_______； ③则宽2.4m的车能通过拱门的最大高度的计算是： ______________________________， ④∵______________2.65m ∴该车________通过该拱门（填“能/不能”） 答案： （1） ①C（0，0），点A（-2，-4.4），点B（2，4.4） ②y=－1.1x2; （2）①如右图所示 ②1.2，－1.584； ③PQ=4.4－1.584=2.816m，思考5：做法3中的易错点是什么？ 答案：错认为将x=1.2代入解析时候得到的y值的绝对值是能通过拱门的最大高度，该值只是点P的纵坐标。图中PQ长度才是能通过拱门的最大高度。 ④2.816＞，能 做法比较思考： （1） 刚才三个做法，你觉得哪一个更容易？为什么？ （2） 选择每一个做法时，有哪些需要注意的易错点？同学之间相互交流。 建系注意： 实际问题中，建立直角坐标系解决问题，要尽可能的将抛物线型放进第一象限或x轴的正上方，方便问题求解。 2.问题2：变式练习 如图，一条隧道的截面由一段抛物线和一个矩形的三条边围成。矩形的长是8m，宽是2m， 在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用y=－x2+4表示。 (1)一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗? (2)如果该隧道内的路面为双车道，那么这辆货运卡车是否可以通过? 解：（1）当x=1时，y=－×12+4=前置思考1：你能在直角坐标系中将（1）中的车画出来吗？画完与同学核对并交流易错点。 ∴2m宽的车能通过隧道的最大高度为+2=m ∵＞4 ∴卡车能通过隧道。 （2）当x=2时，y=－×22+4=前置思考2：路面为双车道的话，车该如何行驶？请将（2）中的车在坐标系中画出来，画完与同学核对并交流易错点。 此时，应该代入x=多少，来求车能过隧道的最大高度？ ∴2m宽的车能通过隧道的最大高度为+2=m ∵＞4 ∴卡车能通过隧道。 二、“运动路线为抛物线”求距离问题 例题学习： 如图①所示，公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央点O处安装一根垂直于水面的柱形喷水装置OA，OA=1.25 m。水流由顶端A处的喷头向外喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下。为使水流形状看起来较为美观，设计要求水流在与0A的距离为1m处达到最高点，这时距水面的最大高度为2.25 m。如果不计其他因素，那么水池的半径至少是多少米时，才能使喷出的水流不致落到池外? 图① 图② 解:如图②，以OC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系。思考：图中哪一段长度可以代表水池的最小半径？ 答案：图中线段OC的长度 则：点A(0，1.25)，顶点B(1，2.25)， 设右边的抛物线的表达式为y=a(x-1)2+2.25, ∵点A(0，1.25)，∴1.25=a+2.25。 解得 a=－1。 故右边抛物线的表达式为y=－(x－1)2+2.25。 当y=0时，x=－0.5，x=2.5。 即点C的坐标为(2.5，0)。 ∴水池的半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流不致落到池外。 三、分类巩固练习 【“运动路线为抛物线”求距离问题】 1. 在足球比赛中,足球沿着抛物线飞向球门,足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的 时间t之间的关系式为h=-5t2+bt。已知足球被踢出9s时落地,那么足球到达距离地面最大高度时的时间为（ ） A.3 s B.3.5 s C.4s D.4.5 s 2. 如图，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时铅球距地面约 m；铅球落在点B处。铅球运行中在运动员前方4m处(即OC=4m)达到最高点，最高点距地面的高度为3m。已知铅球经过的路线是抛物线的一段，根据图中的平面直角坐标系，算出该运动员的成绩为_________. 2题图 3题图 3. 某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于地面安装一个柱子0A，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下。在过 OA的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度(m)与水距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3，则下列结论错误的是（ ） A.柱子OA的高度为3m B.喷出的水流距柱子1m处达到最大高度 C.喷出的水流距水平面的最大高度是3m D.水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外 4. 如图,杂技团进行杂技表演,一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距A所在y轴的水平距离为2.5米时，身体离地面达到最大高度4.75米，已知 OA=1米 (1)该抛物线的表达式为______________； (2)若人梯到起跳点A的水平距离为4米，求人梯 BC 的高为__________。 5. 一场球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在 A处出手时距离地面，与篮筐中心C的水平距离为7m，当球运行的水平距离是4m时，达到最大高度4m(B处)，篮筐距地面3m，篮球运行的路线为抛物线(如图所示). (1)建立适当的平面直角坐标系,并求出抛物线的表达式。 (2)判断此球能否投中。 【拱门、隧道、桥洞类通过问题】 6. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面 宽度增加_______________m. 6题图 7题图 8题图 7. 如图，有一个抛物线形的水泥门洞。门洞的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m。则这个门洞的高度为_____________m.(精确到 0.1m)。 8. 如图,一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN,高度为1.6米，支架部分的形状为开口向下的抛物线，其顶点C距灯柱 AB 的水平距离为0.8米,距地面的高度为2.4米，灯罩顶端 D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米则灯罩顶端 D 距地面的高度为________米。 9. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽CD=10m。 （1）按如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35 km 时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行。如果该船按原来的速度行驶，那么它能否在水位达到CD前通过此桥? 【利润类问题】 10.某公司研发一种新的软件，年初上市后，该产品经历了从亏损到盈利的过程。如图所示的图象是抛物线的一段，它刻画了该产品年初以来累积利润S(单位:万元)与销售时间t(单位:月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)。根据图象提供的信息，解答下列问题: （1）由已知图象上三点的坐标，求S与t之间的关系式； （2）截止到几月底该产品累积利润可达30万元? （3）预计8月份该产品所获的利润将达到多少万元? 分类巩固练习答案 【“运动路线为抛物线”求距离问题】 1. D 2. 10m 3.C 4.（1）y=; （2）m 5 . 解: (1)过点A作水平地面的垂线,垂足为O,以O为坐标原点,水平地面为x轴,直线OA 为y轴,建立平面直角坐标系. 由题意得 A(0,),顶点 B(4,4). 设抛物线的表达式为 y=a(x -4)2+4 = a(0-4)2+4，解得a=－ ∴抛物线的表达式为 y=－(x -4)2+4=y=－x2+x+ (2)当x=7时,y=－(7 -4)2+4=3 ∵点(7,3)在抛物线上，∴此球能投中。 6.（4） 7. 9.1m 8. 1.95 9. 解:(1)设此抛物线的函数表达式为y=ax2(a≠ 0), 点D(5,n)，B(10,n-3)。 ∴，解得 即此抛物线为y=。 (2)35÷5= 7(h)，0.25×7= 1.75(m)<3 m,可以通行。 所以该船按原来的速度行驶,可以在水位达到CD前通过此桥。 10.解：（1）由顶点坐标是(2，-2)， 设抛物线的表达式为S=a(t-2)2-2。 ∵抛物线过点(0,0), ∴0=a(0-2)2-2，解得a= ∴S与t之间的关系式是 （2）若S=30,则30 = 解得t1=－6(舍去)，t2=10。 ∴截止到10月底该产品累积利润可达30万元。 （2） 当t=8时,S1=16, （3） 当t=7时,S2= 10.5, “S1－S2 =5.5 ∴预计8月份该产品所获的利润将达到5.5万元 学科网（北京）股份有限公司 $