专题11 一次函数存在性问题分类训练（5种类型40道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级下册

专题11 一次函数存在性问题分类训练 （5种类型40道） 1．在平面直角坐标系中，如图1，已知直线分别交x轴、y轴于点B，A，点C在x轴的负半轴上，且．地 城 类型01 存在性角度相关 (1)求直线的表达式； (2)若点M是直线上的一点，连接，使得，求出此时点M的坐标； (3)在（2）的条件下，x轴上存在点P，使，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为：或 (3)点的坐标为：或，或． 【分析】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质等，分类求解和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点作直线交轴于点，取，过点作直线交直线于点，则点，取，过点作直线交于点，则此时，点为所求点，即可求解； （3）当点时，证明△，得到点，即可求解；当点时，同理可解． 【详解】（1）解：直线分别交x轴，y轴于点， 则点的坐标分别为：， ，则， 则点， 设直线的表达式为， 将点C的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：； （2）过点作直线交轴于点，取，过点作直线交直线于点，则点， 取，过点作直线交于点，则此时，点为所求点， 直线且故点， 则直线的表达式为：， 同理可得：直线的表达式为：， 分别联立、和直线的表达式得：，， 解得：或， 即点的坐标为：或； （3）当点时， 当点在点的右侧时， 过点作轴于点，过点作的垂线交于点， ，则△为等腰直角三角形，则， 过点作轴于点， ，， ， ，， △△， ，，则， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则， 即点； 当点在点的左侧时， 则， 则直线的表达式为：， 令，则， 则点， 即点或； 当点时， 同理可得，点， 则直线的表达式为：或， 令，则或4， 则点，或， 综上，点的坐标为：或，或． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点的对应点刚好落在轴上，作直线． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的值： (3)点为直线上一点，点，连接．若，求点的坐标； (4)若直线上的一点到直线的距离是2，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数及其图象性质，一次函数与二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，解决问题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线． （1）先求出、两点的坐标，由勾股定理求出的长，由折叠的性质求出点的坐标，再根据待定系数法即可求出直线对应的函数表达式； （2）连接，由题意得，，在中，,列方程即可求出的值； （3）过点作的平行线，交轴于点，易证，由此可得点的纵坐标，代入中，即可得点的坐标； （4）在线段上取一点，使点到线段的距离为2，连接，过点作于点，过点作直线的平行线，交轴于点，则直线与直线的交点即为点；过点作点的对称点，过点作直线的平行线，交直线于点；求出点、的坐标即可 【详解】（1）解：， 令，则， ． 令，则， ． ，． ． 由折叠得：, ． ． 设直线的函数表达式为， 将，，代入得， ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：如图，连接， ∵点， ， ． 由折叠得：， 在中，, 即，解得． （3）解：如图，过点作的平行线，交轴于点， ． ． ． ， 轴． ． 又， ． ． ， ． ． ． ． 在中，令，则， ． （4）解：如图，在线段上取一点，使点到线段的距离为2，连接，过点作于点，则， 过点作直线的平行线，交轴于点，则直线上所有点到直线的距离均为2， ∴直线与直线的交点即为点． ， ． ． ． ∵， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ． 在中，令，则． ． 如图，过点作点的对称点，则，过点作直线的平行线，交直线于点， ∵直线与直线关于直线对称， ∴直线上每一点到直线的距离也为2． ∴点即为所求． ， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ． 综上所述，点的坐标为或． 3．如图，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在x轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点（且点P在第一象限）． (1)求点D坐标： (2)若，请求出点P的坐标； (3)点M为直线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式，根据题意设直线的解析式为，将点C坐标代入解析式得到直线，再联立直线与直线解析式求解，即可解题； （2）连接，设点P的坐标为，根据各点坐标表示出，，再结合建立方程求解，即可解题； （3）连接，根据点M为直线上一点，分两种情况，①当点在点左侧时，②当点在点右侧时，结合等腰直角三角形性质，勾股定理，等面积法，垂直平分线性质分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：与x轴交于点， ， 解得， 直线为， 点C在x轴上点A的右边，， ， 直线与正比例函数的图象平行， 设直线的解析式为， 直线经过点C， ， 解得， 直线解析式为， 直线与直线相交于点D， 联立与，则， 解得， 当时，， 即点D坐标为； （2）解：如图，连接， 设点P的坐标为， 点D坐标为，， ， ， ， ， 解得， 点P的坐标为； （3）解：如图，连接， ①当点在点左侧时， 当时，， ，即， 点，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作于点， ，， ， ， ， ， 解得， 当时，有，解得， ； ②当点在点右侧时， ， 垂直平分， 记交轴于点，连接， 有， ， ，，， ，即点与点重合， 时，， ． 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求直线解析式，求两直线交点，一次函数与几何综合，等腰直角三角形性质，勾股定理，等面积法，垂直平分线性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 4．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，过作于，当时，求此时点的坐标： (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标即可； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入，得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当在点的左侧时，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得：； ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 当在点的右侧时，则与关于对称， 又，， ∴当在点的右侧时，， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 5．【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）①直线为，②不变，；（3）或 【分析】（1）根据，过点作交于点，过点作交于点，得出，证明，即可证出． （2）①当时，则直线为直线，先求出，，则，过点E作于，如图所示：证明，得出，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为． ②根据当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动，得出，过点作于，证明，得出，再根据，即可求解； （3）根据点C的位置分两种情况：①如图，过作轴交于点，过作轴于点，先求出点的坐标是，点的坐标是，得出，根据，得出，则，证明，则，求出，待定系数法求出直线的解析式为，再令，即可求出； ②如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，根据，得出，证出，证明，则，设，则，得出，根据点在直线的图象上，代入求解即可． 【详解】解：（1）． 证明：，过点作交于点，过点作交于点， ， ， 在和中 ， ， ∴． （2）①当时，则直线为直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过点E作于，如图所示：     ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把与代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ②当变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， 则； ②如图， 如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、一次函数解析式求解、坐标与图形、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且，求点的坐标； (3)点为轴上一点，当时，请求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出A、B的坐标，中点公式得到点M的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求得,设，根据，进行求解即可； （3）分点P在点A左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ，， 点M为线段的中点， ， 设直线的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∵点是直线上一点， 设 ∴ 解得 ∴或； （3）解：分两种情况： 当点P在点A右侧时：将直线沿着y轴向上平移6个单位，得到直线，如图： 此时， ， 当时，， ； 当点P在点A左侧时，作的中垂线，交于点E，连接交x轴于点P，则：， ， 设， 则， ， 解得， ， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ， 当时，， ， 综上，或． 7．如图，已知一次函数的图像经过点，点分别在x轴、y轴上，，直线垂直于于点E． (1)求的值． (2)求点E到y轴的距离． (3)若点P是y轴上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键。 （1）直接将代入函数解析式得到方程组求解即可； （2）由题意可得直线的解析式为，，则，即再证明可得，即；运用待定系数法求得直线的解析式为，然后与直线的解析式联立求得点E的坐标，即可确定点E到y轴的距离； （3）由两点间的距离公式可得，如图：在直线上截取，连接交y轴于点P，则是等腰直角三角形，；设点F的坐标为，根据运用两点间距离公式列方程可求得F的坐标，再求得直线的解析式，其与y轴的交点坐标即为点P的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点， ∴，解得：． （2）解：∵． ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，即， ∵直线垂直于点E ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴点E到y轴的距离． （3）解：∵，, ∴ 如图：在直线上截取，连接交y轴于点P， ∴是等腰直角三角形，， 设点F的坐标为， ∵， ∴，解得：或， ∴点F的坐标为或， 当点F的坐标为时， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即点P的坐标为． 当点F的坐标为时，同理可得：点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)是射线上的动点． ①连接，若的面积与的面积相等，求点的坐标； ②过点作轴的垂线，交轴于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据三角形的面积求点的坐标，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据一次函数的解析式求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①根据函数解析式求出相关点的坐标，设点坐标为，利用作差法表示出三角形的面积关系，列出方程求解即可； ②过作，交于点，过点作轴，分别过点，，作于点于点．作点关于的对称点，连接，作射线交轴于点，分两种情况进行讨论，利用全等三角形和轴对称的性质求出相关点的坐标，利用待定系数求出直线函数解析式，然后求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：直线与轴，轴分别交于点， 令，则， ． ， 点的坐标为． 设直线的函数表达式为，将和代入可得， 则 解得 直线的函数表达式为； （2）解：①如图1，直线与轴，轴分别交于点， 令，则， 解得， ． ． ． ， ． 过点作轴于点， 设点坐标为， ． ， ． 解得． 点坐标为； ②如图2，过作，交于点，过点作轴，分别过点，，作于点于点．作点关于的对称点，连接，作射线交轴于点． （Ⅰ）当点在轴上方时， ， ． ． ， ，即． ， 是等腰直角三角形． ． ， 又， ． ． 点的坐标为． 假设直线的表达式为，将和代入得， 解得 直线的表达式为． 令，则， 解得． 点的坐标为． （Ⅱ）当点在轴下方时， 是点关于的对称点， ． ． 点坐标为． 假设直线的表达式为，将和代入得， 解得 直线的表达式为． 令，则， 解得． 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 9．如图，一次函数的函数图象与轴，轴分别交于点，．地 城 类型02 存在性面积相关 (1)若点为第三象限内一个动点，请问的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ (2)在（1）的条件下，试用含的代数式表示四边形的面积；若的面积是，求的值． 【答案】(1)不变，面积是1 (2)， 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，一次函数与坐标轴交点问题； （1）求出、点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）由，即可得出四边形的面积，再由的面积是可得出的值． 【详解】（1）解：不变，理由是： 一次函数的图象与轴、轴分别交于、， 当时，，当时， 则点、的坐标分别为、， ∴ ∵点为第三象限内一个动点， ∴． （2）解：∵, , ∴ 解得． 10．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式、三角形的面积，熟练掌握解一次函数的解析式的方法和三角形的面积公式是解题关键． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得点的坐标，即的长，利用三角形的面积公式即可求解； （3）当的面积是的面积的时，先求出的面积和的面积，再分类讨论：①当点在直线上，先求出直线求解析，运用三角形公式代入求解即可；②当点在直线上，已知直线解析式，运用三角形公式代入求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 将点、点代入得：， 把①代入②中得：， ， ， 解得：， ∴直线的解析式是：； （2）解：∵在中，令，解得：， ∴点，． ∵点， ∴， ∴． （3）解：∵点、点， ∴，， ∴ ∵当的面积是的面积的时， ∴ ①当点在直线上， ∵设直线的解析式是， 代入点得， 解得：， ∴则直线的解析式是：， ∴设点， ∴ ∴，即， 把代入，得 ∴； ②当点在直线上， ∴设点， ∴ ∴，即， 把代入，得 ∴； 综上，点的坐标是：或． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． (4)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入直线的表达式，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到直线的解析式； （2）先求点的坐标，进而确定的底的长度，再确定的高，最后代入三角形面积公式计算； （3）先求出点的坐标，作关于轴的对称点，利用“轴对称性质”得，将转化为，当、、共线时，最小，求出直线的解析式，令，得到的值即为点的纵坐标； （4）先确定目标面积，设点的坐标，以为的底，点到轴的距离为高，代入面积公式列方程，解方程得的值，再代入直线解析式得到的纵坐标，进而确定的坐标． 【详解】（1）解：直线为，且位于直线上， ，解得， 直线的解析式为． 答：． （2）解：直线的解析式为， 当，，即直线与轴交点为， ， 点坐标为， 点到轴的距离为， ． 答：． （3）解：直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 如图，作点关于轴对称点，连接，与轴交于点， ，， ， ， 可知当、、位于同一条直线上时，取得最小值， 设直线的解析式为，将，代入， 可得： ， 解得： ， 直线的解析式为， 令，则， 故的坐标为． 答：． （4）解：设存在点， 根据题意可知， 得，即， 解得， 则点的坐标为或． 答：存在，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式求解，平面直角坐标系中图形的面积计算，轴对称的应用，一次函数与图形面积的综合应用，通过作对称点，将“折线线段和”转化为“直线线段”是解题关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的二分之一时，求出这时点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)的面积是； (3)点的坐标是或． 【分析】（1）设直线的解析式为，将、代入即可得解； （2）由直线的解析式得出点坐标，由即可得解； （3）由题意求出，分情况考虑：当点在上时，当点在上时，分别将代入对应的直线解析式即可得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将、代入得， 解得， 则直线的解析式为． （2）解：直线的解析式为， 时，，即，， ． （3）解：依题得：， 动点沿路线运动， ， ， 当点在上时， 点， 直线的解析式为， 则时，， 即； 当点在上时， 直线的解析式为， 时，， 即； 综上，这时点的坐标是或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何综合，解题关键是熟练掌握一次函数． 13．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)5 (4)和 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分别求解即可； （2）先求出点D的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可； （3）先求出的长，再根据求解即可； （4）先求得，即；再分两种情况：当点P在点D下方时，当点P在点D上方时，根据三角形的面积公式、列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，，即； 当时，，即． （2）解：∵直线经过点， ， ， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：∵直线的解析式为． ∴， ∴， ∴， ∴； ①如图，当点P在点D的上方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点P在点D的下方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上，点P的坐标为和． 14．如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点． ①求的面积； ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的2倍，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）①先求出点坐标，求出，再由三角形面积公式求解的面积；②由面积公式得到，解得，求出点的纵坐标，代入函数解析式即可求解点坐标． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴直线l的表达式为； （2）解：①把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积； ②存在， ∵的面积是面积的2倍， ∴面积， ∴， 解得：， ∴或， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 综上：或． 15．如图，直线分别与x轴，y轴相交于点B和点，与交于点，点M在直线上． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先求出点的坐标，由待定系数法可求得直线的解析式； （2）求出点的坐标得到的长，再由的面积计算求解即可； （3）根据题意可得，据此即可求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解；∵点在直线上， ∴， ， ∴， ∵直线经过和，       解得：， 直线的解析式为：； （2）解：在中，当时，解得：， ∴， ， ∴的面积 （3）解：， ， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴ 点的横坐标为或； 当的横坐标为时， 在中，当时，，则的坐标是； 当的横坐标为时， 在中，当时，，则的坐标是 综上所述：点的坐标为或． 16．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，直线与轴交于点，两直线交于点，且点的坐标为． (1)_____； (2)求四边形的面积； (3)点为直线上一点，且的面积等于四边形的面积，求的坐标． 【答案】(1)8 (2)10 (3)或 【分析】本题考查一次函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程和应用分类讨论思想解决问题 （1）利用待定系数法求解即可． （2）结合一次函数与坐标轴的交点求得对应线段长度，再利用三角形的面积公式计算即可． （3）设，分点M位于点P上方和下方分别列出或，结合三角形面积公式构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得直线过点的坐标为，则，解得， 故答案为：8； （2）解：∵直线与轴、轴分别交于，两点， ∴点，， ∵直线 ∴点， ∴， 则，； （3）解：设，则有或， ∴或， 解得或， 当时，； 当时，， ∴或． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．地 城 类型03 存在性三角形相关 (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或或或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰三角形的定义是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据勾股定理可进行求解； （3）由题意可分当点P在x轴和在y轴上，然后结合等腰三角形的定义进行分类求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由题意得：， ∴； （3）解：由题意可分：①当点P在y轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； ②当点P在x轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； 综上所述：点P的坐标为或或或或或． 18．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；，，， 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、三角形面积关系的应用以及平面直角坐标系中等腰三角形的存在性问题；解题的关键是熟练运用待定系数法、理解同高三角形面积比等于底边比的性质，以及分类讨论等腰三角形的不同构成情况；易错点是计算过程中的符号与准确性，以及在讨论等腰三角形时可能遗漏其中一种情况． （1）利用待定系数法，将已知点，的坐标代入一次函数解析式，建立方程组求解即可； （2）由​且两三角形有公共高，可得，即点是线段的中点，据此利用中点坐标公式求解； （3）等腰三角形的存在性问题，需分类讨论，分别以点为顶点或点为顶点的三种情况，进行讨论，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：∵点，， ∴设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：直线解析式中， 令，， 则点， ∵​， 且与有公共顶点和公共边所在的直线（即它们的高相等）， ∴， ∴点为线段的中点， ∵点，点，由中点坐标公式得点的坐标为： ∴ （3）解：设点的坐标为，已知点，点， 由勾股定理得： ， ， ， 分三种情况讨论： 情况一：以为顶点，， 即，解得或. 此时点坐标为，. 情况二：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 或， 或， 当，点与点重合，故舍去. ∴点. 情况三：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 整理得， 解得 ∴点． 综上所述，在轴上存在点，使得是等腰三角形， 其坐标共有4个，分别为：，，，． 19．如图，直线与轴、轴分别交于点，，． (1)求点的坐标和的值． (2)若是第一象限内的直线上的一个动点，当的面积是时，轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的坐标为或或或． 【分析】（1）先求得直线与轴的交点，即可求出点的坐标，从而得到的长度；结合已知可得，进而求得点的坐标，将点的坐标代入解析式中，即可求得的值； （2）以、、分别是等腰三角形的顶角顶点分三种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 点的坐标为， ． ， ， 点的坐标为． 把代入，得， 解得． （2）解：存在． 由题意，得点的坐标为， ，解得，此时， 点的坐标为， 由勾股定理，得． 分以下三种情况讨论： ①当是等腰三角形的顶角顶点时，， 点的坐标为或； ②当是等腰三角形的顶角顶点时，，点与点关于过点且与轴垂直的直线对称， 点的坐标为； ③当是等腰三角形的顶角顶点时，． 设点的坐标为． ， 由勾股定理，得， 解得，则点的坐标为． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用、解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 20．如图，已知函数的图像与坐标轴的交点分别为A、B，点C与点B关于轴对称，动点P、Q分别在线段上（点P不与点B、C重合），且． (1)点A的坐标为_________ ，的长为 _________； (2)判断与的大小关系，并说明理由； (3)当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)，5 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，轴对称性质，勾股定理，等边对等角，三角形外角性质，等腰三角形的定义，分类思想，熟练掌握性质，定理和分类思想是解题的关键． （1）根据直线与坐标轴的交点，关于x轴对称点计算，勾股定理解答即可； （2）根据对称性质，等边对等角，三角形外角性质，解答即可； （3）设，根据为等腰三角形，利用分类的思想解答即可． 【详解】（1）解：∵函数的图像与坐标轴的交点分别为A、B， ∴,， ∴， ∵点C与点B关于轴对称， ∴， ∴, ∴， 故答案为：，5； （2）解：与的大小关系为． 理由如下： ∵点C与点B关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵动点P、Q分别在线段上，函数的图像与坐标轴的交点分别为A、B， ∴设， ∵为等腰三角形， 当时， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故； 当时， ∴， 根据外角性质，得， ∵， ∴，矛盾， 此时是不成立的； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故； 综上所述，或． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点，，且经过点，连接． (1)求该直线的函数表达式． (2)求点到直线的距离． (3)动点从点出发，沿方向向终点运动，连接，当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)点到直线的距离为； (3)的长为或或． 【分析】本题考查了求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质． （1）直接将代入计算即可； （2）求出A、B坐标，根据勾股定理求出的值，根据等面积法计算即可； （3）根据勾股定理求出，分当在上运动时、在上运动时，根据等腰三角形三线合一及勾股定理作答即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， 即； （2）解：当时，，即， 当时，解得，即， ∴，， ∴ 设点到直线的距离为h， 则， 即， 解得：， 即点到直线的距离为； （3）解：∵，，， ∴，，， 即， 当在上运动时， 如图，当时， ∵， ∴， 如图，当时，作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， 即； 当在上运动时， 如图，当时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为或或． 22．如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，连接，，点是线段上的一动点． (1)______；______； (2)求的面积； (3)将沿直线翻折，点的对应点为，若为直角三角形，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为或 【分析】（1）由题意易得点A的坐标为，点B的坐标为，然后根据两点距离公式可进行求解； （2）由（1）可知：；；，则有，即是直角三角形，然后问题可求解； （3）由题意可分当时和当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：直线l：与x轴，y轴分别交于A，B两点， 把代入，得， 点A的坐标为， 把代入，得， 点B的坐标为， ， ；； （2）解：由（1）可知：；；， ，， ， 是直角三角形，即， ； （3）解：①当时，如图， 沿直线翻折， ， ， ， C、M、A三点共线， ；， 设，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； ②当时，如图，过点M作于N点， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ；， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理、折叠的性质及两点距离公式，熟练掌握一次函数与几何的综合、勾股定理、折叠的性质及两点距离公式是解题的关键． 23．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求出点、点的坐标及的值； (2)在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． (3)若点为轴上的一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由与轴交于点从而求出的值，即有点，然后根据点是的中点，点，得出点； （）分当时，当时，即与重合时两种情况分析即可； （）分如图当，当，当时，当时四种情况分析求解． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点， ∵点是的中点，点， ∴点； （2）解：如图，当时， ∵点，点， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，当时，即与重合时， ∴， 综上可知，点的坐标为或； （3）解：由（）得：， 如图， 当，则； 当，则； 如图，设， 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴， 如图， 当时， ∴， ∴， 综上可知：为等腰三角形，点的坐标为或或或． 24．如图，已知直线：经过点，交轴于点，交轴于点，直线交直线于点，点到轴的距离为． (1)求直线的函数表达式和点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在点，使得是直角三角形；点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，利用待定系数求出直线的函数表达式，即可求出点A的坐标； （2）先求出点C的坐标，根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：交直线于点，点到轴的距离为， 点的横坐标， 把代入得：， ； 直线的函数表达式为，把代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为， 令得：， 解得：， ； （2）解：直线：交轴于点， 当时，， ， ； （3）解：在轴上存在点，使得是直角三角形；理由如下： 点在轴上， ， 当是直角三角形时，需分和两种情况： 如图， 当时，点在图中的位置： 点和点均在轴上， 轴． ， ； 当时，点在图中的位置： 设，， ，，， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， 综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形；点的坐标为或． 25．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A、C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位长度，得到平行四边形，其中边与x轴交于点G，边与交于点H．地 城 类型04 存在性四边形相关 (1)请直接写出点N，M的坐标以及直线的表达式__________． (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形，请求出重叠部分的面积． (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使以点O、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）由平移的性质即可求得点N，M的坐标，根据待定系数法即可求得直线的表达式； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；对于直线的解析式为，令，求出，则，过点M作轴于F，则，，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 故答案为：， （2）解：过点M作轴于F， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平移的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，平行四边形的性质，一次函数与几何图形的综合应用： （1）根据平移规则，求出的坐标即可； （2）求出直线的解析式，设，分分别为对角线进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段，，， ∴，即：； 故答案为：； （2）存在， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，， ∴， 设，当以为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况进行讨论， 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 综上：或或． 27．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或0或 【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解； （2）四边形为平行四边形时，，即可求解； （3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解： ∵，边，则点、、的坐标分别为：、、， 直线，令，则，当时，， 故点、的坐标分别为：；； （2）解： 由（1）知点、的坐标分别为：；； 点、的坐标分别为：、； 则，， 四边形为平行四边形时，则，即， 解得：； （3）①当是菱形的边时， 点对应的点为：或， 在菱形中，，即， 解得：， 当时，点，不在边上，故该值舍去， 故； 当四边形为菱形时； 同理可得：； ②当是菱形的对角线时， 则，即， 解得：， 综上：或0或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点分别是的中点，的外角平分线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)是否存在这样的值，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出此时四边形对角线的交点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)9 (3)存在， 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由勾股定理得，再由三角形中位线定理得，然后证，即可得出结论； （3）由平行四边形的性质得，则，得，再由勾股定理得，则，设平行四边形对角线的交点为M，过M作于H，则，然后证是等边三角形，得，则，进而由勾股定理得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵C，D分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 设平行四边形对角线的交点为M，过M作于H，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平行四边形对角线的交点坐标为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，连接与y轴相交于点已知矩形的边的长是一元二次方程的两个根，且． (1)求直线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)若点M是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，菱形性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）由一元二次方程，求出，，再用待定系数法可得直线解析式为； （2）根据把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，可证明，设，则，有，解得，即得，直线解析式为，设，可得，即可解得； （3）设，，分三种情况：当为对角线时，的中点即为的中点，且，即得，当，为对角线时，的中点即为的中点，且，，当为对角线时，的中点重合，且，，分别解方程组可得答案． 【详解】（1）解：由一元二次方程， 得或， ，， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为； （2）解：把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处， ， 在矩形中，与平行， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 由，， 同（1）得：直线解析式为， 设， 由折叠可知， ， 解得（不符合题意，舍去）或， ； （3）解：在坐标平面内存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，， 而，， 当为对角线时，的中点即为的中点，且， ， 解得， ； 当，为对角线时，的中点即为的中点，且， ， 解得或， 或（此时M和C重合，舍去）； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得或， 或； 综上所述，P的坐标为或或或． 30．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据矩形的性质可得从而得到的坐标，再由角平分线和平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标； （2）①利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可； ②要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ， ，，， ， ，， ，， ∴， ∵为的平分线， ， ， ， ∵为中点， ， ∴， 由勾股定理可得， ， ∴． （2）解：①∵四边形为矩形，点为的中点， ， ， 延长，交轴于点，如图： 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ∴， ， ， ， ， 把代入得：， ； ②存在，如图： ∵点是射线上的动点， ∴设， ∵， ， ， ， 要使四边形是矩形，则为直角三角形，， ，即， 解得：， ． 31．如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴、轴分别交于点、． (1) ； (2)求点的坐标； (3)若点在轴上，则在直线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，或或 【分析】此题主要考查四边形综合问题，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是熟知矩形的性质，折叠的问题利用勾股定理构造直角三角形进行求解，分情况讨论菱形的边及对角线的情况． （1）由可得，，进而根据勾股定理求得，即可求解． （2）由折叠的性质可得，，故，，设，则由题意可得：，，，，在中，由勾股定理得到方程即可求出的值； （3）分①当、为的对角线时；②当、为的对角线时；③当、为的对角线时；种情况进行讨论，分别求出的坐标． 【详解】（1）解：由可得，． 四边形是矩形， ， 由勾股定理可得：5， 故答案为：； （2）设,，则由题意可得：，，，． 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得， ∴； （3）存在符合条件的点或或．理由如下： 由（2）知：，， ， 设直线的解析式为， ，， ， ， 直线的解析式为：， 点在轴上，点在直线上， 设，， 又，， 当、为的对角线时，与的中点重合， ， 解得： ； 当、为的对角线时，与的中点重合， ， 解得：， ； 当、为的对角线时，与的中点重合， ， 解得：， ； 或或 32．如图1，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)求和的值； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）将分别代入，，即可求解； （2）先根据的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）将点代入， ， 解得； 将点代入， ， 解得； （2）∵点E的横坐标为m， ，， ， 与y轴的交点， ， ， ， 解得或； （3）解：将代入一次函数得：，解得， ∴点坐标为； 将代入直线得：，即， ∴，， ∴， ∴， ∵点为直线上一点，且在中，， ∴分以下两种情况： ①如图，以、、、四个点构成的是矩形， 过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对角线互相平分，， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则， ∴， ∴此时点的坐标为； 综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 33．如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”．地 城 类型05 存在性最值相关 【问题发现】（1）如图1，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点O，是“对称线”，若，，则四边形的面积是______． 【问题探究】（2）如图2，四边形是“对称四边形”．是“对称线”， ，P，Q分别为线段，上的动点．求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段和x轴正半轴上的动点，连接，，点M是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时所在直线的表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）60；（2）；（3）存在；；； 【分析】（1）由“对称线”的定义可知，再根据求解即可． （2）连接，，交于点，作，根据中垂线的性质，得到，，，进而得到，推出当三点共线时，，值最小，根据垂线段最短，得到当，即点与点重合时，的值最小，此时最小，进行求解即可； （3）过点E作轴于点H， 由线段垂直平分线的性质可得出，，，由可知当时，点H和点F重合，的值最小，最小值为，进而可求出的面积的最小值，再求出点E的坐标，最后利用待定系数法求出所在直线的表达式即可． 【详解】解：（1）∵是“对称线”， ∴垂直平分线段， ∴， ∴ ； （2）连接，，交于点，作， ∵是“对称线”， ∴垂直平分线段， ∴，，， ∴， ∴当三点共线时，，值最小， 又∵点为上的动点， ∴当，即点与点重合时，的值最小，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴的最小值为； (3)存在，理由∶过点E作轴于点H， ∵，， ∴， ∵四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”， ∴，，， ∴， ∴当时，点H和点F重合，的值最小，最小值为， ∴的面积的最小值为， 此时， 设所在直线的表达式为：， 把代入：， 解得：， 故所在直线的表达式为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形综合，勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 34．阅读以下材料，完成问题． 如图1，在中，，若已知的对边与邻边的比值，则可得到的度数．如：若，则；若，则． (1)小试牛刀：如图2，在中，，，，则___________； (2)问题探究：如图3，在中，，，，，点是线段上一点，求的最小值； (3)问题解决：如图4，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点、，点，点为直线上的动点，以为边在其下方作等边．连接、，那么是否存在最小值，若存在求出其最小值及此时点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）作，分别求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可； （2）作于点，易得为等腰直角三角形，得到，进而得到，推出当在线段上，且时，的值最小，在中，根据30度的直角三角形的性质，求出的长即可； （3）以为边构造等边三角形，过点作轴，作轴，交的延长线于点，求出点坐标，得到在直线上，求出点坐标，推出，进而得到，得到，证明，得到，进而得到，推出当在线段上，且时，的值最小为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：作，垂足为，则：， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴； （2）作于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当在线段上，且时，的值最小，为的长， 当时： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为； （3）以为边构造等边三角形，过点作轴，作轴，交的延长线于点，则：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，，当时，，当时，， ∴，点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当在线段上，且时，的值最小为的长， 此时点与点重合， ∴的最小值为的长，即的最小值为6． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，一次函数与几何的综合应用，求线段和的最值问题，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 35．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P（，） (2)存在，13 【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． （1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可； （2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可． 【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B， 则有， ∵， ∴， 此时P的纵坐标为， ∴， ∴此时所求点P坐标为（，）． （2）动点P在直线运动过程中，存在最小值． 如图，作点O关于直线的对称点， 则有，     在中，令，得，令，得， 直线与x轴交点为，， 直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∵点O关于直线的对称点， ， ∵，当点P运动至三点共线时取等号，   ∵，             ∴的最小值为13， 即的最小值为13． 36．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)11 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，轴对称的性质及勾股定理，用平移的思想解决问题是就本题的关键． （1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论； （2）将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， 令时，， ， ； （2）解：如图，将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小， 由作图可得 点O关于直线的对称点， ， ， 四边形的周长最小值 37．已知，四边形是正方形，，D是x轴上一点，以D为直角顶点向右侧构造等腰直角三角形，设点D的坐标为． (1)如图1，点E的横纵坐标之间是否满足某种函数关系？若有请写出并证明，若无请说明理由． (2)如图2，若点D是线段上一点（不与O、A重合）且与交于点F，连接请判断线段，，的数量关系并证明． (3)如图3，若点G，H分别是线段，的中点，连接，，是否存在最小值，若存在请求出最小值时点D坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)，证明见解答 (2)，证明见解答 (3)存在， 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，灵活构造全等三角形证明关键边和角相等是解答本题的关键． （1）通过辅助线构造，可得，，然后根据点E的横纵坐标之间的关系求解答案． （2）延长，使，连接根据证明，得出，，然后再证明即可得出结论． （3）先根据（1）中结论得出点H的轨迹，然后确定当点H在线段上时有最小值，再根据的面积求出点H的坐标，进而求出点E的纵坐标，然后根据（1）中即可求解． 【详解】（1）解：点E横纵坐标之间的函数关系为： 理由：如图，过点E向x轴作垂线，垂足为 是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ， 设点E坐标为， ，， 故点E的横纵坐标所满足的函数关系式为 （2）解：结论： 证明：如图，延长，使，连接 根据题意可知，，， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ， 在和中，， ， ， （3）解：由（1）可知，点E横纵坐标满足函数关系式 点H为线段的中点， 点H横纵坐标为：，， ， 代入得： 点H在直线上． 当点H位于直线与的交点时，存在最小值，为的长度． 设此时点H的坐标为， ，，， 点H坐标为， ，， 由（1）知：， ， 点D的坐标为． 38．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点两点． (1)求直线的解析式； (2)点为y轴上一点，D为x轴上一点，直线上是否存在点E，使得以点D、E、C、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)P、Q是直线上的一条动线段，（P在Q的下方）且，点，连接，是否存在最大值，若存在，求出这个值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分为以点D、E、C、B为顶点的平行四边形的对角线，为以点D、E、C、B为顶点的平行四边形的对角线和为以点D、E、C、B为顶点的平行四边形的对角线三种情况，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可； （3）可证明直线与直线平行，即，则可证明四边形是平行四边形，得到；作点C关于直线的对称点H，连接，与交于点S，连接，利用等面积法求出；设，则，解方程可求出，则可求出点H的坐标为；可证明当三点共线时，有最小值，最小值为的长，则可求出的最小值为，当有最小值时，有最大值，则的最大值为． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点两点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设， 当为以点D、E、C、B为顶点的平行四边形的对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， 解得， ∴， ∴点E的坐标为； 当为以点D、E、C、B为顶点的平行四边形的对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， 解得， ∴， ∴点E的坐标为； 当为以点D、E、C、B为顶点的平行四边形的对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， 解得， ∴， ∴点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线与直线平行，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 如图所示，作点C关于直线的对称点H，连接，与交于点S，连接， ∵， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； 设，则， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵， ∴点S为的中点， ∴点H的坐标为，即； ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，两点间的距离公式，轴对称的性质等，利用分类讨论的思想求解和正确作出辅助线是解题的关键． 39．如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点分别在x轴、y轴上，其中C，D两点的坐标分别为(4，0)，(0，-3)．两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，点Q以每秒2个单位的速度沿线段CD向终点D运动，设运动的时间为t秒． (1)求菱形ABCD的高h和面积S的值； (2)当点Q在CD边上运动时，t为何值时直线PQ将菱形ABCD的面积分成1：2两部分； (3)设四边形APCQ的面积为y，求y关于t的函数关系式(写出t的取值范围）；在点P、Q运动的整个过程中是否存在y的最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)；存在最大值，最大值为18 【分析】（1）先根据C、D的坐标确定OC、OD的长，再根据勾股定理求得CD的长，然后再根据菱形的性质求得菱形的面积，最后根据菱形的面积等于底乘高进行计算即可求得高； （2）如图1，由已知可得、，即．再表示出梯形APQD的面积，然后分别或两种情况解答即可； （3）当Q在CD上，即时，利用梯形面积公式进行求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵C（4，0），D（0，-3）， ∴，．    ∵， ∴． ∵四边形ABCD是菱形，   ∴菱形面积． ∴菱形的高； （2）解：如图1，由已知可得：，，则． 则 若直线PQ将菱形的面积分成1：2两部分，则或． 即或． 解得：或（舍去）． ∴当时，直线PQ将菱形面积分成1：2两部分． （3）当Q在CD上，即时，如图2． ∴此时，y随t的增大而增大． ∴当时，取得最大值． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、菱形的性质、勾股定理、一次函数的性质等知识点，熟练掌握相关知识以及分类讨论思想是解答本题的关键． 40．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析表达式为； (2)； (3)点的坐标为时，的最大值为． 【详解】（1）解：设直线的解析表达式为， ∵和， ∴， 解得， ∴直线的解析表达式为； （2）解：作轴于点， ∵， ∴，， 由，令，得， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： 延长交轴于点，则点即是所求的点，此时的最大值为线段的长度， 由（）得直线的解析表达式为， 令，得， ∴点的坐标为， 在中， 由勾股定理得， 综上，点的坐标为时，的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一次函数存在性问题分类训练 （5种类型40道） 1．在平面直角坐标系中，如图1，已知直线分别交x轴、y轴于点B，A，点C在x轴的负半轴上，且．地 城 类型01 存在性角度相关 (1)求直线的表达式； (2)若点M是直线上的一点，连接，使得，求出此时点M的坐标； (3)在（2）的条件下，x轴上存在点P，使，请直接写出点P的坐标． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点的对应点刚好落在轴上，作直线． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的值： (3)点为直线上一点，点，连接．若，求点的坐标； (4)若直线上的一点到直线的距离是2，请直接写出点的坐标． 3．如图，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在x轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点（且点P在第一象限）． (1)求点D坐标： (2)若，请求出点P的坐标； (3)点M为直线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 4．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，过作于，当时，求此时点的坐标： (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 5．【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且，求点的坐标； (3)点为轴上一点，当时，请求出满足条件的点的坐标． 7．如图，已知一次函数的图像经过点，点分别在x轴、y轴上，，直线垂直于于点E． (1)求的值． (2)求点E到y轴的距离． (3)若点P是y轴上一点，当时，求点P的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)是射线上的动点． ①连接，若的面积与的面积相等，求点的坐标； ②过点作轴的垂线，交轴于点，若，求点的坐标． 9．如图，一次函数的函数图象与轴，轴分别交于点，．地 城 类型02 存在性面积相关 (1)若点为第三象限内一个动点，请问的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ (2)在（1）的条件下，试用含的代数式表示四边形的面积；若的面积是，求的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． (4)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的二分之一时，求出这时点的坐标． 13．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 14．如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点． ①求的面积； ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的2倍，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 15．如图，直线分别与x轴，y轴相交于点B和点，与交于点，点M在直线上． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 16．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，直线与轴交于点，两直线交于点，且点的坐标为． (1)_____； (2)求四边形的面积； (3)点为直线上一点，且的面积等于四边形的面积，求的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．地 城 类型03 存在性三角形相关 (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，直线与轴、轴分别交于点，，． (1)求点的坐标和的值． (2)若是第一象限内的直线上的一个动点，当的面积是时，轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知函数的图像与坐标轴的交点分别为A、B，点C与点B关于轴对称，动点P、Q分别在线段上（点P不与点B、C重合），且． (1)点A的坐标为_________ ，的长为 _________； (2)判断与的大小关系，并说明理由； (3)当为等腰三角形时，求点P的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点，，且经过点，连接． (1)求该直线的函数表达式． (2)求点到直线的距离． (3)动点从点出发，沿方向向终点运动，连接，当为直角三角形时，直接写出的长． 22．如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，连接，，点是线段上的一动点． (1)______；______； (2)求的面积； (3)将沿直线翻折，点的对应点为，若为直角三角形，求线段的长． 23．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求出点、点的坐标及的值； (2)在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． (3)若点为轴上的一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 24．如图，已知直线：经过点，交轴于点，交轴于点，直线交直线于点，点到轴的距离为． (1)求直线的函数表达式和点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A、C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位长度，得到平行四边形，其中边与x轴交于点G，边与交于点H．地 城 类型04 存在性四边形相关 (1)请直接写出点N，M的坐标以及直线的表达式__________． (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形，请求出重叠部分的面积． (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使以点O、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点分别是的中点，的外角平分线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)是否存在这样的值，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出此时四边形对角线的交点坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，连接与y轴相交于点已知矩形的边的长是一元二次方程的两个根，且． (1)求直线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)若点M是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 31．如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴、轴分别交于点、． (1) ； (2)求点的坐标； (3)若点在轴上，则在直线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图1，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)求和的值； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 33．如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”．地 城 类型05 存在性最值相关 【问题发现】（1）如图1，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点O，是“对称线”，若，，则四边形的面积是______． 【问题探究】（2）如图2，四边形是“对称四边形”．是“对称线”， ，P，Q分别为线段，上的动点．求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段和x轴正半轴上的动点，连接，，点M是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时所在直线的表达式；若不存在，请说明理由． 34．阅读以下材料，完成问题． 如图1，在中，，若已知的对边与邻边的比值，则可得到的度数．如：若，则；若，则． (1)小试牛刀：如图2，在中，，，，则___________； (2)问题探究：如图3，在中，，，，，点是线段上一点，求的最小值； (3)问题解决：如图4，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点、，点，点为直线上的动点，以为边在其下方作等边．连接、，那么是否存在最小值，若存在求出其最小值及此时点的坐标，若不存在请说明理由． 35．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 36．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 37．已知，四边形是正方形，，D是x轴上一点，以D为直角顶点向右侧构造等腰直角三角形，设点D的坐标为． (1)如图1，点E的横纵坐标之间是否满足某种函数关系？若有请写出并证明，若无请说明理由． (2)如图2，若点D是线段上一点（不与O、A重合）且与交于点F，连接请判断线段，，的数量关系并证明． (3)如图3，若点G，H分别是线段，的中点，连接，，是否存在最小值，若存在请求出最小值时点D坐标，若不存在请说明理由． 38．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点两点． (1)求直线的解析式； (2)点为y轴上一点，D为x轴上一点，直线上是否存在点E，使得以点D、E、C、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)P、Q是直线上的一条动线段，（P在Q的下方）且，点，连接，是否存在最大值，若存在，求出这个值，若不存在，请说明理由． 39．如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点分别在x轴、y轴上，其中C，D两点的坐标分别为(4，0)，(0，-3)．两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，点Q以每秒2个单位的速度沿线段CD向终点D运动，设运动的时间为t秒． (1)求菱形ABCD的高h和面积S的值； (2)当点Q在CD边上运动时，t为何值时直线PQ将菱形ABCD的面积分成1：2两部分； (3)设四边形APCQ的面积为y，求y关于t的函数关系式(写出t的取值范围）；在点P、Q运动的整个过程中是否存在y的最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由． 40．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $