专题 1.3.三角函数的应用 讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦解直角三角形在实际问题中的应用这一核心知识点，先系统梳理仰角俯角、方向角、坡度坡角等概念及解决步骤，再通过六大模块构建从基础到综合的学习支架，涵盖实物建模、物理实验等情境，形成完整知识脉络。 资料以“小模块·微专题·大压轴”为特色，通过典例（如测楼房高度）与变式引导学生用数学眼光观察现实，用数学思维构建模型，培养几何直观与推理能力。课中助力分层教学，课后通关检测帮助查漏补缺，提升应用意识。

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ---【小模块·微专题·大压轴】《专题1.3三角函数的应用》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 仰角俯角问题 模块6 斜坡上影子问题 模块2 方向角问题 微专题1 临界值问题 模块3 坡度坡角问题 微专题2其它问题 模块4实物建模问题 压轴1 项目学习问题 模块5 物理实验问题 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点 解直角三角形在实际问题中的应用 1.利用解直角三角形解决实际问题的步骤： (1)将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题;(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.常见类型 (1)仰角、俯角 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角;当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角. 如图(1)所示，0C为水平线，OD为铅垂线，04，OB为视线，我们把∠AOC称为仰角，∠BOC称为俯 角. (2)方位角 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角. 如图(2)所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，0B 所表示的方位角是南偏东45°，0C所表示的方位角 是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°. (3)坡度、坡角 ①坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． ②把坡面与水平面的夹角ɑ叫做坡角，坡度i与坡角ɑ之间的关系为：i==tanɑ． ③在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 模块通关·举一反 三 【模块一】仰角俯角问题 解决仰角、俯角问题时，通常先把实际情境抽象为含水平线和视线的几何图形，明确所求角是视线与水平线所成的角，而不是视线与竖直方向的夹角。若图中没有现成的直角三角形，可过观测点或目标点作垂线，把仰角或俯角放在直角三角形中，再利用锐角三角函数或勾股定理建立边角关系。选择三角函数时，应根据已知边和所求边确定使用正弦、余弦或正切，防止边角对应出错。遇到两个或多个直角三角形组合的图形，要善于借助公共边或相等线段进行过渡，设未知数列方程求解。最后需结合题意检验高度、距离等结果是否符合实际。 【典例1】如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测倾器测得楼房顶部点的仰角为45°，向前走20米到达处，测得点的仰角为67.5°，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（结果精确到0.1米，，）（    ）    A．35.7米 B．34.7米 C．35.1米 D．34.1米 【答案】A 【分析】过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过B作于F，    米 在中， 在中，， ， 米 米, 楼房的高度约为35.7米 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题,结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 【变式1-1】如图，测绘师在离古塔10远的点C处测得塔顶A的仰角为α，他又在离古塔25 远的点D处测得塔顶A的仰角为β，若，点D，C，B在同一条直线上，则测绘师测得古塔的高度约为（参考数据：）（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据锐角三角函数的定义用与表示出的长，再由即可得出结论． 【详解】解：米，米， 在中，①， 在中，②． ， ， （米）． 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 【变式1-2】如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从点经过旗杆顶点恰好可观测到矮建筑物的最底端点处，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为30°，若旗杆底部为的中点，则，矮建筑物的高为（　　） A．18米 B．20米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过点D作于点F，则点F，D，C三点共线，根据，可得，可得米，然后和中，根据锐角三角函数求出，的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F，则点F，D，C三点共线， 根据题意得：， ∴， ∵点G是中点， ∴， ∴米． 在中，， ∴米． 在中， 米， 则米． ∴米． 故选B． 【点睛】解直角三角形的应用——仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式1-3】某“好人主题”公园围绕好人主题向市民展示好人事迹，礼赞好人精神．如图①，“点赞塔”是公园里一座标志性建筑，某数学活动小组到此公园测量这座塔的高度AB．如图②，他们在地面AC的点C处测得塔顶部点B 的仰角为45°，然后沿着台阶CD 在点D 处测得塔顶部点B的仰角为41°，还测得台阶CD的长为4m，CD与地面AE的夹角为30°，已知AB⊥AC，DE⊥AE，求“点赞塔”的高度AB．(结果精确到1m，参考数据:sin41°≈0.66， 【答案】“点赞塔”的高度AB 约为39 m 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，在，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解:如解图，过点作于点，    由题意得：， 在中，，m， ∴m， m， =2m，设m， ∴m 在中，， ∴m 在中，， ∴m ∴ ＝m ∴，解得：， ∴m． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确理解正切的概念是解本题的关键． 【模块二】方向角问题 解决方向角问题时，通常先把实际情境抽象为含南北基准线和目标方向线的几何图形，明确方向角是从正北或正南方向向东或向西旋转得到的角，而不是任意两条方向线之间的夹角。若图中没有现成的直角三角形，可过观测点或目标点作南北方向或东西方向的垂线，把方向角或距离放在直角三角形中，再利用锐角三角函数或勾股定理建立边角关系。选择三角函数时，应根据已知边和所求边确定使用正弦、余弦或正切，防止方向角与三角形内角对应出错。遇到两个或多个直角三角形组合的图形，要善于借助公共边或相等线段进行过渡，设未知数列方程求解。最后需结合题意检验方向、距离等结果是否符合实际，尤其注意方向角的基准线是否统一。 【典例2】一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为（    ）（参考数据：，，） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】由题意可得，，，则，，在中，利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：如图所示标注字母，根据题意得： ，，，， ∴， ， ∴， 在中，， ∴（海里）， ∴此时与灯塔的距离约为海里． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．也考查了三角形的内角和定理和直角三角形两锐角互余． 【变式2-1】如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若米，则的长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过C作于D，利用锐角三角函数求得、、即可． 【详解】解：过C作于D， 由题意，，， 在中，，， 在中，， ∴， 故选：D．    【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法． 【变式2-2】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（    ） A．35海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据已知条件得出，再根据海里和三角函数的定义即可求出的长． 【详解】解：一艘海轮位于灯塔的南偏东方向， ， 海里， （海里）； 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，掌握以上知识是解题的关键． 【变式2-3】海中有一小岛S，该岛周围内有暗礁．今有快艇以的速度向正北航行，在A处看小岛S在船的北偏东方向，航行40分钟后到达B处，在B处看小岛S在船的北偏东方向．    (1)A到B的距离是______； (2)求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)20 (2)该快艇继续向北航行不会有触礁危险，见解析 【分析】（1）根据速度、时间、路程之间的关系即可求解； （2）过点作于，由题意得，，设，在中求出即可解答． 【详解】（1）解：（1）由速度、时间、路程之间的关系可得，， 故答案为：20； （2）解：该快艇继续向北航行不会有触礁危险，理由如下： 过作， ， 设，在直角三角形中， ∴ ∴， ∴ 该快艇继续向北航行不会有触礁危险．    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，掌握锐角三角形函数的定义并灵活运用是解题的关键． 【模块三】坡度坡角问题 解决坡度、坡角问题时，通常先把实际情境抽象为含坡面、水平线和铅垂线的几何图形，明确坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，坡角是坡面与水平面的夹角，坡度等于坡角的正切值。若图中没有现成的直角三角形，可过坡脚或坡顶作水平线或铅垂线，把坡度、坡角放在直角三角形中，再利用锐角三角函数或勾股定理建立边角关系。选择三角函数时，应根据已知的坡比、坡角、高差或水平距离确定使用正弦、余弦或正切，防止将坡角与坡面和竖直方向所成的角混淆。遇到两个或多个直角三角形、梯形或台阶组合的图形，要善于借助公共边、公共高差或同一条水平线进行过渡，设未知数列方程求解。最后需结合题意检验高度、水平距离、坡角等结果是否符合实际，尤其注意坡度写成1:m时，m对应的是水平距离，且坡角与坡度数值不相等，不能混用。 【典例3】如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度的斜坡的D点测得塔顶A的仰角为，斜坡长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔的高度约为（    ）米．（结果精确到米，参考数据：，，）    A．28米 B．32米 C．34米 D．36米 【答案】C 【分析】延长交过点D的水平面于F，作于E，首先解直角三角形，求出，再根据锐角三角函数求出即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交过点D的水平面于F，作于E，    由题意得：米，米，， 在中，，米， 设，则， ∴， 解得， ∴米，米， 在中，，米，， ∴（米）， ∴（米）； 即建筑物的高度为34米； 故选：C． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【变式3-1】斜面坡度常用来反映斜坡的倾斜程度．如图，斜坡的斜面坡度为（    ） A．1:4 B．4:1 C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理求解，再利用坡度的含义可得答案． 【详解】解：由勾股定理可得：， ∴斜坡的斜面坡度为； 故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，斜坡坡度的含义，熟记坡度的含义是解本题的关键． 【变式3-2】如图，在平地和在山坡上树木的株距（相邻两棵树之间的水平距离）均为4m，已知山坡的坡度为0.5，则山坡上相邻两棵树之间的坡面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坡度求出竖直高度，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：∵山坡的坡度为0.5，， ∴， 在中， ， 故选B． 【点睛】本题考查坡度的计算，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3-3】如图，某数学活动小组为测量学校旗杆的高度，从旗杆正前方米处的点C出发，沿斜面坡度的斜坡前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得仪器的高为米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，．旗杆的高度为 米．（参考数据：．计算结果保留根号）      【答案】 【分析】如图，延长交延长线于点F，则，解求得米，米，作，可得米，米，再求出可得答案． 【详解】解：如图，延长交延长线于点F，则，    ∵斜坡斜面坡度， ∴在中， ∴， ∵米， ∴米，米， ∴米， 过点E作于点G，则四边形是矩形， ∴米，米， 又∵， ∴中，米， ∴米， ∴旗杆的高度为米， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【模块四】实物建模问题 在利用解直角三角形解决实物建模问题时，关键在于先把实物中与测量有关的轮廓转化为平面截面图，常见如堤坝、路基、人字形屋顶、工件斜面等，其形状通常可简化为直角三角形、直角梯形或它们的组合。对于由多段坡面、平台或台阶构成的实物，应分段找出各部分已知量，再借助公共的水平线、公共高差或同一条垂直边建立联系。若图形中没有现成的直角三角形，可过转折点或端点作水平线、铅垂线，将不规则图形分割成几个直角三角形，然后分别利用锐角三角函数或勾股定理求解。设未知数时，优先选择能连接多个直角三角形的公共边或相同高度差，并根据坡比和已知边角关系列出方程。最后要把求得的边长、高度、角度等结果代回实物情境中检验，判断是否满足实际施工或安装要求。 【典例4】（2025·山东日照·二模）学校科研小组制作了一款机械手臂如图①所示，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离（保留根号）； (2)在一次操作中，平台上有一高度为的模具，如图③，点恰好与点重合，此时测得中臂与底座成夹角，请计算此时上臂与中臂夹角的大小．（，，） 【答案】(1)点到地面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）过点作，垂足为，则，易证三点共线，解直角三角形求出，即可求解； （2）过点作平行于地面，分别交，的延长线于点，，则四边形是矩形，解直角三角形求出，进而求出，利用正弦的定义求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，则， 底座与水平地面垂直，即与水平面垂直， 三点共线， ，， ， ， 答：点到地面的距离为； （2）解：如图，过点作平行于地面，分别交，的延长线于点，，则四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4-1】（2025·山东烟台·一模）图1所示是一款简约的落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的收纳架，、为等长的支架，为水平地面，已知，，，．（参考数据：，，，，） (1)求支架顶点A到地面的距离； (2)如图3，将镜面顺时针旋转，求此时收纳镜顶部端点O到地面的距离．（结果精确到．） 【答案】(1)支架顶点A到地面的距离为 (2)此时收纳镜顶部端点O到地面的距离约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用、三角形内角和定理、矩形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键． （1）过点作于，根据线段的和差关系求出的长度，再根据直角三角形的边角关系即可求出的长度； （2）过点作于，过点作于，根据等边对等角，三角形内角和定理，角的和差关系求出，根据矩形的判定定理和性质，平行线的性质，角的和差关系求出的长度和，根据直角三角形的边角关系求出的长度，再根据线段的和差关系即可求出的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于， ，， ， ， ， ， ， 答：支架顶点到地面的距离约为． （2）解：如下图所示，过点作于，过点作于， ，， ， ， 镜面顺时针旋转，即， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 答：此时收纳镜顶部端点O到地面的距离约为． 【变式4-2】（2025·山东·模拟预测）如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明出四边形是矩形，然后在直角三角形中利用三角函数得到即可； （2）过点作，垂足为，首先得到，则，然后在中利用三角形函数求出，则然后利用三角形的外角求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ， ， ， 在中，（厘米）， 的长度约为40厘米； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， （厘米）， 在中，， ， ， ， 此时悬臂与连杆的夹角的度数约为 【变式4-3】（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 【模块五】物理实验问题 在解决物理实验中的斜面、坡面类问题时，应先把实验装置或操作过程转化为含有水平面、铅垂线和斜面的平面图形，明确坡角是指斜面与水平面的夹角，斜面长度、铅直高度和水平宽度三者不能混淆。 对于物体沿斜面运动、斜面倾角对受力影响、可调角度斜面实验等情境，通常需要利用锐角三角函数或勾股定理，由已知的斜面长度和坡角求高度或水平距离，或由高度差和水平距离反求坡角。 若实验装置包含多段斜面、平台或转折处，应分段找出各段的坡角或坡比，并借助公共的水平线、公共高差或同一竖直边建立等量关系。图形中没有现成直角三角形时，可过转折点或端点作水平线、铅垂线，将原图形分割成几个直角三角形分别求解。设未知数时，优先选择能连接多个直角三角形的公共边或相同高度差，并根据坡比、已知边角关系和物理量之间的关系列方程。计算过程中要注意单位统一，坡角与坡度不能直接混用，坡度写成1:m时m表示水平距离，同时还要把求得的边长、角度与实验中的位移、高度、倾角等物理量对应起来。最后要把结果代回实验情境中检验，判断是否满足实验装置的实际安装、测量范围或操作条件，并按照实验要求保留适当的精确度，避免因单位换算或精度处理不当而导致结论偏离实验事实。 【典例5】（2025·山东日照·一模）综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处． 【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，是法线，点N在上．记入射角为，折射角为．测得点A到水面的距离，水深，入射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知．从而可求得． ①由上可在中推理求得 ； ②求B，E之间的距离．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)①；②B，E之间的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定与性质： （1）利用正切的定义即可求解； （2）①根据，求出，由题意可得，利用勾股定理求出，再利用正切的定义即可解答；②由①知，四边形是矩形，由（1）知，推出，由即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 则， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ②由①知，四边形是矩形，由（1）知， ∴， ∴， 答：B，E之间的距离为． 【变式5-1】（2025·山东济南·一模）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 【答案】任务一：的长为米；任务二：水池的深约为2.44米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 任务一：根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值； 任务二：根据任务一中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【详解】解：任务一：作，交的延长线于点F，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即的长为米； 任务二：设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 解得， 即水池的深约为2.44米． 【变式5-2】（2025·山东临沂·二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为； (2)线段的长度约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）求出、的长，再根据直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点G， ∵，， ，， 在中，，， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为； （2）解：如图，过点B分别作，，垂足分别为H、P，则四边形是矩形， 在中，，， ，， ， ∵， ， ， ∵，，， ， ， 答：线段的长度约为． 【变式5-3】（2025·山东济南·二模）汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车为环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站．某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量充电站的长度 测量工具 角度测量仪、卷尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①先测出； ②再测量最后一个停车位的长； ③后测量． … 如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题： (1)求充电站的宽的长； (2)该充电站有30个停车位，求的长．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的性质，看懂题意是解答的关键． （1）先根据已知求得，再在中，利用正弦定义求解即可； （2）分别在和中，利用锐角三角函数求得，，再由求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 在中，，， ∴， 答：充电站的宽的长约为； （2）解：根据题意，，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：的长为． 【模块六】斜坡上影子问题 解决斜坡上影子问题，通常先根据题意画出截面示意图，把物体、坡面和太阳光线放在同一平面内，再根据物体与坡面的位置关系构造直角三角形。若物体垂直于地面，则物体与过底端的水平线自然构成直角；若物体垂直于坡面，则物体与水平线所成的角等于坡角的余角，需先通过互余关系转化为坡角或光线与水平面的夹角。构造出直角三角形后，利用正切的定义即可列式求解，设物体高度或某段影长为未知数，明确对边与邻边，再代入对应角的正切值建立方程。 如果影子一部分落在地面、一部分落在坡面上，应以坡脚为分界点，先利用地面上影子的正切关系求出一个公共量，再把该量代入坡面部分的直角三角形中继续求解。需要注意：坡面影长是沿坡面的线段，不能直接当作水平距离；物体垂直于坡面时，不能把坡角直接当作物体与水平线的夹角；光线与坡面的夹角也不等于光线与水平面的夹角。求解后应把结果代回原图检验，确认影长、物体高度和坡角满足位置关系。 【典例6】如图，一棵大树的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为3米，则大树的高度为（    ） A．米 B．33米 C．（）米 D．（）米 【答案】D 【分析】延长交的延长线于点，过点作的延长线于点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，过点D作的延长线于点E． ∵，米， ∴（米）， ∴米， 设米，米， ∵，， ∴∽， ∴＝，即＝…①， ∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得， ＝…②， ①②联立，解得． 答：大树的高度为（）米， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式6-1】某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树的高度（如图所示），当这棵树顶点的影子刚好落在旗台的台阶下点处时，他们测得此时树顶点的仰角为；当点的影子刚好落在台阶上点时，树顶点的仰角为，台阶坡度为，台阶高度米，点、、在同一水平线上，求树高（测角仪高度忽略不计）． 【答案】6米． 【分析】作于，设树高为米，在中，推出，中，推出，求得，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：作于，设树高为米， 在中，， 则， 在中，， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴树高6米． 【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题关键在于作辅助线． 【变式6-2】如图，在某山坡前有一电视塔，小明在山坡的坡脚点处测得电视塔顶端的仰角为，在点处小明沿山坡向上走到达点处，测得电视塔顶端的仰角为，已知山坡坡度，请你计算电视塔的高度约为 （结果四舍五入精确到，参考数据：）    【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，再根据已知可设，则，在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，    由题意得：，， 山坡的坡度， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， 电视塔的高度约为， 故答案为：53.68． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式6-3】数学活动课上，小明和小红要测量小河对岸大树BC的高度，小红在点A测得大树顶端B的仰角为45°，小明从A点出发沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：2． （1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度； （2）依据他们测量的数据能否求出大树BC的高度？若能，请计算：若不能，请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）4米   （2）能；22米 【分析】（1）作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH； （2）延长BD交AE于点G，解Rt△GDH、Rt△ADH，求出GH、AH，得到AG；设BC＝x米，根据正切的概念用x表示出GC、AC，根据GC−AC＝AG列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）作DH⊥AE于H，如图1所示： 在Rt△ADH中，∵， ∴AH＝2DH， ∵AH2＋DH2＝AD2， ∴（2DH）2＋DH2＝（）2， ∴DH＝4． 答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为4米； （2）能，如图2所示：延长BD交AE于点G，设BC＝xm， 由题意得，∠G＝31°， ∴GH＝≈＝6.7， ∵AH＝2DH＝8， ∴GA＝GH＋AH＝6.7＋8＝14.7， 在Rt△BGC中，tan∠G＝， ∴CG＝≈＝， 在Rt△BAC中，∠BAC＝45°， ∴AC＝BC＝． ∵GC−AC＝AG， ∴−＝14.7， 解得：． 答：大树的高度约为22米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】临界值问题 解决这类问题时，应先把题目中的“恰好”“至少”“不超过”“最大”等限定性词语转化为坡角、坡度、高度差或水平距离之间的等量或不等关系。若临界条件直接限定坡角或坡度，可直接利用正切关系将坡度与坡角互化，再结合锐角三角函数的单调性判断坡角变化对高度差、水平距离的影响。并借助公共的水平线、公共高差或同一竖直边建立联系，避免只关注局部而忽略整体约束。 在建立关系时，通常先设出与临界状态直接相关的未知量，如临界坡角、临界高度或临界水平距离，再利用正弦、余弦、正切或勾股定理列方程。图形中没有现成直角三角形时，可过转折点或端点作水平线、铅垂线，将原图形分割成若干直角三角形，使临界条件落在某一条可解的边上。同时，临界问题往往对应最大或最小状态，计算结果应结合实际情况检验，判断是否在允许范围内，若得到多个解，需要根据实际意义舍去不符合条件的解，避免把超出实际范围的结果作为最终结论。 【典例7】如图，大海中某灯塔P周围18海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行16海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：）    【答案】没有，见解析 【分析】作于，设，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，根据正切的定义可得，求解即可得到的值，即可判断． 【详解】解：没有触礁的危险．理由如下： 作于，如图：    由题可知：，，， 设，在中， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴，即， 解得：， 故， ∵ ∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险． 【点睛】本题考查了解直角三角形——方位角，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 【变式7-1】如图，某工程队从处沿正北方向辅设了米轨道到达处，某同学在博物馆处测得在其南偏东方向，在其东南方向．（参考数据：，，，） (1)请计算博物馆到处的距离；（结果保留根号） (2)博物馆周围若干米内因有绿地不能铺设轨道，某同学通过计算后发现，轨道线路辅设到处时，只需沿北偏东的方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地，请计算博物馆周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位） 【答案】(1)博物馆到B处的距离约为米； (2)博物馆周围至少米内不能铺设轨道． 【分析】（1）过点作于点，证明是等腰直角三角形，得到，设，则，再由锐角三角函数定义得，再由，问题可解； （2）过点作于点，根据题意得，利用锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博物馆到处的距离约为米；    （2）如图2，过点作于点， 由题意得：，， ∴， 由（1）可知，米， 在中， 答：博物馆周围至少米内不能铺设轨道．    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式7-2】如图，在东西方向海岸线l上有长为300米的码头AB，在A处测得轮船M在它的北偏东45°方向，同一时刻在C处测得轮船M在它的北偏东37°方向，点C在AB上，且AC＝50米．如果轮船M沿着南偏东22°的方向航行，那么轮船M能否行至码头AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°＝0.60，tan37°＝0.75，sin22°＝0.37，tan22°＝0.40） 【答案】能，理由见解析 【分析】过点M作MD⊥AB交AB于D，设DM＝x，解直角三角形求出CD，然后根据AD＝AC＋CD列式求出x，作∠DMF＝22°交l于点F，解直角三角形求出DF，然后计算出AF的长即可得到结论． 【详解】解：该轮船能行至码头靠岸， 理由：过点M作MD⊥AB交AB于D，设DM＝x， 由题意可知，∠AMD＝45°，∠CMD＝37°， ∴在Rt△CDM中，CD＝DM·tan∠CMD＝x·tan37°， 又∵在Rt△ADM中，∠AMD＝45°， ∴AD＝DM＝x， ∵AD＝AC＋CD＝50＋x·tan37°， ∴50＋x•tan37°＝x， ∴x200， ∴DM＝200米， 作∠DMF＝22°交l于点F， 在Rt△DMF中，DF＝DM·tan∠FMD＝DM·tan22°≈200×0.40＝80（米）， ∴AF＝AC＋CD＋DF＝DM＋DF≈200＋80＝280米＜300米， ∴该轮船能行至码头AB靠岸． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，读懂题目并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【变式7-3】为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为1.    (1)求BT的长（不考虑其他因素）； (2)一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离.某人以20的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由.（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)该车大灯的设计能满足最小安全距离的要求 【分析】（1）在中，根据三角函数的定义设，，再根据列出方程，求出答案即可； （2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后比较得出结论． 【详解】（1）由题意可知，． ∵， ∴． 在中，， ∴． 设米，则米， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴（）， ∴（）； （2）由， ∴（）. 则， 所以该车大灯的设计能满足最小安全距离的要求． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解最小安全距离是解题的关键． 【微专题二】其它问题 解决这类问题时，应先根据题意画出平面截面图，把坡面线、水平线、铅垂线及物体所在直线组合成直角三角形。在含目标高度的三角形中结合仰角、俯角或影长等列方程。对于堤坝、渠道、实物等截面，常画出横截面并作高，将直角梯形分割成矩形和直角三角形，多段坡面或坡脚转折时，应分段求解，以公共水平距离、相同高差或同一竖直边作为联系。求解时优先设能连接两个直角三角形的公共边为未知数，再逐步表示其他边。 【典例8】如图所示，号称“长春眼”的摩天轮在摩天活力城的楼顶，其直径约为70米，摩天活力城楼高约30米，摩天轮旋转一周大约需要10分钟，乘坐摩天轮升到最高处，可俯瞰整座城市．小红乘坐摩天轮游玩，4分钟后她乘坐的轿厢升至点A处距地面的高度约为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】过点作水平面垂足为点，作垂足为点，过点作于点，依题意，，，，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，    过点作水平面垂足为点，作垂足为点，过点作于点， 依题意，，， ∴ ∴4分钟后她乘坐的轿厢升至点A处距地面的高度约为米， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，求得是解题的关键． 【变式8-1】如图，河的两岸平行于，河岸上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，小华在河岸的A处测得，然后沿河岸走了175米到达B处，测得，求这条河的宽度（参考数据：，）．    【答案】75米 【分析】设河的宽度为米，过作于，过作于，构建直角三角形：、．通过解这两个直角三角形分别求得的值，依次列出关于的方程，通过解方程来求的值即可． 【详解】解：设河的宽度为米， 过作于，过作于， 在中，， ， 在中，，即， 又，，两树的间隔为50米， ， ， 解得：． 答：河的宽度约为75米．    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．当题中给出一定的度数时，要充分利用这些度数构造相应的直角三角形，利用锐角三角函数知识求解． 【变式8-2】如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． (1)如图2，当支撑点在水平线上时，则支撑点E与前轮轴心之间的距离的长为______； (2)如图3，当座板与地面保持平行时，求变形前后两轴心的变化量（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，由题意可知，根据三角函数定义即可得到结论； （2）过点作，过点作，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论； 【详解】（1）解：过点作， 由题意可知：，点是的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案是：． （2）（2）过点作，过点作， 由题意知四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ∴， ∴， ∵原长， ∴， ∴变形前后两轴心的长度增加了． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数，等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 【变式8-3】如图1是一种跑步机，图2是其侧面示意图，由跑带、连杆、扶手和显示屏组成，其中的角度固定，跑步者可根据自己的身高，通过绕点转动扶手调节跑步时的舒适度，量得，，，． (1)当，时，求点到地面的距离； (2)在（1）中的条件下，若将绕点逆时针旋转，求，两点之间增加的铅垂宽度． （参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作于点，过点作垂直于的延长线于点，利用三角函数分别求出长，即可求解． （2）作于点，于点且交于点，根据旋转的性质可知，再利用三角函数求出长，即可求解． 【详解】（1） 如图，作于点，过点作垂直于的延长线于点． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴． ∴点到地面的高度． （2） 如图，作于点，于点且交于点． ∵，， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∴，两点之间增加的铅垂宽度为． 【点睛】本题主要考查了三角函数、平行线的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 项目学习问题 项目学习问题通常以真实测量、方案比较或数据探究等形式呈现，思维跨度较大，需要把复杂任务拆解成若干个子问题。解决时，应先阅读项目背景和测量要求，明确目标量是长度、高度、角度还是方案可行性，再将现场示意图简化成平面图形。若涉及建筑物高度、河宽、山高等实景测量，往往需要从不同位置设置观测点，利用俯角、仰角或方向角构造直角三角形，并把测角仪高度、人眼高度、仪器与物体间的水平距离等作为已知条件一并画出。 在列式求解时，可先设目标高度或某个水平距离为未知数，再分别在两个直角三角形中用锐角三角函数表示同一条公共边，从而建立方程。若题目要求比较两种方案或判断某一做法是否可行，应先分别求出两种方案对应的临界量，再按实际意义进行比较。对于图形中出现斜坡、台阶或折线路径的项目，需过转折点作水平线或竖直线，将整体图形分割成若干个直角三角形，使每个子问题都能用正切、正弦或余弦直接求解。 【典例9】某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度． 下面是两个方案及测量数据： 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB. 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β. 测量示意图 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 CD 1.61m 1.59m 1.6m β 26.4° 26.6° 26.5° ED 1.18m 1.22m 1.2m α 37.1° 36.9° 37° DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为　　m； (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：） 【答案】(1)52 (2)塔AB的高度约为52.5m 【分析】（1）证即可求解； （2）分别在和中表示出，建立等量关系即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：52； （2）解：由题意得：， 设m， ∵m， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴塔AB的高度约为m． 【点睛】本题考查三角函数的实际应用．构造直角三角形是解题关键． 【变式9-1】（2025·山东济南·模拟预测）2024年，济南为了提升城市形象，建造了一座夏雨荷雕像．周末，小红和爸爸去大明湖游玩，想要用无人机测量该雕像的高度．小红将操作过程记录如下： 操作过程 已知无人机在距离水平地面的空中水平飞行，无人机在、两点分别测得雕像顶端的俯角为和，，两点的水平距离为（四点在同一平面上）． 解决问题一 求雕像的高度． 解决问题二 若雕像的左侧处有一棵树，高为，它会不会影响本次测量？请说明理由． 参考数据 ． 【答案】问题一：；问题二：它会影响本次测量，理由见详解 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解决本题的关键． 问题一：延长交的延长线于点，则，解直角三角形求出； 问题二：延长交于点，则，解直角三角形求出，从而得出，再求出，与比较大小即可解答． 【详解】解：问题一：延长交的延长线于点，则， ， ， ， 设， ， 解得：， ． 问题二：延长交于点，则， ， ∴， ， ∵， 故它会影响本次测量． 【变式9-2】（2025·山东济南·二模）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯    抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为．    任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】任务一：点B到一楼地面的距离为；任务二：照明灯C到一楼地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务一：过点B作BR⊥AN于点R，设，则，利用勾股定理列方程即可解答； 任务二：连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T，解直角三角形即可解答． 【详解】任务一：解：如图，过点B作BR⊥AN于点R， ∵AB的坡度为， ∴设，则， ∵， ∴在中，， 即， 解的， ， 答：点B到一楼地面的距离为； 任务二解：如图，连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T， 由题意得，， 在中，， ∴． ∴在中，． ∴ 答：照明灯C到一楼地面的距离为． 【变式9-3】（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14:30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15:00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17:30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14:30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.为测量此塔顶的高度，在地面选取了与塔底共线的两点、，、在的同侧，在处测量塔顶的仰角为，在处测量塔顶的仰角为，到的距离是米．设的长为米，则下列关系式正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解求出米，则米，再解即可得到． 【详解】解：由题意得，， 在中，米， ∴米， 在中，， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出米是解题的关键． 2．已知从点B观测热气球A的俯角为，从点C观测热气球A的仰角为，则两条视线的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，，过点A作，即可得出，，即可得出的度数． 【详解】解：由题可知，，，，过点A作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了仰角、俯角的概念，以及平行线的性质，熟练掌握仰角、俯角的概念是本题的关键． 3.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（　　） A．40海里 B．40海里 C．40海里 D．40海里 【答案】B 【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中利用余弦三角函数值求得PC的长，进而在直角△BPC中利用余弦三角函数值求出PB． 【详解】解：作PC⊥AB于C点， ∴∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80（海里） ∴在Rt△APC中，cos∠APC＝， ∴PC＝PA•cos∠APC＝（海里） ∵在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∠BPC＝45° ∴PB＝（海里）． 故选：B． 【点睛】本题考查余弦三角函数，利用和求边长是解题关键． 4.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，．长6米，坡度为，的坡度为，则长为（    ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于点E，过点于点F，可得四边形是矩形，再由长6米，坡度为，可得到米，然后根据的坡度为，可得米，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点于点F， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵长6米，坡度为， ∴米， ∴米， ∵的坡度为， ∴米， ∴米， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度的比是解题的关键． 5.如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东方向上，继续向东航行20海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东方向上，此时轮船与小岛的距离为（  ）       A．海里 B．6海里 C．海里 D．3海里 【答案】C 【分析】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可． 【详解】如图，作BH⊥AC于H． 在Rt△ABH中，∵AB＝20海里，∠BAH＝30， ∴∠ABH＝60，BH＝AB＝10（海里）， 在Rt△BCH中， ∵∠CBH＝∠C＝45，BH＝10（海里）， ∴BH＝CH＝10海里， ∴CB=＝（海里）． 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 二 填空题 6.飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（用的式子表示） 【答案】 【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边长即可． 【详解】如图所示，飞机在点处，为水平线，则 ，解得 故答案为： 【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是知道俯角是哪个角，然后利用正弦值求解． 7.如下图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌顶部点，底部点的仰角分别为和，则广告牌的高度约为 米.（精确到米），，；，， 【答案】3.5 【分析】图中有两个直角三角形、，可根据两个已知角度，利用正切函数定义，分别求出和，求差即可． 【详解】解：根据题意：在中，有． 在中，有． 则有（米）． 【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 8.在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸A，B两处之间的距离，先从A处出发与AB成90°方向，向前走了10米到C处，在C处测得∠ACB＝60°(如图所示)，那么A，B之间的距离约为 米（计算结果精确到0.1米) 【答案】17.3 【分析】由题意得∠A=90°，AC=10m，∠ACB＝60°，然后在Rt△ABC中，利用正切函数即可求出A，B之间的距离. 【详解】解：由题意得∠A=90°，AC=10m，∠ACB＝60° ∴AB=ACtan∠ACB=10×tan60°=10×=10≈17.3（米） 故答案为17.3. 【点睛】本题考查了解直角三角形问题. 注意利用解直角三角形的知识求解是解题的关键. 9.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度，现对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度，则大坝底端增加的长度CF是 米． 【答案】13 【分析】分别过点D，E作DG，EH垂直BC，垂足则分别为G，H，则GH=ED=2米，可得DG=EH=15米，再由背水坡CD的坡度，背水坡EF的坡度，可得CG=9米，HF=20米，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点D，E作DG，EH垂直BC，垂足则分别为G，H，则GH=ED=2米， ∵AD∥BC，AD、BC之间的距离为15米， ∴DG=EH=15米， ∵背水坡CD的坡度， ∴， ∴CG=9米， ∵背水坡EF的坡度， ∴， ∴HF=20米， ∴CF=GF-CG=GH+HF-CG=13米． 故答案为：13 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 10.在一次夏令营中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东60°方向走了到达地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西30°方向，则、两地的距离为 ． 【答案】 【分析】由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长． 【详解】解：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30°，∠EAB=60°，∠3=30°． ∵EF//PQ， ∴∠1=∠EAB=60° 又∵∠2=30°， ∴∠ABC=180°−∠1−∠2=180°−60°−30°=90°， ∴△ABC是直角三角形． 又∵MN//PQ， ∴∠4=∠2=30°． ∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°． ∴AC= = = (km)， 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关知识，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答． 三解答题 11.动感单车是一种新型的运动器械．图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图．为主车架，为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知长为，的度数为．当长度调至时，求点A到的距离的长度（结果精确到）．（参考数据：，，）    【答案】点A到的距离的长度为 【分析】根据正弦的概念即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∵， 即， ∴， ∴点A到的距离的长度为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 12【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． (1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为__________． (2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和，和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为__________． 【分析】观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，从而解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就变换到中． (3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为__________． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）过点作，交延长线于点，由图可知点在格点上，由勾股定理可得，然后在中计算即可； （2）由平行线的性质可得，即有，再在中，由求解可获答案； （3）取格点，连接，由平行线的性质可得，由图易知为等腰直角三角形，即有，由即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，过点作，交延长线于点， 由图可知点在格点上，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2； （3）如下图，取格点，连接， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了格点三角形、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题关键是运用转化思想和数形结合的思想分析问题． 13.在学过平面镜成像知识后，小慧在房顶安装一平面镜如图所示，与墙面所成的角正，房高，房顶与水平地面平行，小慧坐在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D． (1)求的度数． (2)能看到的最远处到她的距离是多少？（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)的度数为 (2)能看到的最远处到她的距离是米 【分析】（1）连接，过点M作，根据题意可得，，，从而利用平行线的性质求出，进而求出，即可得出答案； （2）在中，利用锐角三角函数进行计算解答． 【详解】（1）连接，过点M作， 由题意得，，，， ∴， ∴， ∴； （2）在中，（米）， 答：能看到的最远处到她的距离是米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解决本题的关键． 14.（2025·山东日照·三模）油纸伞（图1）是汉族古老的传统用品之一，后传至亚洲各地如朝鲜、越南、泰国、日本等．如图2，油纸伞中轴截面可看作抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离．，伞边离水平面的距离为，伞面直径为．     (1)求抛物线的函数解析式． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若点A到点B的直线距离为，且，求油纸伞锁扣到地面的距离的长．（参考数据：；结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，解直角三角形，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）连接交于点．由抛物线的对称性可知，．将代入解析式求出，再解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，且过点． 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得． 抛物线的函数解析式为； （2）解：如图，连接交于点． 由抛物线的对称性可知，． 点的横坐标为． 当时，， ． ， ． 又， ， ． 答：油纸伞锁扣到地面的距离的长度约为． 15（2025·山东临沂·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量人工湖中喷泉的长度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 （1）在岸边取一点C，观察发现点B在点C的正北方． （2）从点C处向正东方走了40米达到D处，此时测得点B在北偏西方向上，点A在北偏西方向上． （3）参考数据：（，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求B，C两点间的距离； (2)求的长． 【答案】(1)40米 (2)60米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据在中，，得出，即可求出； （2）过点A作于点E，先求出的长度，在中，得到，在中，，得到，再根据即可求出． 【详解】（1）解：依题意， ，， ， ∴B，C两点间的距离为40米． （2）解：作于点，则． 由题意知： ，，． 则． 所以在中，． 即． 所以． 在中，． 即． 所以． 所以． ∴的长为60米． 16.（2025·广西贵港·一模）【综合与实践】 火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，． 解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，对顶角结合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的长即可； （2）作，交于点，解直角三角形，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，则：，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）作，交于点 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ---【小模块·微专题·大压轴】《专题1.3三角函数的应用》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 仰角俯角问题 模块6 斜坡上影子问题 模块2 方向角问题 微专题1 临界值问题 模块3 坡度坡角问题 微专题2其它问题 模块4实物建模问题 压轴1 项目学习问题 模块5 物理实验问题 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点 解直角三角形在实际问题中的应用 1.利用解直角三角形解决实际问题的步骤： (1)将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题;(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.常见类型 (1)仰角、俯角 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角;当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角. 如图(1)所示，0C为水平线，OD为铅垂线，04，OB为视线，我们把∠AOC称为仰角，∠BOC称为俯 角 (2)方位角 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角. 如图(2)所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，0B 所表示的方位角是南偏东45°，0C所表示的方位角 是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°. (3)坡度、坡角 ①坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． ②把坡面与水平面的夹角ɑ叫做坡角，坡度i与坡角ɑ之间的关系为：i==tanɑ． ③在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 模块通关·举一反 三 【模块一】仰角俯角问题 解决仰角、俯角问题时，通常先把实际情境抽象为含水平线和视线的几何图形，明确所求角是视线与水平线所成的角，而不是视线与竖直方向的夹角。若图中没有现成的直角三角形，可过观测点或目标点作垂线，把仰角或俯角放在直角三角形中，再利用锐角三角函数或勾股定理建立边角关系。选择三角函数时，应根据已知边和所求边确定使用正弦、余弦或正切，防止边角对应出错。遇到两个或多个直角三角形组合的图形，要善于借助公共边或相等线段进行过渡，设未知数列方程求解。最后需结合题意检验高度、距离等结果是否符合实际。 【典例1】如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测倾器测得楼房顶部点的仰角为45°，向前走20米到达处，测得点的仰角为67.5°，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（结果精确到0.1米，，）（    ）    A．35.7米 B．34.7米 C．35.1米 D．34.1米 【变式1-1】如图，测绘师在离古塔10远的点C处测得塔顶A的仰角为α，他又在离古塔25 远的点D处测得塔顶A的仰角为β，若，点D，C，B在同一条直线上，则测绘师测得古塔的高度约为（参考数据：）（　　）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从点经过旗杆顶点恰好可观测到矮建筑物的最底端点处，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为30°，若旗杆底部为的中点，则，矮建筑物的高为（　　） A．18米 B．20米 C．米 D．米 【变式1-3】某“好人主题”公园围绕好人主题向市民展示好人事迹，礼赞好人精神．如图①，“点赞塔”是公园里一座标志性建筑，某数学活动小组到此公园测量这座塔的高度AB．如图②，他们在地面AC的点C处测得塔顶部点B 的仰角为45°，然后沿着台阶CD 在点D 处测得塔顶部点B的仰角为41°，还测得台阶CD的长为4m，CD与地面AE的夹角为30°，已知AB⊥AC，DE⊥AE，求“点赞塔”的高度AB．(结果精确到1m，参考数据:sin41°≈0.66， 【模块二】方向角问题 解决方向角问题时，通常先把实际情境抽象为含南北基准线和目标方向线的几何图形，明确方向角是从正北或正南方向向东或向西旋转得到的角，而不是任意两条方向线之间的夹角。若图中没有现成的直角三角形，可过观测点或目标点作南北方向或东西方向的垂线，把方向角或距离放在直角三角形中，再利用锐角三角函数或勾股定理建立边角关系。选择三角函数时，应根据已知边和所求边确定使用正弦、余弦或正切，防止方向角与三角形内角对应出错。遇到两个或多个直角三角形组合的图形，要善于借助公共边或相等线段进行过渡，设未知数列方程求解。最后需结合题意检验方向、距离等结果是否符合实际，尤其注意方向角的基准线是否统一。 【典例2】一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为（    ）（参考数据：，，） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式2-1】如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若米，则的长等于（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（    ） A．35海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式2-3】海中有一小岛S，该岛周围内有暗礁．今有快艇以的速度向正北航行，在A处看小岛S在船的北偏东方向，航行40分钟后到达B处，在B处看小岛S在船的北偏东方向．    (1)A到B的距离是______； (2)求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由．（参考数据：，，） 【模块三】坡度坡角问题 解决坡度、坡角问题时，通常先把实际情境抽象为含坡面、水平线和铅垂线的几何图形，明确坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，坡角是坡面与水平面的夹角，坡度等于坡角的正切值。若图中没有现成的直角三角形，可过坡脚或坡顶作水平线或铅垂线，把坡度、坡角放在直角三角形中，再利用锐角三角函数或勾股定理建立边角关系。选择三角函数时，应根据已知的坡比、坡角、高差或水平距离确定使用正弦、余弦或正切，防止将坡角与坡面和竖直方向所成的角混淆。遇到两个或多个直角三角形、梯形或台阶组合的图形，要善于借助公共边、公共高差或同一条水平线进行过渡，设未知数列方程求解。最后需结合题意检验高度、水平距离、坡角等结果是否符合实际，尤其注意坡度写成1:m时，m对应的是水平距离，且坡角与坡度数值不相等，不能混用。 【典例3】如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度的斜坡的D点测得塔顶A的仰角为，斜坡长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔的高度约为（    ）米．（结果精确到米，参考数据：，，）    A．28米 B．32米 C．34米 D．36米 【变式3-1】斜面坡度常用来反映斜坡的倾斜程度．如图，斜坡的斜面坡度为（    ） A．1:4 B．4:1 C． D． 【变式3-2】如图，在平地和在山坡上树木的株距（相邻两棵树之间的水平距离）均为4m，已知山坡的坡度为0.5，则山坡上相邻两棵树之间的坡面距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，某数学活动小组为测量学校旗杆的高度，从旗杆正前方米处的点C出发，沿斜面坡度的斜坡前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得仪器的高为米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，．旗杆的高度为 米．（参考数据：．计算结果保留根号）      【模块四】实物建模问题 在利用解直角三角形解决实物建模问题时，关键在于先把实物中与测量有关的轮廓转化为平面截面图，常见如堤坝、路基、人字形屋顶、工件斜面等，其形状通常可简化为直角三角形、直角梯形或它们的组合。对于由多段坡面、平台或台阶构成的实物，应分段找出各部分已知量，再借助公共的水平线、公共高差或同一条垂直边建立联系。若图形中没有现成的直角三角形，可过转折点或端点作水平线、铅垂线，将不规则图形分割成几个直角三角形，然后分别利用锐角三角函数或勾股定理求解。设未知数时，优先选择能连接多个直角三角形的公共边或相同高度差，并根据坡比和已知边角关系列出方程。最后要把求得的边长、高度、角度等结果代回实物情境中检验，判断是否满足实际施工或安装要求。 【典例4】（2025·山东日照·二模）学校科研小组制作了一款机械手臂如图①所示，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离（保留根号）； (2)在一次操作中，平台上有一高度为的模具，如图③，点恰好与点重合，此时测得中臂与底座成夹角，请计算此时上臂与中臂夹角的大小．（，，） 【变式4-1】（2025·山东烟台·一模）图1所示是一款简约的落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的收纳架，、为等长的支架，为水平地面，已知，，，．（参考数据：，，，，） (1)求支架顶点A到地面的距离； (2)如图3，将镜面顺时针旋转，求此时收纳镜顶部端点O到地面的距离．（结果精确到．） 【变式4-2】（2025·山东·模拟预测）如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【变式4-3】（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【模块五】物理实验问题 在解决物理实验中的斜面、坡面类问题时，应先把实验装置或操作过程转化为含有水平面、铅垂线和斜面的平面图形，明确坡角是指斜面与水平面的夹角，斜面长度、铅直高度和水平宽度三者不能混淆。 对于物体沿斜面运动、斜面倾角对受力影响、可调角度斜面实验等情境，通常需要利用锐角三角函数或勾股定理，由已知的斜面长度和坡角求高度或水平距离，或由高度差和水平距离反求坡角。 若实验装置包含多段斜面、平台或转折处，应分段找出各段的坡角或坡比，并借助公共的水平线、公共高差或同一竖直边建立等量关系。图形中没有现成直角三角形时，可过转折点或端点作水平线、铅垂线，将原图形分割成几个直角三角形分别求解。设未知数时，优先选择能连接多个直角三角形的公共边或相同高度差，并根据坡比、已知边角关系和物理量之间的关系列方程。计算过程中要注意单位统一，坡角与坡度不能直接混用，坡度写成1:m时m表示水平距离，同时还要把求得的边长、角度与实验中的位移、高度、倾角等物理量对应起来。最后要把结果代回实验情境中检验，判断是否满足实验装置的实际安装、测量范围或操作条件，并按照实验要求保留适当的精确度，避免因单位换算或精度处理不当而导致结论偏离实验事实。 【典例5】（2025·山东日照·一模）综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处． 【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，是法线，点N在上．记入射角为，折射角为．测得点A到水面的距离，水深，入射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知．从而可求得． ①由上可在中推理求得 ； ②求B，E之间的距离．（参考数据：，，） 【变式5-1】（2025·山东济南·一模）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 【变式5-2】（2025·山东临沂·二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【变式5-3】（2025·山东济南·二模）汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车为环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站．某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量充电站的长度 测量工具 角度测量仪、卷尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①先测出； ②再测量最后一个停车位的长； ③后测量． … 如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题： (1)求充电站的宽的长； (2)该充电站有30个停车位，求的长．（参考数据：，） 【模块六】斜坡上影子问题 解决斜坡上影子问题，通常先根据题意画出截面示意图，把物体、坡面和太阳光线放在同一平面内，再根据物体与坡面的位置关系构造直角三角形。若物体垂直于地面，则物体与过底端的水平线自然构成直角；若物体垂直于坡面，则物体与水平线所成的角等于坡角的余角，需先通过互余关系转化为坡角或光线与水平面的夹角。构造出直角三角形后，利用正切的定义即可列式求解，设物体高度或某段影长为未知数，明确对边与邻边，再代入对应角的正切值建立方程。 如果影子一部分落在地面、一部分落在坡面上，应以坡脚为分界点，先利用地面上影子的正切关系求出一个公共量，再把该量代入坡面部分的直角三角形中继续求解。需要注意：坡面影长是沿坡面的线段，不能直接当作水平距离；物体垂直于坡面时，不能把坡角直接当作物体与水平线的夹角；光线与坡面的夹角也不等于光线与水平面的夹角。求解后应把结果代回原图检验，确认影长、物体高度和坡角满足位置关系。 【典例6】如图，一棵大树的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为3米，则大树的高度为（    ） A．米 B．33米 C．（）米 D．（）米 【变式6-1】某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树的高度（如图所示），当这棵树顶点的影子刚好落在旗台的台阶下点处时，他们测得此时树顶点的仰角为；当点的影子刚好落在台阶上点时，树顶点的仰角为，台阶坡度为，台阶高度米，点、、在同一水平线上，求树高（测角仪高度忽略不计）． 【变式6-2】如图，在某山坡前有一电视塔，小明在山坡的坡脚点处测得电视塔顶端的仰角为，在点处小明沿山坡向上走到达点处，测得电视塔顶端的仰角为，已知山坡坡度，请你计算电视塔的高度约为 （结果四舍五入精确到，参考数据：）    【变式6-3】数学活动课上，小明和小红要测量小河对岸大树BC的高度，小红在点A测得大树顶端B的仰角为45°，小明从A点出发沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：2． （1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度； （2）依据他们测量的数据能否求出大树BC的高度？若能，请计算：若不能，请说明理由．（参考数据：，，） 专题攻坚·多题归一 【微专题一】临界值问题 解决这类问题时，应先把题目中的“恰好”“至少”“不超过”“最大”等限定性词语转化为坡角、坡度、高度差或水平距离之间的等量或不等关系。若临界条件直接限定坡角或坡度，可直接利用正切关系将坡度与坡角互化，再结合锐角三角函数的单调性判断坡角变化对高度差、水平距离的影响。并借助公共的水平线、公共高差或同一竖直边建立联系，避免只关注局部而忽略整体约束。 在建立关系时，通常先设出与临界状态直接相关的未知量，如临界坡角、临界高度或临界水平距离，再利用正弦、余弦、正切或勾股定理列方程。图形中没有现成直角三角形时，可过转折点或端点作水平线、铅垂线，将原图形分割成若干直角三角形，使临界条件落在某一条可解的边上。同时，临界问题往往对应最大或最小状态，计算结果应结合实际情况检验，判断是否在允许范围内，若得到多个解，需要根据实际意义舍去不符合条件的解，避免把超出实际范围的结果作为最终结论。 【典例7】如图，大海中某灯塔P周围18海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行16海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：）    【变式7-1】如图，某工程队从处沿正北方向辅设了米轨道到达处，某同学在博物馆处测得在其南偏东方向，在其东南方向．（参考数据：，，，） (1)请计算博物馆到处的距离；（结果保留根号） (2)博物馆周围若干米内因有绿地不能铺设轨道，某同学通过计算后发现，轨道线路辅设到处时，只需沿北偏东的方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地，请计算博物馆周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位） 【变式7-2】如图，在东西方向海岸线l上有长为300米的码头AB，在A处测得轮船M在它的北偏东45°方向，同一时刻在C处测得轮船M在它的北偏东37°方向，点C在AB上，且AC＝50米．如果轮船M沿着南偏东22°的方向航行，那么轮船M能否行至码头AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°＝0.60，tan37°＝0.75，sin22°＝0.37，tan22°＝0.40） 【变式7-3】为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为1.    (1)求BT的长（不考虑其他因素）； (2)一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离.某人以20的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由.（参考数据：，，，） 【微专题二】其它问题 解决这类问题时，应先根据题意画出平面截面图，把坡面线、水平线、铅垂线及物体所在直线组合成直角三角形。在含目标高度的三角形中结合仰角、俯角或影长等列方程。对于堤坝、渠道、实物等截面，常画出横截面并作高，将直角梯形分割成矩形和直角三角形，多段坡面或坡脚转折时，应分段求解，以公共水平距离、相同高差或同一竖直边作为联系。求解时优先设能连接两个直角三角形的公共边为未知数，再逐步表示其他边。 【典例8】如图所示，号称“长春眼”的摩天轮在摩天活力城的楼顶，其直径约为70米，摩天活力城楼高约30米，摩天轮旋转一周大约需要10分钟，乘坐摩天轮升到最高处，可俯瞰整座城市．小红乘坐摩天轮游玩，4分钟后她乘坐的轿厢升至点A处距地面的高度约为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【变式8-1】如图，河的两岸平行于，河岸上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，小华在河岸的A处测得，然后沿河岸走了175米到达B处，测得，求这条河的宽度（参考数据：，）．    【变式8-2】如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． (1)如图2，当支撑点在水平线上时，则支撑点E与前轮轴心之间的距离的长为______； (2)如图3，当座板与地面保持平行时，求变形前后两轴心的变化量（参考数据：，，） 【变式8-3】如图1是一种跑步机，图2是其侧面示意图，由跑带、连杆、扶手和显示屏组成，其中的角度固定，跑步者可根据自己的身高，通过绕点转动扶手调节跑步时的舒适度，量得，，，． (1)当，时，求点到地面的距离； (2)在（1）中的条件下，若将绕点逆时针旋转，求，两点之间增加的铅垂宽度． （参考数据：，，，，结果精确到） 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 项目学习问题 项目学习问题通常以真实测量、方案比较或数据探究等形式呈现，思维跨度较大，需要把复杂任务拆解成若干个子问题。解决时，应先阅读项目背景和测量要求，明确目标量是长度、高度、角度还是方案可行性，再将现场示意图简化成平面图形。若涉及建筑物高度、河宽、山高等实景测量，往往需要从不同位置设置观测点，利用俯角、仰角或方向角构造直角三角形，并把测角仪高度、人眼高度、仪器与物体间的水平距离等作为已知条件一并画出。 在列式求解时，可先设目标高度或某个水平距离为未知数，再分别在两个直角三角形中用锐角三角函数表示同一条公共边，从而建立方程。若题目要求比较两种方案或判断某一做法是否可行，应先分别求出两种方案对应的临界量，再按实际意义进行比较。对于图形中出现斜坡、台阶或折线路径的项目，需过转折点作水平线或竖直线，将整体图形分割成若干个直角三角形，使每个子问题都能用正切、正弦或余弦直接求解。 【典例9】某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度． 下面是两个方案及测量数据： 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB. 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β. 测量示意图 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 CD 1.61m 1.59m 1.6m β 26.4° 26.6° 26.5° ED 1.18m 1.22m 1.2m α 37.1° 36.9° 37° DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为　　m； (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：） 【变式9-1】（2025·山东济南·模拟预测）2024年，济南为了提升城市形象，建造了一座夏雨荷雕像．周末，小红和爸爸去大明湖游玩，想要用无人机测量该雕像的高度．小红将操作过程记录如下： 操作过程 已知无人机在距离水平地面的空中水平飞行，无人机在、两点分别测得雕像顶端的俯角为和，，两点的水平距离为（四点在同一平面上）． 解决问题一 求雕像的高度． 解决问题二 若雕像的左侧处有一棵树，高为，它会不会影响本次测量？请说明理由． 参考数据 ． 【变式9-2】（2025·山东济南·二模）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯    抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为．    任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【变式9-3】（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14:30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15:00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17:30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.为测量此塔顶的高度，在地面选取了与塔底共线的两点、，、在的同侧，在处测量塔顶的仰角为，在处测量塔顶的仰角为，到的距离是米．设的长为米，则下列关系式正确的是(     ) A． B． C． D． 2．已知从点B观测热气球A的俯角为，从点C观测热气球A的仰角为，则两条视线的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 3.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（　　） A．40海里 B．40海里 C．40海里 D．40海里 4.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，．长6米，坡度为，的坡度为，则长为（    ）米 A． B． C． D． 5.如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东方向上，继续向东航行20海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东方向上，此时轮船与小岛的距离为（  ）       A．海里 B．6海里 C．海里 D．3海里 二 填空题 6.飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（用的式子表示） 7.如下图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌顶部点，底部点的仰角分别为和，则广告牌的高度约为 米.（精确到米），，；，， 8.在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸A，B两处之间的距离，先从A处出发与AB成90°方向，向前走了10米到C处，在C处测得∠ACB＝60°(如图所示)，那么A，B之间的距离约为 米（计算结果精确到0.1米) 9.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度，现对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度，则大坝底端增加的长度CF是 米． 10.在一次夏令营中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东60°方向走了到达地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西30°方向，则、两地的距离为 ． 三解答题 11.动感单车是一种新型的运动器械．图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图．为主车架，为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知长为，的度数为．当长度调至时，求点A到的距离的长度（结果精确到）．（参考数据：，，）    12【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． (1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为__________． (2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和，和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为__________． 13.在学过平面镜成像知识后，小慧在房顶安装一平面镜如图所示，与墙面所成的角正，房高，房顶与水平地面平行，小慧坐在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D． (1)求的度数． (2)能看到的最远处到她的距离是多少？（结果精确到，参考数据：） 14.（2025·山东日照·三模）油纸伞（图1）是汉族古老的传统用品之一，后传至亚洲各地如朝鲜、越南、泰国、日本等．如图2，油纸伞中轴截面可看作抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离．，伞边离水平面的距离为，伞面直径为．     (1)求抛物线的函数解析式． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若点A到点B的直线距离为，且，求油纸伞锁扣到地面的距离的长．（参考数据：；结果精确到） 15（2025·山东临沂·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量人工湖中喷泉的长度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 （1）在岸边取一点C，观察发现点B在点C的正北方． （2）从点C处向正东方走了40米达到D处，此时测得点B在北偏西方向上，点A在北偏西方向上． （3）参考数据：（，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求B，C两点间的距离； (2)求的长． 16.（2025·广西贵港·一模）【综合与实践】 火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，． 解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，） 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 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