第5章 直角三角形（复习讲义）数学新教材湘教版八年级上册

第五章 直角三角形（复习讲义） ​ 1. 能复述直角三角形的定义，并准确识别直角、直角边与斜边；能复述直角三角形按角分类的子类，并说出其对应角度特征；​ 2. 能复述并简单应用直角三角形的两个基本性质：两个锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；能通过简单图形（如含直角的三角形）直接指出直角、斜边中线，并完成基础计算； 3. 能复述勾股定理的内容并准确标注直角边与斜边，能通过勾股定理完成基础计算，能复述勾股定理逆定理的内容并判断简单三边组合是否能构成直角三角形； ​ 4. 理解并应用“有两个角互余的三角形是直角三角形”的判定定理，能通过角度计算推导∠C=90°，进而判定三角形为直角三角形，能结合角平分线性质与直角三角形性质，解决简单几何问题；​ 5. 能通过构造直角三角形，将实际问题转化为勾股定理模型，完成边长求解，能结合网格图或几何图形，通过数格子或勾股定理计算两点间距离； 6. 理解并应用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”的判定方法，能通过已知条件推导两三角形全等，并完成简单证明；​ 7. 理解并推导直角三角形的三边比例关系，能通过比例快速计算未知边长，能结合旋转、折叠等几何变换，分析变换后图形的角度、边长关系，并解决复杂计算问题； 8. 能通过构造辅助线，利用勾股定理逆定理证明非直角三角形的特殊性质，能结合代数方程思想，通过设未知数建立勾股定理方程；​ 9. 能将直角三角形知识应用于实际生活场景，综合运用勾股定理、锐角三角函数、角平分线性质等解决多步骤问题，能通过逻辑推理链完成综合性试题。 ​ 知识点 重点归纳总结 常见易错点 直角三角形的性质 ① 直角三角形的两个锐角互余； ② 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 把“两锐角互余”“斜边中线=斜边的一半”用在非直角三角形中 勾股定理及其逆定理 ① 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，b，那么； ② 勾股定理的逆定理：如果直角三角形的三条边，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.； ③ 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，如3,4,5 ；5,12,13 ；6,8,10 …… 未说明“Rt△”就直接用勾股定理 直角三角形的判定 ① 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. ① 在非直角三角形用“HL”； ② 把“SSA”误当一般全等依据 角平分线的性质 ① 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 未说明点在角平分线上且已作垂线 角平分线的判定 ① 角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上. ① 仅凭“PD=PE”而不说明“PD、PE是垂线段”； ② 未指明点在角的内部​​ 尺规作图 ① 核心是用无刻度的直尺和圆规作图； ② 作图需保留作图痕迹（如弧线、交点），并写出结论. 误用直尺的“刻度”去量取长度；圆规作图脱离已构造长度，随意“估长”； 题型一 直角三角形的性质——直角三角形的两个锐角互余 【例1】在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【变式1-1】一个直角三角形，两个锐角度数的比是，这个三角形最小的内角是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在直角中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】将一副三角板按如图方式叠放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【变式2-2】把一块三角板和直尺如图所示放置，，则 ．    【变式2-3】一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数是 ． 【例3】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图是由4个相同的正方形组成的网格，则与的和为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在3×3的正方形网格中，则 °． 题型二 直角三角形的性质——斜边的中线等于斜边的一半 【例1】如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【变式1-2】．（2024·江苏宿迁·三模）如图，在四边形中，，，、分别是对角线、的中点，，则 ．    【变式1-3】如图，在中，AD是边BC上的高，DE，DF分别是AB，AC上的中线，，，求的长． 【例2】如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 【变式2-2】如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ． 【变式2-3】如图，在中，于D，M、N分别是、的中点，连接、，若，求四边形的周长．    【例3】如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，，，为中点，则的度数为 ．    题型三 含30°角的直角三角形 【例1】如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选取一点，利用仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 【变式1-3】如图所示，已知在中，为的垂直平分线，交于，交于，求的长． 【例2】如图，，，点是射线上的一动点，则线段的最小值是 ． 【变式2-1】如图，中，，，．为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点，，线段的最大值是 ． 【变式2-2】如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为 ． 【例3】已知：如图，中，．求证：． 【变式3-1】如图，中，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3-2】如图，是等腰三角形，，，D是的中点，，，点E，F分别为垂足． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 【变式3-3】已知，如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明． 【例4】是边长为的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为． (1)如图（1），当t为何值时，是直角三角形？ (2)如图（2），连接、交于点M，则点P、Q在运动的过程中，的度数会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 【变式4-1】点分别是边长为的等边的边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是． (1)如图1，当时，连接交于点M，求的度数； (2)当 时，是直角三角形？ (3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【变式4-2】如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； (1)求证：； (2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)当为何值时是直角三角形？ 题型四 勾股定理中三角形与面积问题 【例1】若等腰三角形的腰长为，底边上的高为6，则底边长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1-1】直角三角形中，三边的平方和为1800，则斜边长为（   ） A．60 B．50 C．40 D．30 【变式1-2】的周长为，，且，则 ． 【变式1-3】如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，若，则的长为 ． 【例2】如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和是（　　） A．81 B．45 C．18 D．9 【变式2-1】如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为 ． 【变式2-3】．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 题型五 勾股数（树）问题 【例1】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 【变式1-1】下列各组数是勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．，， C．1.5，2，2.5 D．，， 【变式1-2】有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 【例2】如图是美丽的勾股树及其形成过程，其中第1个图形是边长为1的正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，则第3个图形中所有正方形面积的和是 ． 【变式2-1】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【变式2-2】如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形． (1)正方形的面积之间有什么关系？ (2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案． 题型六 勾股定理与网格问题 【例1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】【古籍残卷】如图，方格中的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与全等的格点三角形共有（   ）个．（不含） A．7 B．29 C．32 D．31 【变式1-2】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，连接，则 度． 【变式1-3】如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画一个直角三角形，使它的斜边长为． (2)在图2中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，且直角边长都是无理数． 题型七 勾股定理与折叠问题 【例1】如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【变式1-1】如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式1-2】如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 【变式1-3】如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 题型八 勾股定理的证明与赵爽弦图 【例1】国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 【变式1-1】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，其证明方法非常丰富． 【初步感知】如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边长为c． （1）请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理 【拓展延伸】（2）如图2，将两个全等的直角三角形（）按如图所示的方式放置，使点A，D，E在同一直线上．请利用此图推导出勾股定理 【例2】“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】我国古代数学家赵爽巧妙地利用“弦图”证明了勾股定理，标志着我国古代的数学成就．如图①的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的周长为（    ） A．72 B．52 C．80 D．76 【变式2-2】如图，是四个全等的直角三角形，其中，，，EG的长为 ． 【变式2-3】小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 题型九 勾股定理与数轴中无理数问题 【例1】如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 题型十 梯子滑落问题 【例1】如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（   ） A．20米 B．16米 C．12米 D．24米 【变式1-1】如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，则滑梯的水平距离的长度为 ． 【变式1-2】如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 【变式1-3】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 题型十一 旗杆高度问题 【例1】风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点，在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【变式1-1】将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 题型十二 小鸟飞行问题 【例1】如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【变式1-1】如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【变式1-2】已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行 米． 题型十三 大树折断问题 【例1】《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 【变式1-1】《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 【变式1-2】在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 题型十四 水杯中筷子问题 【例1】《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中，已知笔筒内部的底面直径为，内壁高．若这支铅笔长，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 【变式1-3】如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 题型十五 航海问题 【例1】如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 【变式1-1】如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【变式1-2】目前，河南省已建立各类自然保护地351处，有效保护了野生动植物．如图，南北方向线以西为某保护区，以东为普通区域，上午10时20分，监测站发现正东方向有一违规进入的车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来，便立即通知正在线上巡逻的巡逻车，巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去．已知开始时，的距离是13千米，，的距离是5千米，，的距离是12千米．巡逻车能否拦截住违规车辆？ 题型十六 台阶上地毯问题 【例1】如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【变式1-2】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 题型十七 汽车超速与台风影响问题 【例1】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【变式1-1】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【变式1-2】．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【例2】2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式2-1】如图，A城气象台测得台风中心在城正西的B处，并以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围是受台风影响的区域． (1)A城是否会受到这次台风影响？为什么？ (2)若A城受到这次台风影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？ 【变式2-2】新情境  如图，有一辆卡车沿笔直公路由点向点匀速行驶，点为一栋居民楼，且点与点，的距离分别为和，，已知卡车的行驶速度为，卡车周围以内为受噪声影响区域．则居民楼是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 题型十八 最短路径问题 【例1】如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ）． A． B． C．3 D．9 【变式1-1】如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点P是母线上一点且．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A．7 B． C． D．5 【变式1-2】如图，用一条花带从高的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是，则这条花带的长度至少为 ． 【变式1-3】如图所示的是一个供滑板爱好者使用的U型池．该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而形成的，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，．一滑板爱好者从点A滑行到点E，则他滑行的最短距离约是多少米（边缘部分的厚度可以忽略不计，取整数3）？ 【例2】如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图是一个长方体，其中，，，点是的中点．一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面按如图所示的路径到点处觅食，则它爬行的最短路径长为 ． 【变式2-3】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 【例3】如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，四边形是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵墙，高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程． 【变式3-2】如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 题型十九 利用勾股定理的逆定理求解 【例1】．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【变式1-2】如图，，求的面积． 题型二十 HL综合 【例1】如图，，垂足分别是E，F，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是 ． 【例2】如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的宽度相等，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 【例3】如图所示，于B，，，若，，则 ， ． 【变式3-1】如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 【变式3-2】如图，在中，，，，在直线上找一点，使得为以为腰的等腰三角形，则的长度为 ． 【例4】如图，，，垂足分别为 E、F，且，求证：． 【变式4-1】如图，已知：，，，． 求证：． 【变式4-2】已知：如图，在中，，垂足是，是线段上的点，且，．求证：． 【例5】如图，在中，于点D，E为边上一点，且，．连接并延长交于点E． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【变式5-1】如图，在中，，直线经过点，于点，于点，且； (1)求证：． (2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式5-2】在中，，点在的内部，，． (1)如图1，线段的延长线交于点，且，线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，且为的中点，求证：． 【例6】如图，在中，于点，为上一点，且． (1)求证：≌ (2)若，试求的面积． 【变式6-1】如图，已知在与 中， 与交于点E． (1)求证：； (2)若，求 的周长． 【变式6-2】如图，点，，C，在一条直线上，，，，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 题型二十一 角平分线的性质 【例1】如图，在中，，平分，于E，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为 【例2】如图，在中，，的平分线交于点D，若，则的面积是（    ） A．30 B．15 C．20 D．2 【变式2-1】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【变式2-2】如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为 ． 【变式2-3】教材呈现：如图是八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图12.3－4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图12.3－4，，点P在上，，，垂足分别为D，E，求证：． 定理证明：结合图1，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：如图2，的周长是12，，分别平分和，点D，若，则的面积为__________． 【例3】如图，平分，，垂足分别为E，F，点B在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3-1】如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； 【变式3-2】如图，在中，点、分别在、上，且，点O在上，连接 ． (1)给出下列选项：①平分；②平分；③．请你选用其中的两个选项作为补充条件，余下的选项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；你补充的条件是_____，结论是_____．（填序号） (2)在（1）的条件下，若的周长为6，，求的周长． 题型二十二 角平分线的判定 【例1】两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则 【例2】如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 【变式2-1】如图，在中，，，，垂足分别为、，且．试说明平分．    【变式2-2】如图，，垂足分别为，．求证：平分． 【例3】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 【变式3-1】如图，于，于，若，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 【变式3-2】已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 【变式3-3】如图，已知：，M是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． 【例4】如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式4-1】如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（   ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．是的平分线的交点 【变式4-2】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【例5】如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【变式5-1】如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式5-2】如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 ．（填序号） 【例6】如图，在中，，于，且，． (1)求证：是的平分线； (2)试判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【变式6-1】如图，是的高，E为上一点，交于点F，且，． (1)判断与的关系并证明； (2)连接，求的大小． 【变式6-2】如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 基础巩固通关测 1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025·安徽·模拟预测）《九章算术》卷三载有“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈（一丈等于十尺），葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长几何”．下列答案正确的是（    ） A．3尺、4尺 B．6尺、8尺 C．12尺、13尺 D．24尺、25尺 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图，中，，以的直角边为斜边，向外作，连接；则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 6．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； (2)在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； (3)在图3中作一条线段，使． 8．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． (1)求证； (2)，点E为的中点，，求的长． 9．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，单摆绕点左右摆动，摆绳长度为．处于水平位置，为单摆停止运动后的静止位置．摆动过程中为某一瞬时状态，此时，求点相对于点升高的长度． 10．（2025·青海玉树·模拟预测）如图，某办公大楼正前方有一根高度为米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前石阶梯底边沿的距离是米，石阶梯坡长是米，石阶梯坡与水平地面成角，求： (1)大楼与旗杆的水平距离； (2)大楼的高度． 11．（2025·湖南长沙·二模）如图，是等腰直角三角形，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 能力提升进阶练 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·江苏南京·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ． 5．（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 6．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 7．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇． 测量数据 ，，，． 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积． 请你完成项目任务． 8．（24-25八年级上·江苏南京·期末）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 10．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 11．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 12．（24-25八年级下·广东深圳·期末）等边三角形是最具对称性的几何图形之一，其三边相等、三角均为，简洁背后隐藏着丰富的性质．某数学小组近期在研究等边三角形的相关知识． (1)如图1，数学小组发现一些精美的正六边形窗花，而一个正六边形可以由六个全等的等边三角形镶嵌而成，如图2，已知，则正六边形的面积是________． (2)如图3，已知是边长为4的等边三角形，是边长为1的等边三角形．将沿射线方向平移，点B，D，E的对应点分别为点． ①如图4，在平移过程中，小深同学画出了时的情形，此时平移的距离为________； ②如图5，在刚好平移到点与点C重合时，连接，连接并延长交于点F，求此时的大小； ③[画图探索]已知点G在线段上，且，在平移的过程中，当是直角三角形时，请直接写出平移的距离． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 直角三角形（复习讲义） ​ 1. 能复述直角三角形的定义，并准确识别直角、直角边与斜边；能复述直角三角形按角分类的子类，并说出其对应角度特征；​ 2. 能复述并简单应用直角三角形的两个基本性质：两个锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；能通过简单图形（如含直角的三角形）直接指出直角、斜边中线，并完成基础计算； 3. 能复述勾股定理的内容并准确标注直角边与斜边，能通过勾股定理完成基础计算，能复述勾股定理逆定理的内容并判断简单三边组合是否能构成直角三角形； ​ 4. 理解并应用“有两个角互余的三角形是直角三角形”的判定定理，能通过角度计算推导∠C=90°，进而判定三角形为直角三角形，能结合角平分线性质与直角三角形性质，解决简单几何问题；​ 5. 能通过构造直角三角形，将实际问题转化为勾股定理模型，完成边长求解，能结合网格图或几何图形，通过数格子或勾股定理计算两点间距离； 6. 理解并应用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”的判定方法，能通过已知条件推导两三角形全等，并完成简单证明；​ 7. 理解并推导直角三角形的三边比例关系，能通过比例快速计算未知边长，能结合旋转、折叠等几何变换，分析变换后图形的角度、边长关系，并解决复杂计算问题； 8. 能通过构造辅助线，利用勾股定理逆定理证明非直角三角形的特殊性质，能结合代数方程思想，通过设未知数建立勾股定理方程；​ 9. 能将直角三角形知识应用于实际生活场景，综合运用勾股定理、锐角三角函数、角平分线性质等解决多步骤问题，能通过逻辑推理链完成综合性试题。 ​ 知识点 重点归纳总结 常见易错点 直角三角形的性质 ① 直角三角形的两个锐角互余； ② 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 把“两锐角互余”“斜边中线=斜边的一半”用在非直角三角形中 勾股定理及其逆定理 ① 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，b，那么； ② 勾股定理的逆定理：如果直角三角形的三条边，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.； ③ 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，如3,4,5 ；5,12,13 ；6,8,10 …… 未说明“Rt△”就直接用勾股定理 直角三角形的判定 ① 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. ① 在非直角三角形用“HL”； ② 把“SSA”误当一般全等依据 角平分线的性质 ① 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 未说明点在角平分线上且已作垂线 角平分线的判定 ① 角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上. ① 仅凭“PD=PE”而不说明“PD、PE是垂线段”； ② 未指明点在角的内部​​ 尺规作图 ① 核心是用无刻度的直尺和圆规作图； ② 作图需保留作图痕迹（如弧线、交点），并写出结论. 误用直尺的“刻度”去量取长度；圆规作图脱离已构造长度，随意“估长”； 题型一 直角三角形的性质——直角三角形的两个锐角互余 【例1】在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据三角形内角和定理对四个选项依次判断即可． 【详解】解：A选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴． ∴为直角三角形． 故A选项不符合题意． B选项：∵， ∴． ∴为直角三角形． 故B选项不符合题意． C选项：由，无法判断为直角三角形． 例如：，符合条件，但不是直角三角形， 故C选项符合题意． D选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴为直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】一个直角三角形，两个锐角度数的比是，这个三角形最小的内角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据一个直角三角形，两个锐角度数的比是，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个直角三角形，两个锐角度数的比是， ∴， 即这个三角形最小的内角是， 故选：B． 【变式1-2】在直角中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得到，解答即可． 本题考查了直角三角形两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据直角三角形的两个锐角互余，得到， 故选：B． 【例2】将一副三角板按如图方式叠放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出和，再利用三角形外角的性质求得． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：A． 【变式2-1】如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点B作，先根据直角三角形两锐角互余得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出，，即可求解． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-2】把一块三角板和直尺如图所示放置，，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等． 根据三角形的外角的性质证得：，再根据平行线的性质得到即可得到结论． 【详解】解：， 直尺的两对边平行， ， 故答案为：．    【变式2-3】一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的性质，三角形的内角和定理是解本题的关键． 首先根据题意得到，，，再利用直角三角形的两锐角互余可得，，最后利用三角形的内角和定理即可求得． 【详解】解：如图： 由题意得，，， ，， ， 故答案为：． 【例3】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式3-1】如图是由4个相同的正方形组成的网格，则与的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据网格可推出，根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-2】如图，在3×3的正方形网格中，则 °． 【答案】180 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 题型二 直角三角形的性质——斜边的中线等于斜边的一半 【例1】如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 求出，，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，，是的中线， ， 故选：B． 【变式1-1】如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-2】．（2024·江苏宿迁·三模）如图，在四边形中，，，、分别是对角线、的中点，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质． 连接，，求出，由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，因此，由三角形外角的性质推出，同理，得到，由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】：如图，连接，，     ， ， ，是中点， ， ， ， ， 同理：，， ，（）， ， 是等腰直角三角形， 是中点， ． 故答案为：． 【变式1-3】如图，在中，AD是边BC上的高，DE，DF分别是AB，AC上的中线，，，求的长． 【答案】7 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记该性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可分别得，的长，接着求的长即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴． ∵，是上的中线， ∴． ∵，是上的中线， ∴． ∴． 【例2】如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和三角形的周长，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长． 根据于F，于E，M为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出和的长，即可求解． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴的周长． 【变式2-1】如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是的中点， ， ，平分，， 点是的中点，且， ， ， 的周长． 故选：B． 【变式2-2】如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出，根据三角形的周长公式即可求出的周长． 【详解】解： 、分别是的高， 又点为的中点， ， ， ， 又， 的周长是． 故答案为： ． 【变式2-3】如图，在中，于D，M、N分别是、的中点，连接、，若，求四边形的周长．    【答案】10 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据于D，M、N分别是、的中点， 可知，，那么，从而得出答案． 【详解】解：∵在中，于D，M、N分别是、的中点， ∴，， ， ∴， ∴四边形的周长为10． 【例3】如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先求出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-1】如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等腰三角形的判定与性质，根据等边对等角确定，最后由三角形外角性质代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， 则， 是的一个外角， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． 【变式3-2】如图，在中，，，为中点，则的度数为 ．    【答案】/58度 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解决本题的关键； 根据直角三角形的性质可求的度数，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，为中点， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 含30°角的直角三角形 【例1】如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1-1】如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选取一点，利用仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和，含30度角的直角三角形，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选D． 【变式1-2】如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解答本题的关键是掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 设，则， ∵，． ∴， ∴，， ∴． 故答案为：5． 【变式1-3】如图所示，已知在中，为的垂直平分线，交于，交于，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而结合角度关系求解． 连接，利用垂直平分线性质得，结合等腰三角形性质求出，进而推出，再根据含角的直角三角形性质得，最后由算出长． 【详解】解：连接， ∵，， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． 【例2】如图，，，点是射线上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段的性质，含度角的直角三角形的性质等，解题关键是能够熟练运用各性质解决问题．根据垂线段最短得：当时，线段的值最小，再根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解：由题意得：当时，线段的值最小， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】如图，中，，，．为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点，，线段的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键． 先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， 中，，，， ， 垂直平分， ，过点F作于H， 若要使最大，则需要最小， 设，则， ， ， （垂线段最短）， ， 解得． 最小值为，的最大值为， 故答案为：． 【变式2-2】如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ，垂直平分， ∴， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， ∴，即， ∴的最小值为． 故答案为：． 【例3】已知：如图，中，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，结合角度之间的数量关系求出，进而推出，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴ ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． 【变式3-1】如图，中，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定以及用含直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质和角度关系进行推理计算。 （1）利用得到，结合直角三角形两锐角互余，通过角的等量代换证明角相等，进而得出线段相等； （2）根据已知，求出，再利用含直角三角形的性质求出线段长度，从而得出的长. 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， . 【变式3-2】如图，是等腰三角形，，，D是的中点，，，点E，F分别为垂足． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形角度关系、全等三角形证明线段相等，结合等边三角形性质进行推理计算． （1）先根据等腰三角形得出，结合求出；再由是中点得，结合、得；最后用AAS证明，从而证得； （2）由（1）中得，再根据、求出，同理得，进而推出；结合，证得是等边三角形； （3）由，是中点得；在中，利用，得；再由是等边三角形，得． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ∵是边的中点， 在和中， ； （2）解：由（1）得， ， ， 由（1）得， ∴是等边三角形； （3）解：∵，是边的中点， ， 在中，由（1）得， ， ∵是等边三角形， ． 【变式3-3】已知，如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)；见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，外角的性质，所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过等边三角形的性质先推出，然后通过等腰三角形“等边对等角”的性质和外角的性质推出，最后再由等腰三角形的判定方法即可证明； （2）通过，得到，再由，，得到，从而找到和的关系，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）； 证明：，， ， ，， ， ， ． 【例4】是边长为的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为． (1)如图（1），当t为何值时，是直角三角形？ (2)如图（2），连接、交于点M，则点P、Q在运动的过程中，的度数会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)或 (2)的度数不变， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形和全等三角形的性质是解题关键． （1）由题意得，，分两种情况讨论：①当时，②当时，利用30度角所对的直角边等于斜边一半，分别列方程求解即可； （2）先证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， 由题意得，， ①当时， ∵， ∴，即， 解得， ②当时， ∵ ∴，即， 解得 ∵， ∴当或时，为直角三角形； （2）解：的度数不变，， ∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】点分别是边长为的等边的边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是． (1)如图1，当时，连接交于点M，求的度数； (2)当 时，是直角三角形？ (3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】(1) (2)2或4 (3)不变， 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）证明，得到，再根据三角形的外角的性质求出的度数即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可； （3）证明，得到，再根据对顶角相等，三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴当时，， ∵等边， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴，即：， 解得； 当时，则：， ∴，即：， 解得； 综上：当或4时，是直角三角形； （3）不变， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； (1)求证：； (2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)当为何值时是直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)当第秒或第秒时，为直角三角形 【分析】（）利用等边三角形的性质可知，，结合即可得证； （）由知，再利用三角形外角的性质可证得； （）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴，， 又由条件得， 在和中 ， ∴． （2）的大小不变，， 理由如下： 由（）知， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． （3）由题意知， ①当时， ∵， ∴，得，解得； ②当时， ∵， ∴，得，解得； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 【点评】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识． 题型四 勾股定理中三角形与面积问题 【例1】若等腰三角形的腰长为，底边上的高为6，则底边长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作交于D，由勾股定理可求得长，根据等腰三角形三线合一可知，则题目可解． 【详解】解：作交于D， ， ∵， ． 故选：C． 【变式1-1】直角三角形中，三边的平方和为1800，则斜边长为（   ） A．60 B．50 C．40 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．设此直角三角形的斜边是，两直角边分别为，则，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设此直角三角形的斜边是，两直角边分别为，则， 根据勾股定理得：， 所以， 解得或（舍去）， 即斜边长为：． 故选：D． 【变式1-2】的周长为，，且，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由，设，，由勾股定理得到，从而得到，解得，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵的周长为， ∴， 解得：， ∴． 【变式1-3】如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，由勾股定理可得，结合题意可得，从而可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵利用圆规在上截取， ∴， ∴， ∵在上截取， ∴， ∴， 故答案为：． 【例2】如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和是（　　） A．81 B．45 C．18 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．小正方形的面积为的平方，大正方形的面积为的平方．两正方形面积的和为，对于，由勾股定理得长度已知，故可以求出两正方形面积的和． 【详解】解：正方形的面积为：， 正方形的面积为：； 在中，， 则． 即正方形和正方形的面积和为81． 故选：A． 【变式2-1】如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理；在中,，，得到，据此解答即可． 【详解】解：由正方形的面积计算可知，， ∵在中，， ∴． 故选：B． 【变式2-2】如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理，求不规则图形的面积，勾股定理求出的长，根据阴影部分的面积等于两个小半圆的面积加上直角三角形的面积，再减去大半圆的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：4． 【变式2-3】．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）能，面积为，过程见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，以直角三角形三边为边长的图形面积，圆的面积公式，三角形面积，正方形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合勾股定理，可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （2）根据圆的面积公式结合勾股定理，可发现大半圆的面积是两个小半圆的面积和； （3）由（2）可得，阴影部分的面积等于直角三角形的面积，据此解答即可求解． 【详解】解：（1） 为直角三角形，， ， 由题意得：，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 是直角三角形，， ， ，，， ， ； （3）设以AC为直径的半圆面积为，以BC为直径的半圆面积为，以AB为直径的半圆面积为， 由（2）可知，，，， ． 题型五 勾股数（树）问题 【例1】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：根据勾股数的定义，首先排除A、B选项； ∵， ∴C不符合题意；D符合题意； 故选：D 【变式1-1】下列各组数是勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．，， C．1.5，2，2.5 D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数．满足的三个正整数，称为勾股数，由此验证即可． 【详解】解：A、∵， ∴9、40、41是一组勾股数，故本选项符合题意； B、， ∴不是一组勾股数，故本选项不符合题意； C、∵1.5和2.5不是正整数， ∴1.5、2、2.5不是一组勾股数，故本选项不符合题意； D、∵和不是正整数， ∴，，不是一组勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股数，解题的关键是熟知勾股定理的运用．设第三个数为x，根据勾股数得出①，②，求出的值后根据勾股数必须是正整数即可求解． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， ∴①， 解得：（负值舍去）， ②， 解得：（不是整数，不合题意，舍去)， 故答案为：． 【例2】如图是美丽的勾股树及其形成过程，其中第1个图形是边长为1的正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，则第3个图形中所有正方形面积的和是 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理，结合正方形的面积公式可得，，，，则，进而可求解． 【详解】解：如图，设A、B、C、D、E、F、P、Q为对应正方形的面积，则， 由勾股定理，得，，， ∴， 则第3个图形中所有正方形面积的和是， 故答案为：3． 【变式2-1】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：， 由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026． 故答案为：2026． 【变式2-2】如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形． (1)正方形的面积之间有什么关系？ (2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案． 【答案】(1) (2) (3)这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？答案：每次生长增加的正方形面积之和是 【分析】此题主要考查了三角形、正方形的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式． （1）根据正方形的面积公式及勾股定理得出、、之间的关系即可； 【详解】（1）解：正方形和是通过在正方形的边上构建直角三角形后形成的，根据勾股定理，直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和， 因此，正方形的面积等于正方形和的面积之和，即：． （2）解：正方形、、、是通过在正方形和 的边上构建直角三角形后形成的．根据勾股定理，正方形和的面积之和等于正方形的面积，而正方形、、、的面积之和等于正方形和的面积之和． 因此，正方形、、、的面积之和等于正方形的面积，即：． （3）解：这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？ 答案：每次生长增加的正方形面积之和是． 题型六 勾股定理与网格问题 【例1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，逐一画图计算后判定即可． 【详解】A．如图，，该选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意； D． 如图，，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】【古籍残卷】如图，方格中的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与全等的格点三角形共有（   ）个．（不含） A．7 B．29 C．32 D．31 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定、勾股定理与网格问题，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．根据勾股定理与网格问题、三角形全等的判定画出左下角的正方形中，与全等的格点三角形，同样的方法可得在左上角的正方形中，在右上角的正方形中，在右下角的正方形中，由此即可得答案． 【详解】解：如图，在左下角的正方形中，共有7个格点三角形与全等． 同理，在左上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 在右上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 在右下角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 所以可以与全等的格点三角形共有（个）．（不含） 故选：D． 【变式1-2】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，连接，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，由网格可知，，，则有，得是等腰直角三角形，可得，然后证明，则有，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ， 由网格可知，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画一个直角三角形，使它的斜边长为． (2)在图2中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，且直角边长都是无理数． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，作出正确的直角三角形是解决本题的关键． （1）选取格点，再顺次连接，此时即为所求； （2）选取格点，再顺次连接，此时即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： ∵， ∴， ∴是直角三角形，且斜边长为； （2）解：如图所示： ∵， ∴， ∴是直角三角形，斜边长为5，且直角边长都是无理数． 题型七 勾股定理与折叠问题 【例1】如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1】如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的不变性． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 【变式1-2】如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 【答案】或（或） 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 【变式1-3】如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，由题意得，，，由折叠性质可知，，， 通过勾股定理得，所以，设，则，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是长方形， ∴，，， 由折叠性质可知，，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 题型八 勾股定理的证明 【例1】国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先用两种方法表示出大正方形的面积，根据表示的面积相等证明即可． 【详解】解：∵外面大正方形的面积， 里面小正方形的面积4个直角三角形的面积， ∴， ∴． 【变式1-1】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 【变式1-2】【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，其证明方法非常丰富． 【初步感知】如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边长为c． （1）请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理 【拓展延伸】（2）如图2，将两个全等的直角三角形（）按如图所示的方式放置，使点A，D，E在同一直线上．请利用此图推导出勾股定理 【答案】（1）方法一：；方法二：；推理见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示，进而得到等式即可； （2）利用全等三角形的性质，得出是直角三角形，再用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【详解】解：（1）方法一：； 方法二：； 整理得：，即． （2）证明：由已知可得，， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ． 【例2】“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 【变式2-1】我国古代数学家赵爽巧妙地利用“弦图”证明了勾股定理，标志着我国古代的数学成就．如图①的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的周长为（    ） A．72 B．52 C．80 D．76 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，外延的4部分全等，且， ， ， 这个风车的外围周长是． 故选：D． 【变式2-2】如图，是四个全等的直角三角形，其中，，，EG的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理是解决问题的关键． 根据勾股定理求出另一条直角边，进而求出小正方形的边长，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∵是四个全等的直角三角形， ∴，，， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故答案为：． 【变式2-3】小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 题型九 勾股定理与数轴中无理数问题 【例1】如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，坐标与图形的性质，关键是由勾股定理求出的长．根据勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 由勾股定理得到， ∴， 因为点D在x轴负半轴， 所以点D对应的实数为． 故选：B． 【变式1-1】如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 【变式1-2】如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，在上截取，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点G，则点G即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点G表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 题型十 梯子滑落问题 【例1】如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（   ） A．20米 B．16米 C．12米 D．24米 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设米，得到米，根据勾股定理得到，结合梯子的长度不变得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，米，，， 设米，则：米， 在和中，由勾股定理，得：， ∴，即：， 解得， ∴米， ∴米； 故选：A． 【变式1-1】如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，则滑梯的水平距离的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，结合图形中的等量关系列出方程求解． 设滑梯的水平距离的长度为x米，由米可得米；因为将滑梯水平放置与一样长，所以米；在直角三角形中，根据勾股定理代入已知数据列出方程求解． 【详解】设滑梯的水平距离的长度为x米． 因为米，所以米． 又因为将滑梯水平放置与一样长，所以米． 在中，，米，根据勾股定理可得： 展开方程得： 移项化简得： 解得． 故答案为：4． 【变式1-2】如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 【答案】点B不是向外移动米，说明见解析 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求出的长度是解题的关键． 在中，利用勾股定理可得米，从而得到米，然后在中，利用勾股定理可得的长度，即可求解． 【详解】解：点B不是向外移动米，说明如下： 根据题意得：米，米，米， 在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 即点B向外移动米， ∴点B不是向外移动米． 【变式1-3】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． 【详解】（1）解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． （2）如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 题型十一 旗杆高度问题 【例1】风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点，在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，注意计算的准确性； （1）作，则四边形是矩形，推出，，求出即可求解； （2）延长至点，连接，推出，求出；据此即可判断； 【详解】（1）解：作，如图所示; 则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设风筝能沿射线方向再上升，如图所示，延长至点，连接， 则； ∴， ∴； ∵余线仅剩，，且 ∴不能成功； 【变式1-1】将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用勾股定理求出长方形对角线长度，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长． 【详解】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为， ∴． 则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 故选：B． 【变式1-2】《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 题型十二 小鸟飞行问题 【例1】如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：B． 【变式1-1】如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 【变式1-2】已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行 米． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，首先求出两棵树的高度差为（米），然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：两棵树的高度差为（米），间距为10米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离为（米）． 故答案为：． 题型十三 大树折断问题 【例1】《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 本题可根据竹子折断后形成的直角三角形进行求解，关键是要利用勾股定理建立方程． 【详解】设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 【变式1-1】《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 【答案】4.55 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺， ， 解得， 故答案为：． 【变式1-2】在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【答案】15 【分析】设米，则米，根据勾股定理，结合题意，得，解方程即可． 本题考查了勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设米，则米， 根据勾股定理，得（米）， 由两只猴子所经过的距离相等，得， ∴米 故， 解得， 故树高为：米， 故答案为：15． 题型十四 水杯中筷子问题 【例1】《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为； 故箭在投壶外面部分的长度不可能是； 故选A． 【变式1-1】如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中，已知笔筒内部的底面直径为，内壁高．若这支铅笔长，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【详解】解：根据题意可得图形： ， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 【变式1-2】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺， 尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 【变式1-3】如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深是，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深是， 如图所示，在中，， 由勾股定理得， ∴， 解得， 答：水深是． 题型十五 航海问题 【例1】如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 【答案】选手的徒步方向是南偏东方向 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先选手和选手的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据R在P北偏东方向，可得选手的徒步方向是南偏东方向． 【详解】解：由题意得：选手经2小时的路程：（千米）， 选手经2小时的路程：（千米）， ∵， 即 ∴， ∵R在P北偏东方向， ∴ ∴Q在P南偏东方向． ∴选手的徒步方向是南偏东方向． 【变式1-1】如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【答案】C 【分析】本题考查了方向角、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先根据方向角可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 离开港口3小时后，（海里），（海里）， ∴海里， 即甲、乙两轮船相距60海里， 故选：C． 【变式1-2】目前，河南省已建立各类自然保护地351处，有效保护了野生动植物．如图，南北方向线以西为某保护区，以东为普通区域，上午10时20分，监测站发现正东方向有一违规进入的车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来，便立即通知正在线上巡逻的巡逻车，巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去．已知开始时，的距离是13千米，，的距离是5千米，，的距离是12千米．巡逻车能否拦截住违规车辆？ 【答案】巡逻车能拦截住违规车辆 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． 设直线与线段交于点．则，利用勾股定理列方程求得，，进而求得违规车辆和巡逻车到达E处的时间，比较大小可得结论． 【详解】解：设直线与线段交于点． 由题意知，，所以违规车辆进入保护区的最短距离是线段的长． 在和中，，， 所以，解得（千米）， 因为违规车辆的速度是72千米/小时， 所以（小时）， 千米，（小时） ，所以巡逻车能拦截住违规车辆．（此题解法不唯一，由勾股数5，12，13得出是直角三角形，再利用面积求解亦可） 题型十六 台阶上地毯问题 【例1】如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 【详解】解：展开图为： 则，， 在中， ， ∴蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是. 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 【变式1-2】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 题型十七 汽车超速与台风影响问题 【例1】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【变式1-1】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 【变式1-2】．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 【例2】2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）过点C作于点D，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）在直线取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口，利用勾股定理得出的长，可得到的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图，过点C作于点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，且， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图，在直线上取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴ 小时． 即台风影响该海港持续的时间为8小时． 【变式2-1】如图，A城气象台测得台风中心在城正西的B处，并以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围是受台风影响的区域． (1)A城是否会受到这次台风影响？为什么？ (2)若A城受到这次台风影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)会受到这次台风影响，见解析 (2)30小时 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点到直线的距离. （1）过A点向作垂线，垂足为C，根据直角三角形的性质可得的长，即可求解； （2）取上点D，G，使，根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：过A点向作垂线，垂足为C， 在中，， ∴， 因为， 所以A城会受到这次台风影响； （2）解：取上点D，G，使千米， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，千米，千米， 由勾股定理得， 千米， ∴千米， ∴遭受台风影响的时间是：小时． 【变式2-2】新情境  如图，有一辆卡车沿笔直公路由点向点匀速行驶，点为一栋居民楼，且点与点，的距离分别为和，，已知卡车的行驶速度为，卡车周围以内为受噪声影响区域．则居民楼是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 【答案】会受噪声影响，卡车噪声影响该居民楼持续的时长为 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，过点作于点，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，根据三角形的面积公式可以求出，因为卡车周围以内为受噪声影响区域，所以居民楼会受到影响，当时，卡车在段行驶会影响居民楼，利用勾股定理可以求出，根据卡车的行驶速度为，可以求出居民楼受影响的时间为． 【详解】解：居民楼会受噪声影响， 如下图所示，过点作于点， ，，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 卡车周围以内为受噪声影响区域， 居民楼会受噪声影响， 当时，卡车在段行驶会影响居民楼， 此时， 在中，， ， ， ， 卡车的行驶速度为，， ， 答：卡车噪声影响该居民楼持续的时长为． 题型十八 最短路径问题 【例1】如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ）． A． B． C．3 D．9 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段最短得到最短线段．将圆柱展开，根据图形得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为，高为， ∴ ， 在中，由勾股定理，得：， 故选：A． 【变式1-1】如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点P是母线上一点且．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A．7 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了求最短路径(勾股定理的应用)，用勾股定理解三角形，几何体展开图的认识，解题关键是画出圆柱的侧面展开图． 先画出圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴ ． 故选：D． 【变式1-2】如图，用一条花带从高的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是，则这条花带的长度至少为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 把圆柱沿展开三圈，B点的对应点为C点，如图，由于，则利用勾股定理可计算出，然后根据两点之间线段最短求解． 【详解】解：把圆柱沿展开三圈，B点的对应点为C点，如图， 则， ∵， ∴（）． ∴这条花带的长度至少为． 故答案为：． 【变式1-3】如图所示的是一个供滑板爱好者使用的U型池．该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而形成的，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，．一滑板爱好者从点A滑行到点E，则他滑行的最短距离约是多少米（边缘部分的厚度可以忽略不计，取整数3）？ 【答案】他滑行的最短距离约是 【分析】本题考查了立体图形的展开与勾股定理的应用，解题的关键是将U型池的曲面展开为平面图形，把求曲面最短距离转化为求平面上两点间的直线距离．​ 将可供滑行的半圆截面展开为矩形，确定展开后相关线段的长度，其中的长度为半圆的弧长的长度为与的差值；在展开后形成的直角三角形中，利用勾股定理计算的长度，即滑行的最短距离． 【详解】解：可供滑行部分展开图如图所示． 由题意，得． 在中，， 即． 故他滑行的最短距离约是． 【例2】如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平面展开——最短路径问题，勾股定理，化为最简二次根式，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再利用两点之间，线段最短，确定两点之间的最短路径．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将立体图形展开，有两种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的上面和右面或者前面和下面展开在同一平面内，    ∵，，， ∴； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内， ∵，，， ∴， ∵ ∴小虫爬行的最短路程为． 故选：B． 【变式2-1】如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题以及勾股定理的应用，重点考查对立体图形展开图的理解以及勾股定理的实际运用能力． 需要将长方体的侧面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题，然后利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径． 【详解】解：把长方体的四个侧面展开，得到一个长方形． 这个长方形的长是长方体底面周长，宽是长方体的高， 已知长方体底面边长分别为和，高为， 则底面周长为，长方形的宽为． 蚂蚁从点经过个侧面爬行一圈到达点， 其最短路径是展开后长方形的一条对角线， 设蚂蚁爬行的最短路径长为， 在这个长方形中，两条直角边分别为和， 则有可得， 因为长度不能为负，所以舍去，得到． 故选：C． 【变式2-2】如图是一个长方体，其中，，，点是的中点．一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面按如图所示的路径到点处觅食，则它爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，最短路径问题，根据题意画出展开图是解题的关键．先根据题意画出平面展开图，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将蚂蚁爬行的两个面展开，如图所示， 则， ，，，点是的中点， ，， 在中，由勾股定理得： ， 它爬行的最短路径长为． 故答案为：． 【变式2-3】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25． 【例3】如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长，连接， 则， ， ， ， 故选：A． 【变式3-1】如图所示，四边形是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵墙，高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程． 【答案】至少要走的路程 【分析】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．将图展开，连接，利用勾股定理求出的长，即可得出蚂蚱从点爬到点需要走的最短路程． 【详解】解：如图所示，将图展开，连接， 图形长度增加，原图长度增加，则， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴，负值舍去， 即蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程． 【变式3-2】如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)两点之间，线段最短 (3) 【分析】（）根据图形画出侧面展开图即可； （）根据两点之间，线段最短即可求解； （）利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，正确画出木块的侧面展开图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：依据是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短； （3）解：根据题意可知，侧面展开图中，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程为． 题型十九 利用勾股定理的逆定理求解 【例1】．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 【变式1-1】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【答案】114 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1-2】如图，，求的面积． 【答案】30 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论． 本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，得出是直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， 即为直角三角形，且， 的面积． 题型二十 HL综合 【例1】如图，，垂足分别是E，F，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．分析已知条件为两直角边对应相等，根据“”为直角边和斜边对应相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且这两条线段为直角边，若利用“”证明，则添加的条件应为斜边对应相等， ∴需添加的条件是， 故选：B． 【变式1-1】如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：A． 【变式1-2】如图，，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用的判定定理进行推理并运用数形结合思想．根据垂直求出，再根据三角形全等的判定定理即可解答． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 【例2】如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理可得的度数，再证明，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的宽度相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质．先证明，推出，通过，得到，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式2-2】如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【例3】如图所示，于B，，，若，，则 ， ． 【答案】 2 10 【分析】本题考查了两个直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，得到，即可通过线段的和差求得答案． 【详解】解：， ， ，， ， ， ，． 故答案为：2；10． 【变式3-1】如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，由线段的和差关系得到的长，即可得到的长，进而可得的长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-2】如图，在中，，，，在直线上找一点，使得为以为腰的等腰三角形，则的长度为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形判定和性质.先由勾股定理算出的长度为5，为以为腰的等腰三角形，分两种情况：当时由得；当时根据P点位置得为8或2. 【详解】在中，，，， ∴ 当时，如图1所示， ∵ ∴在与中 ∴ ∴， 当时，如图2所示， P点在B点左侧： 或P点在B点右侧：. 综上所述：的长度为3或8或2. 【例4】如图，，，垂足分别为 E、F，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，先证明，，再利用证明，则可证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，已知：，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键． 由，结合为公共边，可得，由垂直得，利用的判定定理即可得． 【详解】证明：，， ． ， ． 在和中， ，， ， ． 【变式4-2】已知：如图，在中，，垂足是，是线段上的点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，只需证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【例5】如图，在中，于点D，E为边上一点，且，．连接并延长交于点E． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积计算，垂线定义的理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， 又， ． ； （2）解：．理由： ， ， ， ， ， ． ． ． 【变式5-1】如图，在中，，直线经过点，于点，于点，且； (1)求证：． (2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据已知证明，得到，结合直角三角形的两个锐角互余，即可证明； （2）由（1）中的可得，再结合已知条件即可得出结论． 【详解】（1）证明： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ． 【变式5-2】在中，，点在的内部，，． (1)如图1，线段的延长线交于点，且，线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，且为的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，证明，得出，证明，得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ，， ； 故答案为： ． （2）证明：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ，，， ， ， 又， ， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ． 【例6】如图，在中，于点，为上一点，且． (1)求证：≌ (2)若，试求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)20 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法； （1）利用HL即可证明； （2）根据，可得，进而求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴≌（HL）； （2）解：∵≌， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，已知在与 中， 与交于点E． (1)求证：； (2)若，求 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质． （1）利用证明即可得出结论； （2）证明，利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴与均是直角三角形， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 【变式6-2】如图，点，，C，在一条直线上，，，，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）由知，根据证明，从而得出结论； （2）由得，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积为12． 题型二十一 角平分线的性质 【例1】如图，在中，，平分，于E，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，据此得到的长，进而由可求出的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1-1】如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵的面积是10，若， ∴， ∴， ∴，即点到的距离是4， 故选：C． 【变式1-2】如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质建立线段之间的关系． 过点作，利用角平分线的性质得到，再通过“”分别证明 和，结合线段和差关系推导出，进而求出的长． 【详解】如图，过点作于， ∵是的角平分线， 在和中， ， ， ， 在和中， 故答案为：6 【例2】如图，在中，，的平分线交于点D，若，则的面积是（    ） A．30 B．15 C．20 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于点，根据勾股定理得出，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选： B． 【变式2-1】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-2】如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，等高三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键． 过点作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案． 【详解】解：过点作于点D，于点E，于点F，如图， ∵和的角平分线交于点P， ∴，， ∴，设， ∵， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】教材呈现：如图是八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图12.3－4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图12.3－4，，点P在上，，，垂足分别为D，E，求证：． 定理证明：结合图1，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：如图2，的周长是12，，分别平分和，点D，若，则的面积为__________． 【答案】定理证明：见解析；定理应用：18． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键； 定理证明：由题意易得，然后可得，进而问题可求证； 定理应用：连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】定理证明：证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 定理应用：连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，如图所示： ∵，分别平分和，点D，， ∴， ∴， ∵的周长是12，即， ∴； 故答案为18． 【例3】如图，平分，，垂足分别为E，F，点B在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，再利用线段和差计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，，, ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 即，， ∴． 【变式3-1】如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】（1）证明：是的角平分线，，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 【变式3-2】如图，在中，点、分别在、上，且，点O在上，连接 ． (1)给出下列选项：①平分；②平分；③．请你选用其中的两个选项作为补充条件，余下的选项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；你补充的条件是_____，结论是_____．（填序号） (2)在（1）的条件下，若的周长为6，，求的周长． 【答案】(1)①②，③． (2) 【分析】本题考查了角平分线性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的面积的应用，能求出是解此题的关键． （1）先选择条件与结论，再根据角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质证明即可； （2）先求出的周长，再求出的周长即可． 【详解】（1）方法一：条件是：①②，结论是：③． 证明：∵， ∴ ， ∵平分； ∴， ∴ ， ∴， 同理， ∴； 故答案为：①②，③． 方法二：条件是：①③，结论是：②； 证明：∵， ∴ ， ∵平分； ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴平分， 故答案为：①③，② ； 方法三：条件是：②③，结论是：①． 证明：∵， ∴ ∵平分， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴平分； 故答案为：②③， ①（答案不唯一）. （2）∵的周长 ； ∴的周长． 题型二十二 角平分线的判定 【例1】两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽，进而得到平分，得到，即可． 【详解】解：由图和题意，得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽， ∴平分， ∴； 故选：B． 【变式1-1】如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质和判定，得出即可得出答案．掌握三角形外角的性质及角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【变式1-2】如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质定理，三角形外角的性质． 过P点作 于F，于N，于M，根据角平分线的性质定理得到，，，根据角平分线的判定定理得到，最后根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【例2】如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 证明，可得，再由角平分线的判定定理即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【变式2-1】如图，在中，，，，垂足分别为、，且．试说明平分．    【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质．证明，得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 即平分． 【变式2-2】如图，，垂足分别为，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案. 【详解】证明：， ． 在和中， ， ． ， ∴平分． 【例3】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）过点P作于点F，于点N，于点M，根据角平分线的性质得出，，根据角平分线的判定得出平分； （2）设，根据角平分线定义得出，即可得出，求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于点F，于点N，于点M，如图所示： 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）解：设，由（1）知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，于，于，若，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理；运用角平分线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得到，从而得出结论； （2）先求出的长度，然后证明，得出，求解即可； 【详解】（1）证明：∵， 在和中 ∴ 平分 （2）解： 在和中 【变式3-2】已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）作于点，根据角平分线的性质，推出，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：连接，作于点， ∵是角平分线，与相交于点F，，， ∴， ∴， ∴F在的角平分线上； （2）∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，已知：，M是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）证明，得到，同理可证，，得到，从而可证结论成立． 【详解】（1）证明：如下图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分； （2）证明： 平分， ， ， ∴ ∴， 同理可证，， ∴， ∴ 【例4】如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，且某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，即可作答． 【详解】解：设便民服务站所在的位置是点， 点到、的距离相等， 点在的平分线上， 同理，点也在、的平分线上， 点是三个角的平分线的交点， 这个便民服务站应该修在三个角的平分线的交点， 故选：B． 【变式4-1】如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（   ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．是的平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角两边相等的点在角的角平分线上，进行判断即可． 【详解】解：∵点到，的距离相等， ∴点在的平分线上，在的平分线上，在角平分线上， ∴是的平分线的交点； 故选D． 【变式4-2】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理和线段垂直平分线的性质，解题关键是通过作垂线构造出到角两边距离，利用直尺相同得到距离相等，结合全等三角形证明来推导角平分线 ． 过点作、，利用两把相同长方形直尺得，结合公共边，由判定，推出，依据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，证得是平分线 ． 【详解】解：如图，过P点作于C点，于D点， ∴， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， 因为为公共边， 所以， 所以， 所以为的平分线． 故选：A． 【例5】如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键． 根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断②正确；作于，于，则，根据证明，得出，根据角平分线的判定定理得出平分，即可判断④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴，， 由三角形的外角性质得：， ∴，②正确； 作于，于，如图 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，平分， 假设， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选D． 【变式5-1】如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法；根据证明，即可判断①；根据，，且，得出平分，即可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据，即可等量代换得到，结合即可判断③；通过证明，得出，则，即可得出，即可判断④． 【详解】解： ， 在和中， ， ， ，故正确； 且， 平分，故正确； ∵， ， 又， ， 而， 结论错误； 在和中， ， ， ， ， ， 即，故正确； 综上所述，正确的有①②④． 故选：B． 【变式5-2】如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，根据题意先判定是的角平分线；进而证明，得出②④正确，根据三角形的外角的性质得出可得是等边三角形进而判断③． 【详解】解：是等边三角形，，，且， 在的平分线上，故①正确； 由①可知，， ， ，故④正确， ， ，故②正确； ， ，， ，故③正确； 故答案为：①②③④． 【例6】如图，在中，，于，且，． (1)求证：是的平分线； (2)试判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定等知识， （1）证明，得出，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，于， ， 在和中， ∴， ， ∵，， 平分． （2）解：，理由如下： 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 【变式6-1】如图，是的高，E为上一点，交于点F，且，． (1)判断与的关系并证明； (2)连接，求的大小． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证明，得，，即可作答； （2）如图所示，连接，过点D作交于点M，过点D作于点N，由得到，证明出是的平分线，进而求解即可． 【详解】（1）解：，，证明如下： ∵为的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接，过点D作交于点M，过点D作于点N， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴是的平分线， ∴． 【变式6-2】如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及角平分线的判定， （1）设交于点G，先证明，进而得出，即可证明结论； （2）作于P，于Q，由全等得出，即可证明结论； 【详解】（1）解：结论：，理由如下：         如图，设交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，                                 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，作于P，于Q， ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∵于P，于Q， ∴平分． 基础巩固通关测 1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 2．（2025·安徽·模拟预测）《九章算术》卷三载有“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈（一丈等于十尺），葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长几何”．下列答案正确的是（    ） A．3尺、4尺 B．6尺、8尺 C．12尺、13尺 D．24尺、25尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用．设水深为x尺，则葭长为尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：设水深为x尺，则葭长为尺，根据题意得： ， 解得：， 答：水深为12尺，则葭长为13尺． 故选：C 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图，中，，以的直角边为斜边，向外作，连接；则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，三角形的三边关系．取的中点E，连接，根据勾股定理可得，从而得到的长，再由直角三角形斜边的性质可得的长，然后在中，利用三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， 在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵为的斜边， ∴， 在中，， 即的最大值为． 故选：C 5．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 【答案】1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 6．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； (2)在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； (3)在图3中作一条线段，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图-应用与设计作图，涉及勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）由网格特点或勾股定理取格点，即可得解； （2）由网格特点和勾股定理，取格点、，可得到，； （3）由网格特点和勾股定理，取格点，可得到，再取与格线的交点，得到． 【详解】（1）解：如图1，格点和线段或点和线段即为所求作； ； （2）解：如图2，格点和点，线段和线段即为所求作； ； （3）解：如图3，线段即为所求作． 8．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． (1)求证； (2)，点E为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出； （2）先求得，利用直角三角形的性质求得，再利用斜边中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：于D， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 点E为的中点， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质．掌握上述性质是解题的关键． 9．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，单摆绕点左右摆动，摆绳长度为．处于水平位置，为单摆停止运动后的静止位置．摆动过程中为某一瞬时状态，此时，求点相对于点升高的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，30度角所对的直角边是斜边的一半，先过点作于点，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作于点， ∵， 在中，，， 则， 由勾股定理可知：， 则， ∴点相对于点升高的长度为 10．（2025·青海玉树·模拟预测）如图，某办公大楼正前方有一根高度为米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前石阶梯底边沿的距离是米，石阶梯坡长是米，石阶梯坡与水平地面成角，求： (1)大楼与旗杆的水平距离； (2)大楼的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查含30度角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理和等腰三角形的判定与性质，解决此题的关键是合理的运用勾股定理； （1）先根据含30度角所对的直角边是斜边的一半得到直角边之比，再根据勾股定理即可解决问题； （2）先根据等角对等边得到边相等，再由（1）中的结果即可得到答案； 【详解】（1）解：延长交于，作于，如图所示： 则米，， ， , 设米，则米， 在中，米， 由勾股定理得：， 解得：， 米，米， 米，米； 答：大楼与旗杆的水平距离是米； （2）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米． 答：大楼的高度为米． 11．（2025·湖南长沙·二模）如图，是等腰直角三角形，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为17 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理： （1）由是等腰直角三角形，，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，，所以，则． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点C在的延长线上，点F在线段上， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为17． 12．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【详解】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 能力提升进阶练 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 2．（2025·广东·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 3．（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，，可判断④正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴， 故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分， 故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 4．（2025·江苏南京·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的加减，全等三角形的性质，根据已知得出用含，表示出，，，再利用求出答案是解决问题的关键．根据图形的特征设四边形的面积设为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为，从而用含，的式子表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：设四边形的面积为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ， 故， ∴， 即． 故答案为：． 5．（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，由勾股定理可得表示的数，从而可得表示的数是2，再结合题意得出，即可推出表示的数是，再结合题意可得表示的数是3，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得表示的数是， 右侧最近的整数点为， 表示的数是2， ∴， ∵以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点， ∴，即表示的数是， ∵记右侧最近的整数点为， ∴表示的数是3， ∴， 故答案为：． 6．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明； （2）先证明，则，那么，再代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分，于E，交的延长线于F， , 在和中， ， ∴， ， 是中点， ； （2）解：由(1)知： 在和 中， ， , ，，， ． 7．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇． 测量数据 ，，，． 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积． 请你完成项目任务． 【答案】种植矮牵牛的面积为，种植三色堇的面积为 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，由勾股定理求得，进而由勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 又∵， ∴，则是直角三角形，， ∴种植矮牵牛的面积为， 种植三色堇的面积为． 8．（24-25八年级上·江苏南京·期末）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质． （1）根据共边直角三角形的概念作图； （2）取的中点O，连接、，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式求出，结合图形计算得到答案； （3）分别延长、交于点F，证明，根据等腰三角形的性质证明． 【详解】（1）解：作出的共边直角三角形如图1所示，即为所求作的三角形； （2）解：取的中点O，连接、， 由勾股定理得，， ∵，点O为的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，即， 解得，， ∴； （3）证明：分别延长、交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴平分． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 【答案】会受到影响，影响时间为4分钟 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形的面积等知识，利用勾股定理，求出学校会受到影响区域（线段）的长度是解题的关键．在中，由，可得出，过点作于点，利用面积法可求出的长，由该值小于260，学校会受到影响，设直线上点到点的距离为，连接，利用勾股定理，可求出的长，结合，可求出的长，再利用时间路程速度，即可求出学校受影响的时长． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴学校会受到影响． 设直线上点到点的距离为，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴受影响时间为（分钟）， 答：学校会受到影响，受4分钟影响． 10．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题； （2）依据题意，结合图形，利用勾股定理得出即可求解． 【详解】（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． （2）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为． 12．（24-25八年级下·广东深圳·期末）等边三角形是最具对称性的几何图形之一，其三边相等、三角均为，简洁背后隐藏着丰富的性质．某数学小组近期在研究等边三角形的相关知识． (1)如图1，数学小组发现一些精美的正六边形窗花，而一个正六边形可以由六个全等的等边三角形镶嵌而成，如图2，已知，则正六边形的面积是________． (2)如图3，已知是边长为4的等边三角形，是边长为1的等边三角形．将沿射线方向平移，点B，D，E的对应点分别为点． ①如图4，在平移过程中，小深同学画出了时的情形，此时平移的距离为________； ②如图5，在刚好平移到点与点C重合时，连接，连接并延长交于点F，求此时的大小； ③[画图探索]已知点G在线段上，且，在平移的过程中，当是直角三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】(1) (2)①②③或或 【分析】（1）求出的面积，乘以6即可得出结果； （2）①连接，交于点，证明垂直平分，三线合一，求出的长，线段的和差关系求出的长即可； ②延长交于点，证明，得到，证明为等边三角形，推出，进而得到，推出，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可； ③分，，三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）作，垂足为， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴正六边形的面积； 故答案为： （2）①连接，交于点， ∵是边长为1的等边三角形．将沿射线方向平移， ∴， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴平移的距离为； ②延长交于点， 由题意，可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ③当时，如图，作， ∵， ∴， ∵，， ∴， 取的中点，则：， ∴， ∴两点重合，即为的中点， ∴， ∴ 当时，如图， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：当是直角三角形时，平移距离为：或或 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，中垂线的判定等知识点，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $