第十五章 轴对称 培优专题 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以分类讨论、辅助线构造、路径优化为核心方法体系，构建从等腰三角形性质到综合应用的知识逻辑链，突出轴对称工具性，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分类讨论思想|8题|腰与底/底角与顶角/形状/个数分类，结合三角形三边关系与内角和|从元素分类到图形存在性，强化逻辑严谨性| |辅助线作法|7题|角平分线构造全等、倍角截长补短、特殊角构直角三角形|基于轴对称性质，实现已知条件转化与图形补全| |最短路径问题|12题|对称变换（两定一动/两动一定）、平移法（造桥选址）|运用轴对称转化路径，建立“化折为直”模型观念| |教材难题生长|4题|等边三角形性质迁移、图形平移与全等判定|从教材母题拓展变式，深化知识内在联系| |全国视野特训|6题|多解分类、旋转构造、动态几何分析|融合各地中考题型，提升综合解题与创新意识|

第十五章 轴对称 培优提升专题1 等腰三角形中的分类讨论思想 类型1 对腰与底进行讨论 1.(2026河南模拟)若一个等腰三角形的两边长分别为3cm,7 cm,则该三角形的周长是 . 2.已知等腰三角形的三边长分别为a,3a-2,7a-5,求这个等腰三角形的周长. 类型2 对底角与顶角进行讨论 3.在等腰三角形 ABC 中,∠A =44°,则∠B 的度数是 . 4.在一个等腰三角形中，若一个内角是另一个内角的一半，求这个三角形底角的度数. 类型3 对三角形的形状进行讨论 5.如图,∠AOB=60°,OC 平分∠AOB,如果射线 OA 上的点 E满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC 的度数为( ) A.120° B.75°或120° C.30° D.120°或75°或30° 6.在△ABC 中,∠BAC =100°,∠ABC =3∠ACB,点 D在直线AB上,AD=AC,求∠BCD 的度数. 7.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形底角的度数. 类型4 对三角形的个数进行讨论 8.如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点 P(P在格点上)，使得△MNP 为等腰三角形，则这样的点 P有多少个?请画出来. 培优提升专题2 特殊三角形常见的辅助线的作法 类型1 利用角平分线构造等腰三角形 1.如图,已知在等腰直角三角形 ABC 中,AB =AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF 交BF 的延长线于点D,求证:BF=2CD. 2.(2026佛山月考)如图,D为△ABC 内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD;若BD=1,BC=3,求线段AC 的长. 类型2 利用倍角关系构造等腰三角形 3.如图,在△ABC 中,∠B =2∠C,AD 是高,BD =2,CD=7,求AB 的长. 4.如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B, CD平分∠ACB 交AB于D,求证:AC +AD=BC. 类型3 借助特殊角构造含30°角的直角三角形 5.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠B=∠C=15°,则△ABC 的面积为 . 6.如图,在△ABC 中,AB=BC,∠ABC =120°,E 是线段AC 上一点,连接 BE 并延长至 D,连接CD,若∠BCD=120°,AB=2CD,AE =7,则线段CE 的长为 . 7.如图,在△ABC 中,AD 为中线,AD⊥AC,∠BAD =30°,AB=3,求AC的长. 培优提升专题3 最短路径问题 类型1 两定一动型(异侧/同侧) 1.(跨学科融合)(2026广州期中改编)在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点 P，向两个小区铺设电缆.下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是( ) 2.(2026 惠州期末)如图，在4×4的正方形网格中，直线a外有A，B两点.在直线a上求一点 P，使PA+PB 最短，则点 P 的位置应选在点 处.(填图中的字母) 3.尺规作图：如图，已知直线l及其两侧两点A，B. (1)在直线l上求一点Q，使到A，B两点的距离之和最短； (2)在直线l上求一点 P,使PA=PB. 4.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一固定点，P 是AC 上一动点，当PB +PE 的值为最小值时，请作出点P 的位置. 类型2 两动一定型 5.如图,在等边△ABC 中,AD 是BC 边上的高,若AD=4,点M,P 分别是线段AB,AD 上的动点,则MP+BP 的最小值为( ) A.4 B.6 C.2 D.3 6.(2026 齐齐哈尔期末)如图,已知∠AOB=50°,点 P为∠AOB 内部一点,点 M 为射线 OB、点 N 为射线OA上的两个动点，当△PMN 的周长最小时，求∠MPN的度数. 7.如图,∠AOB =30°,点 P 为∠AOB 内一点,OP =10,点M,N分别在OA,OB上,求△PMN 周长的最小值. 类型3 两动两定型 8.(跨学科融合)如图，牧马人从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 B 处，请画出最短路径. 9.如图,点 A,B 分别为∠MON 两边上的定点,在∠MON的两边ON,OM 上分别找两点 P,Q,使得AP+PQ+QB 最小(保留作图痕迹，不写作法). 10.如图,已知M,N分别是∠AOB 的边OA,OB 上的定点，若P 是线段 ON 上一动点，Q 是射线 MA 上一动点,∠AOB =20°,当 MP +PQ+QN 取得最小值时,求∠OPM+∠OQN的值. 类型4 两定点一定长型(造桥选址问题) 11.如图，A和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN,使从A 到 B 的路径AMNB 最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( ) 12.(跨学科融合)如图，园区入口A 到河的距离AE为100 米,园区出口 B 到河的距离BF 为200米,河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100 米的半圆形观赏步道(如图，C在D左侧)，游览路线定为A-C-D-B，问步道入口C 应建在距离E 多少米处，才能使游览路线最短? 培优提升专题4 教材难题生长题 教材难题 【例1】(人教8上P86 综合运用)(几何直观、推理能力、模型观念)如图，P，Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC 的度数. 解题思路：根据等边三角形的性质，得∠PAQ=∠APQ =∠AQP =60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP=∠CAQ =30°,从而求解. 难题生长 1.如图,在△ABC中,MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC. (1)若△APQ 的周长为12,求BC 的长; (2)若∠BAC=105°,求∠PAQ 的度数. 2.如图1,P,Q是△ABC 的边BC上的两点,且△APQ为等边三角形,AB =AC. (1)求证:BP=CQ; (2)如图1,若∠BAC=120°,AP=3,则BC 的长为 ; (3)若∠BAC=120°,沿直线BC 向右平移△APQ 得到△A'P'Q'(如图2),A'Q'与AC交于点 M.当点 P移动到何处时,△AA'M≌△CQ'M? 证明你的结论. 教材难题 【例2】(人教8上P93综合运用)(几何直观、推理能力、模型观念)如图， 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC至 E,使CE=CD.求证:DB=DE. 解题思路：根据等边三角形的性质可知∠ACB=60°，再证明 ，即可得证. 难题生长 3.△ABC 是等边三角形,D 在射线AC上,延长BC至E,使CE=AD,连接DB,DE. (1)如图1,若AD=DC,求证：DB=DE; (2)如图2,当D在线段AC延长线上时,求证:DB=DE. 4.如图, 是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使(CE=CD.再过点A 作AF∥BC，交ED 的延长线于点F,EF 交AB 于 M,连接BF. (1)∠DBC= °,∠DEC= °; (2)①若EM=12,求 BD 的长; ②求证:AB 垂直平分DF. 培优提升专题5 全国视野培优特训 1.(2026湖北期末)如图,在△ABC中,∠BAC=100°,点D,E分别在边BC,AC上,且AB =AD=DE=EC.求∠C,∠ADE 的度数. C 2.(2026成都期中改编)综合与实践. 主题：研究旋转的奥妙. 素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍. 步骤：如图，将一根木棍AM放在等边三角形硬纸板APQ上，木棍一端A 与等边三角形的顶点重合，点M在PQ上(不与点 P,Q 重合),将木棍AM 绕点M顺时针旋转60°，得到线段MN，点A 的对应点为N，连接QN. 猜想与证明：(1)直接写出线段PM 与线段QN 的数量关系； (2)证明(1)中你发现的结论. 3.(2026 广西模拟改编)如图，点C在△ABE 的边BE上,且AB=AC,AB 的垂直平分线交AC于D,且AD=BC,CE=CD. (1)求∠BAC的度数; (2)求∠CAE 的度数. 4.(2026辽宁模拟改编)如图,在△ABC中,AB =AC,∠BAC=100°,BD 平分∠ABC,且 BD =AB,连接AD,DC. (1)求证:∠CAD=∠DBC; (2)求∠BDC 的度数. C 5.(2026 济南月考)【问题情境】在△ABC 和△DEC中,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°. 【初步探究】(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时,连接BD,AE,延长AE 交 BD 于点 F,则AE与BD 的数量关系是 ，位置关系是 ； 【类比探究】(2)如图2，当点A，C，D不在同一条直线上时，连接AE，BD，交点为F，(1)中结论是否仍然成立，为什么? 【衍生拓展】(3)如图3，在(2)的条件下，连接CF并延长交AD 于点 G，∠AFG的大小固定吗?若固定，求出∠AFG的度数；若不固定，请说明理由. 6.(2026合肥期末)如图,∠ABC=∠ADC=90°,AC与BD 相交于点 E,∠ABD=∠ADB. (1)求证:AC 垂直平分BD; (2)过点 B 作 BF∥CD 交 CA 的延长线于 F,如果AB=AF, ①求证：△BCD 是等边三角形； ②如果G，H分别是线段AC，线段CD上的动点，当GH+AH有最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH 与 CH 有怎样的数量关系. 第十五章 轴对称 培优提升专题1 等腰三角形中的分类讨论思想 1.17 cm 2.解:①当a=3a-2时,a=1, 此时三边长分别为1，1，2，不能围成三角形，舍去； ②当a=7a-5时, 此时三边长分别为能围成三角形， 周长为 ③当3a-2=7a-5时, 此时三边长分别为,,不能围成三角形，舍去. 综上所述，这个等腰三角形的周长为 3.68°或92°或44° 4.解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角是底角的一半时，设等腰三角形的顶角为x，则底角为2x，由题意得x+2x+2x=180°,解得x=36°,所以等腰三角形底角的度数为72°； 当等腰三角形的底角是顶角的一半时，设等腰三角形的底角为a，则顶角为2a，由题意得a+a+2a=180°,解得a=45°,所以等腰三角形底角的度数为45°. 综上所述，这个三角形底角的度数为72°或45°. 5. D 6.解:∵∠BAC=100°,∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°, ∵∠ABC=3∠ACB,∴∠ABC=60°,∠ACB=20°. ①如图1，当D在BA的延长线上时， ∵AD=AC,∴∠ACD=∠ADC, ∵∠ACD+∠ADC=∠BAC=100°,∴∠ACD=50°. ∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=20°+50°=70°; ②如图2，当D在AB的延长线上时， ∵AD=AC,∠BAC=100°, ∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=40°-20°=20°. 综上所述,∠BCD的度数是70°或20°. 7.解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图，AB=AC， 因为BD⊥AC,所以∠BDA=90°, 因为∠ABD=50°,所以∠A=90°-∠ABD=40°, 因为AB=AC,所以 当等腰三角形是钝角三角形时，如图，AB=AC， 同理∠DAB=90°-∠ABD=40°, 因为AB=AC,所以 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为70°或20°. 8.解:如图: 当MP=MN时,则点 P₁,P₂即为所求; 当NP=NM 时,则点 P₃即为所求; 当PM=PN时,则点 P₄,P₅即为所求. 综上所述，使得△MNP 为等腰三角形的点P有5个. 培优提升专题2 特殊三角形常见的辅助线的作法 1.证明：延长CD交BA 的延长线于点 T， ∵∠BAC=∠CDF=90°,∠AFB=∠CFD,∴∠ABF=∠ACT. 在△BAF 和△CAT中 ∴△BAF≌△CAT(ASA),∴BF=CT, ∵BD平分∠CBT,∴∠CBD=∠TBD, ∵∠CBD+∠BCD=90°,∠TBD+∠T=90°, ∴∠BCT=∠T,∴BC=BT, ∴DC=DT,∴BF=2CD. 2.解:延长BD交AC于点 E, ∵∠A=∠ABD,∴BE=AE, ∵BD⊥CD,∴BE⊥CD,∴∠BDC=∠EDC=90°, ∴∠BCD+∠EBC=∠ECD+∠BEC=90°, ∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ECD, ∴∠EBC=∠BEC,∴BC=CE, ∵BE⊥CD,∴BE=2BD, ∵BD=1,BC=3,∴BE=2,CE=3, ∴AE=BE=2,∴AC=AE+EC=2+3=5. 3.解:在CD上取一点E,使BD=DE=2, ∵CD=7,∴ CE=5, ∵AD⊥BC,∴AB=AE, ∴∠AEB=∠B=2∠C, ∵∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C, 4.证明：如图，在BC上截取EC=AC,连接DE. ∵∠ACB的平分线CD交AB 于点 D, ∴∠ACD=∠ECD, 在△ACD和△ECD中, ∴△ACD≌△ECD(SAS), ∴AD=DE,∠A=∠CED, ∵∠A=2∠B,∠CED=∠B+∠EDB, 5.4 7.解:如图,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点 E, ∵AD⊥AC,∴∠E=∠CAD=90°, ∵在△ABC中,AD为中线,∴BD=DC, 又∵∠BDE=∠CDA, ∴△BDE≌△CDA(AAS),∴BE=AC, 又∵在Rt△BAE中,AB=3,∠BAE=30°, 培优提升专题3 最短路径问题 1. A 2. C 3.解:(1)如图,连接AB,AB 与直线l的交点Q 即为所求. (2)如图，作线段AB的垂直平分线MN，直线MN与直线l的交点P 即为所求. 4.解:如图,连接DE,DE与AC的交点即为点 P. 5. A 6.解：如图，作点P关于OB的对称点E，作点P 关于OA 的对称点F,连接EF,分别交OB,OA 于点M,N,连接OE,OF,OP,PM,PN, ∴EM=MP,∠OEM=∠MPO,∠EOM=∠MOP,PN=FN,∠OPN=∠OFN,∠PON=∠NOF, 此时，△PMN的周长最小， 又∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF,∠AOB=∠MOP+∠PON,∴∠EOF =2∠AOB, 又∵∠AOB=50°,∴∠EOF=100°, ∴在△EOF 中,∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°, ∴∠OEM+∠OFN=180°-100°=80°, ∵∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN, ∴∠MPO+∠OPN=80°, 7.解:如图,分别作点 P 关于OA,OB 的对称点 P₁,P₂,连接P₁P₂,交OA于M,交OB于N,则△PMN的周长=P₁P₂,可得 故△PMN 周长的最小值为10. 8.解:如图,最短路径AQ+QP+PB 即为所求. 9.解:如图,P,Q 即为所求. 10.解:如图,作点M 关于OB 的对称点 M',点N关于OA 的对称点 N',连接 M'N'与OB,OA 分别交于点 P,点 Q,连接 ∵MP+PQ+QN=M'N',此时MP+PQ+QN的值最小,由对称性可知， 又∠OPM'=∠AOB+∠OQP=∠AOB+(180°-∠OQN'),∠AOB=20°,∴ ∠OPM'=200°-∠OQN',∴∠OPM+∠OQN=∠OPM'+∠OQN'=200°. 11. D 12.解:如图,将BF向FE方向平移100 米到B₁F₁, 则 米， 米， 300米,延长AE到A₁,使 米,连接A₁B₁,交EF于C,则C 即为所求作的点. 延长BB₁交A₁A的延长线于H,则A₁H=300米,BH=EF=400米, 是等腰直角三角形,∴∠HA₁B₁=45°,又 米，步道入口 C 应建在距离E100 米处，才能使游览路线最短. 培优提升专题4 教材难题生长题 教材难题 【例1】解:∵BP=PQ=QC=AP=AQ, ∴△APQ 是等边三角形, ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°,∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ. 又∵∠BAP+∠B=∠APQ,∠C+∠CAQ=∠AQP, ∴∠BAP=∠CAQ=30°. ∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=30°+60°+30°=120°. 【例2】证明:∵△ABC是等边三角形,BD是中线, ∴ ∠ABC=∠ACB=60°,BD平分∠ABC, ∵CE=CD,∠CDE+∠E=∠ACB=60°, ∴∠CBD=∠E=30°,∴ DB=DE. 难题生长 1.解:(1)∵MP和NQ 分别垂直平分AB和AC, ∴AP=BP,AQ=CQ, ∴△APQ 的周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC, ∵△APQ的周长为12,∴BC=12. (2)∵AP=BP,AQ=CQ, ∴∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ, ∵∠BAC=105°, ∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-105° =75°, ∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=105°-75°=30°. ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD, ∵△APQ 为等边三角形,AD⊥BC, ∴PD=QD, ∴BD-PD=CD-QD,即BP=CQ. (2)9 (3)解:当点 P 移动到 BC 的中点,即 P'为 BC 的中点时,△AA'M≌△CQ'M,证明如下: 由平移的性质可知,PP'=AA'=QQ',AA'∥BC, ∴∠C=∠MAA', 当P'为BC的中点时,BP'=CP', 由(2)可得,PB=QC=PQ, ∴ BP'-PB=CP'-QC, ∴点Q'为QC的中点, ∴Q'C=QQ'=AA', 又∠AMA'=∠CMQ', ∴△AA'M≌△CQ'M(AAS). 3.证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠BCA=60°,∵AD=DC,∴BD平分∠ABC,∴∠CBD=30°, 又∵AD=CE,∴CD=CE,∴∠CDE=∠CED, 又∵∠CDE+∠CED=∠BCD,∴2∠CED=60°, ∴∠CED=30°=∠CBD,∴ DB=DE. (2)如图,过点D作DF∥AB交BE于F, 则有∠CDF=∠A,∠CFD=∠ABC, ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°,BC=AC=AB, ∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF, ∴△CDF为等边三角形,∴CD=DF=CF, 又∵AD=CE,∴AD-CD=CE-CF, ∴AC=EF,∴BC=EF, ∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°,∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°,∴∠BCD=∠EFD, 在△BCD 和△EFD中, ∴△BCD≌△EFD(SAS), ∴DB=DE. 4.(1)30 30 (2)①解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°, 由(1)知,∠DBC=∠DEC=30°, ∴∠BME=180°-∠ABC-∠DEC =90°,∠MBD =30°,BD =DE, ∵EM=12, 解得BD=8. ②证明:∵AF∥BE,∴∠AFD=∠CED, ∵BD是△ABC的中线,∴AD=DC, ∵∠ADF=∠CDE,∴ △AFD≌△CED, ∴AF=CE=CD=AD,DF=DE, ∵由(1)得BD=DE,∴ DF=BD. ∵∠DBE+∠E=60°, ∵△BDF是等边三角形,∴BF=BD, ∵AF=AD,∴AB垂直平分DF. 培优提升专题5 全国视野培优特训 1.解:设∠C=x, ∵ED=EC,∴∠EDC=∠C=x, ∴∠DEA =∠C+∠EDC=2x, ∵DA=DE,∴ ∠DAE=∠DEA=2x, ∴∠ADB=∠C+∠DAE=3x, ∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=3x, ∵∠BAC=100°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=80°, ∴3x+x=80°,∴x=20°, ∴∠C=∠EDC=20°,∠ADB=3x=60°, ∴∠ADE=180°-∠EDC-∠ADB=100°, ∴ ∠C 的度数为20°,∠ADE的度数为100°. 2.(1)解:PM=QN. (2)证明:连接AN. 由题意可知,∠AMN=60°,AM=MN, ∴△AMN是等边三角形,∴AM=AN,∠MAN=60°. ∵△APQ是等边三角形,∴AP=AQ,∠PAQ=60°, ∴∠PAQ=∠MAN=60°, ..∠PAQ-∠MAQ=∠MAN-∠MAQ, 即∠PAM=∠QAN. 在△APM 和△AQN中 3.解:(1)设∠BAC=x,∵AB的垂直平分线交AC于D, ∴ DA=DB,∴∠DAB=∠DBA=x, ∵AD=BC,DA=DB,∴BC=DB, ∴∠BDC=∠BCD=∠DAB+∠DBA=2x, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2x, 则x+2x+2x=180°,解得x=36°, 即∠BAC的度数为36°. (2)连接DE,由(1)可得,∠ACB=72°,∠DBC=36°, ∵CE=CD, ∴DB=DE, 又DA=DB,∴DA=DE, 4.(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=100°, ∴∠ABC=∠ACB=40°. ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=20°. (2)解:如图,延长AD 到点E,使得AE=BC,连接CE, ∵BD=AB=AC,∠DBC=∠CAD,BC=AE, ∵△DBC≌△CAE, ∴CD=CE,∠BDC=∠ACE,∴∠CDE=∠CED,设∠CDE=∠CED=α, ∵∠ADB=80°,∠CAD=20°,∴ ∠BDE=100°, ∴∠BDC=∠ACE=100°+α, ∴在△ACE中,20°+100°+α+α=180°,∴α=30°, ∴ ∠BDC=100°+30°=130°. 5.解:(1)AE=BD AE⊥BD (2)(1)中结论仍然成立.理由如下： 如图， ∵∠ACB=∠ECD,∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD,∴∠BCD=∠ACE, 在△ACE和△BCD中, ∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠1=∠2,AE=BD, ∵∠3=∠4,∴∠BFA=∠BCA=90°, ∴AE⊥BD. (3)∠AFG的大小固定.理由如下： 如图,过点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别为M,N, ∴ CM=CN, ∵CM⊥BD,CN⊥AE,∴FC平分∠BFE, ∵AE⊥BD,∴∠BFE=90°, ∴∠EFC=45°,∴ ∠AFG=45°. 6.(1)证明:∵∠ABD=∠ADB,∠ABC=∠ADC=90°, ∴AB=AD,∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB, ∴A在BD的垂直平分线上,∠CBD=∠CDB, ∴CB=CD,∴C在BD的垂直平分线上, ∴AC垂直平分BD. (2)①证明:如图,设∠F=α, ∵∠BAC 是△ABF的外角,∴∠BAC=∠F+∠ABF=2α, 由(1)知AC⊥BD,CB=CD,∴∠BCE=∠DCE, ∵BF∥CD,∴∠F=∠DCE,∴∠F=∠BCE=α, ∵ ∠ABC=90°,∴ ∠BCE+∠BAC=90°, 即α+2α=90°,解得α=30°,∴∠DCB=2∠BCE=60°, ∵BC=CD,∴△BCD是等边三角形. ②解:如图,延长AD至A',使DA'=AD, ∵CD⊥AD, ∴A 与A'关于CD 成轴对称,过A'作A'G⊥AC于G,交CD 于H,连接AH, 此时GH+AH有最小值， 由①知∠DCE=30°,即∠GCH=30°, ··A'G⊥AC,即GH⊥CG, .在Rt△GCH中,∠GCH=30°,∴CH=2GH, .. GH+AH有最小值时,GH与CH的数量关系是CH=2GH. 1 学科网（北京）股份有限公司 $