第二十六章 二次函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册二次函数单元复习卷，融合多地期末真题与创新情境题，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心内容，适配单元巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、图像与坐标关系|如第4题矩形面积最值问题，体现数学眼光中的几何直观| |填空题|6/18|对称轴、顶点坐标、图像变换|如第15题抛物线旋转，考查空间观念与运算能力| |解答题|9/72|解析式求解、动态几何、实际应用|如21题利润最值（模型意识）、24题烟花轨迹（创新意识），强调数学思维与语言表达|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意； B．不是二次函数，则B不符合题意； C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意； D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意； 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下． 点到对称轴的距离分别为： ． ∵抛物线的开口向下， ∴距离越大函数值越小． ∴． 故选 C． 4．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，牢记二次函数概念及“时，二次函数与x轴有2个交点”是解题的关键． 二次函数图象与x轴有两个不同的交点等价于对应方程有两个不同的实数根，需满足判别式大于零且二次项系数不为零． 【详解】∵ 函数为二次函数， ∴ . ∵ 图象与x轴有两个不同的交点， ∴ 方程 有两个不同的实数根， ∴ 判别式 ， 解得 . ∴ 且 ． 故选：D． 6．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线 开口向上，当时，， ∴将代入解析式得： ， 化简得 ， 解得， ∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大， ∴抛物线对称轴不大于， ∵抛物线对称轴为， ∴ ， 解得：， 综上，的取值范围是． 7．已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，根据抛物线的对称轴为直线，求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据平移该抛物线的顶点始终在直线上，设平移后抛物线的顶点坐标为，把抛物线的解析式转化为顶点坐标式，，根据抛物线与轴交点的横坐标为，可得抛物线与轴交点的纵坐标为，根据二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 平移该抛物线的顶点始终在直线上， 设平移后抛物线的顶点坐标为， 平移后抛物线的解析式为， 当时， 可得：， 整理得：， ， 有最大值， 即当时，取最大值，最大值为． 故选：A． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 9．已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 10．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（    ）． A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． ①利用对称轴，即可得到系数的关系； ②代入到函数表达式判断代数式的符号，得出结论； ③利用函数与轴交点处坐标，得到，，继而代入，根据，得出结论； ④利用函数达到最值时的取值，分别代入和，得到； ⑤根据对称轴和已知交点，得到另一交点坐标，将方程的解转化为二次函数图象与直线交点的问题，结合图象判断根的分布． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵时，， ∴，即，故②错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵当时，，达到最大值， 当时，， ∴， ∴，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线解析式为， ∴方程的两根和为抛物线与直线的交点的横坐标， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论有①③⑤． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知抛物线表达式为，则该抛物线的对称轴为直线______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴为直线． 根据二次函数的对称轴公式求解． 【详解】解：在中，，， ∴对称轴为直线． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知函数的顶点在x轴上，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了把化成顶点式，抛物线与x轴的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据函数的顶点在x轴上，得出方程只有一个实数根，从而可得到关于b的方程求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点在x轴上， ∴方程只有一个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·广东广州·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 15．将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】先将原抛物线配方化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征得到旋转后抛物线的顶点坐标，结合旋转后二次项系数变为原系数的相反数，利用顶点式写出旋转后抛物线的解析式，整理为一般式即可． 【详解】解：对原抛物线配方得， 可得原抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数， 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， 因此旋转后抛物线的顶点式为， 整理为一般式． 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知在平面直角坐标系内，抛物线经过轴上两点，，点的坐标为，与轴相交于点．求抛物线的表达式以及点的坐标． 【答案】 抛物线表达式为，点的坐标为 【详解】解：将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 将代入，得， ∴点的坐标为． 18．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)若该二次函数图象的顶点在轴上，求此二次函数的表达式； (2)若该抛物线的顶点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题、二次函数的顶点坐标等，熟练掌握二次函数与轴的交点问题和配顶点式是解题的关键． （1）根据二次函数图象的顶点在轴上，可得，代入求解即可； （2）先将配成顶点式，再结合题目求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在轴上， ∴与轴只有一个交点，即， ， 解得：， 二次函数表达式为； （2）解：∵， ∴顶点为， ∵抛物线的顶点到轴的距离为， ∴， 解得，， 的值为或． 19．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可； （2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把代入得： ， 解得：  ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， 设的解析式为：， ∵,， 所以， 解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵， ∴ ， 解得：（舍） 或， ∴. 20．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 21．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 22．已知二次函数．图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围； (3)当，二次函数的最大值是，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入，求出的值即可； （2）原命题等价于恒成立，即，通过变形可得，因此当时，取得最大值，从而得到的取值范围； （3）先分析该二次函数的图象与性质，可得该抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线．分类讨论，当对称轴在区间左侧，随的增大而减小，当时，取得最大值，解得；当对称轴在区间内，在顶点处取得最大值，此时的值与题设矛盾；当对称轴在区间右侧，同理，当时，取得最大值，解得． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∵对于一切实数，都有， ∴； （3）解：， ∴该抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ①当，即时， 当时，区间在对称轴右侧， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）， ∴； ②当，即时， 当时，对称轴在区间内， ∴当时，取得最大值， ∴，即，与题设矛盾，故舍去； ③当，即时， 当时，区间在对称轴左侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）， ∴； 综上所述，的值为或． 23．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 24．燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由； (3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E． ①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________． ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________． 【答案】(1) (2)不存在安全隐患，理由见解析 (3)①；② 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，再将点代入求解即可； （2）当时，，此时火星已经落地，即可判断答案； （3）①设直线l的表达式为，将和的顶点坐标的顶点代入求解即可； ②先求出，，再根据的顶点在直线l上，求得，即，可进一步求得，结合，可得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：不存在安全隐患；理由如下： 当时，， 当时，火星已经落地，不存在安全隐患； （3）解：①， 的顶点坐标为； 设直线l的表达式为， 将的顶点和代入，得， 解得， 直线l的表达式为； ②．理由如下： 令，则， 解得，， ， 令，则， 解得，， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 把顶点的坐标代入直线l的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25．定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得点P的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线的顶点坐标和二次项系数，据此可得答案； （2）根据（1）所求分别求出抛物线和的函数值随的增大而减小时x的取值范围即可得到答案； （3）①求出直线经过点Q和点P时m的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P为直角顶点和点Q为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K的坐标，再验证点K是否在抛物线上即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是点， ∴点P的坐标为， ∵抛物线的共生抛物线的顶点是， ∴，且抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； 综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小； （3）解：①如图所示， 当直线恰好经过点P时，则， 当直线恰好经过点Q时，则， 由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点； ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作轴，过点K作，过点Q作， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，此时符合题意； 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，点K的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 二次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B D C A D C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14． 15． 16．2或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】解：将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为，.............3分 将代入，得， ∴点的坐标为．.............6分 18． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在轴上， ∴与轴只有一个交点，即， ， 解得：， 二次函数表达式为；.............3分 （2）解：∵， ∴顶点为， ∵抛物线的顶点到轴的距离为， ∴， 解得，， 的值为或．.............6分 19． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把代入得： ， 解得：  ， ∴抛物线的解析式为：；.............3分 （2）解：如图， 设的解析式为：， ∵,， 所以， 解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵， ∴ ， 解得：（舍） 或， ∴..............6分 20． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为；.............3分 （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．.............6分 21． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为；.............3分 （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元．.............8分 22． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴二次函数的表达式为；.............2分 （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∵对于一切实数，都有， ∴；.............5分 （3）解：， ∴该抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ①当，即时， 当时，区间在对称轴右侧， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）， ∴； ②当，即时， 当时，对称轴在区间内， ∴当时，取得最大值， ∴，即，与题设矛盾，故舍去； ③当，即时， 当时，区间在对称轴左侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）， ∴； 综上所述，的值为或．.............8分 23． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴；.............2分 （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于；.............4分 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于；.............6分 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为..............8分 24． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为；.............3分 （2）解：不存在安全隐患；理由如下： 当时，， 当时，火星已经落地，不存在安全隐患；.............6分 （3）解：①， 的顶点坐标为； 设直线l的表达式为， 将的顶点和代入，得， 解得， 直线l的表达式为；.............9分 ②．理由如下： 令，则， 解得，， ， 令，则， 解得，， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 把顶点的坐标代入直线l的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．.............12分 25． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是点， ∴点P的坐标为， ∵抛物线的共生抛物线的顶点是， ∴，且抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的解析式为；.............4分 （2）解：∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； 综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小；.............8分 （3）解：①如图所示， 当直线恰好经过点P时，则， 当直线恰好经过点Q时，则， 由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点； ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作轴，过点K作，过点Q作， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，此时符合题意； 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，点K的坐标为．.............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 6．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 9．已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 10．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（    ）． A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知抛物线表达式为，则该抛物线的对称轴为直线______． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知函数的顶点在x轴上，那么______． 13．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 14．（25-26九年级上·广东广州·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 15．将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知在平面直角坐标系内，抛物线经过轴上两点，，点的坐标为，与轴相交于点．求抛物线的表达式以及点的坐标． 18．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)若该二次函数图象的顶点在轴上，求此二次函数的表达式； (2)若该抛物线的顶点到轴的距离为，求的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 20．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 21．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 22．已知二次函数．图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围； (3)当，二次函数的最大值是，求的值． 23．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 24．燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由； (3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E． ①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________． ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________． 25．定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列'关于x的函数中二次函数是() A.y=ax2+bx+c(a≠0) B.y=2 c.y=(x-2)}-x D.y=3x-9 2.(25-26九年级上江苏无锡期末)已知二次函数"=r P(2,3) 的图像经过点 ,则“的值为() 3 9 A.4 B.3 D.2 .(25:26九年级上贵州贵阳期末)已知三个点1(-4小B(,为》C(6,)都在二次函数 y=ar-4r+4c(a<0,c为常数)的图象上，则为为 的大小关系是() A,片<h<⅓ B为<h<乃 C.片<为<为 D.⅓<乃<乃 4.如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD,花园两边由总长为l8m的篱笆围成，墙长DE=8m, DF=12m,则花园最大面积为(） E NA 丙F A.72m2 B.80m2 C.81m2 D.96m2 y=x2-3x-1 5.(25-26九年级上辽宁大连期末)关于x的二次函数 的图象与x轴有两个不同的交点，则 k的取值范围是() 118 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A>-9 4 Bk<-9 4 Q.2-k0 D.k>-9 4且k≠0 y=x2+(m-1)x+m 6.已知抛物线 当x=1时，y<4,且当>2时，y的值随x值的增大而增大，则m 的取值范围是() A.m>-3 B.m<2 C.-3≤m<2 D.1<m≤3 7.已知抛物线 +2x+3“为带数)的对称转为直线=2， ，平移该抛物线，使其顶点始终在直线 y=x+3 上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有() 7 A.最大值2 B.最大值3 C.最小值-3 D.最小值2 8。(25-26八年级下福建福州期末)函数'=ar-a与'=ar-a(a≠0 在同一平面直角坐标系中的图象 可能是() 9.已知二次函 y=a2+br+ea≠0 )的自变量x与函数的几组对应值如下表： 4 0 5 0 8 5 -27 则下列关于该二次函数的说法正确的是() A.图象开口向上 B.当-4<x<1时，y的取值范围为0<y≤8 218 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根 1 D.图象的对称轴是直线=一 2 10.(25-26九年级上新疆乌鲁木齐期末)二次函数'=ar+br+c(a≠0) 的部分图象如图所示，图象过点 (-1,0) 对称轴为直线=2，下列结论：0a+b=0,@90+c>30,③8a+76+2c>0:@” ② :③ ；④”为任意实 数时，总有 m(am+b)<4a+2b b,⑤若方程(x+1x-5)=-3的两根为”和，且<，则 x<-1<5<x2 ;其中正确的结论有(). A.①②⑤ B.①③⑤ C.②③⑤ D.①③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.己知抛物线表达式为'=-r+4红-5 则该抛物线的对称轴为直线 12.(25-26九年级上安徽合肥期末)已知函数 =-bx+4的顶点在x轴上，那么b= 13.已知三个二次函数的图象如图所示，那么”，，4的大小关系是 一·（请用“>”连接） y=a,x2 y=ax2 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14,(25-26九年级上广东广州期末)若二次函数)=3r+x+C 的部分图象如图所示，关于的一元二 次方程3+如+6=0的个解=3.测则月一个销5- y=x2+2x+2 15.将抛物线 绕原点旋转180° 所得到的抛物线的解析式为 16,(25-26九年级上江苏宿迁期末)当≤x≤3时，二次函数)=-(x-m+m+ 的最大值是5，则m 的值为一 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.已知在平面直角坐标系内，抛物线y=+x+6经过轴上两点A,B,点B的坐标为3,0），与》轴 相交于点C.求抛物线的表达式以及点C的坐标. 18。（25-26九年级上安徽滁州期末)在平面直角坐标系中，已知二次函数”=？+2x-m (I)若该二次函数图象的顶点在x轴上，求此二次函数的表达式： (2)若该抛物线的顶点到x轴的距离为2，求m的值， 19.如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，0C=20B,an∠ABC=2,点B的坐标为 1,0) 抛物线 y=-x2+bx+c 经过A、B两点. 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的解析式： ②点P是直线B上方抛物线上的一点，过点P作p垂直x轴于点D,交线段仍于点五，使PE=DE 求点P的坐标 20,如图，抛物线”=r+br(a<0)过点E(0,0）,矩形4BCD的边AB在线段OE上（点A在点8的左 边)，点C,D在抛物线上.设1(，0)，当1=2时，AD=4 D 1O A B武衣 (1)求抛物线的函数表达式. (2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ 21.(2026四川眉山中考真题)2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体 育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动. (1)某食品厂原计划每月生产艺麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880 件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元.参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可 多售出5件，问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 2.已知二次函数’=--2r+m.图象经过点 (0,3) (1)求这个二次函数的表达式： (2)对于一切实数x,若函数值y<x+t总成立，求t的取值范围： 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当n-2≤x≤n,二次函数的最大值是2n,求n的值， 23.如图所示，己知在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=4cm,点Q从点A开始沿AB边向点B以lcm/s 的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2Cm/s的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动.设 运动时间为t秒. A0 B (I)填空：BO=,PB=_. (用含t的代数式表示)： (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，△PB0的面积等于4cm2? 3)在(1)中，△PB0的面积能否等于7cm2？试说明理由. (4)点P、Q运动几秒后，△PBQ的面积最大？最大值为多少？ 24.燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗.新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1， 火花从垂直地面的烟花筒OA的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，以烟花放 2 置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系。经测量，烟花筒O4的高度是3米，喷出的最 远的一颗火星的运动轨迹为抛物线”，与烟花筒04的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星 沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点， 图2 图3 (1)求该抛物线的函数表达式： 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为2.5米处，是否存在安全隐患，请说明理由： (3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且， ，…，少这些抛物线的 的在同条我上，如图共中一案提物线为=2骨子与有线号相之于点8 2 y2 ①的顶点坐标为 :l的表达式为 2 ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为，=ar+x+(a<0)且与直线y=了相交于点卫，经测算，当 2 EF≤有时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时抛物线y中a的取值范围 25.定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物 线称之为“共生抛物线”，刻抛物线=0,5与=-2r 是共生抛物线 2 已知抛物线C:y=-(x+2+1的顶点是点p,它的共生抛物线C的顶点是Q: (1)点P的坐标是 抛物线C2的函数关系式是 C (2)当的取值范围是 C, 时，抛物线与？的函数值都随的增大而减小. 6)直线=m C C2 与抛物线 均有两个交点，这些交点从左到右分别是4B,C,D ①求m的取值范围是 ②在抛物线C,上是否存在一点K,使△KPO是以PO为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出K点的 坐标，若不存在，请说明理由. 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 88