专题1.1 锐角三角函数 讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学锐角三角函数核心知识点，系统梳理正弦、余弦、正切的概念辨析，特殊角三角函数值，互余及同角三角函数关系，构建从基础概念（如正弦定义前提、边的对应关系）到求函数值（构造直角三角形），再到已知函数值求边长，最终到特殊角运算与综合应用的学习支架。 该资料以“小模块·微专题·大压轴”分层设计为特色，模块通关含概念辨析与方法总结，专题攻坚实现多题归一，压轴突破提升素养。通过典例变式培养推理意识，结合网格、坐标系问题发展几何直观，实际情境题（如测量距离）增强应用意识，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.1 锐角三角函数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 正弦的概念辨析 模块9 已知正切值求边长 模块2 求角的正弦值 模块10特殊角的三角函数值 模块3 已知正弦值求边长 模块11特殊角三角函数值的混合运算 模块4 余弦的概念辨析 模块12根据特殊角三角函数值求角的度数 模块5 求角的余弦值 微专题1由特殊角三角函数值判断三角形的形状 模块6已知余弦值求边长 微专题2 同角三角函数关系 模块7正切的概念辨析 压轴1锐角三角函数的增减性 模块8 求角的正切值 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 锐角三角函数 1.三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 2.在Rt△ABC中，∠C=90° （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即 （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即 （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即 知识点2特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 知识点3互余两角三角函数关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为： （1）一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）； （2）一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）； 即若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA． 知识点4 同角三角函数关系 （1）平方关系： （2）比值关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 模块通关·举一反 三 【模块一】正弦的概念辨析 .首先，要牢记锐角正弦定义的前提：只有在直角三角形中，才能直接用“锐角对边与斜边的比”定义锐角正弦，若图形中不存在现成的直角三角形，不能直接套用该比值关系，需要先通过作垂线构造出包含目标锐角的直角三角形，再进行计算。 其次，要理清边的对应关系，正弦是“锐角对边长度与斜边长度的比值”，不能颠倒分子分母的顺序，也不能错将邻边当作对边代入。 第三，要明确正弦值的本质属性：正弦是一个无量纲的比值，大小仅由角的大小决定，与所用直角三角形的边长无关——即使放大或缩小直角三角形，同一个锐角的正弦值也不会发生改变，不要错误认为边长越大正弦值也越大。 【典例1】如图，在中，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如果的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（ ） A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 【变式1-2】如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）． A． B． C． D． 【模块二】求角的正弦值 常用的求解方法如下： ①如果是30°、45°、60°这类课标要求掌握的特殊锐角，我们可以直接取用提前推导记忆好的固定正弦值，无需额外计算， ②如果目标锐角已经在现成的直角三角形中，且已知三角形各边的长度，直接根据锐角正弦的定义，计算出锐角对边长度与斜边长度的比值，即可得到对应角的正弦值。 ③如果目标锐角没有放置在现成的直角三角形中，我们可以过锐角任意一条边上的点向另一条边作垂线，构造出包含目标角的直角三角形，再结合已知条件算出对边和斜边的长度后代入定义计算，就能得到目标角的正弦值。 【典例2】在中，，是斜边上的高，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，已知在中，，，垂足为点，那么下列线段的比值不一定等于的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【模块三】已知正弦值求边长 首先要明确，初中阶段锐角正弦的定义仅建立在直角三角形中，计算第一步必须先根据目标角准确找准对应边：正弦值是对边与斜边的比值，切不可混淆对边和邻边的位置，从根源上避免代入错误的边长计算。其次，如果题目没有给出包含目标角的现成直角三角形，不能直接套用公式计算，需要先过适当的点作垂线构造出符合要求的直角三角形，构造时要注意尽可能保留题目给出的已知边长、角度信息，不要破坏原有图形的数量关系，方便后续代入推导。计算得出结果后，还要及时验证结果的合理性 【典例3】如图，在中，，交的延长线于点，已知，，则的长为(    )    A． B． C． D．无法计算 【变式3-1】如图，O为跷跷板的中点．支柱与地面垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板与地面的夹角为，经测得，则的长为（    ） A． B． C．m D．m 【变式3-2】．如图所示，在中，按以下步骤作图：①连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；②分别以点D，F为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线交于点E．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【变式3-3】如图，平分，且，点为上任意一点，于，，交于，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【模块四】余弦的概念辨析 首先，锐角余弦的定义仅建立在直角三角形中，不能脱离直角三角形的框架，随意对非直角三角形中的锐角直接套用余弦的边长比值定义进行辨析。其次要准确厘清余弦和正弦的定义差异：余弦是目标锐角的邻边与斜边的比值，而非对边与斜边的比值，切不可将二者的对应关系记混，尤其是辨析特殊角的三角函数值时，要注意区分同一特殊角的正弦值与余弦值，避免出现数值混淆的错误。 找准对应边是辨析概念的核心，目标锐角的邻边是相对概念，同一个直角三角形中，不同锐角的邻边并不相同，找准目标角后，要明确邻边是夹着目标锐角、且不属于斜边的那条边，不要错把对边或另一锐角的邻边当作目标角的邻边。 此外，要明确余弦值的本质属性：余弦是两条边长的比值，是一个没有单位的数值，它的大小只由锐角的大小决定，和直角三角形本身的边长缩放无关，哪怕直角三角形各边同时扩大或缩小相同倍数，对应锐角的余弦值也不会发生改变。 【典例4】已知ΔABC中，∠C=90°，CD是AB边上的高，则CD∶CB等于（   ） A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA 【变式4-1】在 Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（ ） A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA= 【变式4-2】如图，若，则的值为（    ）      A． B． C． D． 【变式4-3】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大两倍，那么它的两个锐角的余弦值（  ） A．都没有变化 B．都扩大两倍 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化 【模块五】求角的余弦值 首先，第一步要确认目标角是否在直角三角形中，锐角余弦的定义仅适用于直角三角形框架，若题目未给出现成的含目标角的直角三角形，需要先过恰当位置作垂线构造直角三角形，构造过程中要尽量保留题目给出的已知边长、角度信息，避免额外增加计算量。 其次，要准确找准对应边，余弦的定义是“目标锐角的邻边与斜边的比值”，要牢记和正弦“对边比斜边”的定义区分开，避免记混对应关系代入错误计算；且邻边是相对目标锐角而言的，同一个直角三角形中，不同锐角的邻边并不相同，找准目标角后要明确：邻边是夹着目标角、且不属于斜边的那条边，不要错把对边或另一锐角的邻边代入计算。 如果是在方格纸的格点图形中求角的余弦值，需要先结合勾股定理算出所有相关边的长度，必要时还要先根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，不能默认目标角一定位于直角三角形中，避免概念误用。 此外，余弦值是边长的比值，是没有单位的数值，其大小仅由锐角的大小决定，和直角三角形本身的边长缩放无关。 【典例5】在中，、、对边分别为、、，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（    ）． A．2 B． C． D． 【变式5-2】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【模块六】已知余弦值求边长 首先，要先牢记余弦的定义公式，准确对公式进行变形推导：余弦值为邻边与斜边的比值，若已知余弦值和其中一条边长，要先明确要求的边长是邻边还是斜边，对应选择“邻边=斜边×余弦值”“斜边=邻边÷余弦值”的变形公式，切不可混淆邻边、斜边的位置，也不能错套余弦的变形公式，从根源上避免计算错误。若题目中不存在包含目标角的现成直角三角形，同样需要先作垂线构造出符合要求的直角三角形，构造时注意保留题目已知的坐标、角度信息，避免打乱原有数量关系增加计算难度。 若题目对结果精度有明确要求，要严格按照要求保留小数位数。 【典例6】如图，在中，，则的长为（    ）    A．4.5 B．5 C． D． 【变式6-1】在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得，，，则学校与凉亭之间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，在四边形中，，，，对角线平分，，则的面积为（    ）    A．9 B．12 C．15 D．18 【模块七】正切的概念辨析 首先，锐角正切的定义同样仅建立在直角三角形中，不能脱离直角三角形的框架，随意对非直角三角形中的锐角直接套用正切的边长比值定义进行辨析。其次要准确厘清正切与正弦、余弦的定义差异：正切是目标锐角的对边与邻边的比值，既不同于正弦“对边比斜边”的定义，也不同于余弦“邻边比斜边”的定义，切不可将三者的对应关系记混。 找准对应边是辨析正切概念的核心，正切的对边和邻边都是相对概念，同一个直角三角形中，不同锐角的对边、邻边并不相同，找准目标角后，要明确对边是不接触目标锐角的那条直角边，邻边是夹着目标锐角、且不属于斜边的那条直角边，不要错把斜边当作邻边，也不要混淆不同锐角的对边、邻边位置。 此外，要明确正切值的本质属性：正切是两条直角边边长的比值，是一个没有单位的数值，它的大小只由锐角的大小决定，和直角三角形本身的边长缩放无关，哪怕直角三角形各边同时扩大或缩小相同倍数，对应锐角的正切值也不会发生改变，辨析相关正误判断类题目时，要注意识别这类常见的概念陷阱。 【典例7】如图，在中，，，，，则(    ) A． B． C． D． 【变式7-1】．符号tanA表示（　　） A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切 【变式7-2】⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5×5网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） （1）在图①中的线段AB上画出点M，使AB＝3AM． （2）在图②中作出△ABN，使点N在格点上，且tan∠BAN＝． 【模块八】求角的正切值 首先，第一步要确认目标角是否在直角三角形中，锐角正切的定义仅适用于直角三角形框架，若题目未给出现成的含目标角的直角三角形，需要先过恰当位置作垂线构造直角三角形，构造过程中要尽量保留题目给出的已知边长、角度信息，避免额外增加计算量。 其次，要准确找准对应边，正切的定义是“目标锐角的对边与邻边的比值”，要牢记和正弦“对边比斜边”、余弦“邻边比斜边”的定义区分开，避免记混对应关系和比值顺序，代入错误数据计算；且对边和邻边都是相对目标锐角而言的，同一个直角三角形中，不同锐角的对边、邻边并不相同，找准目标角后要明确：对边是不接触目标角的那条直角边，邻边是夹着目标角、且不属于斜边的那条直角边。 如果是在方格纸的格点图形中求角的正切值，需要先结合勾股定理算出所有相关边的长度，必要时还要先根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，不能默认目标角一定位于直角三角形中，避免概念误用。 此外，正切值是边长的比值，是没有单位的数值，其大小仅由锐角的大小决定，和直角三角形本身的边长缩放无关。 【典例8】已知在中，，，则的值等于（    ） A． B．2 C． D． 【变式8-1】在中，，已知，，那么下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】将边长均为2的正六边形ABCDEF与正方形BCGH如图所示放置，则∠AHB的正切值为（　　） A．﹣1 B．2﹣ C． +1 D．2+ 【变式8-3】如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（    ） A． B． C． D． 【模块九】已知正切值求边长 首先要紧扣正切的定义理清边角关系：正切是目标锐角对边与邻边的比值，仅涉及两条直角边，已知正切求边长时，要先明确已知边是目标角的对边还是邻边，再对公式做正确变形——若已知对边长度，邻边长度等于对边长度除以正切值；若已知邻边长度，对边长度等于邻边长度乘以正切值，切不可颠倒比值顺序，导致计算结果完全错误。 如果题目没有给出包含目标锐角的现成直角三角形，需要先结合图形特征作辅助线构造直角三角形，构造时要尽量保留题目给出的已知边长、角度信息，优先选择不破坏原有数量关系的构造方式，避免额外引入未知量增加计算难度。 【典例9】如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【变式9-1】．如图，是的高．若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式9-3】如图，在中，，，，点在上，连接，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【模块十】特殊角的三角函数值 首先最需要警惕的是混淆不同特殊角的正切值，或是将同角度的正切值与正弦、余弦值记混。对于30°、45°、60°这三个常用的锐角，可结合“锐角范围内正切值随角度增大而增大”的规律辅助记忆， 其次，利用特殊角三角函数值计算边长或其他推导量时，要留意题目对结果形式的要求：若题目未作特殊要求，结果一般保留最简二次根式即可，不要随意取近似值改变结果形式；若题目明确要求近似值，需按照要求保留对应位数，避免精度不符合题目要求。 【典例10】三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【变式10-1】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，放在小正方形边长为1网格中，点A，B，C在格点上，则（    ）         A． B． C．2 D． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（    ）    A． B． C． D． 【模块十一】特殊角三角函数值的混合运算 首先，第一步要先把每个特殊角对应的三角函数值准确代入原式，建议每一项代入后都先标注核对一次，避免因记混不同角度的函数值，出现代错数值的低级失误；代入完成后，要严格按照实数混合运算的规则确定运算顺序：有括号先算括号内的部分，再依次计算乘方开方、乘除，最后计算加减，同级运算从左到右逐步计算，不要随意跳步改变运算顺序，避免因心算失误出错。 其次，计算过程中要注意项的符号，若三角函数项前带有负号，不要漏带符号参与计算；计算涉及二次根式的乘除加减运算时，要正确运用二次根式的运算法则，计算完成后要将结果整理为最简二次根式形式，合并所有同类二次根式，不要保留未化简的根式或未合并的同类项就作为最终结果。 最后，得到计算结果后要及时验算：重新核对一遍每个特殊角三角函数值的代入是否正确，再顺一遍运算顺序和每一步的计算结果，排查计算失误，确保最终结果符合题目要求。 【典例11】计算： (1)． (2) 【变式11-1】计算： (1) (2) 【变式11-2】计算： (1) (2) ． 【变式11-3】计算： (1) (2) 【模块十二】根据特殊角三角函数值求角的度数 首先要理清三角函数值与对应角度的反向对应关系，避免把正向记忆的内容搞混，比如看到正弦值为要对应出30°，不要错写为60°，完成推导后可以再把角度代回计算一遍函数值，就能快速核对对应关系是否正确。 如果给出的三角函数值并不对应要求掌握的特殊角，不要强行将其凑为特殊角作答，应当按照题目要求，借助计算器求出符合精度要求的近似角度，或是按照要求保留对应作答形式，不要随意错估角度大小。 【典例12】在锐角中，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】已知α为锐角且，则α的值是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式12-2】在中，，，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式12-3】求锐角α的值：． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】由特殊角三角函数值判断三角形的形状 首先解题时要先准确对应三角函数值和特殊角，不要记混不同三角函数的特殊角对应关系，比如看到余弦值为1/2，要对应出60°，不要错写为30°，初步推导出角度后，可以把角度代回重新计算三角函数值，快速核对对应关系是否正确，从源头避免错误。 最终判定三角形形状时，要牢记判定规则：只要存在一个90°角即为直角三角形，存在一个大于90°的角即为钝角三角形，只有三个角都小于90°时才能判定为锐角三角形，绝对不能仅算出一个锐角就直接判定整个三角形是锐角三角形。 如果题干已经明确给出三角形的形状限定，要根据限定条件舍去不符合的解；如果题干没有额外限定，要完整给出所有符合要求的结论，不要出现漏解的问题。 【典例13】若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【变式13-1】在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【变式13-2】在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式13-3】在中，(2sinA-1)2+=0，则是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 同角三角函数关系 解题时首先要牢牢抓住两个核心基本关系：平方关系sin2a+ cos2a = 1和商数关系tana = sina\cosa，常见的解题方向包括“已知一个三角函数值求其余两个三角函数值”“三角函数式化简求值”“证明三角恒等式”三类，针对不同题型有不同的常用方法。 【典例14】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【变式14-1】（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保出作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    【变式14-2】已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【压轴二】锐角三角函数的增减性 判断锐角三角函数增减性、利用增减性解题，首先要明确规律的适用范围：我们讨论的增减性，仅针对锐角区间。通过多组特殊角三角函数值的对比，总结出核心规律：锐角范围内，正弦函数、正切函数随角度增大单调递增，余弦函数随角度增大单调递减。遇到同名锐角三角函数比较大小的问题时，只需确认角度都在锐角范围内，就可以直接根据角度大小结合增减性判断：两个正弦值相比，角度更大则正弦值更大；两个余弦值相比，角度更大则余弦值更小，不需要额外计算就能快速得出结论。 【典例15】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（    ） A．sinA的值越大，梯子越陡 B．cosA的值越大，梯子越陡 C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关 【变式15-1】三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】三角函数、、之间的大小关系是（ ） A． B． C． D． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ）    A．1 B． C． D． 3.如图，在矩形中，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 4.在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（    ） A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形 C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形 5.如图，在中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二 填空题 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝ ． 7.的值为 8.在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是： ． 9.比较大小： ． 10.如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限内，，．则点B的坐标为 ； ． 三解答题 11.（1） （2） 12如图，在中，，于D，若，．求、的长． 13.已知：如图，在中，，．求： (1)； (2)的余弦值． 14.已知：如图，在四边形中，，，垂足为，过点作，交的延长线于点. （1）求证：四边形是平行四边形 （2）若，，求的长 15．如图，在中，，点D在边上，且． （1）求长； （2）求的正弦值． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.1 锐角三角函数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 正弦的概念辨析 模块9 已知正切值求边长 模块2 求角的正弦值 模块10特殊角的三角函数值 模块3 已知正弦值求边长 模块11特殊角三角函数值的混合运算 模块4 余弦的概念辨析 模块12根据特殊角三角函数值求角的度数 模块5 求角的余弦值 微专题1由特殊角三角函数值判断三角形的形状 模块6已知余弦值求边长 微专题2 同角三角函数关系 模块7正切的概念辨析 压轴1锐角三角函数的增减性 模块8 求角的正切值 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 锐角三角函数 1.三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 2.在Rt△ABC中，∠C=90° （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即 （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即 （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即 知识点2特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 知识点3互余两角三角函数关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为： （1）一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）； （2）一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）； 即若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA． 知识点4 同角三角函数关系 （1）平方关系： （2）比值关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 模块通关·举一反 三 【模块一】正弦的概念辨析 .首先，要牢记锐角正弦定义的前提：只有在直角三角形中，才能直接用“锐角对边与斜边的比”定义锐角正弦，若图形中不存在现成的直角三角形，不能直接套用该比值关系，需要先通过作垂线构造出包含目标锐角的直角三角形，再进行计算。 其次，要理清边的对应关系，正弦是“锐角对边长度与斜边长度的比值”，不能颠倒分子分母的顺序，也不能错将邻边当作对边代入。 第三，要明确正弦值的本质属性：正弦是一个无量纲的比值，大小仅由角的大小决定，与所用直角三角形的边长无关——即使放大或缩小直角三角形，同一个锐角的正弦值也不会发生改变，不要错误认为边长越大正弦值也越大。 【典例1】如图，在中，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵在中，，， ∴，故A错误，不符合题意， ，故B错误，不符合题意， ，故C错误，不符合题意， ，故D正确，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边． 【变式1-1】如果的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（ ） A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答． 【详解】三角形各边长度都缩小为原来的倍， ∴得到的三角形与原三角形相似， ∴锐角A的大小不变， ∴锐角A的正弦、余弦值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正弦与余弦的定义，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式1-2】如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角的余角相等可得，在三个直角三角形中由正弦函数的定义即可确定答案． 【详解】，， ， ， ； 故正确的是B选项； 故选：B． 【点睛】本题考查了正弦函数的定义，同角的余角相等，掌握正弦函数的定义是关键 【变式1-3】如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可； 【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠A=∠DBC， A．=cosA，不符合题意； B．=tanA，不符合题意； C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意； D．=sin∠DBC=sinA，符合题意； 故选： D． 【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键． 【模块二】求角的正弦值 常用的求解方法如下： ①如果是30°、45°、60°这类课标要求掌握的特殊锐角，我们可以直接取用提前推导记忆好的固定正弦值，无需额外计算， ②如果目标锐角已经在现成的直角三角形中，且已知三角形各边的长度，直接根据锐角正弦的定义，计算出锐角对边长度与斜边长度的比值，即可得到对应角的正弦值。 ③如果目标锐角没有放置在现成的直角三角形中，我们可以过锐角任意一条边上的点向另一条边作垂线，构造出包含目标角的直角三角形，再结合已知条件算出对边和斜边的长度后代入定义计算，就能得到目标角的正弦值。 【典例2】在中，，是斜边上的高，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由勾股定理求出，再证出，然后由锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：在中，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，故C正确． 故选：C．    【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是证明∠ACD＝∠B． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过P作轴于N，轴于M，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，轴于M，则，    ∵点， ∴，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键． 【变式2-2】如图，已知在中，，，垂足为点，那么下列线段的比值不一定等于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，进行逐一判断即可． 【详解】A. ，， ，， ， ， 由图得：与不一定相等， 不一定等于，故此项错误； B.在中，，故此项正确； C. 在中，，故此项正确； D.在中，，故此项正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数中正弦函数的定义，理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式2-3】如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：，，， ， 为直角三角形，且， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键． 【模块三】已知正弦值求边长 首先要明确，初中阶段锐角正弦的定义仅建立在直角三角形中，计算第一步必须先根据目标角准确找准对应边：正弦值是对边与斜边的比值，切不可混淆对边和邻边的位置，从根源上避免代入错误的边长计算。其次，如果题目没有给出包含目标角的现成直角三角形，不能直接套用公式计算，需要先过适当的点作垂线构造出符合要求的直角三角形，构造时要注意尽可能保留题目给出的已知边长、角度信息，不要破坏原有图形的数量关系，方便后续代入推导。计算得出结果后，还要及时验证结果的合理性 【典例3】如图，在中，，交的延长线于点，已知，，则的长为(    )    A． B． C． D．无法计算 【答案】C 【分析】根据三角形的外角的性质以及已知条件，可得，进而可得，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，等角对等边，正弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式3-1】如图，O为跷跷板的中点．支柱与地面垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板与地面的夹角为，经测得，则的长为（    ） A． B． C．m D．m 【答案】B 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：为跷跷板的中点，， ， 在中，， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键． 【变式3-2】．如图所示，在中，按以下步骤作图：①连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；②分别以点D，F为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线交于点E．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可得，，再结合平行四边形的性质可得即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可得，， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， 故选：D 【点睛】本题考查了基本作图，掌握勾股定理及三角函数的意义是解题的关键． 【变式3-3】如图，平分，且，点为上任意一点，于，，交于，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，根据角平分线的定义可得到，再根据平行线的性质和角平分线的性质得到的长度，进而利用特殊角的三角函数值即可得到的长度． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，且， ∴，， ∵于，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 故选． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线的定义，解直角三角形，平行线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【模块四】余弦的概念辨析 首先，锐角余弦的定义仅建立在直角三角形中，不能脱离直角三角形的框架，随意对非直角三角形中的锐角直接套用余弦的边长比值定义进行辨析。其次要准确厘清余弦和正弦的定义差异：余弦是目标锐角的邻边与斜边的比值，而非对边与斜边的比值，切不可将二者的对应关系记混，尤其是辨析特殊角的三角函数值时，要注意区分同一特殊角的正弦值与余弦值，避免出现数值混淆的错误。 找准对应边是辨析概念的核心，目标锐角的邻边是相对概念，同一个直角三角形中，不同锐角的邻边并不相同，找准目标角后，要明确邻边是夹着目标锐角、且不属于斜边的那条边，不要错把对边或另一锐角的邻边当作目标角的邻边。 此外，要明确余弦值的本质属性：余弦是两条边长的比值，是一个没有单位的数值，它的大小只由锐角的大小决定，和直角三角形本身的边长缩放无关，哪怕直角三角形各边同时扩大或缩小相同倍数，对应锐角的余弦值也不会发生改变。 【典例4】已知ΔABC中，∠C=90°，CD是AB边上的高，则CD∶CB等于（   ） A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA 【答案】B 【分析】根据题意可得∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠DCB=90°，即∠A=∠DCB，然后根据三角函数的定义即可得解. 【详解】解：如图， ∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠DCB=90°， ∴∠A=∠DCB， ∴=cos∠DCB= cosA. 故选B. 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边． 【变式4-1】在 Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（ ） A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA= 【答案】B 【详解】试题分析：因为sinA=，cosA=，tanA=，cotA=，故选B． 考点：锐角三角函数的定义． 【变式4-2】如图，若，则的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明这两个三角形相似，再求的值即可. 【详解】解：∵， ∴这两个三角形相似， ∴∠α=∠β， ∴=， 故选A. 【点睛】此题主要考查了相似三角形判定与性质，三角函数证明这两个三角形相似时解决问题的关键. 【变式4-3】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大两倍，那么它的两个锐角的余弦值（  ） A．都没有变化 B．都扩大两倍 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化 【答案】A 【分析】根据题意作图形，分别求出两个锐角的余弦值，以及变化后的余弦值，比较即可． 【详解】如图， 由图可知：在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大两倍，那么它的两个锐角的余弦值均分别为：，， 即：两个锐角的余弦值不变， 故选：A． 【点睛】本题考查余弦函数的性质，掌握好余弦函数的基本性质是解答本题的关键． 【模块五】求角的余弦值 首先，第一步要确认目标角是否在直角三角形中，锐角余弦的定义仅适用于直角三角形框架，若题目未给出现成的含目标角的直角三角形，需要先过恰当位置作垂线构造直角三角形，构造过程中要尽量保留题目给出的已知边长、角度信息，避免额外增加计算量。 其次，要准确找准对应边，余弦的定义是“目标锐角的邻边与斜边的比值”，要牢记和正弦“对边比斜边”的定义区分开，避免记混对应关系代入错误计算；且邻边是相对目标锐角而言的，同一个直角三角形中，不同锐角的邻边并不相同，找准目标角后要明确：邻边是夹着目标角、且不属于斜边的那条边，不要错把对边或另一锐角的邻边代入计算。 如果是在方格纸的格点图形中求角的余弦值，需要先结合勾股定理算出所有相关边的长度，必要时还要先根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，不能默认目标角一定位于直角三角形中，避免概念误用。 此外，余弦值是边长的比值，是没有单位的数值，其大小仅由锐角的大小决定，和直角三角形本身的边长缩放无关。 【典例5】在中，、、对边分别为、、，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数定义得出，，即可得出答案. 【详解】解：由题知，， ∴， ∴， 故选C. 【点睛】本题是对三角函数知识的考查，熟练掌握锐角三家函数的定义是解决本题的关键. 【变式5-1】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求得AB的长度，然后利用锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4， ∴AB＝， ∴cos∠ABC＝， 故选：B． 【点睛】考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． 【变式5-2】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴． 故选：A．    【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式5-3】如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用勾股定理得到，进而得到是直角三角形，从而求解. 【详解】解：连接，如图所示，    由勾股定理可得：， ∴ ∴是直角三角形，即 ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键． 【模块六】已知余弦值求边长 首先，要先牢记余弦的定义公式，准确对公式进行变形推导：余弦值为邻边与斜边的比值，若已知余弦值和其中一条边长，要先明确要求的边长是邻边还是斜边，对应选择“邻边=斜边×余弦值”“斜边=邻边÷余弦值”的变形公式，切不可混淆邻边、斜边的位置，也不能错套余弦的变形公式，从根源上避免计算错误。若题目中不存在包含目标角的现成直角三角形，同样需要先作垂线构造出符合要求的直角三角形，构造时注意保留题目已知的坐标、角度信息，避免打乱原有数量关系增加计算难度。 若题目对结果精度有明确要求，要严格按照要求保留小数位数。 【典例6】如图，在中，，则的长为（    ）    A．4.5 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，再把的长代入可以计算出的长，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦． 【变式6-1】在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，求出，根据勾股定理即可得到答案； 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理及解直角三角形，解题的关键是根据三角函数求出． 【变式6-2】如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得，，，则学校与凉亭之间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦三角函数的定义即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 解得， 即学校与凉亭之间的距离等于， 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦，熟练掌握余弦的概念是解题关键． 【变式6-3】如图，在四边形中，，，，对角线平分，，则的面积为（    ）    A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】过点作，交于点，先解求出，利用角平分线的性质，得到，利用，进行计算即可． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴， ∴，    ∵平分，， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【模块七】正切的概念辨析 首先，锐角正切的定义同样仅建立在直角三角形中，不能脱离直角三角形的框架，随意对非直角三角形中的锐角直接套用正切的边长比值定义进行辨析。其次要准确厘清正切与正弦、余弦的定义差异：正切是目标锐角的对边与邻边的比值，既不同于正弦“对边比斜边”的定义，也不同于余弦“邻边比斜边”的定义，切不可将三者的对应关系记混。 找准对应边是辨析正切概念的核心，正切的对边和邻边都是相对概念，同一个直角三角形中，不同锐角的对边、邻边并不相同，找准目标角后，要明确对边是不接触目标锐角的那条直角边，邻边是夹着目标锐角、且不属于斜边的那条直角边，不要错把斜边当作邻边，也不要混淆不同锐角的对边、邻边位置。 此外，要明确正切值的本质属性：正切是两条直角边边长的比值，是一个没有单位的数值，它的大小只由锐角的大小决定，和直角三角形本身的边长缩放无关，哪怕直角三角形各边同时扩大或缩小相同倍数，对应锐角的正切值也不会发生改变，辨析相关正误判断类题目时，要注意识别这类常见的概念陷阱。 【典例7】如图，在中，，，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的定义即可求解．在直角三角形中，锐角的正切值等于这个锐角的对边比邻边． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正切的定义，掌握正切的定义是解题的关键． 【变式7-1】．符号tanA表示（　　） A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切 【答案】C 【分析】根据锐角三角形的符号所表示的意义可得：tan表示的正切． 【详解】符号tanA表示∠A的正切． 故选C． 【点睛】考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 【变式7-2】⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 【变式7-3】图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5×5网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） （1）在图①中的线段AB上画出点M，使AB＝3AM． （2）在图②中作出△ABN，使点N在格点上，且tan∠BAN＝． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用网格特征，线段AB与网格线的交点M，即为所求． （2）利用数形结合的思想作出点N即可． 【详解】解：（1）如图，点M即为所求． （2）如图，点N即为所求． BN=，AN=，AB=， ∵, ∴△ABN是直角三角形，且∠ANB=90°， ∴． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【模块八】求角的正切值 首先，第一步要确认目标角是否在直角三角形中，锐角正切的定义仅适用于直角三角形框架，若题目未给出现成的含目标角的直角三角形，需要先过恰当位置作垂线构造直角三角形，构造过程中要尽量保留题目给出的已知边长、角度信息，避免额外增加计算量。 其次，要准确找准对应边，正切的定义是“目标锐角的对边与邻边的比值”，要牢记和正弦“对边比斜边”、余弦“邻边比斜边”的定义区分开，避免记混对应关系和比值顺序，代入错误数据计算；且对边和邻边都是相对目标锐角而言的，同一个直角三角形中，不同锐角的对边、邻边并不相同，找准目标角后要明确：对边是不接触目标角的那条直角边，邻边是夹着目标角、且不属于斜边的那条直角边。 如果是在方格纸的格点图形中求角的正切值，需要先结合勾股定理算出所有相关边的长度，必要时还要先根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，不能默认目标角一定位于直角三角形中，避免概念误用。 此外，正切值是边长的比值，是没有单位的数值，其大小仅由锐角的大小决定，和直角三角形本身的边长缩放无关。 【典例8】已知在中，，，则的值等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义可知，可设，由勾股定理求出，然后根据正切的定义代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴可设， 则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握正弦定义：对边与斜边的比值；正切的定义：对边与邻边的比值；是解本题的关键． 【变式8-1】在中，，已知，，那么下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数定义判断即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 【变式8-2】将边长均为2的正六边形ABCDEF与正方形BCGH如图所示放置，则∠AHB的正切值为（　　） A．﹣1 B．2﹣ C． +1 D．2+ 【答案】D 【分析】作AM⊥BH于M，连接AH ,根据正六边形ABCDEF与正方形BCGH的性质可求出AM和HM，再利用tan∠AHB＝即可求出. 【详解】解：如图作AM⊥BH于M，连接AH． ∵六边形ABCDEF是正六边形，四边形BCGH是正方形， ∴∠ABC＝120°，∠HBC＝90°，AB＝BH＝2， ∴∠ABH＝30°， 在Rt△ABM中，∵AB＝2，∠ABM＝30°， ∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝， ∴HM＝2﹣， ∴tan∠AHB＝＝＝2+， 故选D． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线. 【变式8-3】如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，求出BD和AD后由正切函数的定义可以得到问题解答． 【详解】解：如图，过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D， , 则在RT△ABD中，AD=5，BD=6， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查正切函数的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题关键． 【模块九】已知正切值求边长 首先要紧扣正切的定义理清边角关系：正切是目标锐角对边与邻边的比值，仅涉及两条直角边，已知正切求边长时，要先明确已知边是目标角的对边还是邻边，再对公式做正确变形——若已知对边长度，邻边长度等于对边长度除以正切值；若已知邻边长度，对边长度等于邻边长度乘以正切值，切不可颠倒比值顺序，导致计算结果完全错误。 如果题目没有给出包含目标锐角的现成直角三角形，需要先结合图形特征作辅助线构造直角三角形，构造时要尽量保留题目给出的已知边长、角度信息，优先选择不破坏原有数量关系的构造方式，避免额外引入未知量增加计算难度。 【典例9】如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用正切的定义求得，再根据中点的意义即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握“正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值”是解题的关键． 【变式9-1】．如图，是的高．若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，，由，求的值，在中，由勾股定理得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵，即，解得， 在中，由勾股定理得, 故选：A． 【点睛】本题考查了正切，勾股定理．解题的关键在于熟练掌握知识并灵活运用． 【变式9-2】如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据两个正切值求出、，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为B． 【点睛】本题考查根据正切求线段，解题的关键是熟练掌握一个角的正切值等于对边比邻边． 【变式9-3】如图，在中，，，，点在上，连接，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】先在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【模块十】特殊角的三角函数值 首先最需要警惕的是混淆不同特殊角的正切值，或是将同角度的正切值与正弦、余弦值记混。对于30°、45°、60°这三个常用的锐角，可结合“锐角范围内正切值随角度增大而增大”的规律辅助记忆， 其次，利用特殊角三角函数值计算边长或其他推导量时，要留意题目对结果形式的要求：若题目未作特殊要求，结果一般保留最简二次根式即可，不要随意取近似值改变结果形式；若题目明确要求近似值，需按照要求保留对应位数，避免精度不符合题目要求。 【典例10】三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数和三角板的特殊角的度数解答即可． 【详解】解：如图：    ， ， ， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数以及三角板的特殊角的度数，解题时注意：熟记特殊角的三角函数值． 【变式10-1】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵，则， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式10-2】如图，放在小正方形边长为1网格中，点A，B，C在格点上，则（    ）         A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用网格得出是特殊的锐角，即，进而可求出其正弦值． 【详解】解：根据网格的性质，可得， ， 故选：B． 【点睛】考查锐角三角函数的意义，特殊锐角三角函数值，掌握锐角三角函数的意义，记住特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取格点D，连接，，则B在上，由，，，证明，可得． 【详解】解：如图，取格点D，连接，，则B在上，    ∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 【模块十一】特殊角三角函数值的混合运算 首先，第一步要先把每个特殊角对应的三角函数值准确代入原式，建议每一项代入后都先标注核对一次，避免因记混不同角度的函数值，出现代错数值的低级失误；代入完成后，要严格按照实数混合运算的规则确定运算顺序：有括号先算括号内的部分，再依次计算乘方开方、乘除，最后计算加减，同级运算从左到右逐步计算，不要随意跳步改变运算顺序，避免因心算失误出错。 其次，计算过程中要注意项的符号，若三角函数项前带有负号，不要漏带符号参与计算；计算涉及二次根式的乘除加减运算时，要正确运用二次根式的运算法则，计算完成后要将结果整理为最简二次根式形式，合并所有同类二次根式，不要保留未化简的根式或未合并的同类项就作为最终结果。 最后，得到计算结果后要及时验算：重新核对一遍每个特殊角三角函数值的代入是否正确，再顺一遍运算顺序和每一步的计算结果，排查计算失误，确保最终结果符合题目要求。 【典例11】计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值， （1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可； （2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可． 掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式11-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数值的混合运算，解题的关键是： （1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式11-2】计算： (1) (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及三角函数以及负整数指数幂等知识内容： （1）先计算算术平方根、代入三角函数值、计算负整数指数幂、绝对值，再去括号、计算乘方，最后计算加减即可； （2）先代入三角函数值，然后运算乘方，再进行加减混合运算，即可作答； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式11-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的性质，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂性质，解题的关键是掌握相关运算法则，进行计算． 【模块十二】根据特殊角三角函数值求角的度数 首先要理清三角函数值与对应角度的反向对应关系，避免把正向记忆的内容搞混，比如看到正弦值为要对应出30°，不要错写为60°，完成推导后可以再把角度代回计算一遍函数值，就能快速核对对应关系是否正确。 如果给出的三角函数值并不对应要求掌握的特殊角，不要强行将其凑为特殊角作答，应当按照题目要求，借助计算器求出符合精度要求的近似角度，或是按照要求保留对应作答形式，不要随意错估角度大小。 【典例12】在锐角中，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方及绝对值的非负性可得，，由特殊角的三角函数值求得和，再由三角形内角和为即可解答； 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴在锐角中，， 故选： A； 【点睛】本题考查了平方及绝对值的非负性，锐角三角函数，三角形内角和定理；掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 【变式12-1】已知α为锐角且，则α的值是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得α的值． 【详解】∵， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 【变式12-2】在中，，，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形的性质，先根据，求出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值即可得出的值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式12-3】求锐角α的值：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，先求出的值，再根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解， ， ， 即： ， ∴， 则有：． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】由特殊角三角函数值判断三角形的形状 首先解题时要先准确对应三角函数值和特殊角，不要记混不同三角函数的特殊角对应关系，比如看到余弦值为1/2，要对应出60°，不要错写为30°，初步推导出角度后，可以把角度代回重新计算三角函数值，快速核对对应关系是否正确，从源头避免错误。 最终判定三角形形状时，要牢记判定规则：只要存在一个90°角即为直角三角形，存在一个大于90°的角即为钝角三角形，只有三个角都小于90°时才能判定为锐角三角形，绝对不能仅算出一个锐角就直接判定整个三角形是锐角三角形。 如果题干已经明确给出三角形的形状限定，要根据限定条件舍去不符合的解；如果题干没有额外限定，要完整给出所有符合要求的结论，不要出现漏解的问题。 【典例13】若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【答案】B 【分析】根据利用非负数的性质求得，再利用特殊角的三角函数值求出，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式13-1】在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，三角形分类，三角形内角和定理，熟练掌握根据特殊角三角函数值求角度是解题的关键． 【变式13-2】在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据非负数的性质得出，，进而求得，，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 则，， 则， 故为钝角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式13-3】在中，(2sinA-1)2+=0，则是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可得sinA和cosB的值，进而可得∠A和∠B的度数，即可知△ABC的形状． 【详解】解：∵(2sinA-1)2+=0， ∴2sinA-1=0，cosB-=0， ∴sinA=，cosB=， ∴∠A=30°，∠B=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=90°， 故△ABC为直角三角形． 故选C． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零求出sinA和cosB的值是解决此题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 同角三角函数关系 解题时首先要牢牢抓住两个核心基本关系：平方关系sin2a+ cos2a = 1和商数关系tana = sina\cosa，常见的解题方向包括“已知一个三角函数值求其余两个三角函数值”“三角函数式化简求值”“证明三角恒等式”三类，针对不同题型有不同的常用方法。 【典例14】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系．解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos2A＝1 【变式14-1】（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保出作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求； （2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．        （2）证明：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键． 【变式14-2】已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意设中，对应边分别为，然后根据条件求解，再结合正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：设中，对应边分别为， 则，和， ∵， ∴， 设，则， 由，得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，理解基本三角函数的定义，熟练转换是解题关键． 【变式14-3】如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 【压轴二】锐角三角函数的增减性 判断锐角三角函数增减性、利用增减性解题，首先要明确规律的适用范围：我们讨论的增减性，仅针对锐角区间。通过多组特殊角三角函数值的对比，总结出核心规律：锐角范围内，正弦函数、正切函数随角度增大单调递增，余弦函数随角度增大单调递减。遇到同名锐角三角函数比较大小的问题时，只需确认角度都在锐角范围内，就可以直接根据角度大小结合增减性判断：两个正弦值相比，角度更大则正弦值更大；两个余弦值相比，角度更大则余弦值更小，不需要额外计算就能快速得出结论。 【典例15】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（    ） A．sinA的值越大，梯子越陡 B．cosA的值越大，梯子越陡 C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数值的变化规律判断即可；正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小． 【详解】解：A选项，sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，A正确； B选项，cosA的值越大，∠A越小，梯子越缓，B错误； C选项，tanA的值越小，∠A越小，梯子越缓，C错误； D选项，根据∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题关键． 【变式15-1】三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数间关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的特点，解题的关键是根据三角函数间关系，得出． 【变式15-2】已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先明确，再根据锐角范围内，余弦函数随角增大而减小进行分析． 【详解】∵， ∵， 当，越大，越小， 故． 故选D． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值． 【变式15-3】三角函数、、之间的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数；再根据余弦值是随着角的增大而减小，进行分析． 【详解】解：， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，解决本题的关键是掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值的变化规律． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵在中，，， ∴，故A正确，符合题意， ，故B错误，不符合题意， ，故C错误，不符合题意， ，故D错误，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边． 2．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理可求出的长，利用余弦的定义即可得答案． 【详解】由图可知，∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比，正切是角的对边与邻边的比；余切是角的邻边与对边的比，熟练掌握各三角函数的定义是解题的关键． 3.如图，在矩形中，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形得，，，再根据即可得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， 即，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质以及．等知识内容，正确掌握矩形的性质以及锐角三角函数的性质内容是解题的关键． 4.在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（    ） A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形 C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形 【答案】B 【分析】先根据正切值、余弦值求出、的度数，再根据三角形的内角和定理可得的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得． 【详解】、是的内角，且，， ，， ， 是等腰直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键． 5.如图，在中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值， 【详解】∵在中，， ∴, ∵于点， ∴， ∴，， ∴∽， ∴，即，， ∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长． 二 填空题 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝ ． 【答案】 【分析】运用三角函数定义求解． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝6，AB＝10， ∴sinA＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义． 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝对边：斜边． 7.的值为 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、特殊锐角三角函数值进行计算即可； 【详解】 解：原式 故答案为：． 【点睛】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂、特殊锐角三角函数值，正确计算是解题的关键． 8.在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是： ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角A和角B，进而确定三角形的形状． 【详解】解：因为（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0， 所以2cosA﹣＝0，且1﹣tanB＝0， 即cosA＝，tanB＝1， 所以∠A＝45°，∠B＝45°， 所以 所以△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提． 9.比较大小： ． 【答案】< 【分析】先化为同名三角函数，再利用增减性比较即可． 【详解】解：， ∵当角度是锐角时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ， ∴， ∴， 故答案为：<． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的性质，正确把握相关性质是解题关键．掌握正余弦的转换方法：在直角三角形中一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值；一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值． 10.如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限内，，．则点B的坐标为 ； ． 【答案】 / 【分析】①由题意，过点B作于H，根据，，可得，即可得出； ②根据题意，，可得，所以，在中，可得． 【详解】解：①如图，过点B作于H， ∵，， ∴， ∴点B的坐标为； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解． 三解答题 11.（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查与特殊角三角函数值有关的计算问题，将特殊角的三角函数值代入，然后按二次根数的混合运算法则计算即可，掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 12如图，在中，，于D，若，．求、的长． 【答案】； 【分析】根据，得出，根据，求出，即可得出，最后根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ． 【点睛】本题主要考查了根据三角函数值求边长，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义和勾股定理． 13.已知：如图，在中，，．求： (1)； (2)的余弦值． 【答案】(1)； (2)的余弦值为 【分析】（1）过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义设，则，从而利用勾股定理求出，进而可得，然后可得，，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答； （2）在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴的余弦值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14.已知：如图，在四边形中，，，垂足为，过点作，交的延长线于点. （1）求证：四边形是平行四边形 （2）若，，求的长 【答案】(1)详见解析;(2)9 【分析】(1)直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案； (2)利用锐角三角函数关系得，设，，再利用勾股定理得出AE的长，进而求出答案． 【详解】(1)∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴, ∴， 设，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及锐角三角函数关系、勾股定理，正确得出是解题关键． 15．如图，在中，，点D在边上，且． （1）求长； （2）求的正弦值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求得，再根据三角函数的定义求得，勾股定理求得，即可求解； （2）过点A作交延长线于点E，根据等腰直角三角形的性质求得，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点A作交延长线于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角函数的有关性质，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义以及相关基本性质是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $