第1.2.3节直角三角形的边角关系（构造直角三角形）教学设计 2026-2027学年九年级数学鲁教版（五四制））上册

该初中数学教学设计聚焦“构造直角三角形解斜三角形”核心知识点，通过课前复习三角函数及特殊角值运算，为转化斜三角形为直角三角形铺垫计算基础，形成知识学习支架。 亮点在于分层例题设计与转化思想渗透，从锐角三角形作高到钝角三角形向外作高，培养几何直观与推理能力，多方法解决四边形问题提升创新意识，助力学生掌握构造策略，为教师提供清晰教学路径与分层练习资源。

烟台开发区第七初级中学 数学 陈影 第一章 直角三角形的边角关系 课题 《1.2.3解直角三角形——构造直角三角形》教学设计 教材 鲁教版 年级 九年级上 课型 新授课 教学目标 1. 掌握作高构造直角三角形解斜三角形的方法，能求解边长、面积等问题 2. 经历探究过程，体会转化思想，提升分析问题和计算能力 3. 培养灵活解题思维，感受数学方法的多样性 教学重点 构造直角三角形的方法，合理选择作高位置将斜三角形转化为直角三角形求解 教学难点 钝角三角形向外作高的构造思路，多种构造方法的优化选择，计算精度控制 教法学法 教法：启发引导、讲练结合、归纳对比 学法：自主探究、分层练习、反思总结 教学过程设计 课堂内容 设计意图 一、课前复习 （1）Rt△ABC中，∠C=90° 记作 之比 的正切：； 的正弦： 的余弦： （2）特殊角三角函数值正向计算 ； ；；； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°， ①若已知c，∠A，则a=_______，b=_______； ②若已知b，∠A，则a=_______，c=_______； ③若已知a，∠A，则b=_______，c=_______； 熟练三角函数的正向和逆向运算，为本节课学习解直角三角形铺垫计算基础。 2、 例题学习 例题1：（锐角三角形） Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AC=12,求AB的长。 解：过点C作CD⊥AB于D， ∴Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=60°，AC=12 ∴AD=AC·cos60°=12· =6 CD=AC·sin60°=12· = 6 ∵Rt△ADC中，∠BDC=90°，∠B=45°， ∴BD=6 ∴AB=6+6 【教学注意】 （1） 先分析并提问思路，说思路时，让学生使用含有特殊角的直角三角形三边之比的关系来口算出各边的长度。 （2） 板书强调书写规范，书写计算过程中，让学生锻炼直接使用锐角三角函数的逆运算来写步骤。 练习1：（知识技能练1） （1） 在△ABC中，AB=AC=5,BC=8，求sinB，cosB。 （2） 如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=60°，AC=5，AD=3，求BC的长。 答案：（1） ， （2） 4+ 例题2：（钝角三角形）（课本例题改编） Rt△ABC中，∠B=47°,∠ACB=15°，AC=6，求AB的长（结果精确到0.1）。 （参考数据：tan62°≈，sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）。 （答案）解：过点C作CD⊥BA延长线于D， ∴Rt△ABC中，∠BDC=90°， ∠CAD=∠B+∠ACB=47°+15°=62° ∴AD=AC·cos62°=6×0.47=2.82 CD=AC·sin62°=6×0.88=5.28 ∵Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠B=47° BD=≈ 4.93 ∴AB=BD－AD=4.93－2.82=2.11≈2.1 思考： （1） 如何想到的该方法？这样做的好处是什么？ （2） 如果过点A作BC的垂线段，来构造直角三角形是否可行？为什么？ 注意：最终结果要求精确到某一位，那么计算过程中的每一步结果就要精确到下一位，最后通过四舍五入得到最终结果。 练习2：（知识技能练2） （1） 如图，在△ABC中，∠ABC=108°，AB=6，BC=5,求△ABC的面积。（结果精确到0.01） （参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.38，sin72°≈0.951，cos72°≈0.309，tan72°≈3.078） （2）在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AC=6，求平行四边形ABCD面积. 答案：（1）14.27；（2）18 练习3：问题解决练 如图，在修建某高速公路时，线路需要经过一座小山，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D处（A，C，D三点在同一直线上）。为了计算隧道CD的长，另取一点B，测得∠ACB=30°，∠ABD=105°，AC=1km，AB=4km，求隧道CD的长（结果保留根号） 答案：(2+1)km 反思回顾： 通过刚才内容的学习与练习，能总结出如何构造直角三角形来求线段长度吗？ ——若有特殊角，则让构造出的直角三角形包含特殊角和已知线段长； 若无特殊角，则利用参考数据中给出三角函数值的角，来构造直角三角形； 若已知角是钝角，则可以考虑将该角的外角和一个已知长度的线段放进构造的直角三角形中。 利用例题1让学生感知到，要求线段长度，则可以通过构造含有特殊角的直角三角形，利用锐角三角函数的逆运算来求解。 同时，规范作答步骤，锻炼学生锐角三角函数的逆运算能力和含有特殊角的直角三角形三边比来快速口算边长的能力 将课本例题算进行改编，给出参考数据，让学生根据参考数据来选择恰当的辅助线构造方法以及相关计算方法。再次锻炼学生三角函数逆向运算的思维能力。 利用题后反思回顾，总结明确出构造辅助线的方法：构造包含参考数据中给出参考值的角的直角三角形。 练习3.（提升） 在四边形ABCD中，∠ADC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=5,CD=3。求四边形ABCD的面积。 方法1： 方法2： 方法3： 答案：24 思考：以上方法你是怎样想到的？哪一个方法最好？ 作业：本课时练习题 用多种方法解决该问题，从多角度思考条件来构造辅助线，最后选出最优方法。 课堂反思 1. 转化思想渗透效果较好，学生基本掌握锐角三角形作高构造方法 2. 钝角三角形向外作高部分学生思路受阻，需加强图形分析引导 3. 多方法对比拓展了学生思维，但方法选择的灵活性仍需训练 4. 非特殊角计算和精度控制仍是易错点，需强化计算规范 5. 四边形综合题可作为分层拓展内容，满足不同层次学生需求 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/25 20:27:06；用户：胡洪霄；邮箱：17852979968；学号：492 学科网（北京）股份有限公司 $