5.1 直角三角形的性质定理（1）学案 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学学案聚焦直角三角形的核心定理，包括两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半的性质及两角互余的判定定理。课堂从复习直角三角形定义切入，通过“说一说”“议一议”“画一画”等探究活动，衔接三角形内角和定理，构建性质与判定的逻辑联系，形成递进式学习支架。 资料特色在于通过动手测量培养几何直观，借助定理证明（如作辅助线证中线性质）发展推理能力，分层练习（必做巩固基础、选做与拓展提升应用）强化应用意识，帮助学生深化理解，提升解决角计算、三角形判定等几何问题的能力。

第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理（1） ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.能准确表述直角三角形的3个核心定理，清晰区分“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异。 2.能独立运用“三角形内角和定理”证明“两锐角互余”及逆定理，运用“作辅助线+全等三角形”证明斜边上的中线性质。 3.能运用3个定理解决“求直角三角形锐角度数”“判定三角形是否为直角三角形”“证明线段相等”等基础问题。 学习重点： 1. 3个核心定理的理解、准确表述与证明过程； 2.运用定理解决“角的计算”“三角形判定”“线段相等证明”等基础几何问题。 学习难点： 1.区分“直角三角形两锐角互余（性质）”与“两角互余的三角形是直角三角形（判定）”的逻辑关系； 2.“斜边上的中线等于斜边的一半”定理中辅助线的构造及证明过程。 ► 学习过程 一、复习回顾 【回顾】什么是直角三角形吗？ 二、探究新知 探究一：直角三角形的性质1 教材第157页 【说一说】在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=？ 【归纳】直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角_____________. 探究二：直角三角形的判定 【议一议】（1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？ （2） 该逆命题是真命题吗？ 【归纳】直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是_________三角形. 探究三：直角三角形的性质2 【画一画】任务一：用三角板画一个Rt△ABC，取线段AB的中点 D，连接 DC. 任务二：用直尺分别测量斜边AB的长度以及斜边AB的中线DC的长度. 任务三：以点 D 为圆心，DB 为半径画圆弧. 你有什么发现？DC与AB之间有怎样的数量关系？ 【归纳】直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的____________. 三、例题精讲 例1如图，已知CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形. 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.在中，，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2.已知在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=5cm，则斜边AB的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 3.如图，，过点作于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 选做题 4.直角三角形两锐角之差是12°，则较大的一个锐角是　 　°. 5.如图，在中，，是的中点，若，则的长为　 　． 6.下列四个条件： ①在△ABC 中， ∠A， ∠B 都是锐角； ②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3； ③在△ABC中， ∠A-∠B=∠C； ④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5. 其中能确定△ABC 是直角三角形的是　 　(只填序号). 【综合拓展类作业】 7.如图，在中，是边上的高，平分，若，，求和的度数． 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么？ 六、作业布置 1.如图，在等边中，，，，交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2.如图，在中，是角平分线，，垂足为D，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 3.如图，在的正方形网格中，则　 　． 4.如图所示，是的角平分线，是的高，且． （1）求的度数； （2）求的度数． 答案解析 课堂练习： 1.【答案】B 【解析】解：∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝180°−90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：B． 2.【答案】D 【解析】解：∵ Rt△ABC 中，斜边AB上的中线 CD=5cm， ∴AB=5×2=10cm， 故答案为：D. 3.【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：B． 4.【答案】51°． 【解析】设较大的锐角为x°，较小的锐角为y°，且 x > y 。根据题意，有以下两个方程： ，解得， 则较大的一个锐角是51°. 故填：51°. 5.【答案】． 【解析】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6.【答案】②③④． 【解析】解：①∵ ∠A， ∠B 都是锐角 ∴∠A+∠B≤90° ∴△ABC不一定是直角三角形 ②∵△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3 ∴三个内角分别为： ∴△ABC为直角三角形 ③∵ ∠A-∠B=∠C ∴∠A=∠B+∠C ∴∠A+∠B+∠C=2∠A=180° ∴∠A=90° ∴△ABC为直角三角形 ④∵△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5 ∴设三个外角分别为3x，4x，5x ∴与他们相邻的内角分别为180-3x，180-4x，180-5x ∴180-3x+180-4x+180-5x=180 解得：x=30 ∴180-3x=90° ∴△ABC为直角三角形 故答案为：②③④． 7.【答案】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 作业布置： 1.【答案】A 【解析】解：∵是等边三角形，，， ∴ ， ， 故答案为：A． 2.【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：B． 3.【答案】180 【解析】解：如图所示，由网格的特点可得， 在∆ABC和∆AEF中 ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 4．【答案】（1）解：∵是的高， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $