第二十六章 二次函数 单元练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为人教版九年级数学二次函数单元复习卷，覆盖概念、图象性质及实际应用，通过基础题与综合题梯度设计，培养抽象能力、推理意识与模型观念，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二次函数定义、图象平移、性质判断等|结合铅球运动、三角板动点问题，发展几何直观| |填空题|5题|顶点坐标、增减性、函数交点等|以羽毛球飞行情境考查模型应用，体现数学眼光| |解答题|8题|解析式求解、动点探究、利润最值等|含灯笼销售利润、几何与函数综合题，培养推理与应用意识|

2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学第二十六章二次函数周末课后单元自主练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 2．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 3．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 4．已知是抛物线上的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可得：抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y取得最大值，即最大； ∵比离对称轴更远， ∴， ∴， 故选：D． 5．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 点向右平移个单位可得到点， 将抛物线向右平移个单位可得到抛物线， 故选：． 6．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 7．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 8．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 9．“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分别讨论M在AB和在BC上时M到点C的距离平方为y关于运动时间为x的增大而变化的情况即可判断． 【分析】解：当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大先变小再变大， 当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大而变小， ∵ y等于点M到点C的距离平方， ∴ y是关于x的二次函数，图象为抛物线的一部分， A选项符合题意 10．如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：    ①； ②； ③； ④关于x的一元二次方程的两根分别为和1； ⑤若点，，均在二次函数图象上，则； 其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①∵二次函数图象开口向上，且与y轴负半轴相交， ，， 又对称轴， ， ，故①正确； ②由①得：，则，则②错误； ③∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为， ∴当时，，故③正确； ④根据抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为可知： 抛物线与x轴的另一个交点为：， ∴关于x的一元二次方程的两根分别为和1，故④正确； ⑤点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：． ∵抛物线开口向上， ，故⑤错误， 则结论正确的个数有3个， 故选B． 二、填空题 11．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 12．抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 【详解】抛物线的顶点坐标为． 13．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 14．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：过A作轴于C， 令，则： 解得或， ∴， ∵，轴， ∴ ∴当时，自变量的取值范围是． 15．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 三、解答题 16．已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 【答案】(1) 证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． (2) 的值为或． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 17．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 18．二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示． 0 1 5    (1)二次函数图象的顶点坐标为______；m的值为______， (2)在图中画出二次函数图象；可以看作是将抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)结合图象，写出时，的取值范围． 【答案】(1)，0 (2) 在图中画出二次函数图象如下：   可以看作是将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度． (3) 【详解】（1）解：由点可知，二次函数的对称轴为直线， ∴， 将点代入得：，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 将点代入二次函数得：， 故答案为：，0． （2）略 （3）解：当时，，解得或， ∴二次函数与轴的交点坐标为和， 结合函数图象可知，当时，． 19．如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将分别代入， 得，解得， 直线的解析式为， 设，则， 为的三等分点， 或， 即或， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去） 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 21．春节时，家家户户挂红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼已成为我国的一种传统文化．某超市在春节前购进一批成本为30元/对的灯笼，经市场调查发现，若灯笼每对售价40元时，每天可售出120对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对72元，设灯笼每对涨价元，超市一天售出灯笼获得利润元． (1)求与之间的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当取何值时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当时，一天获得利润最大，最大利润是2450元 【详解】（1）解：若灯笼每对售价40元时，每天可售出120对，售价每提高1元，则每天少售出2对． 设灯笼每对涨价元，则售价为元，每天可售出对， 所以利润； （2）解：由（1）知， ， 为关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为， 时，取得最大值，最大值， 答：当时，一天获得利润最大，最大利润是2450元． 22．如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 【答案】(1)①2；②B (2)①；②， 【详解】（1）解：①由题意，∵当P，Q到达终点C，B时，运动停止， ∴运动停止时，运动时间（s）． 故答案为：2； ②由题意得，，即， ∴y与t满足一次函数关系． 故选：B； （2）解：①由题意得，，， 又的面积， ∴（）； ②由题意，∵， ∴该函数的图象开口向下，其顶点在． ∴当时，． 23．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，与x轴交于点G，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：四边形为平行四边形 理由如下 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，的长度最大，且最大值为，此时，，． ， ， ∵， ∴四边形为平行四边形 (3)存在，点F的坐标为或或 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． 解得 抛物线的解析式为． （2）略 （3）解：∵D是的中点，且，则点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 当时，， ∴点A在直线上， 过点Q作轴于点H， 则， 故， 而，， ∴， ∴直线和直线关于直线对称， ∵点，， ∴点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 根据题意，得   解得，， ∴点E的坐标为，另一组解与点Q重合， 设点F的坐标为， 根据题意，得，， ， 当时，此时有，故，，故，此时方程无实数解； 当时，此时有，故，故， 解得； 当时，此时有，故， 解得； 故在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，并且点F的坐标为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学第二十六章二次函数周末课后单元自主练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 4．已知是抛物线上的点，则（    ） A． B． C． D． 5．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 6．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 7．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 8．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 9．“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：    ①； ②； ③； ④关于x的一元二次方程的两根分别为和1； ⑤若点，，均在二次函数图象上，则； 其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 12．抛物线的顶点坐标为_______ 13．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 14．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 15．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 三、解答题 16．已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 17．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 18．二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示． 0 1 5    (1)二次函数图象的顶点坐标为______；m的值为______， (2)在图中画出二次函数图象；可以看作是将抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)结合图象，写出时，的取值范围． 19．如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 21．春节时，家家户户挂红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼已成为我国的一种传统文化．某超市在春节前购进一批成本为30元/对的灯笼，经市场调查发现，若灯笼每对售价40元时，每天可售出120对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对72元，设灯笼每对涨价元，超市一天售出灯笼获得利润元． (1)求与之间的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当取何值时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 22．如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 23．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，与x轴交于点G，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $