第4章 三角形概念清单速记表（知识清单）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学第4章“三角形”知识清单系统梳理了三角形的概念性质、全等判定、尺规作图及命题证明等核心内容，涵盖从三角形定义、三线（高线、角平分线、中线）到全等判定定理、等腰三角形性质的完整知识范畴，搭建了从基础概念到逻辑推理再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“章节-概念-定义-相关概念”四级分类呈现知识体系，如“三角形三边关系”明确标注依据“两点之间线段最短”，“全等三角形判定”关联SAS、ASA等定理符号，培养学生推理意识与几何直观。特别设计“相关概念”列强化知识联系，如“等腰三角形三线合一”关联顶角平分线等要素，助力学生系统复习，教师可据此精准设计教学，提升课堂效率。

第4章 三角形清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 4.1 认识三角形 三角形 不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形，三角形 记作 。 顶点、内角、三边、三边关系、按角分类、按边分类 三角形三边关系定理 三角形的任意两边之和大于第三边，如三边为 、、 时，有 ，，；其依据是“两点之间，线段最短”。 两点之间线段最短、不等式、两边之差小于第三边 三角形三边关系的推论 利用不等式的基本性质，由“两边之和大于第三边”移项变形可得：三角形的任意两边之差小于第三边，如由 可得 。 不等式的基本性质、移项、三边关系定理 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。 垂线、垂足、对边、三条高线 三角形的角平分线 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线，若 是 的角平分线，则 。 角的平分线、对边、三条角平分线 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线，若 是 的边 上的中线，则 。 对边中点、三条中线、面积等分 三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫作三角形的重心。 中线、三线共点 三角形的内角和定理 三角形的内角和等于 ，即 ；因此一个三角形中最多有一个直角或一个钝角。 平移、平行线性质、内角 锐角三角形 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。 按角分类、直角三角形、钝角三角形 直角三角形 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形 可记作 Rt。 直角边、斜边、Rt△ 直角边与斜边 在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边。 直角三角形、等腰直角三角形 等腰直角三角形 两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。 直角三角形、等腰三角形 三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角，外角与和它相邻的内角的和为 。 内角、邻补角、延长线 三角形的外角性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，如 。 外角、内角和定理、三角形外角定理 4.2 命题与证明 命题与证明 数学中的结论要成为定理必须经过证明：从定义与命题出发，判断命题的真假需要证明或举反例，经过证明为真的命题成为定理，由定理还可直接推出推论。 定义、命题、真命题、假命题、举反例、证明、反证法、定理、推论、互逆定理 4.2.1 定义，命题 定义 对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义。 概念、含义、规定 命题 可以判断真假的陈述句叫作命题，叙述一件事情的陈述句要么是真的，要么是假的，两者必居其一。 陈述句、真命题、假命题 真命题 如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题。 命题、假命题、证明 假命题 如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题。 命题、真命题、举反例 命题的条件与结论 对于“如果……，那么……”形式的命题，通常把“如果”引出的部分称为条件，把“那么”引出的部分称为结论，省略关联词叙述时条件与结论仍然存在。 条件、结论、如果……那么…… 互逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题。 原命题、逆命题、条件、结论 原命题与逆命题的真假关系 当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题。 互逆命题、真命题、反例 4.2.2 证明，举反例 举反例 对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题的条件，但不满足命题的结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例。 假命题、反例 证明 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是证明。 真命题、定义、基本事实、逻辑推理 反证法 先假设命题不成立，从假设出发推出一个与已知条件、定义、基本事实或已经证明了的真命题相矛盾的结论，从而否定假设、肯定所要证明的结论，这种证明方法叫作反证法；其基本步骤为三步：先假设命题不成立，再导出矛盾，最后肯定结论。 假设、矛盾、证明步骤 4.2.3 定理，推论 定理 经过证明为真的命题叫作定理，例如“三角形的内角和等于 ”称为三角形的内角和定理。 真命题、证明、推论 推论 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论。 定理、三角形外角定理 三角形内角和定理的推论 利用三角形的内角和定理可直接推出：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，这一推论通常简称为三角形外角定理。 外角、内角和定理、外角定理 三角形的外角和定理 三角形的外角和等于 。 外角、内角和定理 互逆定理 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理。 逆命题、原定理、互逆命题 与图形有关的命题的证明步骤 证明与图形有关的命题时，第一步根据命题的条件画出图形并写出已知条件，第二步根据命题的结论写出求证，第三步从条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出所求证的结论，或者运用反证法证明。 已知、求证、图形、反证法 4.3 全等三角形 全等三角形的性质与判定 全等三角形是能够完全重合的两个三角形，其对应边相等、对应角相等；判定两个三角形全等的基本事实与判定定理有边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）。 全等图形、对应顶点、对应边、对应角、基本事实、判定定理 4.3.1 认识全等三角形 全等图形 能够完全重合的两个图形叫作全等图形。 形状、大小、完全重合 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，如 ，表示时通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。 全等图形、≌、对应顶点 对应顶点 全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点。 对应边、对应角、对应位置 对应边 全等三角形中，互相重合的边叫作对应边。 对应顶点、对应角、对应边相等 对应角 全等三角形中，互相重合的角叫作对应角。 对应顶点、对应边、对应角相等 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 对应边、对应角 全等与图形变换 一个图形经过平移或旋转或轴对称得到的图形与原图形全等。 平移、旋转、轴对称 4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边） 全等三角形的判定定理（边角边） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，这一结论已经证明成立，作为基本事实，也称为全等三角形的判定定理（边角边），可简写为“SAS”。 基本事实、SAS、夹角 两边及其中一边的对角相等 “两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，即两边及其中一边的对角对应相等不能保证两个三角形全等。 假命题、举反例、夹角与对角 4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 全等三角形的判定定理（角边角） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，这一结论已经证明成立，作为基本事实，也称为全等三角形的判定定理（角边角），可简写为“ASA”。 基本事实、ASA、夹边 全等三角形的判定定理（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，称为全等三角形的判定定理（角角边），可简写为“AAS”，它可由三角形内角和定理与判定定理（角边角）推出。 AAS、内角和定理、ASA 4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边） 全等三角形的判定定理（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等，这一结论已经证明成立，作为基本事实，也称为全等三角形的判定定理（边边边），可简写为“SSS”。 基本事实、SSS 三角形的稳定性 只要三角形三条边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性。 SSS、形状与大小、屋顶与车架结构 辅助线 在原来图形上添画的线叫辅助线，并且通常画成虚线。 添画线、虚线、证明 利用全等证明线段或角相等 通常可利用三角形全等来证明两个角或两条线段相等，即先证明有关的两个三角形全等，再由对应边相等、对应角相等得出结论。 对应边、对应角、判定定理 三个角对应相等的两个三角形 三个角分别对应相等的两个三角形不一定全等，“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题。 假命题、举反例、形状相同大小不同 4.3.5 全等三角形的应用 全等三角形的应用 生活中可以利用全等三角形的有关知识解决测量等实际问题，当线段的长度不能直接测量时（如河的宽度、玻璃瓶的内径），通过构造两个全等三角形，使所求线段与可以测量的线段成为对应边，由对应边相等求得所求线段的长。 测量、对应边、判定定理 构造全等三角形的常用条件 证明两个三角形全等时，图形中的公共边、公共角、对顶角相等是常用的隐含相等条件。 公共边、公共角、对顶角 4.4 尺规作图 尺规作图 只用没有刻度的直尺和圆规两种工具作图，叫作尺规作图，作图时要保留作图痕迹。 直尺、圆规、作一条线段等于已知线段、作图痕迹 已知三边作三角形 先作一条线段等于已知三边中的一条，再分别以这条线段的两个端点为圆心、以另两条已知线段的长为半径画弧，两弧的交点即为三角形的第三个顶点，连接即得所求作的三角形；由判定定理（边边边）可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知三边能作出唯一的三角形。 SSS、画弧、唯一性 作一个角等于已知角 以已知角的顶点为圆心、以任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再在作图位置以相同长度为半径画弧，并以已得两交点之间的距离为半径画弧交前弧于一点，过该点作射线即得所求作的角；其原理是构造三边分别相等的两个全等三角形（SSS）。 SSS、画弧、全等三角形 已知两边及其夹角作三角形 先作一条线段等于已知两边中的一边，再以这条线段的一个端点为顶点作一个角等于已知角，然后在这个角的另一边上截取另一条已知线段的长，连接即得所求作的三角形，其依据是判定定理（边角边）。 SAS、截取、作角 已知两角及其夹边作三角形 先作一条线段等于已知的夹边，再在这条线段的同侧，分别以它的两个端点为顶点作两个角分别等于已知的两角，两条射线的交点即为三角形的第三个顶点，其依据是判定定理（角边角）。 ASA、同侧作角 过直线外一点作已知直线的平行线 先过直线外一点作一条直线与已知直线相交，构造出一个角，再以已知点为顶点作这个角的同位角，使它等于该角，根据“同位角相等，两直线平行”，在已知点处所作角的另一边所在直线即为所求作的平行线。 同位角、平行线、作角 4.5 等腰三角形 等腰三角形 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边。 腰、底边、顶角、底角、轴对称图形 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。 等边对等角、底角、SSS 等腰三角形三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。 顶角平分线、底边中线、底边高线 等腰三角形的对称性 等腰三角形是轴对称图形。 对称轴、等边三角形 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。 等角对等边、AAS、判定 等边三角形 腰和底边相等的等腰三角形叫作等边三角形，等边三角形的三条边相等，也是轴对称图形。 等腰三角形、轴对称图形、各角均为60° 等边三角形的性质定理 等边三角形的各角都等于 ，等边三角形有三条对称轴。 三边相等、对称轴、等腰三角形性质 等边三角形的判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形。 等角对等边、等边三角形 等边三角形的判定定理2 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形、60°、分类讨论 4.6 线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 中点、垂线、成轴对称图形 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，如点 在线段 的垂直平分线上，则 。 SAS、PA=PB 线段垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，这一逆命题经过证明是真命题。 逆命题、等腰三角形、判定点的位置 作一条线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点为圆心、以相同长度（大于 的长）为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，即为所求作的线段的垂直平分线；用同样的方法也可以作出线段的中点。 画弧、中点、垂直平分线、中线 过一点作已知直线的垂线 当点在直线上时，以该点为圆心、以任意长为半径画弧交直线于两点，再分别以这两点为圆心、以相同长度（大于 的长）为半径画弧交于一点，过两个交点作直线即为所求；当点在直线外时，以该点为圆心、以大于点到直线的距离的长度为半径画弧交直线于两点，再分别以这两点为圆心、以相同长度为半径画弧交于一点，过该交点与已知点作直线即为所求。 垂线、垂直平分线、分情况作图 已知底边及底边上的高线作等腰三角形 先作一条线段等于底边，再作这条线段的垂直平分线，在垂直平分线上以底边的中点为一端点截取长等于已知高的线段，从而确定三角形的第三个顶点，连接即得所求作的等腰三角形；其依据是等腰三角形底边上的高线也是底边上的中线（三线合一）。 三线合一、垂直平分线、截取 作一个角的平分线 以角的顶点为圆心、以任意长为半径画弧，分别交角的两边于两点，再分别以这两点为圆心、以相同长度（大于 的长）为半径画弧，两弧交于一点，作经过角的顶点与该交点的射线，即为所求作的角的平分线；其依据是等腰三角形顶角的平分线也是底边上的垂直平分线。 等腰三角形、三线合一、画弧 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $