第5章 直角三角形概念清单速记表（知识清单）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“直角三角形”单元内容，涵盖性质定理、勾股定理及其逆定理、全等判定和角平分线性质四大知识范畴，为学生搭建了从基础概念到定理应用的递进式学习支架。 清单采用“概念-定义-相关概念”三维结构呈现知识体系，如“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”明确几何关系并关联等腰三角形，培养几何直观与推理意识。特别设计具体几何语言描述和实例说明，如勾股数举例3,4,5，帮助不同学生高效掌握要点，教师可据此优化教学设计，提升课堂实效。

第5章 直角三角形清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 5.1 直角三角形的性质定理 直角三角形 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，记作 Rt。即在 中，若 ，则 是直角三角形。 直角、三角形、锐角 直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角互余。即在 Rt 中，若 ，则 。 互余、锐角、三角形内角和定理 直角三角形的判定（两个角互余） 有两个角互余的三角形是直角三角形。即在 中，若 ，则由三角形内角和定理得 。 互余、逆命题、真命题、三角形内角和定理 直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即在 Rt 中，若 ， 是斜边 上的中线，则 。 斜边、中线、等腰三角形、线段垂直平分线 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。即在 Rt 中，若 ，，则 。 等边三角形、斜边上的中线、锐角 直角三角形中30°角的判定 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 。即在 Rt 中，若 ，，则 。 直角边、斜边、等边三角形、逆命题 仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角。 视线、水平线、锐角 5.2 勾股定理及其逆定理 勾 在我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边叫作勾。若直角三角形的两条直角边为 ，（），则 为勾。 直角边、股、弦 股 在我国古代，人们把直角三角形中较长的直角边叫作股。若直角三角形的两条直角边为 ，（），则 为股。 直角边、勾、弦 弦 在我国古代，人们把直角三角形中的斜边叫作弦。若直角三角形的斜边为 ，则 为弦。 斜边、勾、股 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边分别为 ，，斜边为 ，那么 。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 直角边、斜边、平方、正方形的面积 勾股定理的变形 在勾股定理 中，已知任意两条边可求出第三条边：，，（各边长均取正值）。 勾股定理、算术平方根、开平方 勾股数 满足 的三个正整数称为勾股数。例如 3，4，5 都是正整数，且 ，所以 3，4，5 是勾股数。 正整数、勾股定理、直角三角形的三边 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆命题是真命题，由此得到勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边 ，， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。它与勾股定理互为逆定理。 逆命题、真命题、互逆定理、判定 用勾股定理的逆定理判定直角三角形 先找出三角形三边中最大的一条边，再计算两条较小边的平方和并与最大边的平方比较：若 ，则这个三角形是直角三角形，且最大边的对角为 ；若 ，则这个三角形不是直角三角形。 勾股定理的逆定理、平方、最大边 5.3 直角三角形全等的判定 “斜边、直角边”定理（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。即在 Rt 与 Rt 中，若 ，，，则 Rt Rt（HL）。 斜边、直角边、全等三角形、勾股定理 判定两个直角三角形全等的方法 两个直角三角形已有一个直角相等。若有一对锐角和一条边分别相等，可用角角边（AAS）或角边角（ASA）判定全等；若两条直角边分别相等，可用边角边（SAS）判定全等；若一条直角边和斜边分别相等，则用“斜边、直角边”定理（HL）判定全等。 AAS、ASA、SAS、HL、全等三角形 “斜边、直角边”定理的证明方法 在 Rt 与 Rt 中，由勾股定理得 ，。因为 ，，所以 ，从而 ，于是由 SSS 得 Rt Rt。 勾股定理、SSS、全等三角形 已知一直角边和斜边作直角三角形 已知线段 ，（），作一个直角三角形，使它的斜边为 ，一条直角边为 。作法：先作直线 ，在直线 上截取 ；再过点 作直线 的垂线 ；然后以点 为圆心、 为半径画弧，交垂线 于点 ，则 Rt 就是所求作的直角三角形，其中 。 尺规作图、垂线、圆弧、斜边、直角边 5.4 角平分线的性质 角平分线 角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角。若 平分 ，则 。 射线、角的顶点、相等的角 角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。即若 平分 ，点 在 上，，，垂足分别为点 ，，则 。 距离、垂线段、角的两边 角平分线的性质定理的证明方法 因为 ，，所以 。由 平分 得 ，又 ，所以 （AAS），从而 。 AAS、全等三角形、垂直 角平分线的性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。即在角的内部，若 ，，垂足分别为点 ，，且 ，则点 在 的平分线 上，即 。 距离、垂线段、HL、判定 角平分线的性质定理与其逆定理的关系 角平分线的性质定理的逆命题是“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”，它是真命题，因此性质定理与它的逆定理互为逆定理：前者是性质，后者是判定。 互逆命题、互逆定理、性质、判定 三角形两内角的平分线的交点的性质 三角形任意两个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等。在 中，若点 是 与 的平分线的交点，，，，垂足分别为点 ，，，则 。 角平分线的性质定理、距离、垂线段 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $