2.5.1 二次函数的应用（1)——面积最值问题》讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

《2.5.1二次函数的应用——面积最值问题》讲义

【学习目标】

1.熟练应用三角形相似、三角函数两种方法建立线段等量关系，用含未知数的代数式表示图形边长，规范书写两种方法的解题步骤，能对比两种方法的解题思路与优劣。

2.能根据题意设合理自变量，结合矩形、三角形等图形面积公式，列出面积关于自变量的二次函数表达式，准确确定自变量的取值范围。

3.掌握二次函数配方法求顶点式，会利用二次函数开口方向、对称轴，结合自变量取值范围求解面积最大值，能区分对称轴在取值区间内、区间外两种情况的最值求法。

4.掌握两类经典面积最值模型解题思路： （1）直角三角形内接矩形的两种摆放模型（矩形两边贴直角边、矩形一边贴斜边），能分别设不同自变量快速推导边长与面积函数，验证两种模型最大面积结果； （2）靠墙栅栏围矩形模型，能处理单墙、多隔断栅栏、带小门等变式，结合外墙长度限制确定自变量范围并求最大面积。

5.掌握直角三角形动点面积最值题型，能根据动点速度、运动时间表示动态线段长度，用 “整体减局部” 或直接列式构造二次函数，求解三角形、四边形面积的最值。

6.能结合相似三角形对应边成比例、直角三角形三边比例快速口算线段长度，简化列式计算过程，提升解题速度。

7.体会数形结合思想，建立几何图形面积问题与二次函数的转化关系，理解二次函数顶点最值在几何实际问题中的应用，提升建模与综合运算能力。

 

一、三角形中截出面积最大的正方形

问题：如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，怎样做才能使矩形面积最大？

思考：你有几种做法？

 

 

【做法1】

如图，AB和AD分别在两条直角边上，点C在斜边上。

(1)如果设AB=xm，其中0<x<40，那么AD边的长度如何表示?

(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?

解：（1）∵AB=xm,则BE=(40－x)m

∵矩形ABCD

∴AD=BC,CD=AB=xm,

∠CBA=∠CBE=90°，

方法1：相似法

∵∠E=∠E，

且∠A==∠CBE=90°

∴△EAF∽△EBC

∴

即

.

∴

 

 

思考3：还可以利用那个角的什么三角函数值，也能写出边成比例的等量关系，从而表示出AD长。——利用∠F的正切值也可以。

（2）

配方得

   

   

∵＜0，抛物线开口向下，

∴当x=20时，ymax=300

∴当AB=20m时，矩形面积最大为300m2.

思考4：如果设AD=x m。

（1）该如何表示AB的长度?尝试利用边之比快速口算结果。

（2）矩形ABCD的面积y又该如何表示？

答：（1）

（2）y;

∴当x=15时，ymax=300

∴AD=15m，AB=20m时，矩形面积最大，为300m2

【做法2】

如图，矩形的一边BC靠在直角三角形的斜边上，点A、D在两个直角边上。

那么，矩形ABCD的最大面积是多少？

思考1：设哪条线段的长度，能够更容易的将矩形的长和宽表示出来？

解：Rt△EGF中，

∵矩形ABCD

∴设AB=CD=x m，矩形ABCD面积为y m2

在Rt△ABE与Rt△EGF中，

∵