14.3 角的平分线（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 14.3 角的平分线 目 录 A组 巩固过关 知识点01 利用尺规作角平分线 知识点02 角平分线的性质 知识点03 角平分线的判定 知识点04 角平分线性质的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 知识点01 利用尺规作角平分线 1．(25-26八上·河北邢台威县第六中学·期末)根据图中的尺规作图痕迹（部分），若点P的坐标为，则a的值为（    ） A．3 B． C．2 D．3或 2．如图，在中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点D和E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线交于点H；④过点H作交于点G，若，则的度数是_____． 3．如图，在中，点D在的延长线上，其中，． (1)求的度数． (2)作的平分线．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 知识点02 角平分线的性质 4．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 5．(24-25八上·上海静安区风华初级中学·期末)如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． 6．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：． 知识点03 角平分线的判定 7．(25-26八上·河北邢台襄都区·期末)如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 8．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 9．如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 知识点04 角平分线性质的实际应用 10．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 11．如图，中，平分，交于，于点，的面积是，，，则______． 12．如图，三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划在三条公路围成的区域内修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，问超市应建在何处（使用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    B组 能力进阶 1．(25-26八上·福建宁德·期末)在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 2．如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 4．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 5．(25-26八上·安徽六安清水河中学·期末)如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．(25-26八上·江西赣州上犹县·期末)如图，是的角平分线，点在上，，垂足为，且，则点到的距离是______cm． 7．(25-26八上·上海师范大学附属中学闵行实验学校·期末)如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________． 8．如图，是的角平分线，若，则_____． 9．(25-26八上·福建泉州晋江·期末)如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 10．(25-26八上·湖北襄阳南漳县·期末)如图，在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为________． 11．(25-26八上·陕西汉中南郑区·期末)如图，在中，．用尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． 12．(25-26八上·辽宁盘锦双台子区·期末)已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． C组 思维拔高 1．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 2．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论： （1）恒成立； （2）的值不变； （3）四边形的面积不变； （4）的长不变． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 4．(25-26八上·湖南永州零陵区·期末)已知，如图， 点为的平分线上的点， 连接； 如图，点为的平分线上的两点， 连接；如图，点为的平分线上的三点， 连接 依此规律，第个图形中总共有全等三角形______对． 5．已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与，相交于点，． (1)如图①，若于点，于点．求证：； (2)当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 6．(25-26八上·安徽潜山岭头初级中学等校·期末)综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以（_______）． 因为，所以_______． 在中，根据三角形内角和为，有_______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则_______．（直接写出答案） 拓展 链接中考 1．(2026·四川省宜宾市·中考)如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．(2026·黑龙江省齐齐哈尔市·中考)如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 3．(2023·甘肃省兰州市·中考)综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．     请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 14.3 角的平分线 目 录 A组 巩固过关 知识点01 利用尺规作角平分线 知识点02 角平分线的性质 知识点03 角平分线的判定 知识点04 角平分线性质的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 知识点01 利用尺规作角平分线 1．(25-26八上·河北邢台威县第六中学·期末)根据图中的尺规作图痕迹（部分），若点P的坐标为，则a的值为（    ） A．3 B． C．2 D．3或 【答案】A 【分析】由作图可知点在的角平分线上，由角平分线的性质，结合第一象限的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知点在的角平分线上， ∴， ∴． 2．如图，在中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点D和E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线交于点H；④过点H作交于点G，若，则的度数是_____． 【答案】/100度 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，点D在的延长线上，其中，． (1)求的度数． (2)作的平分线．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) 如图所示，点E为所求点： 【分析】本题考查了三角形内角和性质，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，作出的平分线，即可作答． 【详解】（1）解：， （2）略 知识点02 角平分线的性质 4．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过点D作，交于点E， ∵平分，， ∴， 所以点D到的距离是3． 5．(24-25八上·上海静安区风华初级中学·期末)如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． 【答案】 【分析】过作于点，通过角平分线的性质可得，再由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴的面积是． 6．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 知识点03 角平分线的判定 7．(25-26八上·河北邢台襄都区·期末)如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据已知可得是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵到，的距离均为米， ∴是的角平分线， ∵， ∴ 故选：B． 8．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】本题考查了角平分线的判定，过两把直尺的交点作，，则有，然后通过角平分线的判定即可求解，掌握角平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴点在平分线上， ∴射线就是的平分线（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 9．如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) 解：结论：，理由如下：         如图，设交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，                                 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：如图，作于P，于Q， ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∵于P，于Q， ∴平分． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及角平分线的判定， （1）设交于点G，先证明，进而得出，即可证明结论； （2）作于P，于Q，由全等得出，即可证明结论； 【详解】（1）略 （2）略 知识点04 角平分线性质的实际应用 10．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 11．如图，中，平分，交于，于点，的面积是，，，则______． 【答案】3.5 【分析】作，根据角平分线的性质计算即可； 【详解】作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质应用，准确计算是解题的关键． 12．如图，三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划在三条公路围成的区域内修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，问超市应建在何处（使用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】 如图所示，超市应建在点O处． 【分析】根据尺规作一个角的平分线的方法，作出、的平分线，两条角平分线的交点即为超市的位置． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握用直尺和圆规作一个角的平分线的方法，角平分线上点到角的两边距离相等． B组 能力进阶 1．(25-26八上·福建宁德·期末)在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， 则有的长为点到的距离， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∴点到的距离是 ． 2．如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵平分，，， ∴． 3．如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】过点作交于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作交于点， 平分交于D， ，，， ， ． 4．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， 充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 5．(25-26八上·安徽六安清水河中学·期末)如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式，作出辅助线是正确解答本题的关键．过点D作，垂足分别为M，P，利用角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积得出的长，结合“垂线段最短”即可获得答案． 【详解】解：过点D作，垂足分别为M，P， ∵是的平分线， ∴， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 选项中只有2不在这一范围内， 故选：D 6．(25-26八上·江西赣州上犹县·期末)如图，是的角平分线，点在上，，垂足为，且，则点到的距离是______cm． 【答案】3 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等解题即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是的角平分线，，， ∴． 即点到的距离是． 7．(25-26八上·上海师范大学附属中学闵行实验学校·期末)如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为：． 8．如图，是的角平分线，若，则_____． 【答案】/ 【分析】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键．过点D作于点E，作于点F，由是的角平分线得到，由，，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点E，作于点F，如图所示：    ∵是的角平分线， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．(25-26八上·福建泉州晋江·期末)如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 【详解】解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为：． 10．(25-26八上·湖北襄阳南漳县·期末)如图，在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，作角平分线（尺规作图），角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图法及角平分线的性质定理是解题的关键． 过点作于点，由三角形的面积公式可得，，于是可得，由作图步骤可知是的平分线，由可得，再结合，由角平分线的性质定理可得，由此即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 由作图步骤可知，是的平分线， ， ， 又， ， 的长为， 故答案为：． 11．(25-26八上·陕西汉中南郑区·期末)如图，在中，．用尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． 【答案】 【分析】作的角平分线即可． 【详解】略 12．(25-26八上·辽宁盘锦双台子区·期末)已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ； (2) 证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）略 （2）略 C组 思维拔高 1．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 2．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论： （1）恒成立； （2）的值不变； （3）四边形的面积不变； （4）的长不变． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】如图作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，证明，得出，，再逐项分析即可得出结果． 【详解】解：如图：如图作于点，于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故（1）正确； ∴，即的值不变，故（2）正确； ∵，， ∴，， ∴，即四边形的面积不变，故（3）正确； ∵为定角， ∴，为定角， ∵， ∴的形状确定， ∵的长度变化， ∴的长度变化，故（4）错误； 综上所述，正确的有（1）、（2）、（3），共个． 3．如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，于点，由角平分线的性质推出，由三角形的面积求出，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵平分，，， ， ∵平分，，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∴ ． 4．(25-26八上·湖南永州零陵区·期末)已知，如图， 点为的平分线上的点， 连接； 如图，点为的平分线上的两点， 连接；如图，点为的平分线上的三点， 连接 依此规律，第个图形中总共有全等三角形______对． 【答案】 【分析】本题考查了对全等三角形的判定以及图形变化规律，关键是根据已知图形得出规律．由图可知，第个图形，共有1对全等三角形，第个图形，共有对全等三角形，第个图形，共有对全等三角形，依此规律，第个图形，共有对全等三角形． 【详解】解：图中，当有点D时，有1对全等三角形， 图中，当有点时，有对全等三角形， 图中，当有点时，有对全等三角形， 当有个点时，图中有对全等三角形， 故第个图中有点，全等三角形的对数为． 故答案为：． 5．已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与，相交于点，． (1)如图①，若于点，于点．求证：； (2)当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)证明：∵平分， 又∵，， ∴． (2)成立，证明如下; 如图，过点作于点，于点， ∵平分， 又∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）由角平分线的性质定理即可证明； （2）过点作于点，于点，利用角平分线的性质定理可得，容易计算出，由“同角的余角相等”可得，进而证明，因此． 【详解】（1）略 （2）略 6．(25-26八上·安徽潜山岭头初级中学等校·期末)综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以（_______）． 因为，所以_______． 在中，根据三角形内角和为，有_______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则_______．（直接写出答案） 【答案】（1），， （2）证明： ，，， ， 外角，的平分线交于点， ，， ， ； （3）或或或 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理． (1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理找到角之间的关系求解； (2)根据邻补角定义可知，根据角平分线定义可得，根据三角形内角和定理可证结论成立； (3)根据角平分线定义可知，再根据一个内角等于另一个内角的倍，分情况求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：或或或， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ①当时， ， ； ②当时，， ； ； ③当时， ， ； ④当时， ， ， ； 综上所述，或或或． 拓展 链接中考 1．(2026·四川省宜宾市·中考)如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 2．(2026·黑龙江省齐齐哈尔市·中考)如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 【答案】7 【分析】过点作，由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点E，如图所示， 由题可知，平分， 又， ∴， ∴． 3．(2023·甘肃省兰州市·中考)综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．     请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】（1）； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）如图，点即为所求作的点； 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键． （1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为： （2）略； （3）略. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $