专题05 直角三角形（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材湘教版

该初中数学直角三角形专题清单涵盖性质定理、勾股定理、全等判定、角平分线性质四大核心知识，构建从基础定理到应用方法的递进式学习支架，为学生提供系统的知识框架。 清单通过11类题型（含性质计算、证明、勾股定理应用等）搭配例题与变式训练，结合“勾股定理三步法”“最短路径对称变换”等方法技巧，培养数学思维与应用意识，助力学生高效掌握知识，教师可精准设计教学活动。

专题05 直角三角形（4知识&11题型&1方法清单） 【清单01】直角三角形的性质定理： 1.直角三角形的两个锐角互余。 2.有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30° 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【清单02】勾股定理及其逆定理 1.勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方,即 方法技巧：勾股定理的证明方法很多，可通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明，也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用求面积的方法证明. 2.运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法” (1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形. (2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系. (3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 3.如果三角形的三条边长a,b.c满足关系,那么这个三角形是直角三角形, 【清单03】直角三角形全等的判定 斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).【清单04】角平分线的性质 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 【题型一】利用直角三角形的性质定理进行计算 【例1】（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式1-1】如图所示，已知在等边三角形中，点，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作，为垂足，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 【变式1-3】如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，的周长是21，求的长． 【题型二】利用直角三角形的性质定理进行证明 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点D在边上，，于点E，于点F，交于点G． (1)若，则； (2)求证：； (3)若，求证：． 【变式2-1】如图，在等边△中，射线、分别交线段于点、，，作于点，分别交、于点、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，连接，求的度数． 【变式2-2】已知：在中，，.点D在上且，连接. (1)如图1，求证：； (2)过点D作，使，.连接并延长至点G，使，连接，，.如图2，当点F在的延长线上时，求证：是等边三角形. 【变式2-3】如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【题型三】用勾股定理解三角形 【例3】（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在中，，，D，E分别为，的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长． 【变式3-1】如图，在中，，，点是中点，连接．点是边上一动点，延长至点，使，连接、、，交于点． (1)求证：； (2)当时，若， ①求证：； ②求的长． 【变式3-2】如图， 在中，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． (1)求证： ； (2)若，，求线段的长； 【变式3-3】如图，中，，为的中点，过点作的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，连结，F是的中点，连结． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【题型四】勾股定理与网格问题 【例4】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 【变式4-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．5 【变式4-2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．均在格点上，点为线段与网格线的交点． (1)的长为 ； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，分别在线段上画出点，使得最小．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【变式4-3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【题型五】勾股定理与折叠问题 【例5】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【变式5-1】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-2】如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为 ． 【题型六】勾股定理的实际应用 【例6】（25-26八年级上·江苏南通·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图中的长度为；图中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 【变式6-1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【变式6-3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【题型七】利用勾股定理的逆定理求解 【例7】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【变式7-1】如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【变式7-2】如图，已知点P在等边内，且，，，则 °． 【变式7-3】如图，中，，求的面积． 【题型八】勾股定理逆定理的实际应用 【例8】（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇． 测量数据 ，，，． 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积． 请你完成项目任务． 【变式8-1】综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图， ，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【变式8-2】如图，某农场设置了两个灌溉喷头A，B，且，B之间的距离为，为保障灌溉用水供应，在农田边缘的灌溉渠上安装了一个供水阀，供水阀到的距离（于点）的长为，到喷头的管道的长为． (1)求供水阀M到喷头A的距离； (2)试判断灌溉渠与管道的位置关系，并说明理由． 【变式8-3】如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【题型九】直角三角形全等的综合运用 【例9】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，E是上一点，且，连接并延长交于点F，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并证明． 【变式9-1】如图，点为线段上一点，，，，，平分． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【变式9-2】如图，在中，，D是上的一点，过点D作的垂线交于点E，，连接，，交于点P． (1)求证∶平分； (2)若，判断的形状． 【变式9-3】如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【题型十】角平分线的性质与判定 【例10】（25-26八年级上·全国·期末）在中，，点D，E是边上的两点． (1)如图1，若，点N在边上，点F在的延长线上，且，连接交于点E，过点N作交于点D，，，求的值； (2)如图2，若，点F在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图3，连接，，若，且，平分，，的面积为30，点M，N分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【变式10-1】如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，在中，，是上一点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中的角平分线交于，过点作于，连接．若，求证：． 【变式10-3】如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点F，连接． (1)线段和相等吗？与垂直吗？ (2)有以下两个结论：①平分；②平分；其中正确结论的序号是____________．（只填序号，不说明理由） 【题型一】最短路径问题 1. 对称变换法（马鞍点问题） · 适用场景：求点到两个固定点距离之和最小 · 操作步骤： (1) 任选一个固定点作对称点（通常以目标边为对称轴） (2) 连接对称点与另一固定点，交点即为所求 (3) 用勾股定理计算最小距离 示例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，在AB上找点P使PC+PB最小。 解法： ① 作B关于AB的对称点B' ② 连接CB'交AB于P ③ 最小距离=CB'=√(AC²+AB²)=√(9+64)=√73 2. 展开图法（立体展开问题） · 适用场景：涉及立体图形表面路径 · 操作步骤： (1) 将立体图形展开为平面图形 (2) 用两点之间线段最短原理确定路径 (3) 回推展开前的位置 【例1】中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 【变式1-1】如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 【变式1-2】如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【变式1-3】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 学科网（北京）股份有限公1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直角三角形（4知识&11题型&1方法清单） 【清单01】直角三角形的性质定理： 1.直角三角形的两个锐角互余。 2.有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30° 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【清单02】勾股定理及其逆定理 1.勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方,即 方法技巧：勾股定理的证明方法很多，可通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明，也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用求面积的方法证明. 2.运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法” (1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形. (2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系. (3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 3.如果三角形的三条边长a,b.c满足关系,那么这个三角形是直角三角形, 【清单03】直角三角形全等的判定 斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).【清单04】角平分线的性质 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 【题型一】利用直角三角形的性质定理进行计算 【例1】（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握角直角三角形的性质． 根据线段的垂直平分线得到，则，然后求出，再根据角直角三角形的性质求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1】如图所示，已知在等边三角形中，点，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作，为垂足，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，通过SAS可判定，然后根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到，最后根据直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半的性质即可得到答案． 【详解】解：为等边三角形． ，， 在和中，，，， ， ， 为外角， ， ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点，证明是解题的关键． 【变式1-2】如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求得是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，取的中点，连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半，推导出，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ，． 如图，取的中点，连接， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-3】如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，的周长是21，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，直角三角形两个锐角互余，解题的关键是掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质． （1）由直角三角形的性质求出，由角平分线的定义得到，由三角形的外角性质得到； （2）由周长求出的长，再根据中线的性质可得答案． 【详解】（1）解：是的高， ， ， 是的角平分线， ， ； （2），的周长是21， ， 是的中线， ． 【题型二】利用直角三角形的性质定理进行证明 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点D在边上，，于点E，于点F，交于点G． (1)若，则； (2)求证：； (3)若，求证：． 【答案】(1)22.5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先证明是等腰直角三角形，则，进而得，再根据得，据此可得的度数； （2）证明和全等即可得出结论； （3）过点C作于H，则，证明是的平分线得，则，再证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2所示： ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）证明：过点C作于H，如图3所示： ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，在等边△中，射线、分别交线段于点、，，作于点，分别交、于点、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，再求得，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得，，再证明，然后由全等三角形的性质即可得到结论； （3）先证明是等腰三角形，得，再证明，进而证明，然后证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明： 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明： 为等边三角形， ，， 由（1）可知，， 在与中， ， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ，，， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式2-2】已知：在中，，.点D在上且，连接. (1)如图1，求证：； (2)过点D作，使，.连接并延长至点G，使，连接，，.如图2，当点F在的延长线上时，求证：是等边三角形. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据已知条件得出是等边三角形，然后证明，即可得证； （2）分别延长，交于点．证明，得出，，即可得出是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ． （2）证明：如图，分别延长，交于点． ， ， 由（1）知， ， ， ， 又， ，即 ， ， 又， ， 又，， ， ， ，， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式2-3】如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明： ， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【题型三】用勾股定理解三角形 【例3】（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在中，，，D，E分别为，的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)或 【分析】（1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证； （2）设，在中，由勾股定理得，，解方程即可； （3）分类讨论，分第一次经过点B，经过点A，再次经过点B讨论，根据变化中的不变性，不变的是基本图形关系即，以及位置关系，始终有垂直，继而设，运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：与的位置关系为，理由如下： 由旋转的性质可知，，，， ∵，D，E分别为，的中点， ∴，即， ∵，即， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴，同理， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得，， 解得，（负值舍去）， ∴； （3）解：①当直线第一次经过点B时，由（2）可知，； ②当直线经过点A时，如图所示， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，（负值舍去），即； ③当直线第二次经过点B时，如图： 与（1）同理可证，，， 设， 同理可得，在中，由勾股定理得，， 解得，（负值舍去），即． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和与外角的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式3-1】如图，在中，，，点是中点，连接．点是边上一动点，延长至点，使，连接、、，交于点． (1)求证：； (2)当时，若， ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行线的判定，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意得出，根据同位角相等，即可证； （2）直接证明，即可得证；是等腰三角形，根据勾股定理求得，再根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可得出，再根据勾股定理，即可求解． （3）过点作于点，可得 【详解】（1）解：∵，，点是中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：在中， ∴， ∴； ②如图，过点作于点， ∵ ∴是等腰三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 【变式3-2】如图， 在中，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． (1)求证： ； (2)若，，求线段的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质、全等三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． （1）在中，，则，由旋转的性质可知，则有，，则，则，利用，即可求解． （2）由可得，，则，根据勾股定理可算出，在中，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴． 【变式3-3】如图，中，，为的中点，过点作的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，连结，F是的中点，连结． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查直角三角形性质、等腰三角形性质及勾股定理，解题关键是熟练掌握直角三角形性质和勾股定理． （1）利用平行线性质得，结合直角三角形斜边中线性质证，再由等腰三角形“三线合一”证． （2）设，直角三角形斜边中线定理得，再由表示出，最后在中用勾股定理列方程，求解得的长． 【详解】（1）连结， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，为的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵F是的中点， ∴； （2）设，则， ∵ ∴ 在中，， ， ∴， 即， 解得（舍去），， ∴． 【题型四】勾股定理与网格问题 【例4】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．连接，构造等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得，，由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理结合勾股定理逆定理得出为直角三角形，设点A到直线的距离是为h，再由等面积法计算即可得出答案，正确判断出为直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：由勾股定理得：， ， 为直角三角形，， 设点A到直线的距离是为h， ， ， ， ∴点A到直线的距离是2， 故选：B． 【变式4-2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．均在格点上，点为线段与网格线的交点． (1)的长为 ； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，分别在线段上画出点，使得最小．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1)5 (2)见详解 【分析】本题主要考查网格特点、勾股定理、旋转的性质的性质和垂线段最短等知识点， （1）根据网格和勾股定理求解即可； （2）取格点E，J，连接，，、交网格线于点F，K，连接，可知，则，那么，，结合垂线段最短可知点即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理，得； （2）如图，取格点E，J，连接，，延长交于点M，交于点N，连接，点M，点N即为所求． 【变式4-3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 【题型五】勾股定理与折叠问题 【例5】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 【变式5-1】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解这个方程得：， 故选：C． 【变式5-2】如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的判定与性质，直角三角形的斜边中线的性质，勾股定理等知识，延长交于点，作，垂足为，由勾股定理得，根据直角三角形的斜边中线的性质得，再通过等面积法求出，由翻折的性质可知，，，，则，，然后等面积法和等腰三角形的性质得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为， ∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，解得， 由翻折的性质可知：，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-3】如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用、翻折的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据翻折的性质可得，，，再根据勾股定理可得，连接，设，根据勾股定理可求出，最后在中运用勾股定理可列出方程求解即可． 【详解】解：∵纸片是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接，如下图： 设， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴ ， 故答案为：． 【题型六】勾股定理的实际应用 【例6】（25-26八年级上·江苏南通·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图中的长度为；图中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设学校旗杆的高度为，则图②中，，，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设学校旗杆的高度为，则图中，，，， 在中，由勾股定理得： ∴． 解得：， 答：学校旗杆的高度为． 【变式6-1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 【变式6-2】一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 【变式6-3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【题型七】利用勾股定理的逆定理求解 【例7】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 【变式7-2】如图，已知点P在等边内，且，，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理，正确判定是直角三角形，得出是解题关键．将绕点顺时针旋转得，先证明是等边三角形，得，，，再证明，得到，由即可得答案． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故答案为： 【变式7-3】如图，中，，求的面积． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积． 【题型八】勾股定理逆定理的实际应用 【例8】（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇． 测量数据 ，，，． 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积． 请你完成项目任务． 【答案】种植矮牵牛的面积为，种植三色堇的面积为 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，由勾股定理求得，进而由勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 又∵， ∴，则是直角三角形，， ∴种植矮牵牛的面积为， 种植三色堇的面积为． 【变式8-1】综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图， ，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)点与点间的距离， (2)350元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离，运用的长度验证从而确定， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C间的距离；米 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为元． 【变式8-2】如图，某农场设置了两个灌溉喷头A，B，且，B之间的距离为，为保障灌溉用水供应，在农田边缘的灌溉渠上安装了一个供水阀，供水阀到的距离（于点）的长为，到喷头的管道的长为． (1)求供水阀M到喷头A的距离； (2)试判断灌溉渠与管道的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)供水阀到灌溉喷头的距离为 (2)灌溉渠与管道互相垂直，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，因为，， 所以， 所以， 在中，， 所以供水阀到灌溉喷头的距离为； （2）解：灌溉渠与管道互相垂直，理由如下： 因为，， 所以， 所以， 所以． 【变式8-3】如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）可证明，则由勾股定理的逆定理可得结论； （2）利用等面积法可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 答：一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 【题型九】直角三角形全等的综合运用 【例9】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，E是上一点，且，连接并延长交于点F，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先根据得到两个直角三角形，再运用证明，然后运用全等三角形的性质即可解答； （2）由全等三角形的性质可得，易得，最后结合三角形内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-1】如图，点为线段上一点，，，，，平分． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再由证明； （2）先证明是等边三角形，得，再证明，得，设，则，再求出，进而由角平分线的定义得，然后由直角三角形的性质得，进而列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 答：的度数为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式9-2】如图，在中，，D是上的一点，过点D作的垂线交于点E，，连接，，交于点P． (1)求证∶平分； (2)若，判断的形状． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）要证明平分，即证明P是的中点，可以通过证明三角形全等来得到对应边相等，从而得到平分； （2）给定，利用垂直和三角形内角和求出相关角，再结合已知条件判断三角形形状． 【详解】（1）证明：∵（已知），（已知）， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 因此，平分． （2）∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了垂线的定义理解，全等的性质和综合（），线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式9-3】如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角． （1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到； （2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型十】角平分线的性质与判定 【例10】（25-26八年级上·全国·期末）在中，，点D，E是边上的两点． (1)如图1，若，点N在边上，点F在的延长线上，且，连接交于点E，过点N作交于点D，，，求的值； (2)如图2，若，点F在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图3，连接，，若，且，平分，，的面积为30，点M，N分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，从而可得，再证明是等边三角形，从而可得，然后证明，从而可求得； （2）先证明是等边三角形，从而可得，，再证明，从而可得，，再证明是等边三角形，从而可得， ，从而可得，于是可得； （3）先求得，再求得，接着根据角平分线的性质证得，从而可得，再求得，从而可得的最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点E作，交于点G， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点D作于点H，交于点N，过点N作于点M， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式10-1】如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作、、的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为、、， 、、是的三条角平分线， ， ，的面积为， ， ， 的面积 ， 故选：D 【变式10-2】如图，在中，，是上一点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中的角平分线交于，过点作于，连接．若，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了作角平分线，角的平分线的性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，作出的平分线； （2）根据角平分线的性质可得，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解： 如图， （2）证明：如图， ∵平分，，于， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【变式10-3】如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点F，连接． (1)线段和相等吗？与垂直吗？ (2)有以下两个结论：①平分；②平分；其中正确结论的序号是____________．（只填序号，不说明理由） 【答案】(1)且 (2)① 【分析】（1）证明 ，再利用全等的性质可判断；由，可得，再由，,可得，即可得到； （2）分别过点作,,根据全等三角形面积相等和，可得平分，无法证明平分． 【详解】（1）解：且， 因为， 所以， 即， 在和中， ，，， 所以， 所以； 因为， 所以， 又因为，, 所以， 所以，即， ， 故且； （2）分别过点作,,垂足分别为， 因为， 所以， 所以， 又因为, 所以, 所以平分，无法证明平分， 故答案为：①． 【题型一】最短路径问题 1. 对称变换法（马鞍点问题） · 适用场景：求点到两个固定点距离之和最小 · 操作步骤： (1) 任选一个固定点作对称点（通常以目标边为对称轴） (2) 连接对称点与另一固定点，交点即为所求 (3) 用勾股定理计算最小距离 示例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，在AB上找点P使PC+PB最小。 解法： ① 作B关于AB的对称点B' ② 连接CB'交AB于P ③ 最小距离=CB'=√(AC²+AB²)=√(9+64)=√73 2. 展开图法（立体展开问题） · 适用场景：涉及立体图形表面路径 · 操作步骤： (1) 将立体图形展开为平面图形 (2) 用两点之间线段最短原理确定路径 (3) 回推展开前的位置 【例1】中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 【答案】5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：5米． 【变式1-1】如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用——求最短路径，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 故答案为：． 【变式1-2】如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 【变式1-3】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 学科网（北京）股份有限公1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $