专题10 轴对称相关 选择填空压轴题分类训练（ 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形轴对称与折叠问题，分5类40题系统训练，从最值、动点到综合应用，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |轴对称相关最值问题|8题|利用轴对称转化线段和求最小值|轴对称性质→等边/直角三角形性质→最短路径模型| |轴对称相关动点问题|8题|双动点运动中直角/等边三角形存在性|动点坐标表示→分类讨论→方程思想解决动态问题| |轴对称相关综合性问题|8题|多结论判断，涉及角平分线、中垂线等|轴对称性质→三角形全等/相似→多结论推理验证| |轴对称相关折叠问题|8题|多次折叠后线段长度/面积计算|折叠性质（全等、对称）→图形变换→空间想象与计算| |用字母表示角|8题|折叠后角的数量关系推导|三角形内角和→折叠角等量关系→代数化表示角|

专题02 三角形相关折叠问题分类训练 （6种类型36道） 专题目录 【类型1 轴对称相关最值问题】 1 【类型2 轴对称相关动点问题】 3 【类型3 轴对称相关综合性问题】 5 【类型4 轴对称相关折叠问题】 7 【类型5 用字母表示角】 9 【类型1 轴对称相关最值问题】 1．如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 2．如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．的最小值是4 D．的最大值是4 4．如图，在中，，其面积等于36，的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点．点在线段上，则周长的最小值为（   ） A．6 B．10 C．15 D．16 5．如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，点G为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 7．如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接，且，在上找一点，则的最小值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，已知，点分别在上，且，点P为上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【类型2 轴对称相关动点问题】 9．如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 10．如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当___ 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当___时，是直角三角形． 11．如图，在中，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若、同时分别从、出发经__________秒时，为直角三角形． 12．如图，在中，，动点从点A出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以以的速度同时出发．设运动时间为在运动过程中，的形状不断发生变化，当______时，是直角三角形． 13．如图，在中，，，，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为（单位：）．当为________时，是直角三角形． 14．如图，是等边三角形，E、D分别为边上两动点，且，连接交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当，时，的值为________． 15．如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为___________． 16．如图，在中，，，，有一动点E自点A向点B以的速度运动，动点F自点B向点C以的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发．出发______s时，为等边三角形；出发______s时，为直角三角形． 【类型3 轴对称相关综合性问题】 17．如图，已知，，的中垂线交于点、交于点．下列结论：①是的平分线；②是等腰三角形；③．正确的结论有几个（     ） A． B． C． D． 18．如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 20．如图，，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 21．如图所示，已知和都是等边三角形，A，B，D在一条直线上．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形，⑤，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 22．如图，是的高，，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，，延长交于点，下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（   ） A．①②④ B．①③ C．①④ D．①③④ 23．如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，在中，，，分别为、边上的高，、相交于点，下列结论：①；②；③；④若，则、正确的结论序号是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【类型4 轴对称相关折叠问题】 25．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；E、F分别为、上一点（不含端点），，沿折叠纸片，使三角形折叠后能盖住D点，则长的取值范围是______． 26．如图，小明同学将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，，则的面积为______． 27．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则________ ． 28．如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为___________°． 29．如图，将三角形纸片的折叠，使得点B的对应点落在直线上，折痕为，再将折叠，使得折叠后点C的对应点落在直线上，折痕为，此时可得，若，则的度数为 _______． 30．如图，在中，，将图形沿折叠，点落在上的点处，再将图形沿折叠，点落在上的点处，此时，则的度数为________ 31．如图，将长方形纸片先沿折叠，再沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则_______°． 32．如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接．若的面积为，，则的面积为________． 【类型5 用字母表示角】 33．如图，在中，，点、分别在、边上，连接、，将分别沿和折叠，点落在点处，连接，点恰好落在线段上，记为点，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 34．如图，在中，，为边上一点，连接，，将沿折叠至所在平面内的，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 35．如图，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，、都是以点F为直角顶点的等腰直角三角形，其中的斜边在的直角边上，已知点E在边上且满足，若，则的度数是（   ） A．α B． C． D． 36．如图，在中，，点为边上的一点，，将沿翻折到所在的平面，得，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 37．如图，点D在的边上，点E是点D关于的对称点，交于点F．（点G在AC右侧），且，交于点H．若，用含有α的式子表示的度数为（    ） A． B． C． D． 38．如图，中，，把沿线段折叠，使点落在点处，若，，则的度数（结果用含的式子表示）为（   ） A． B． C． D． 39．如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将纸片沿折叠，使得点A落在点M处，使得点B落在点N处，若，则的度数是（   ）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 40．如图，在中，点是的中点，过点作交延长线于点，点是线段上的一点，连接，若，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形相关折叠问题分类训练 （6种类型36道） 专题目录 【类型1 轴对称相关最值问题】 1 【类型2 轴对称相关动点问题】 9 【类型3 轴对称相关综合性问题】 19 【类型4 轴对称相关折叠问题】 30 【类型5 用字母表示角】 37 【类型1 轴对称相关最值问题】 1．如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【答案】D 【详解】解：如图，连接，， ∵在等边中， 是边上的高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵当时，的长最小， ∴， 即最小值为9.5． 故选：D 2．如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，由等边三角形的性质可得，，，即得，作点关于的对称点，连接交于，则，可得，即得的最小值即为线段的长，再证明是等边三角形即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是中线， ∵，，， ∵， ∴， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接交于，则， ∴ 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 3．如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．的最小值是4 D．的最大值是4 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：取中点K，连接，证明，得出，当时，最小，故，再根据含角的直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，取中点K，连接，则， ∵是等边的中线，， ∴，， ∵为边作等边三角形， ∴， ∴，即， ， ∴， ∴当最小时，最小，当时，最小， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 4．如图，在中，，其面积等于36，的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点．点在线段上，则周长的最小值为（   ） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，得到，，根据三角形的面积求出的长，根据周长，以及，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，点D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为15； 故选：C． 5．如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：B． 6．如图，在中，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，点G为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出三角形周长的最小值为是解题的关键． 连接，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵ 直线垂直平分线段， ， ∵点为边的中点，， ， 周长 ， 周长的最小值为， ∵，点为边的中点， ， ∵，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选B． 7．如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接，且，在上找一点，则的最小值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质、轴对称的最短路径问题，可证明点、关于对称，连接，则，则可证明当P、C、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：是等边三角形，是的中点， ，， 点、关于对称， 如图，连接，则， ∴， ∴当P、C、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 点是的中点， ，即都是等边三角形的高， ． 故选：A． 8．如图，已知，点分别在上，且，点P为上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小的问题，等边三角形的判定和性质，作点M关于直线的对称点，连接，得到，证明为等边三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：作点M关于直线的对称点，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 即的最小值为6； 故选：B． 【类型2 轴对称相关动点问题】 9．如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 【答案】 【分析】根据题意可得，；证明，得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； ∵，是的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 10．如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当___ 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当___时，是直角三角形． 【答案】 或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，过点C作于点D，根据等边三角形性质得，，，由此得当点P与点D重合时，是直角三角形，此时点P运动的路程为，由此可得点P的运动时间t；依题意得，，则，根据得当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，在中，根据得，则，由此解得；②当时，在中，根据得，则，由此解得，综上所述即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：过点C作于点D，如图1所示： ∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∵点P在边上运动， ∴ ∴当是直角三角形时，只能是； ∵于点D， ∴，， ∴当点P与点D重合时，是直角三角形， 此时点P运动的路程为：， 又∵点P运动的速度为， ∴此时点P运动的时间； ∵动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动， ∴， 又∵动点Q从点C出发，以的速度沿线段向点A运动， ∴， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图2所示： 在中，， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图3所示： 在中，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述：当或时，是直角三角形． 故答案为：；或． 11．如图，在中，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若、同时分别从、出发经__________秒时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】设运动时间为，分别表示出、长度，因为，分和两种情况，利用含角的直角三角形的性质列方程求出的值． 【详解】解：设经过秒时，为直角三角形． 速度，速度，， ，，． 情况一：当时， ， ， ， 解得； 情况二：当时， ， ， ， ， 解得． 综上或． 12．如图，在中，，动点从点A出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以以的速度同时出发．设运动时间为在运动过程中，的形状不断发生变化，当______时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质；分两种情况讨论：当时，当时，结合直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， 当运动时，，，， ∵是直角三角形， ∴或， ①当时， ， ， ， 即， 解得：； ②当时， ， ， ， 即， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形． 故答案为：或． 13．如图，在中，，，，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为（单位：）．当为________时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】根据题意求出，用含的代数式表示和的长，分和两种情况，利用含角的直角三角形的性质列方程求解 【详解】解：设运动时间为 由题意得：， ， 点从点向点运动， 当是直角三角形时，分两种情况讨论： ① 当时， 即 解得 ② 当时 即 解得 综上所述，当或时，是直角三角形． 14．如图，是等边三角形，E、D分别为边上两动点，且，连接交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当，时，的值为________． 【答案】// 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先证明，推出，，证明是等边三角形，求得，取的中点，连接，证明是等边三角形，求得，求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为___________． 【答案】6或 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据30度角所对的边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 为直角三角形，， 当时，则， ∴， ， 解得：； 当时，则， ∴， ， 解得：， 综上，当t的值为6秒或秒时，为直角三角形， 故答案为：6或． 16．如图，在中，，，，有一动点E自点A向点B以的速度运动，动点F自点B向点C以的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发．出发______s时，为等边三角形；出发______s时，为直角三角形． 【答案】 5 3或7.5 【分析】（1）设时间为x，表示出、、，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得； （2）分两种情况：①时，即可知，依据列方程求解可得；②时，知，依据列方程求解可得． 【详解】解：设出发时，是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴当时，是等边三角形， ∴，解得， ∴出发时，是等边三角形； 设出发时，是直角三角形， 此时分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∴， 即，解得； ②当， ∵， ∴， ∴， 即，解得， 综上所述，出发或时，是直角三角形． 【类型3 轴对称相关综合性问题】 17．如图，已知，，的中垂线交于点、交于点．下列结论：①是的平分线；②是等腰三角形；③．正确的结论有几个（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可计算出，由中垂线的性质可得，进而得到，再分别计算出和即可判断正确的结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线，故①正确， ∵是的外角， ∴，故③正确， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故②正确， 综上，正确的结论有3个． 18．如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由作图方法可知，垂直平分，平分，则，，再由等边对等角可推出，由角平分线的性质得到点E到的距离等于点E到的距离，结合三角形的面积公式可得，若成立，可得到，推出，但题目中并未给出这个条件，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分，平分， ∴，，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴点E到的距离等于点E到的距离， 设点E到的距离为h，则，故④正确； 若成立，那么， 又，， ∴， ∴，但题目中并未给出这个条件，故③错误； ∴正确的有①②④，共3个． 19．如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及线段垂直平分线的判定，首先根据等角对等边得出，再利用全等三角形的判定与性质逐一判断各个结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，只有当时，，题目未给出的度数，故不一定是等腰三角形，即错误； ∵，， ∴，即，即正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即正确； ∵，， ∴点、都在线段的垂直平分线上，即垂直平分，即正确； 综上所述，正确的结论有，共个． 20．如图，，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题意易得，，，然后可得，，过点作，则有，设，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵，分别是的内角和外角的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 过点作， ∵，分别是的内角和外角的平分线， ∴， ∴平分， ∴， 设， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④． 21．如图所示，已知和都是等边三角形，A，B，D在一条直线上．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形，⑤，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质及平行线的判定．通过等边三角形的性质和全等三角形的判定，逐步验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：∵与为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴是等边三角形，故④正确； ∴， ∴，故⑤正确， 综上所述，①②③④⑤结论全部正确． 故选：D． 22．如图，是的高，，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，，延长交于点，下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（   ） A．①②④ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，证，即可求证：，可判断④；根据④结论可得，，根据，得出，即，根据，得出，即可得，则，可判断①；根据等腰三角形的判定可得，根据三角形中线性质可得，证明，则，即可得，可判断③，无法证明，故②错误． 【详解】解：①∵为的高线， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ，故④正确； ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴，故③正确； 假设， ，， ，但题中不能证明一定等于， 不一定等于，故②错误； 故选：D． 23．如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 24．如图，在中，，，分别为、边上的高，、相交于点，下列结论：①；②；③；④若，则、正确的结论序号是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质．根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ， ， 为的中点， ， 为线段的垂直平分线， ，故④正确， 所以，正确结论的序号是：①③④， 故选：C． 【类型4 轴对称相关折叠问题】 25．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；E、F分别为、上一点（不含端点），，沿折叠纸片，使三角形折叠后能盖住D点，则长的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，含30度角直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，当折叠后，点C和点D重合时，连接，由折叠得到，，，，然后得到，得到，然后结合求解即可． 【详解】解：如图所示，当折叠后，点C和点D重合时，连接， ∵三角形纸片中，，， ∴ 由折叠得，，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵E为上一点（不含端点） ∴使三角形折叠后能盖住D点，则长的取值范围是． 故答案为：． 26．如图，小明同学将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质与角平分线的性质是解题的关键． 先根据折叠性质证明，再通过角平分线的性质得出，结合，利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点． ． ∵沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点， ，即平分． ，， ． ，由折叠知 ． ． 故答案为：． 27．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，根据折叠的性质，，，则可求出，过作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质求出，根据邻补角定义可求出，即可求解． 【详解】解：由折叠知：，，， ∴， 过作，则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 28．如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为___________°． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键． 分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当点在上时， 由折叠得， ， 那么此时，记与交于点G， ∴， ∵， ∴； 当点在上时， 由折叠知， 当点在上时，则， ∴， ∴， 综上：当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为或， 故答案为：或． 29．如图，将三角形纸片的折叠，使得点B的对应点落在直线上，折痕为，再将折叠，使得折叠后点C的对应点落在直线上，折痕为，此时可得，若，则的度数为 _______． 【答案】70 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键； 由折叠的性质可得：，求出，从而得出，即可推出，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：70． 30．如图，在中，，将图形沿折叠，点落在上的点处，再将图形沿折叠，点落在上的点处，此时，则的度数为________ 【答案】45 【分析】设，利用等腰三角形性质以及折叠得到，然后利用三角形外角性质列方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可知：， ， ， 又由折叠可知：， ， ， ， ， ， ， 解得， 则的度数为． 31．如图，将长方形纸片先沿折叠，再沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则_______°． 【答案】17 【分析】先证明，由平行线的性质得到，，由折叠的性质得到：，，，求出，由三角形内角和求出，由对顶角的性质得到，然后根据求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴，， ，， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ． 32．如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接．若的面积为，，则的面积为________． 【答案】 【分析】按照设，，继而得到，按底边比例分配面积，利用折叠的性质，解得和的面积，进而求得面积． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿过点的直线折叠该纸片，点的对应点落在边上， ∴，， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等， ∴和面积比等于底边比，即， ∵的面积为， ∴， 同理可得和面积比等于底边比，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【类型5 用字母表示角】 33．如图，在中，，点、分别在、边上，连接、，将分别沿和折叠，点落在点处，连接，点恰好落在线段上，记为点，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用折叠性质确定出等相关角的关系，通过角和差的互补关系，推导出，进而表示出以及，在中，利用两锐角互余列出关于的方程，由此求解即可． 【详解】设， 由折叠可知：，， ，， ，， ， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ． 34．如图，在中，，为边上一点，连接，，将沿折叠至所在平面内的，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，证明为等边三角形，可得，即可证明，从而推出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 将沿折叠至， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A 35．如图，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，、都是以点F为直角顶点的等腰直角三角形，其中的斜边在的直角边上，已知点E在边上且满足，若，则的度数是（   ） A．α B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质及角度的等量代换．连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，进而推出，证明，得到，，，从而得出的度数，再证明，得出，最终得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 36．如图，在中，，点为边上的一点，，将沿翻折到所在的平面，得，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用；如图，连接，根据折叠的性质可得，，，进而得出是等边三角形，求得，最后根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，将沿翻折到所在的平面，得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：B． 37．如图，点D在的边上，点E是点D关于的对称点，交于点F．（点G在AC右侧），且，交于点H．若，用含有α的式子表示的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用；根据轴对称的性质得出，，根据，可得，，根据等边对等角可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点是点关于的对称点， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 38．如图，中，，把沿线段折叠，使点落在点处，若，，则的度数（结果用含的式子表示）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据折叠的性质可得，结合易得，再证明，然后由三角形内角和定理可得，进而计算的度数即可． 【详解】解：∵把沿线段折叠，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 39．如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将纸片沿折叠，使得点A落在点M处，使得点B落在点N处，若，则的度数是（   ）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算，折叠的性质，列代数式，掌握角的和差计算，折叠性质是解题的关键． 根据折叠性质可得：即，由平角定义可得：，结合，即可得出，进而得出的度数，再根据即可求解． 【详解】解：根据题意，由折叠性质可得： 即， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：B． 40．如图，在中，点是的中点，过点作交延长线于点，点是线段上的一点，连接，若，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 在边上截取，连接，先证明，然后证明，再证明，可得为等边三角形，则，即可求解． 【详解】解：在边上截取，连接， ∵ ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：D． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $