专题01 因式分解（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材湘教版

该初中数学因式分解专题知识清单系统梳理了全章节内容，涵盖因式分解概念、提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法五大知识范畴，配套8类典型题型、2项易错警示及2个方法清单，为学生搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+题型分类+易错对比+方法总结”的四维架构呈现知识体系，如分组分解法详细列出四项式的二二分组策略（按系数或公式特征分组），易错点中对比平方差与完全平方公式的项数及符号特征，培养学生的抽象能力和推理意识。特别设计“方法清单”归纳分解步骤（一查公因、二套公式等），帮助学生系统掌握，教师可据此设计分层教学，提升课堂效率。

专题01 因式分解（5知识&8题型&2易错&2方法清单） 【清单01】因式分解的概念 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式； 2. 因式分解的过程和多项式的乘法的过程正好相反：前者是把一个多项式化为几个多项式的乘积，后者是把几个多项式的乘积化为一个多项式. 【清单02】提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的最大公因数； (2)字母：取多项式各项中相同的字母； (3)各字母的指数：取次数最低的． 3. 定义：逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外边，作为积的一个因式，这 种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 【清单03】公式法 一、平方差公式： 1. 因式分解中的平方差公式 a²- b² ＝( a + b )( a - b ) 2. 多项式的特征：(1) 可化为两个整式； (2) 两项符号相反；(3) 每一项都是整式的平方. 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. 二、完全平方公式法： 1.完全平方公式：a²+ 2ab + b² = ( a + b )²，a² - 2ab + b² = ( a - b )². 2.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号相同，能写成两个整式的平方和的形式； (3)另一项是这两整式乘积的2倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出公因式. 【清单04】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 【清单05】分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【题型一】判断是否因式分解 【例1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）下列式子从左到右是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·山西运城·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 【例2】（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【变式2-1】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式2-3】（24-25八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【题型三】公因式 【例3】（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）和的公因式为 ． 【题型四】综合提公因式和公式法因式分解 【例4】（2025·山东聊城·二模）若，，则的值为 ． 【变式4-1】（23-24八年级上·山东济宁·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-2】（25-26八年级上·海南海口·期末）分解因式： (1)； (2)． 【题型五】实数范围内分解因式 【例5】（24-25八年级上·邵阳·期末）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海静安·期末）在实数范围内分解因式： ． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在实数范围内分解因式： ． 【题型六】十字相乘法因式分解 【例6】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【变式6-2】（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【变式6-3】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）因式分解． (1) (2) (3) (4) 【题型七】分组分解法因式分解 【例7】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【变式7-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海·期末）下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【题型八】因式分解的应用 【例8】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到数字密码171920或201719等． 请根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个即可）． 【变式8-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）小元学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点．如：多项式的零点为，多项式的零点为和1． (1)多项式的零点为_____； (2)已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； (3)小元继续研究，及等，发现这些多项式有两个零点，且两个零点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求多项式M． 【变式8-3】（24-25八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【题型一】公式运用错误 平方差公式：运用时要注意多项式必须是两项式，且两项都要是平方的形式，并且符号相反。 完全平方公式：需要满足是三项式，其中两项是平方项且同号，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍。 【例1】分解因式： ． 【变式1-1】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式1-2】分解因式： (1) (2) (3) 【变式1-3】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【题型二】分解不彻底 【例2】因式分解： ． 【变式2-1】把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【变式2-2】分解因式： (1)； (2)． 【题型一】综合提公因式和公式法因式分解 一查公因：先看各项有无公因式 二套公式：检查是否符合公式特征 三分组合：四项以上尝试分组 四验结果：展开验证是否正确分解 【例1】因式分解 (1) (2)； 【变式1-1】因式分解： (1)； (2)． 【变式1-2】因式分解： (1) (2) 【变式1-3】因式分解： (1) (2) 【题型二】特殊多项式的因式分解 对称轮换看结构，齐次多项式设比例 复杂式子先换元，系数关系藏玄机 先试基本对称式，再查特殊组合因式。 【例2】综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 【变式2-1】阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【变式2-2】先阅读材料，再解答问题： 材料：若，求的值． 解：，即：， ∴，，∴ 根据你的观察，用本材料中的方法解决下列问题： (1)若，求的值 (2)已知，，求的值． 【变式2-3】整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解（5知识&8题型&2易错&2方法清单） 【清单01】因式分解的概念 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式； 2. 因式分解的过程和多项式的乘法的过程正好相反：前者是把一个多项式化为几个多项式的乘积，后者是把几个多项式的乘积化为一个多项式. 【清单02】提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的最大公因数； (2)字母：取多项式各项中相同的字母； (3)各字母的指数：取次数最低的． 3. 定义：逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外边，作为积的一个因式，这 种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 【清单03】公式法 一、平方差公式： 1. 因式分解中的平方差公式 a²- b² ＝( a + b )( a - b ) 2. 多项式的特征：(1) 可化为两个整式； (2) 两项符号相反；(3) 每一项都是整式的平方. 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. 二、完全平方公式法： 1.完全平方公式：a²+ 2ab + b² = ( a + b )²，a² - 2ab + b² = ( a - b )². 2.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号相同，能写成两个整式的平方和的形式； (3)另一项是这两整式乘积的2倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出公因式. 【清单04】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 【清单05】分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【题型一】判断是否因式分解 【例1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）下列式子从左到右是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，这是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、，是因式分解，符合题意； D、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（23-24八年级下·山西运城·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的识别，根据因式分解的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； D、等式右边含有分式，不符合题意； 故选B． 【变式1-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式乘积的形式”判断即可． 【详解】解：A. 是整式的乘法，不是因式分解； B. ，最后运算减法，不是因式分解； C. ，是因式分解； D. ，最后运算加法，不是因式分解； 故选：C． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 【例2】（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值. 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-1】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解：， 若二次三项式可分解为， 则， 解得：， 故选：A． 【变式2-3】（24-25八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 【题型三】公因式 【例3】（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：A． 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答此题的关键．根据公因式的定义即可得答案． 【详解】解：∵每一项都含有字母，且的最低次数为， ∴各项的公因式是． 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）和的公因式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解及公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键． 先将两个多项式因式分解，然后根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案． 【详解】解：，， ∴和的公因式为， 故答案为：． 【题型四】综合提公因式和公式法因式分解 【例4】（2025·山东聊城·二模）若，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算． 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 【变式4-1】（23-24八年级上·山东济宁·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解； （1）采用提公因式法分解因式即可； （2）根据平方差公式分解因式； （3）先提公因式，再结合平方差公式分解因式； （4）先提公因式，再结合完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-2】（25-26八年级上·海南海口·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法因式分解． （1）先将原式变形为，再提取公因式，然后运用平方差公式分解因式即可； （2）运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型五】实数范围内分解因式 【例5】（24-25八年级上·邵阳·期末）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 【变式5-1】（25-26八年级上·上海静安·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 【题型六】十字相乘法因式分解 【例6】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题主要考查的是十字相乘法分解因式等有关知识，对常数16的正确进行质因数分解，是解题的关键． 利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：根据“十字相乘法”得， ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ∴的值一共有6个， 故选：C． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了用十字相乘法因式分解，要注意利用是解决问题的关键． 利用十字相乘法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式6-2】（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，多项式乘法． 利用十字相乘法分解因式，重新组合，按照多项式乘法计算，再用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 【变式6-3】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）因式分解． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）先利用完全平方公式进行因式分解，再对分解后的式子进一步利用平方差公式分解． （2）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式继续分解． （3）先利用十字相乘法对式子进行因式分解，然后再对分解后的因式进一步分解． （4）先对式子提取公因式，然后对于剩下括号内的式子，可将其变形为的形式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的方法，包括完全平方公式、平方差公式、十字相乘法以及提取公因式法．熟练掌握各种因式分解方法的适用形式和运算规则，能根据式子的特点灵活选择合适的分解方法是解题的关键． 【题型七】分组分解法因式分解 【例7】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分组分解因式，掌握乘法公式，提取公因式法因式分解是关键． （1）先分组为，运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）先分组为，运用提取公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式7-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式3，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先把第一项和第二项用平方差公式分解因式，把第三项和第四项提公因式2，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海·期末）下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【答案】(1)，； (2)分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； (3)． 【分析】本题考查了分解因式． （1）先利用平方差公式把第三步式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可； （2）根据所给因式分解过程即可得到答案； （3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可． 【详解】（1）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 故答案为：，； （2）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； 故答案为：分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； （3）解： ． 【题型八】因式分解的应用 【例8】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．由已知条件，通过将两个方程相减并因式分解，可求出的值． 【详解】解：∵，， 将两式相减：， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式8-1】（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到数字密码171920或201719等． 请根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个即可）． 【答案】212814，211428，282114 【分析】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答． 根据因式分解的方法可以将题目中的式子因式分解，从而可以解答本题． 【详解】解：， 当，时，，， 所以可以形成的数字密码是212814，211428，282114，281421，142128，142821． 【变式8-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）小元学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点．如：多项式的零点为，多项式的零点为和1． (1)多项式的零点为_____； (2)已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； (3)小元继续研究，及等，发现这些多项式有两个零点，且两个零点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求多项式M． 【答案】(1) (2)多项式B的另一个零点为 (3) 【分析】本题主要考查了新定义、多项式的零点、因式分解，理解题意，利用多项式对应系数相等构建方程解决问题是解题的关键． （1）根据多项式的零点的定义即可求解； （2）根据多项式的零点的定义将代入求得a，再将a的值代入因式分解后解一元一次方程即可； （3）通过因式分解求得的一个零点为3，根据“2系多项式”的定义求得M的另一个零点为，即，再利用多项式对应系数相等建立方程组即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得， 故答案为：； （2）根据题意，把代入B得， 解得， 把代入B得， 令， 解得， ∴多项式B的另一个零点为； （3）∵， ∴多项式M的一个零点为3， 则另一个零点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】（24-25八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【答案】(1)， (2) (3)当时，代数式的值最小，最小值为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将 写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 【题型一】公式运用错误 平方差公式：运用时要注意多项式必须是两项式，且两项都要是平方的形式，并且符号相反。 完全平方公式：需要满足是三项式，其中两项是平方项且同号，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍。 【例1】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，原式前三项结合后，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1-1】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法进行因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解． （2）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解． （3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解． （4）先计算整式的乘法进行计算，再利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1-2】分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是用公式法分解因式，熟练掌握公式是关键 （1）运用平方差公式和完全平方公式分解即可； （2）先用多项式的乘法将式子进行化简后，用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1-3】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先用平方差公式再利用完全平方公式进行因式分解。 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． （3）原式 ． 【题型二】分解不彻底 【例2】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题可利用平方差公式对原式进行因式分解，需要先将原式变形为平方差的形式，再逐步分解．本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的形式以及多次运用公式的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-1】把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式、公式法进行因式分解是解决此题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解； （2）先利用完全平方公式进行分解，再结合平方差公式进一步分解； （3）先将转化为，再结合平方差公式进一步分解，最后利用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式2-2】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了提公因式法，平方差公式分解因式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型一】综合提公因式和公式法因式分解 一查公因：先看各项有无公因式 二套公式：检查是否符合公式特征 三分组合：四项以上尝试分组 四验结果：展开验证是否正确分解 【例1】因式分解 (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）先运用提公因式法，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式1-1】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，涉及完全平方公式、平方差公式等知识，综合应用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键． （1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案； （2）先分组，再由完全平方和公式因式分解，最后由平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式1-3】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后根据完全平方公式，进行求解即可； （2）先提公因式，然后根据平方差公式，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型二】特殊多项式的因式分解 对称轮换看结构，齐次多项式设比例 复杂式子先换元，系数关系藏玄机 先试基本对称式，再查特殊组合因式。 【例2】综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）仿照题干因式分解即可； （2）设，仿照题干因式分解即可； （3）根据将原多项式化为，整理得到，进而求解即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设，则原式， 故答案为：； （3）解：∵ ∴ 【变式2-1】阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)C (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底． （1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式； （2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可； （3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可． （4）先整理原式，再令，整理原式，因为为正整数，得为正整数，即代数式的值一定是某个整数的平方． 【详解】（1）解：观察做题过程，得该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：， 故答案为：； （3）解：设． ． （4）解： ， 令， 原式 ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 【变式2-2】先阅读材料，再解答问题： 材料：若，求的值． 解：，即：， ∴，，∴ 根据你的观察，用本材料中的方法解决下列问题： (1)若，求的值 (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查对于配完全平方公式的理解，偶次方的非负性，对已知式子进行正确的变形，根据题中给出的例子理解配完全平方公式要先找到平方项和中间项，是本题的解题关键，然后根据平方的非负性，得出几个非负数或者式子的和为0，那么这几个数或者式子分别为0． （1）先将原式进行变形可得，然后解得和，代入即可得出答案； （2）由可得，然后代入，再将等式左边整理成两个整式的平方和，然后根据偶次方的非负性求出b，c的值，然后可得a的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 即：； （2）解：∵， ∴， 把代入得：， 整理得：， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴， 则． 【变式2-3】整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘匹配一次项，横向写出因式． （2）把展开，得出，，找出的所有整数拆分方式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解： 故答案为． （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴ ， ∵，，，，，，， ，，，，， ∴整数p的所有可能值为或或或或或． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $