专题04 全等三角形 选择填空压轴题分类训练（5种类型40道）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦全等三角形5类压轴题型，以题载法构建动态与静态情境下的判定应用体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点问题|8道|双动点运动中全等条件探究|依托全等判定（SAS/ASA）分析动态边、角关系| |最值问题|8道|利用全等转化线段求最值|通过对称、角平分线性质构建全等模型| |折叠问题|8道|折叠前后图形全等关系应用|结合轴对称性质推导全等三角形对应元素| |角数量关系|8道|通过全等推导角的和差倍分|运用判定定理转化已知角探究未知角关系| |综合问题|8道|多知识点融合的结论辨析|整合全等与角平分线、中线等性质综合推理|

专题04 全等三角形选择填空压轴题分类训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 全等三角形相关动点问题】 1 【类型2 全等三角形相关最值问题】 4 【类型3 全等三角形相关折叠问题】 6 【类型4 全等三角形相关探究角的数量关系】 8 【类型5 全等三角形相关综合问题】 10 【类型1 全等三角形相关动点问题】 1．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 2．如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 3．如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 5．如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6            6．如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 7．如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．2或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 8．如图，，垂足为C，，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动（　　）秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．（注意：两个直角三角形中，如果有斜边和直角边对应相等，两个直角三角形也是全等的）    A．3 B．6 C．6或12 D．0或6或12或18 【类型2 全等三角形相关最值问题】 9．如图，在中，，的平分线交于点，，，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，，，且，，在同一条直线上，点在直线上，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．17.5 11．如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 12．如图，点P在的平分线上，，于点D，点M在上，连接，．若C是上的动点，则的长度的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．如图，动点C与线段构成，其边长满足．点D在的平分线上，且，则的面积的最大值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 14．如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为（  ） A． 10   B．12.5 C．17.5 D．25 15．如图，四边形中，，的角平分线与点D，E为的中点，则与面积之差的最大值为（  ）    A．9 B．4.5 C．3 D．1.5 16．如图，在锐角中，，的面积为，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【类型3 全等三角形相关折叠问题】 17．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 18．如图，长方形纸片中，对边都相等，每个角都是直角，其中，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B． C．3 D． 19．如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（    ）    A． B．3 C． D． 20．如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 21．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若，则（　　） A．. B．. C． D． 22．如图，在中，，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合．若的面积是，则的长是（　　）    A． B． C． D． 23．如图，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，则折痕的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．如图①是一个直角三角形纸片，将其折叠，使点C落在斜边上的点处，折痕为，如图②，如果为AB的中点，的面积为1，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【类型4 全等三角形相关探究角的数量关系】 25．如图，在四边形中，是的角平分线，F为上一点，连接，E为上一点，，且，若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 26．如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 27．如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上满足，以为斜边向三角形外部作等腰直角三角形，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．如图，四边形中，平分，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．如图，，点是线段的中点，，且交外角的平分线于点F，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 30．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 31．如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 32．如图，在中，AD是的角平分线，F为射线上一点，连接并延长至点E，连接且．若，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【类型5 全等三角形相关综合问题】 33．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等；其中正确的有_____（填正确的序号） 34．如图，在和中，，，，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等； 其中正确的有______个（填正确的个数） 35．在中，，于D，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点．以下说法正确的有：_______ ．（填正确的序号） ①；②；③；④若则． 36．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有________．（填写正确的序号） 37．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过点P作交的延长线于点F，交于点H．给出以下结论：①；②；③；④．其中，正确的有______（填出所有正确的序号） 38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝2∠BAC．点E是∠ABC的平分线BE上的一点，连接AE，CE．若CE//AB，则下列说法：①AD＝BD，②∠CAE＝30°，③S△ABD＝3S△BCD，④CE＝AB．正确的有______．（写出所有正确的序号） 39．如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有___________（填写正确的序号） 40．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．给出下列结论：①；②；③是等腰直角三角形：④．其中正确的有_______． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形选择填空压轴题分类训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 全等三角形相关动点问题】 1 【类型2 全等三角形相关最值问题】 13 【类型3 全等三角形相关折叠问题】 22 【类型4 全等三角形相关探究角的数量关系】 31 【类型5 全等三角形相关综合问题】 43 【类型1 全等三角形相关动点问题】 1．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质及动点问题，设运动时间为，表示出、、的长，根据，分和两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为cm/s， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当时， ，， ∴，， 解得， ∴； ②当时， ∴，， ∴，， 解得， ∴； 综上所述，点的运动速度为或． 故选B． 2．如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键． 分类讨论：①当在线段上，时，，②当在上，时，，③当在上，时，，根据全等的性质分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）， 综上所述的值为：4，12，16． 故选：D． 3．如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． 4．如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 【答案】C 【分析】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，在上，，如图，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上，， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故选：． 5．如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；点在上、点在上，点未到达终点A时，或点到达终点A时，继续运动；三种情况，根据列方程计算即可，舍去不合题意情况 【详解】∵，， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时，， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时，， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时，． 当点未到达终点A时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点A时，继续运动，如图③． 此时点与点A重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故选：D．            6．如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键. 【详解】假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则，， ∴， ∴； 若， 则 ，， ∴， ∴， 当时，即点在上， 若， 则，， ∴ ∴， 若， 则，， ∴， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述, 点的运动速度为：或或， 故选：． 7．如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．2或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 此时点与点不重合，舍去； 当综上所述：当秒或秒时，与全等， 故选A． 8．如图，，垂足为C，，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动（　　）秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．（注意：两个直角三角形中，如果有斜边和直角边对应相等，两个直角三角形也是全等的）    A．3 B．6 C．6或12 D．0或6或12或18 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上时，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ②当P在线段上时，时，， 则，， ∴时间为0秒， ③当P在上，时，， ∵， ， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ④当P在上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ∴点P的运动时间为0或6或12或18秒， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【类型2 全等三角形相关最值问题】 9．如图，在中，，的平分线交于点，，，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，过作于，即此时最小，根据角平分线的性质可知，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，即此时最小， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：． 10．如图，中，，，，，且，，在同一条直线上，点在直线上，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．17.5 【答案】C 【分析】本题考查轴对称一最短路线问题，含三角形的性质，全等三角形的性质．连接，可证明，然后推出的最小值为，最后求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴有最小值为的长． 故选：C． 11．如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键．如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形和四边形都是长方形，则，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点， 四边形是长方形， ，， ，， ， ，， △是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示， 当点，重合时，线段的值最小， 根据作图，， 四边形和四边形都是长方形， ，， 到边的距离为， 故选：B． 12．如图，点P在的平分线上，，于点D，点M在上，连接，．若C是上的动点，则的长度的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，证明为等边三角形，得到，根据角平分线的性质和垂线段最短，即可得出结果． 【详解】解：∵ P是角平分线上的一点，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ， ∵点C是上一个动点， ∴的最小值为P到距离， ∵点P在的平分线上， ∴ 的最小值， 故选：D． 13．如图，动点C与线段构成，其边长满足．点D在的平分线上，且，则的面积的最大值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解： 如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故选A． 14．如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为（  ） A． 10   B．12.5 C．17.5 D．25 【答案】B 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值． 【详解】解：如图：延长，交点于， 平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ，即； ∵， ， 当时，取最大值，即取最大值． ． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到 15．如图，四边形中，，的角平分线与点D，E为的中点，则与面积之差的最大值为（  ）    A．9 B．4.5 C．3 D．1.5 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键．延长交的延长线于H，过点D作于T，设的面积为S，证明和全等得，再证明，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得出，而，由此的当为最大时，S为最大，则为最大，然后根据“垂线段”最短得，则时，为最大，最大值为3，据此求出S的值即可得出答案． 【详解】解：延长交的延长线于H，过点D作于T，    设的面积为S， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴当为最大时，S为最大，则为最大， 根据“垂线段”最短得：， ∴时，为最大，最大值为3， ∴S的最大值为：， ∴的最大值是4.5． 故选：B． 16．如图，在锐角中，，的面积为，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∴的值最小，为， 故选：． 【类型3 全等三角形相关折叠问题】 17．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，，如下图， ∵，的平分线与的中垂线交于点， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵点沿折叠后与点重合， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 18．如图，长方形纸片中，对边都相等，每个角都是直角，其中，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，由折叠的性质得到，，再证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 19．如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用角平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得，根据直角三角形的性质可得，进而根据角平分线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵将折叠，使点B与点A重合， ∴，， 在中，， ，， , ∴平分， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 20．如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质可判断①；根据角平分线的性质可判断②；由折叠的性质及和角关系、三角形内角和可判断③；由，得，即可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴； 故①正确； 如图，过点E作，垂足分别为F，H， ∵平分， ∴； ∵，， ∴平分， ∴, 即点E到AC的距离为8； 故②正确； 由折叠知，； ∵， 同理，， ∴ ； 故③正确； ∵， 即， ∴， ∴； 故④正确； 综上，正确的有4个； 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，折叠的性质，三角形内角和，高相等的两个三角形面积的比等于底边的比，掌握以上知识是解题的关键． 21．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若，则（　　） A．. B．. C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积，由折叠可得，，，，，根据角平分线的性质可得，再根据，，，推导出，利用三角形面积得到，即可求解，由三角形面积得到是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，的延长线于点， 由折叠得到，，，，，， ∴平分， ∵， ∴，, ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ 故选：． 22．如图，在中，，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合．若的面积是，则的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知，，，易证，得到，，再利用三角形面积公式，即可求出的长． 【详解】解：将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合， ，， 在和中， ， ， ，， ， 的面积是， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 23．如图，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，则折痕的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据折叠得出，，证明，得出，根据直角三角形的性质，求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将沿折叠，使点A与点B重合， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是求出，． 24．如图①是一个直角三角形纸片，将其折叠，使点C落在斜边上的点处，折痕为，如图②，如果为AB的中点，的面积为1，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质可得＝1，再利用全等三角形的判定与性质得出＝1，最后利用得出结果． 【详解】解：∵△ABC为直角三角形， ∴∠C＝∠＝＝90°， 由折叠的性质得：△BCD≌△， ∴＝1， ∵为AB的中点， ∴， ∵∠＝＝90°，， ∴（SAS）， ∴＝1， ∴＝3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，得出，是解题的关键． 【类型4 全等三角形相关探究角的数量关系】 25．如图，在四边形中，是的角平分线，F为上一点，连接，E为上一点，，且，若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在上截取，连接，证明，，从而得出，利用导角结合三角形外角的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质和多边形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴ ． 26．如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，设，可得，，结合，再进一步求解即可. 【详解】解：∵点是角平分线的交点，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴. 27．如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上满足，以为斜边向三角形外部作等腰直角三角形，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，过点E作，且使得，连接，由等边对等角和三角形内角和定理可得，，可证明，得到；再证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作，且使得，连接， ∴， ∴； ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 28．如图，四边形中，平分，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作于点G，作，交的延长线于点F，作，交的延长线于点H，根据角的平分线的性质定理和判定定理，三角形外角性质，平角的定义，解答即可． 本题考查了角的平分线的性质定理和判定定理，三角形外角性质，平角的定义，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点G，作，交的延长线于点F，作，交的延长线于点H， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 29．如图，，点是线段的中点，，且交外角的平分线于点F，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取的中点后证明． 取的中点，连接，过点作，．先证明得，得．，得，得，求出，从而求出． 【详解】解：取的中点，连接． 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∵， ∴，． ∴ ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中 ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选． 30．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，过点作，．先证明≌得，再证明≌得，得为等腰直角三角形，求出，再证明≌得．从而求出． 【详解】取的中点，连接，过点作，． ∵四边形为正方形， ∴，． ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分 ∴， ∴． 在和中 ∴≌ ∴ 在和中 ， ∴≌ ∴， 又∵平分，， ∴ ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴≌ ∴ ∴． 故选． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取的中点后证明≌． 31．如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，证明，得，，证出．由等腰三角形的性质得出，即可得出，代入已知角即可得解． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 在和中，   ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选D．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和，等边对等角等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 32．如图，在中，AD是的角平分线，F为射线上一点，连接并延长至点E，连接且．若，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：在上截取，连接，通过证明和，推导出平分，从而确定D为的内心，利用三角形内角和定理及角平分线性质建立α与的关系求解即可． 【详解】解：如图：在上截取，连接， ∵AD是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F，B，E共线， ∴， ∴平分， 又∵平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【类型5 全等三角形相关综合问题】 33．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等；其中正确的有_____（填正确的序号） 【答案】4 【详解】解：，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，故正确； ， ， ，， ， ， ，故正确； 过点作于点，于点，如图， ， ，， ， ， 即点到和的距离相等，故正确； ，，， 点在的平分线上， 平分，故正确． 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和的定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 34．如图，在和中，，，，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等； 其中正确的有______个（填正确的个数） 【答案】4 【分析】证明，进而可判断①；由可得，利用三角形内角和及三角形外角的性质可求得的度数，从而可判断②；过点作于点，于点，由，可得，，由面积相等可得，即点到和的距离相等，故可判断；由④的证明知，点在的平分线上，则可判断③，最后可得结论． 【详解】解：，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，故正确； ， ， ，， ， ， ，故正确； 过点作于点，于点，如图， ， ，， ， ， 即点到和的距离相等，故正确； ，，， 点在的平分线上， 平分，故正确． 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和的定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 35．在中，，于D，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点．以下说法正确的有：_______ ．（填正确的序号） ①；②；③；④若则． 【答案】①②④ 【分析】证明，可得，故①正确；由，可得，再证明为等腰三角形，从而得到，进而得到，易知，故②正确；根据题意无法确定、的大小关系，则无法得到，故③错误；结合三角形中线的性质可得，，进而可得，故④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 根据题意无法确定的大小、的大小关系， ∴无法得到，故③错误； ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 36．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有________．（填写正确的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中线的定义等知识．根据“边角边”即可证明，进而得到，，从而证明，作，垂足为H，根据即可证明，问题得解． 【详解】解：∵是的中线， ∴, 在和中， ， ∴ ，故④正确； ∵ ， ∴，故①正确； ∵ ， ∴， ∴ ，故③正确； 如图，作，垂足为H， 则， ∵， ∴，故②正确． 故答案为：①②③④ 37．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过点P作交的延长线于点F，交于点H．给出以下结论：①；②；③；④．其中，正确的有______（填出所有正确的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②；由直角三角形的性质可判断③正确；根据全等三角形的判定和性质判断④． 【详解】解：在中， ， ， 又分别平分， ， ，故①正确． ， 又， ， ， 又， ， ，故②正确． ， ， 又， ， ， ． 故③正确． 在和中， ， ， ，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝2∠BAC．点E是∠ABC的平分线BE上的一点，连接AE，CE．若CE//AB，则下列说法：①AD＝BD，②∠CAE＝30°，③S△ABD＝3S△BCD，④CE＝AB．正确的有______．（写出所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】①根据直角三角形的性质得∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，由角平分线的定义得∠CBD＝∠ABD＝∠BAD＝30°，即可得AD＝BD；②根据平行线的性质可得∠ACE＝∠BEC＝30°，可得CD＝DE，由AD＝BD得AC＝BE，利用SAS证明△BCE≌△AEC，即可得∠CAE＝∠CBD＝30°；③根据含30°角的直角三角形的性质得AD＝BD＝2CD，可得S△ABD＝2S△BCD；④由∠CAE＝∠ABD＝∠BAD＝30°得∠AEB＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE＝AB． 【详解】解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝2∠BAC． ∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°， ∵点E是∠ABC的平分线BE上的一点， ∴∠CBE＝∠ABE＝∠BAC＝30°， ∴AD＝BD，①正确； ②∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAC＝30°，∠ABE＝∠BEC＝30°， ∴∠ACE＝∠BEC＝30°， ∴CD＝DE， ∵AD＝BD， ∴BD＋DE＝AD＋CD，即AC＝BE， 在△BCE和△AEC中， ， ∴△BCE≌△AEC（SAS）， ∴∠CAE＝∠CBE＝30°，②正确； ③∵∠ACB＝90°，∠CBE＝30°， ∴AD＝BD＝2CD， ∴S△ABD＝2S△BCD，③错误； ④∵∠CAE＝∠ABE＝∠BAC＝30°， ∴∠AEB＝90°， ∴AE＝AB，④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查含30°的直角三角形，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系． 39．如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有___________（填写正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果． 【详解】解：平分， ， ，， ， ， ， ， ①平分正确； 无法证明， ③平分错误； ，， ， ，， ，， ， ④正确； ，， ， ②正确． 故答案是：①②④． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，是一道结论开放性题目，解题的关键是利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养发散思维能力． 40．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．给出下列结论：①；②；③是等腰直角三角形：④．其中正确的有_______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，利用三角形的内角和定理和角平分线的定义可判断①；证明，推出，再证明，推出即可判定②；得，即可判定③；证明得可判断④． 【详解】解：①在中，， ∴， 又∵，分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ②∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，而P与不一定相等，故②不正确； ∵，， ∴，，，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ，故④正确； 故答案为①③④． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $