2.5.1 二次函数的应用（1)——面积最值问题》讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的面积最值应用，系统梳理从几何图形（直角三角形、矩形）边长表示（相似、三角函数），到列二次函数表达式（结合面积公式、自变量范围），再到用配方法求最值（区分对称轴位置）的完整脉络，涵盖内接矩形、靠墙栅栏等经典模型及动点问题，搭建递进式学习支架。 该资料以几何问题为载体，通过相似与三角函数推理建立函数模型，培养推理意识与运算能力。设计栅栏带小门、多隔断等变式，结合口算训练提升效率，体现几何直观与模型意识。课中助教师分层教学，课后学生可借例题练习巩固，有效查漏补缺。

《2.5.1二次函数的应用——面积最值问题》讲义 【学习目标】 1.熟练应用三角形相似、三角函数两种方法建立线段等量关系，用含未知数的代数式表示图形边长，规范书写两种方法的解题步骤，能对比两种方法的解题思路与优劣。 2.能根据题意设合理自变量，结合矩形、三角形等图形面积公式，列出面积关于自变量的二次函数表达式，准确确定自变量的取值范围。 3.掌握二次函数配方法求顶点式，会利用二次函数开口方向、对称轴，结合自变量取值范围求解面积最大值，能区分对称轴在取值区间内、区间外两种情况的最值求法。 4.掌握两类经典面积最值模型解题思路： （1）直角三角形内接矩形的两种摆放模型（矩形两边贴直角边、矩形一边贴斜边），能分别设不同自变量快速推导边长与面积函数，验证两种模型最大面积结果； （2）靠墙栅栏围矩形模型，能处理单墙、多隔断栅栏、带小门等变式，结合外墙长度限制确定自变量范围并求最大面积。 5.掌握直角三角形动点面积最值题型，能根据动点速度、运动时间表示动态线段长度，用 “整体减局部” 或直接列式构造二次函数，求解三角形、四边形面积的最值。 6.能结合相似三角形对应边成比例、直角三角形三边比例快速口算线段长度，简化列式计算过程，提升解题速度。 7.体会数形结合思想，建立几何图形面积问题与二次函数的转化关系，理解二次函数顶点最值在几何实际问题中的应用，提升建模与综合运算能力。 一、三角形中截出面积最大的正方形 问题：如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，怎样做才能使矩形面积最大？ 思考：你有几种做法？ 【做法1】 如图，AB和AD分别在两条直角边上，点C在斜边上。 (1)如果设AB=xm，其中0<x<40，那么AD边的长度如何表示? (2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大?最大值是多少? 解：（1）∵AB=xm,则BE=(40－x)m ∵矩形ABCD方法2：三角函数法 在Rt△CBE与Rt△FAE中， ∵ ∴ ∴ 思考1：还可以利用哪两个三角形相似，也能表示出AD长？——△EAF∽△CDF 思考2：刚才利用三角形相似，写出了四条边之比的相等关系，还有什么办法也能写出边成比例的等量关系？——三角函数。 ∴AD=BC,CD=AB=xm, ∠CBA=∠CBE=90°， 方法1：相似法 ∵∠E=∠E， 且∠A==∠CBE=90° ∴△EAF∽△EBC ∴ 即 .口算训练：利用直角三角形三边比，迅速口算出BC长 思路：BC:BE=3:4，∵BE=40-x占四份，一份长为为， BC占三份，∴BC=×3=。 ∴ 思考3：还可以利用那个角的什么三角函数值，也能写出边成比例的等量关系，从而表示出AD长。——利用∠F的正切值也可以。 （2） 配方得 ∵＜0，抛物线开口向下， ∴当x=20时，ymax=300 ∴当AB=20m时，矩形面积最大为300m2. 思考4：如果设AD=x m。 （1）该如何表示AB的长度?尝试利用边之比快速口算结果。 （2）矩形ABCD的面积y又该如何表示？ 答：（1） （2）y; ∴当x=15时，ymax=300 ∴AD=15m，AB=20m时，矩形面积最大，为300m2 【做法2】 如图，矩形的一边BC靠在直角三角形的斜边上，点A、D在两个直角边上。 那么，矩形ABCD的最大面积是多少？ 思考1：设哪条线段的长度，能够更容易的将矩形的长和宽表示出来？ 解：Rt△EGF中， ∵矩形ABCD ∴设AB=CD=x m，矩形ABCD面积为y m2 在Rt△ABE与Rt△EGF中， ∵ ∴ ∴…………………………① 在Rt△DCF与Rt△EGF中， ∵ ∴ ∴………………………………②口算训练：尝试利用直角三角形三边之比，快速口算出BE和CF长。 思路：由相似知：AB:BE:AE=3:4:5，AB=x占3份，一份长为为，BE占4份，∴BE=×4=。同理 ∴…………③ ∴ 配方得 ……………………………④ ∵＜0，抛物线开口向下， ∴当x=12时，ymax=300 ∴当AB=12m时，矩形面积最大为300m2.………⑤ 思考2：如果设AE=x m，表示出AB、BC的长。尝试口算出结果？ 答案：AB=；BC= 二、定长篱笆围出面积最大的矩形 问题1.用长为80m的栅栏，再借助房屋外墙围成一个矩形的羊圈。已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=x m，面积为S m2. （1）写出S与x之间的函数表达式，并指出x的取值范围。 （2）当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）AB=CD=x m，BC=(80－2x)m S=x (80－2x)=－2x2+80x 0＜80－2≤50，解得15≤x＜40 （2）S=－2x2+80x ∵＜0，抛物线开口向下，且15≤x＜40 ∴当x=20时，Smax=800 ∴当AB=20m，BC=80-2x=40m时，羊圈面积最大，为800m2。 问题2.若问题1中的房屋外墙长为36m，设矩形ABCD的边AB=x m，面积为S2. 则当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 解：由题意0＜80－2x≤36， －80＜－2x≤－44 40＞x≥22 解得 22≤x＜40 S=－2x2+80x ∵＜0，抛物线开口向下，对称轴x=20 ∴在22≤x＜40中，S随x增大而减小， ∴当x=22时，Smax==792 ∴当AB=22m，BC=80-2x=36m时，羊圈面积最大，为792m2。 问题3.用长为60m的栅栏，再借助房屋外墙围成一个矩形的羊圈。已知房屋外墙长24m，设矩形ABCD的边AB=x m，面积为S m2.则当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 解：AB=CD=EF=x m，BC=(60－3x)m 由题意0＜60－3x≤24， －60＜－3x≤－36 20＞x≥12 解得 12≤x＜20 S=x (60－3x)=－3x2+60x ∵＜0，抛物线开口向下，对称轴x=10 ∴在12≤x＜20中，S随x增大而减小， ∴当x=12时，Smax==288. ∴当AB=12m，BC=60-3x=24m时，羊圈面积最大，为288m2。 问题4.用长为59m的栅栏，再借助房屋外墙围成一个矩形的羊圈，羊圈一侧开一个1m小门。已知房屋外墙长44m，设矩形ABCD的边AB=x m，面积为S m2.则当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 解：AB=CD=x m，BC=(59+1－2x)=(60－2x)m 由题意0＜60－2x≤44， －60＜－2x≤－16 30＞x≥8 解得 8≤x＜30 S=x (60－2x)=－2x2+60x ∵＜0，抛物线开口向下，对称轴x=15在在8≤x＜30中， ∴当x=15时，Smax=250. ∴当AB=15m，BC=60-2x=30m时，羊圈面积最大，为250m2。 三、动点+面积最值问题 例题.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中， （1）设运动时间为x s，则AP=_____cm，CP=____cm，CQ=______cm； （2）四边形PABQ面积的最小值为_________cm2. 答案：（1）x，6－x，2x；（2）15. 练习1：在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t s. （1） AP=________cm，BP=________cm，BQ=________cm； （2） 当t =_______s时，△PBQ面积为32cm2？ （3） 当t =_______s时，△PBQ面积最大，为_________cm2.？ 答案：（1）2t，12－2t，4t；（2）2s或4s；（3）3，36。 练习2：如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且EF//BC，设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 答案：A 学科网（北京）股份有限公司 $