第二十六章 二次函数 单元卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合文化传承（如建水双龙桥）与实际情境（投篮、种植），全面覆盖二次函数定义、图像性质、实际应用等核心知识点，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、图像性质、平移变换|基础概念辨析，如第1题函数类型判断，第3题图像性质比较| |填空题|6/18|函数关系式、平移后坐标、根与系数关系|综合应用，如第13题顶点坐标与方程根，第16题古桥抛物线模型| |解答题|8/72|表达式转化、实际应用（种植/销售）、几何综合|分层设计，20题中草药种植体现模型意识，22题发石车历史情境培养数学眼光，24题存在性问题发展创新意识|

第二十六章 二次函数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，不是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤，是二次函数； 共有2个二次函数， 2、若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得：， 3、抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 【答案】D 【详解】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点； 故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴， 4、将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：， 代入得：， 所得图象的解析式为：， 5、二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 6、如图，抛物线与轴交于，，则关于的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：∵抛物线与轴交于，， ∴方程的解为或， 令， 则关于的方程可变为， ∴方程的解为或， ∴或， 解得，， 7、抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 8、二次函数中，与的部分对应值如下，则一元二次方程的一个解满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表可以看出，当取1.4与1.5之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 故的一个解的取值范围为． 9、如图，小赵在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 【答案】C 【详解】解：由题意可得，当时，有： 整理得：， 解得：（舍），， ∴他与篮底的距离（米）， 10、二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：由图象可知开口向下，与y轴的交点位于x轴上方，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知当时，，即， ∴，即，故②正确； 由图象可知当时，，即，故③正确； 由图象可知当时，y有最大值，且， ∴当时，y的值都比小，即， ∴， ∴，故④正确．　 综上可知正确的有3个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 【答案】 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 12、将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后， 所得抛物线析式为：， 当时， ∴所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 13、已知二次函数图象的顶点坐标为，关于的一元二次方程的一个根为，则该方程的另外一个根为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点为 ∴另一个交点为，即， ∴的另一个根为， 故答案为：． 14、如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A、点B，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 15、如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 16、建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 【答案】 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴当水面上升米后水面宽度为米， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题6分，18-20，每题8分, 21-22，每题10分，23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 18、已知二次函数（、为常数）的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标； (2)当时，求的值． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)，． 【详解】（1）解：∵二次函数（、为常数）的图象经过点，， ∴， ∴顶点坐标为； （2）当时，， 解得：，． 19、已知二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)结合图象，当时，y的取值范围________． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：列表： 描点、连线画出函数图象如图： （3）解：由（2）知函数图象过点， 当时，， 当时，有最小值， 根据函数图象可得：当时，y的取值范围． 20、中医药作为中华民族原创的医学科学，是中华文明的杰出代表，深刻反映了中华民族的世界观、价值观、生命观、健康观和方法论，兼具科学和人文的双重属性．为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，用长为24米的篱笆，一面靠墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的中草药种植地．设中草药种植地边的长为米，面积为平方米． (1)直接写出与的函数关系式：______，并写出的取值范围：______； (2)当边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当边的长为5米时，中草药种植地面积最大，最大面积是45平方米． 【详解】（1）解：由题意得：米， ∴， ∵墙的最大可用长度为9米 ∴， ∴． 故答案为：， （2）解：， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， 最大值为（平方米．） 故当边的长为5米时，中草药种植地面积最大，最大面积是45平方米． 21、“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元 【详解】（1）解：设函数的解析式为， 根据题意，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式． （2）解：设销售这种跳绳每天获利（元）， 根据题意，得 ， ， ∴有最大值， ∵，且点与对称轴的距离越小，函数值越大，且， 故当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元． 22、 图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②不能 (2) 【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为， 将代入，得，解得． 所以抛物线的解析式为． ②石块不能飞跃防御墙． 理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙． （2）解：∵过点 ∴ ∴ ∴ 依题意分别代入， 即或 解得： 或 ∴． 23、如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得(不合，舍去) 或， ∴． 24、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，B两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)经过，两点的直线交抛物线的对称轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上，点在轴上，是否存在这样的点与点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形， 点M的坐标为或或． 【详解】（1）解：将，，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，有， 解得：，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设过两点的直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 点纵坐标为， ， 如图，与交于点，    设， 直线的解析式为， 代入坐标，得：， 解得：， 直线解析式为， 点的纵坐标为：， ，， 当时，最大， 的纵坐标为：， 此时点的坐标为：； （3）解：存在这样的点与点，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形， 理由如下：设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况考虑：    ①如图2，当四边形为平行四边形时， 得：， 解得：， 此时点的坐标为：； ②如图3，当四边形为平行四边形时， 得：， 解得：， 此时点的坐标为：； ③如图4，当四边形为平行四边形时， 得：， 解得：， 此时点的坐标为：； 综上所述，存在这样的点与点，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 3、抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 4、将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A． B． C． D． 5、二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6、如图，抛物线与轴交于，，则关于的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 7、抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（   ） A．9 B． C． D． 8、二次函数中，与的部分对应值如下，则一元二次方程的一个解满足条件（   ） A． B． C． D． 9、如图，小赵在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 10、二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 12、将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为 ． 13、已知二次函数图象的顶点坐标为，关于的一元二次方程的一个根为，则该方程的另外一个根为 ． 14、如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A、点B，则的长度为 ． 15、如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 16、建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题6分，18-20，每题8分, 21-22，每题10分，23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 18、已知二次函数（、为常数）的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标； (2)当时，求的值． 19、已知二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)结合图象，当时，y的取值范围________． 20、中医药作为中华民族原创的医学科学，是中华文明的杰出代表，深刻反映了中华民族的世界观、价值观、生命观、健康观和方法论，兼具科学和人文的双重属性．为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，用长为24米的篱笆，一面靠墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的中草药种植地．设中草药种植地边的长为米，面积为平方米． (1)直接写出与的函数关系式：______，并写出的取值范围：______； (2)当边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？ 21、“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 22、 图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 23、如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 24、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，B两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)经过，两点的直线交抛物线的对称轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上，点在轴上，是否存在这样的点与点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $