第二十三章 数据分析与统计估计全章高频重点题型突破（五大高频+三大重难题型，专项训练）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 聚焦数据分析与统计估计，构建"概念理解-方法应用-综合突破"三阶训练体系，强化数据意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|16题型（含30+例题）|统计量计算（算术/加权平均、中位数、方差等）、数据决策、样本估计总体|从集中趋势到离散程度，构建完整统计量认知链| |核心提升|4压轴题型|复杂数据综合分析、统计量在实际问题中的深度应用|整合基础方法，解决多知识点交叉的复杂问题|

第二十三章 数据分析与统计估计全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 求一组数据的平均数 题型2 已知平均数求相关数据 题型3 利用平均数做决策 题型4 求加权平均数 题型5 运用加权平均数做决策 题型6 求中位数与众数 题型7 利用中位数、众数做决策 题型8 求四分位数 题型9 画箱线图 题型10 求方差 题型11 利用方差求相关数据 题型12 运用方差做决策 题型13 求离差平方和 题型14 离差平方和的应用 题型15 用样本所占百分比估计总体的数量 题型16 用样本的频数估计总体的频数 核心提升：重难题型归纳 题型1 平均数压轴题型 题型2 四分位数与箱线图压轴 题型3 方差压轴 题型4 数据分析与统计综合大题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 求一组数据的平均数 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·重庆南川·期末）数据2，3，4，5，6，这组数据的平均数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据算术平均数的定义，用数据总和除以数据个数即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据的总和为，数据个数为， ∴这组数据的平均数为． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）现有一组数据6，3，9，8，10，12，5，11，则这组数据的平均数是________________． 【答案】 【详解】解： ． ◆题型2 已知平均数求相关数据 4．（25-26八年级下·广东江门·期末）一组数据：、、、的平均数为8，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据平均数的定义列方程求解即可． 【详解】解： 一组数据、、、的平均数为， ， 整理得， 解得． 5．（2025·江苏盐城·二模）某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值．根据平均数×数量=总数可列关于x、y的等式，化简得出结果，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）若数据a，b，c的平均数是3，数据d，e的平均数是2，则a，b，c，5，d，e这组数据的平均数是____． 【答案】3 【分析】根据数据a，b，c的平均数是3，数据d，e的平均数是2，可以得到a＋b＋c的和d＋e的和，然后即可计算出数据a，b，c，5，d，e的平均数． 【详解】解：∵数据a，b，c的平均数是3，数据d，e的平均数是2， ∴a＋b＋c＝3×3＝9，d＋e＝2×2＝4， ∴a，b，c，5，d，e的平均数是：（a＋b＋c＋d＋e＋5）÷6＝（9＋4＋5）÷6＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用算术平均数的计算方法解答． ◆题型3 利用平均数做决策 7．（2026·贵州铜仁·模拟预测）某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】平均数越大成绩越好，方差越小数据波动越小，发挥越稳定，先找出平均数最大的同学，再在其中找出方差最小的同学即可． 【详解】解：∵要选择成绩好且发挥稳定的同学，平均数越大代表成绩越好， ∴根据表中数据可得，乙和丁的平均数最大，均大于甲和丙的平均数，因此只需从乙和丁中选择， 又∵方差越小代表发挥越稳定，乙的方差为，小于丁的方差， ∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求． 8．（25-26八年级下·广东广州·期末）某商场招聘一名员工，现有甲、乙两人竞聘．通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自的成绩（百分制）如下表所示． 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 70 50 80 乙 50 60 85 (1)商场对计算机、语言和商品知识分别赋权2、3、5，计算两名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？ (2)该商场员工月收入如下表，试计算该商场员工月收入的平均数；若用平均数来代表这个商场员工月收入的大致情况是否合理？请说明理由． 月收入/元 20000 18000 12000 8000 6000 5000 人数 1 2 4 5 7 6 【答案】(1)甲的平均成绩为69分，乙的平均成绩为分，应该录取乙； (2)该商场员工月收入的平均数为8640元，用平均数代表这个商场员工月收入的大致情况不合理，理由如下： 由表格可得，该商场总员工数为（人）， 所有员工月总收入为（元）， ∴月收入平均数为（元）， 该商场只有少数员工的月收入达到或超过8640元，大多数员工的月收入都低于8640元，平均数受极端高收入的影响较大，不能反映大多数员工的月收入水平， ∴用平均数来代表这个商场员工月收入的大致情况不合理． 【分析】（1）按照给定权重分别计算两名应试者的加权平均成绩，比较成绩大小，录取成绩最高者； （2）先根据加权平均数公式计算月收入平均数，再结合极端值对平均数的影响判断合理性． 【详解】（1）解：∵计算机、语言、商品知识的权重分别为，，， ∴甲的加权平均成绩为（分）， 乙的加权平均成绩为（分）， ， 乙的平均成绩最高，应该录取乙； （2）略 9．（2026·安徽合肥·三模）安徽合肥“人造太阳”（）实验装置的科研团队，为优化实验观测系统的操作便捷性，邀请75名不同领域的科研人员对系统操作界面进行“操作复杂度评分”（评分为整数，单位：分，分数越低表示操作越便捷），并将评分按以下六组整理，同时统计了各组对应的“操作耗时”（单位：分钟），部分信息如下： 组别 A B C D E F 分组 （复杂度评分） 人数 8 15 22 10 6 该组平均操作耗时 （分钟） 3 5 7 10 14 18 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求的值； (2)若以“复杂度评分的中位数对应的组”来代表整体操作复杂度水平，判断该中位数落在哪个组； (3)科研团队规定：若“平均操作耗时”不超过9分钟，则认定界面“操作高效”．请结合各组人数与对应平均耗时，计算这75名科研人员的平均操作耗时，并判断该界面是否达到“操作高效”标准． 【答案】(1) (2)中位数落在组（即组） (3)平均操作耗时约为分钟，该界面达到“操作高效”标准 【分析】（1）利用总人数等于各组人数之和，计算的值； （2）根据中位数的定义，确定75个数据的中位数是从小到大排列的第38个数据，通过累计频数判断中位数所在分组即可； （3）计算75人的平均操作耗时，与9分钟比较，判断是否符合“操作高效”标准． 【详解】（1）解：已知总人数为75，因此； （2）解：75个数据从小到大排列，中位数为第个数据， 累计各组人数：A组有8个，累计到B组共个，累计到C组共个，累计到D组共个， ， 第38个数据落在D组，即中位数落在D组； （3）解：计算总操作耗时： （分钟）， 平均操作耗时为（分钟）， ， 该界面达到“操作高效”标准． ◆题型4 求加权平均数 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 78 80 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 【答案】 【分析】根据加权平均数的计算方法，将三项测试成绩分别乘以对应的权重，求和即可得到总成绩． 【详解】解：根据题意，该应聘者的总成绩为： （分）． 11．（2022·陕西西安·模拟预测）夏良是一位有心的同学，他把自己八年级第一学期的数学质量检测成绩（单位：分）作了统计（如表）： 质量检测类型 平时 期中 期末 检测 检测 检测 检测 成绩 (1)计算夏良该学期数学平时质量检测的平均成绩； (2)如果学期总评成绩是按照图所示的权重计算，请计算出夏良该学期的数学总评成绩． 【答案】(1)分 (2)分 【分析】（1）利用平均数的定义求解即可； （2）利用加权平均数的定义求解即可． 【详解】（1）解：夏良平时四次检测成绩为， 则（分）， 答：夏良该学期数学平时质量检测的平均成绩为分； （2）解：（分）． 答：夏良该学期的数学总评成绩为分． 12．（2026·安徽·二模）为了解某辖区老人健康意识和锻炼习惯，随机调查了辖区内部分岁以上老人一个月在本小区健身设施上的锻炼情况，统计了一个月来他们的锻炼次数，并将调查数据加以整理： 组别 锻炼次数 频数 频率 请根据以上信息解答下列问题： (1)__________；__________； (2)补全频数分布直方图； (3)若，，，，，这六组数据的平均数分别为，，，，，，估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数． 【答案】(1)，； (2) 补全频数分布直方图，如图， (3)估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数是 ． 【分析】（）先求出调查人数，然后减去 组别人数即可求出，再除以即可求出； （）根据相应组别的人数，补全频数分布直方图即可； （）利用加权平均数即可求解． 【详解】（1）解：调查人数为：（人）， ∴ （人）， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）解： ． 所以估计该小区65岁以上老人一个月的平均锻炼次数是 ． ◆题型5 运用加权平均数做决策 13．（25-26八年级上·河南郑州·期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表： 项目 甲班的成绩（分） 乙班的成绩（分） 服装统一 95 90 进退场有序 90 85 动作规范 85 b 动作整齐 90 95 平均分 a 90 (1)表中a的值为___________；b的值为___________． (2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按 的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩； (3)你认为上面四项中，哪一项最重要? 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩最高? 【答案】(1)90，90 (2)甲班：89；乙班：91 (3)见解析 【分析】本题考查了平均数和加权平均数； （1）根据求平均数的公式即可求解； （2）根据求加权平均数的公式即可求解； （3）动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩． 【详解】（1）解：，，解得：； 故答案为：， （2）解：甲班：， 乙班： （3）解：动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩，则 甲班：， 乙班：， ∴乙班成绩更高； 14．（25-26八年级下·河北保定·期末）一家公司招聘英文翻译，对甲、乙两名应试者的听、说、读、写四项能力进行测试，成绩如下： 应试者 听 说 读 写 甲 85 75 85 75 乙 70 80 82 83 若将听、说、读、写的成绩按比例计分，则最终成绩更高的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据给定的权重，利用加权平均数公式分别计算甲、乙两人的最终成绩，比较大小即可得到结果． 【详解】根据加权平均数公式，计算得权重和为 . 甲的最终成绩为： ， ， ， ； 乙的最终成绩为： ， ， ； ， 甲的最终成绩更高． 15．（2025·山西吕梁·三模）五一期间，文旅团举办了“孝义·最爱妈妈的城市”活动，数百名志愿者“红马甲”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“红马甲”，必须经过层层考验，下面是志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）． 项目 语言能力 综合素质 形象礼仪 服务经验 甲 10 9 9 8 乙 9 7 10 9 (1)如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“红马甲”？ (2)如果语言能力、综合素质、形象礼仪、服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将入选？ 【答案】(1)甲将成为“红马甲” (2)乙将被录取，理由如下： 甲的平均分（分）； 乙的平均分（分） ∵， ∴乙将被录取． 【分析】本题考查了算术平均数和加权平均数，并利用算术平均数和加权平均数作决策，掌握算术平均数和加权平均数的计算公式是解题的关键． （）利用算术平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断； （）利用加权平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断； 【详解】（1）解：甲的平均分（分）； 乙的平均分（分）； ∵， ∴甲将成为“红马甲”． （2）略 ◆题型6 求中位数与众数 16．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图描述了某班10名学生对课后延时服务的打分情况，下列判断不正确的是（   ） A．打分的众数为4分 B．打分的平均数为3.2分 C．去掉一个最高分和一个最低分后，中位数和众数都不会发生改变 D．若该班有50名学生，估计打分为4分的有25人 【答案】D 【分析】本题考查扇形统计图，利用样本估计总体，平均数，众数和中位数，掌握计算方法是解题的关键．根据众数，中位数和平均数的计算方法解题即可． 【详解】解：由扇形统计图可知，打分为5分的百分比为， 从图中可知打4分的学生占比为，即打4分的人数最多，所以打分的众数为4分，故A选项正确； 打分的平均数为分，故B选项正确； 这组数据有10个（偶数个），所以中位数是第5、6个数的平均数，即分，去掉一个最高分和一个最低分后，中位数不会发生改变，故C选项正确； 若该班有50名学生，估计打分为4分的有人，故D选项不正确； 故选：D． 17．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）某校从八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分、2分、3分、4分这4个等级，并根据调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，则学生成绩的中位数是______，众数是______．    【答案】 3分 3分 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、众数、中位数等知识点，从统计图上获取所需信息是解题的关键． 根据中位数是处在中间位置的数，众数是出现次数最多的数即可解答． 【详解】解：由统计图可知：将成绩从小到大排列后处在第20、21位两个数都是3分，因此中位数是3分；抽取的所有学生成绩的出现次数最多的是3分，因此众数是3分． 故答案为：3分，3分． 18．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮次，投中一次计分．随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 成绩/分 4 3 2 1 0 频数 12 15 6 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出，的值和样本的众数； (2)若该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数． 【答案】(1)，，3分 (2)450名 【分析】本题考查扇形统计图、频数（率）分布表、众数、用样本估计总体． （1）用频数分布表中2分的频数除以扇形统计图中2分的百分比可得m的值，用总人数乘以3分百分比求出a的值，即可求出b的值，根据众数的定义即可求出众数； （2）根据用样本估计总体，用900乘以样本中超过2分的学生人数所占的百分比，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， 出现最多的是3分，故样本的众数为3分； （2）解（名）， 答：估计得分超过2分的学生人数有450名． ◆题型7 利用中位数、众数做决策 19．（24-25八年级上·山西晋中·期末）为了解学生的书写水平，为教师教学提供有针对性的参考依据，某区对各校初中学生的英语书写能力进行测评．其中某中学八年级随机抽取了50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 成绩（分） 频数 1 12 12 18 成绩在这一组的是（单位：分）：80，81，82，82，85，87，88，88，88，89，89，89，根据以上信息，回答下列问题： (1)这次成绩的中位数是__________分，成绩在这一组数据的众数为_____分． (2)这次成绩的平均分是84.4分，丽丽的成绩是85分．明明说：“丽丽的成绩高于平均分，所以丽丽的成绩高于一半学生的成绩．”你认为明明的说法正确吗？请说明理由． (3)若测试成绩不低于80分，则认定学生对英语书写能力优秀．若该校八年级学生共有800人，请估计该校八年级学生英语书写能力优秀的人数． 【答案】(1)86，88和89 (2)不正确， 理由如下： 丽丽成绩是否高于一半学生的成绩要与中位数86比较， 丽丽的成绩85分低于中位数86， 丽丽的成绩低于一半学生的成绩； (3)480人 【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可得到结论； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）根据样本估计总体即可． 本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，众数的定义以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】（1）这次测试成绩的中位数是第25，26个数据的平均数，而第25，26个数据的平均数为，所以这次成绩的中位数是86分， 成绩在这一组数据的众数为88和89分 （2）略 （3）（人）． 答：估计该校八年级学生英语书写能力优秀的人数有480人． 20．（25-26八年级下·广东广州·期末）某班有20名男生，老师为了解这些男生的体能情况，对20名男生进行体能测试，并对测试成绩（百分制，单位：分）进行了统计和分析： 数据收集： 100 89 79 81 60 79 83 64 78 87 76 79 91 71 77 79 72 75 86 73 数据整理： 对这20名男生成绩（用x表示）整理，老师规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀． 测试成绩 等级 不合格 合格 良好 优秀 频数 0 a 11 b 数据分析： 平均数 众数 中位数 79 c d 解决问题： (1)填空：________，________，________； (2)老师对本次测试数据分析以后，准备对成绩排在前一半的男生进行表扬．班上的男同学小林说：“我的测试成绩是78分，比平均数79低，所以肯定不会被表扬”，你认为小林的说法对吗？并请说明理由． 【答案】(1)，， (2) 解：小林的说法对，理由如下： ∵中位数为，小林的测试成绩是78分，小于中位数， ∴小林肯定不会被表扬， ∴小林的说法对． 【分析】本题考查的是数据的收集与整理，众数与中位数的含义，掌握基础的统计知识是解本题的关键． （1）整理数据可得，再根据众数与中位数的含义可得的值； （2）根据中位数的含义可得答案． 【详解】（1）解：∵100、 89、 79、 81、 60、 79 、83、 64、 78、 87 、76、 79、 91 、71、 77 、79 、72、 75、 86、 73， ∴排序后为：60 、64、 71、 72 、73、 75、 76、 77 、78 、79、 79 、79、 79 、81、 83 、 86、  87 、89 、91、 100， ∴有7人， ∴； ∵79出现的次数最多， ∴， 由排序后可得：； 故答案为：，，； （2）略 21．（2021·重庆·一模）4月，某校初2021级800名学生进行了一次政治测试（满分：50分）．测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息： 甲班20名同学的测试成绩统计如下： 41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47． 乙班20名同学的测试成绩统计如下： 组别 频数 1 1 6 9 其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，48，48，47，48，48． 甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 47.5 48.5 乙班 47.5 49 (1)根据以上信息可以求出：_____，_____，_____； (2)你认为甲乙两个班哪个班的学生政治测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）； (3)若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？ 【答案】(1)3，48，50 (2)甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大 (3)估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有380人 【分析】（1）根据题中数据和中位数、众数的定义求解即可； （2）根据甲乙两班的平均数、中位数和众数分析决策即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可． 【详解】（1）解：； 乙班成绩第10、11个数为成绩高于46，但不超过48分的成绩的较大的两个，为48，48． ∴； 将甲班20名同学的测试成绩按从小到大的顺序排列：41，43，43，44，45，47，47，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50， 甲班的测试成绩出现次数最多的是50，因此众数是50， ∴c＝50， 故答案为：3，48，50； （2）解：甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大； （3）解：（人）， 答：估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有380人． 【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数和众数的定义，并会利用这些统计量作决策是解答的关键． ◆题型8 求四分位数 22．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某支排球队队员身高情况箱线图如图所示，则该排球队队员身高的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据箱线图中从上到下的第二个数据为第三四分位数求解即可． 【详解】解：由箱线图知，该排球队队员身高的第三四分位数是． 23．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知一组数据从小到大排列为：1，2，3，5，6，7，8，9，10，14，15，18，则这组数据的第一四分位数为_______． 【答案】4 【详解】解：这组数据总个数个， 第一四分位数为前半部分的中位数，即第和第个数据的平均数，． 24．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为了让同学们铭记历史、缅怀先烈，弘扬伟大的爱国主义精神、伟大的抗战精神，某地区甲、乙两个学校举行了“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”知识竞赛，最后的决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了10名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙校：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查箱线图的运用． （1）根据四分位数的计算方法即可求解； （2）根据箱线图的画法作图即可求解； （3）根据箱线图数据分析即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共有10个数据， ∴中位数为， 前半段的数据：60，70，70，80，89， ∴， 后半段的数据：91，92，96，98，100， ， ∴，，； （2）解：如图所示： （3）解：根据箱线图和四分位数可知甲校成绩的中位数和乙校相同，但甲校成绩明显比乙校的波动大． ◆题型9 画箱线图 25．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）李老师根据期中考试的五科成绩，绘制了如下的箱线图．请你根据各科的统计图分析各科成绩情况． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了箱线图的解读，解题的关键是掌握箱线图． 通过这些工具直观地分析数据的分布特征即可． 【详解】解：由图知，语文最高分为92，最低分为60，成绩中位数为75，中位数接近箱体中心，说明成绩整体表现较为均衡． 英语最高分为98，最低分为70，成绩中位数为85，中位数接近箱体中心，说明成绩整体表现较为均衡． 数学最高分为100，最低分为61，成绩差异大，成绩中位数为70， 整体偏低，又上须极长，说明少数学生成绩突出，但大部分学生集中在低分段； 历史最高分为95，最低分为60，成绩中位数为86，中位数靠近箱体上部，下须较长，大部分学生集中在高分段； 地理最高分为100，最低分为70，成绩中位数为80，上须较长，说明少数学生成绩突出． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 【答案】(1)A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可) (2)A组有可能是青年组 【分析】本题考查了箱线图，能从箱线图获取信息是解题的关键． （1）观察箱线图，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群； （2）根据箱线图并结合实际情况即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可)； （2）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间比于B年龄段人群晚，而表青年人晚上休息时间普遍晚于老年人， 所以A组有可能是青年组． 27．（2025八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 【答案】(1)128；128 (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学 (3)甲班平均分较高 【分析】本题考查箱线图的相关知识，涉及平均数，中位数，上四分位数，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键．四分位数应用于统计学的箱线图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱线图中“箱体”的下底边对应数据为下四分位数，上底边对应数据为上四分位数，中间的线对应中位数． （1）根据箱线图得到学生分数的大致分布情况，即可得出答案； （2）根据箱线图的定义解答即可； （3）根据箱线图得到学生分数在128分以上的大致情况，即可作出判断． 【详解】（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． ◆题型10 求方差 28．（2022·河南信阳·模拟预测）有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 【答案】 【详解】解：根据题意得，． 29．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：小聪：8，8，7，8，9；小明：10，9，7，5，9 (1)填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 0.4 小明 8 9 3.2 (2)根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？ (3)如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差_____．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】(1) 填表如下： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 8 0.4 小明 8 9 9 3.2 (2) 理由：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定，故选则小聪参赛； (3)变小 【分析】本题考查求一组数据的众数、方差、中位数，利用平均数、方差作决策： （1）根据众数、中位数的定义求解； （2）利用平均数、方差作决策； （3）根据方差公式计算出新方差，与原方差比较大小即可． 【详解】（1）解：小聪5次成绩为，，，，， 故众数为：8， 小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10， 故中位数为：9 （2）略 （3）解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分， 方差变为：， 故答案为：变小． 30．（2025·广西南宁·三模）某城市推行“绿色出行”宣传活动，五位评审对甲、乙、丙三位宣传志愿者的表现进行打分，相关得分数据整理如下统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 9 a 乙 b 丙 c 8 根据以上信息，完成下列问题： (1)直接写出a，b，c的值， ______， ______， ______； (2)从三位选手中选一位进行表彰，你认为选谁更合适？请选择一个统计量进行说明； (3)如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的中位数记为d，判断d与b的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)；9； (2) 解：选择甲更合适，理由如下： 因为甲的平均数，中位数，都是三人中最大的，且方差是三人中最小的， ∴选择甲更合适； (3) 解；，理由如下： 去掉一个最高分和一个最低分之后乙3个得分为9分，9分，9分，此时中位数为9分，即，则． 【分析】本题主要考查了中位数，方差，平均数，熟知方差，中位数，平均数的计算方法是解题的关键． （1）根据平均数，中位数和方差的定义求解即可； （2）甲平均数和中位数都最大，且方差最小，据此可得结论； （3）根据中位数的定义求出d的值即可得到答案． 【详解】（1）解；由题意得，； 把乙5个得分按照从低到高排列为7分，9分，9分，9分，10分， ∴乙得分的中位数为9分，即； ； （2）略 （3）略 ◆题型11 利用方差求相关数据 31．（25-26八年级下·浙江台州·期末）为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据题意先求出乙的方差，再结合选项逐一验证甲的方差，即可得到满足条件的值． 【详解】解：∵乙的苗高为， ∴乙的平均数， ∴乙的方差． 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不满足，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，满足条件． 32．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 _____． 【答案】9 【分析】本题主要考查方差和众数，解题的关键是由计算方差的算式得出这组数据．由计算方差的算式得出这组数据为7、7、8、9、9、9，再根据众数的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为7、7、8、9、9、9， 所以这组数据的众数为9， 故答案为：9． 33．（25-26八年级下·福建泉州·期末）为响应“健康中国2030”行动，某校开展了为期五周的“每日步数达标打卡”积分活动．已知甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同，相关数据如下： 甲同学五次打卡积分统计表（单位：分） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 积分 33 35 34 36 乙同学五次打卡积分的方差计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是__________； (2)根据甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数和方差，判断谁的打卡表现更稳定，并说明理由； (3)如果甲同学再打卡一次，第六次积分为35分，与前五次相比，甲同学六次打卡积分的方差将__________（填“变大、变小”或“不变”）． 【答案】(1)37 (2)  ，         因为，， 所以， 因为甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同， 所以乙的打卡表现更稳定； (3)变小 【分析】（1）根据乙同学五次打卡积分的方差公式，可以得出乙同学五次打卡积分的平均数，再由甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同，可得甲同学五次打卡积分的平均数，求出a的值； （2）由于甲乙两人平均成绩相同，所以成绩的方差越小的成绩越稳定，算出甲成绩的方差与乙比较即可； （3）求出甲同学六次打卡积分的方差，即可． 【详解】（1）解：∵乙同学五次打卡积分的平均数为35，甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同， ∴甲同学五次打卡积分的平均数为35， ∴； （2）略 （3）解：甲同学六次打卡积分的平均数为， 所以甲同学六次打卡积分的方差为 ， 因为， 所以与前五次相比，甲同学六次打卡积分的方差将变小． ◆题型12 运用方差做决策 34．（25-26八年级下·河北张家口·期末）赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 【答案】D 【分析】从平均质量和方差两个维度依次筛选即可； 【详解】解：先比较平均质量，四个果篮平均质量：，丙和丁的平均质量最大， 满足“单果质量大”的要求，排除甲、乙， 再比较丙和丁的方差：，丁的方差更小，说明丁果篮的雪花梨大小更均匀， 因此应选丁果篮． 35．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，你认为选取________队参加决赛比较合适． 【答案】甲 【分析】方差越小，数据波动越小，身高越整齐，本题各队人数和平均身高均相同，只需比较方差大小即可得到结论． 【详解】解：∵，且四个队人数、平均身高都相同， ∴甲队的方差最小，身高最整齐，选取甲队参加决赛更合适． 36．（2022·吉林长春·模拟预测）从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人进行了五次模拟，并对成绩（单位：分）进行了整理，计算出，．绘制成如下尚不完整的统计图表． 甲、乙两人模拟成绩统计表 ① ② ③ ④ ⑤ 甲成绩/分 79 86 82 a 83 乙成绩/分 88 79 90 81 72 根据以上信息，解答下列问题： (1)________； (2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线； (3)已知．计算甲的成绩的方差，综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由． 【答案】(1)80 (2)表示甲成绩变化情况的折线如图所示： (3)，选拔甲参加比赛更合适， 理由：∵，，，．， ∴，， ∴甲的成绩比较稳定，故选拔甲参加比赛更合适． 【分析】（1）用总分减去已知分数可得a； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）根据方差公式求解甲的方差，再从平均数和方差进行分析即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）略 （3）解：． ◆题型13 求离差平方和 37．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）五位同学的实心球成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如下表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（     ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案④ 【答案】C 【分析】要让组内同学水平最接近，即组内数据波动最小，组内离差平方和越小，数据波动越小，先计算方案①的离差平方和，再比较四个方案的离差平方和，最小的即为最合理分组． 【详解】解：∵方案①第一组只有个数据，离差平方和为， 第二组数据为，第二组的平均数， ∴第二组的离差平方和为， ∴， 比较四个方案的组内离差平方和得 ， ∵组内离差平方和越小，组内同学成绩越接近，水平越一致， ∴方案③分组最合理． 38．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）有四名学生某次航天知识竞赛的成绩（单位：分）分别是，，，，现将这组数据分成和两组，则这种分法的组内离差平方和是________． 【答案】 【分析】分组为第一组，，第二组，，组内离差平方和为两组各自离差平方和的和，先计算每组平均数，再计算每组内数据与平均数差的平方和，相加得到结果． 【详解】解：计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和为：， 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和为：， 因此总组内离差平方和为． 39．（25-26八年级下·江西南昌·期末）5个城市冬季平均气温如下表： 城市 郑州 成都 南昌 广西 广州 平均气温 2 4 8 10 12 按气温由低到高的顺序，将它们分成两组共有4种方案，如下表： 方案 第一组 第二组 组内离差平方和 方案① {2} {4，8，10，12} 35 方案② {2，4} {8，10，12} ？ 方案③ {2，4，8} {10，12} 20.67 方案④ {2，4，8，10} {12} 40 (1)请计算出方案②的组内离差平方和． (2)为使得组内差异最小，应该选择方案____________． 【答案】(1) (2)② 【分析】（1）根据组内离差平方和的公式计算即可得出结果； （2）根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方案②的组内离差平方和为； （2）解：∵， ∴为使得组内之间差异最小，应该选择方案②． ◆题型14 离差平方和的应用 40．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）【活动背景】 李伟学习完了“数据的分组”这一节内容后有个疑问，明明一眼就能看明白如何划分两组，为什么要费这么大的力气算如此多的数据，于是他请教了信息技术老师．老师告诉他，工业、商业等领域有很多庞大的数据需要分组，但数据庞大到人几乎无法计算，于是就将分组的方法和规则通过编程做成分组模型嵌入到系统中，由系统来处理这些数据后直接给出结论，准确而迅速．而组内离差平方和最小原则就是系统中分组功能的核心模型（算法）． 【教材背景】 10个城市12月份的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示． 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温 3 3 10 21 22 12 9 17 (1)【任务1：求基本数据】 ①求出该组数据的众数； ②求出该组数据的中位数． (2)【任务2：根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，将10个城市分为两组】 将10个城市12月份的每日最高温度的平均数从小到大排列，得 ，，3，3，9，10，12，17，21，22， 信息技术老师利用系统中的分组功能，分别计算了9种情况的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），得到了一张表，如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 a 584.2 d 第2个间隔 32 380.9 412.9 第3个间隔 98.7 285.7 384.4 第4个间隔 132 158.8 b 第5个间隔 228.8 113.2 c 第6个间隔 308.8 62 370.8 第7个间隔 397.4 14 411.4 第8个间隔 562 0.5 562.5 第9个间隔 789.6 0 789.6 ①_________，_________； ②请直接写出最终城市的分组结果； (3)【任务3：跨学科拓展】 结合地理课所学知识，请你指出系统将城市划分为哪两类城市？ 【答案】(1)①3；② (2)①，342；②哈尔滨、呼和浩特、北京、石家庄一组，贵阳、上海、广州、海口、成都、昆明一组 (3)系统将城市大体上划分为北方城市和南方城市两类 【分析】（1）根据众数，中位数的定义求解即可； （2）①当组内只有1个数据时，离差平方和为0，即可得到a的值；组内离差平方和等于各组的离差平方和之和，即可得到c的值； ②观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此按第4个间隔分组； （3）根据地理知识解答即可． 【详解】（1）解：①这组数据中，3出现的次数最多，故众数是3； ②将这组数据从小到大排序为：，，3，3，9，10，12，17，21，22， 共有10个数据，处于中间的第5个和第6个数据分别为9，10，故中位数为． （2）解：①； ． ②∵， ， ， ∴当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小， ∴哈尔滨、呼和浩特、北京、石家庄一组，贵阳、上海、广州、海口、成都、昆明一组． （3）略 41．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）大连某饮品企业为优化生产管理、提升产品品质；针对旗下灌装生产线与合作代工厂开展数据统计分析，请结合所学知识解答下列问题： (1)甲、乙两条自动灌装线均灌装标准含量为的瓶装饮料，现从两条生产线上各随机抽取瓶产品，测量实际含量，结果（单位：）记录如下： 甲生产线： 乙生产线： 根据行业标准： 若单瓶饮料的含量误差（实际含量-标准含量）的绝对值超过，则判定该条灌装线的灌装质量不合格. 甲组误差/mL 乙组误差/mL ①请判断甲、乙两条灌装线的灌装质量是否合格，并说明理由； ②计算甲、乙灌装线被抽取的饮料实际含量的平均数和方差，分析哪条灌装线的灌装质量更好； (2)该企业有家合作代工厂，去年的年产值统计如表： 企业 产值/亿元 企业计划将这家代工厂按年产值的组内离差平方和最小的原则，把这家代工厂分为两组．请写出符合要求的分组方案． 小明的思路如下：将表中的数据按从小到大排序，可得，，，，，，将它们分成两组共有种分法，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和，结果如下表所示： 分组间隔 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 观察表中最后一列的组内离差平方和可以发现，当第 个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值．因此，按组内离差平方和最小的原则，分组方案为 ． 请补全小明同学的解题过程． 【答案】(1)①甲、乙两条灌装线的灌装质量都合格，理由如下： 从误差表可知，甲、乙两条灌装线的灌装质量误差的绝对值最大分别是、，两者都小于，因此甲、乙两条灌装线的灌装质量都合格；②，，，，甲灌装线的灌装质量更好； (2)，第一组：，；第二组：，，，． 【分析】（1）①从误差表可知，甲、乙两条灌装线的灌装质量误差的绝对值最大分别是、，两者都小于，即可判断；②根据平均数和方差的定义分别求出甲、乙两条灌装线的平均数和方差，再根据平均数和方差即可判断哪条灌装线的灌装质量更好； （2）对五种分组的组内离差平方和进行比较，选取数值最小的那一组，对应写出企业分组． 【详解】（1）①略 ②解：， ， ， 甲、乙灌装线的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲灌装线的灌装质量更好； （2）解：， 当第个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值． 根据产值的组内离差平方和最小的分法为第一组：，；第二组：，，，， 即第一组：，；第二组：，，，． 42．（25-26八年级下·陕西安康·期末）为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题．竞赛结束后，学校随机抽取了20名同学的答卷，他们答对的题数（单位：道）统计如下：2，4，6，7，8，9，10，10，10，11，12，13，13，14，15，15，16，17，18，20． 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组2人，乙组3人 m 方式二 Ⅰ组3人，Ⅱ组2人 (1)这20名同学答对题数的众数为_________道，中位数为_________道； (2)这20名同学中答对题数最少的5名同学打算一起分组学习航天知识，若按照答对的题数将他们分为2人组和3人组，现有以下两种分组方式，根据组内离差平方和最小的原则，应该采用哪种分组方式？ 【答案】(1)10， (2)应该采用方式一分组 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据离差平方和的定义求出方式一的组内离差平方和，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵答对10道的人数最多， ∴这20名同学答对题数的众数为10道； 把这20名同学答对题数按照从小到大的顺序排列，第10个数为11，第11个数为12， ∴这20名同学答对题数的中位数为； （2）解：方式一中甲组的平均数为（道），                 乙组的平均数为（道），                   甲组的离差平方和为，                   乙组的离差平方和为，                   方式一的组内离差平方和， ， 根据组内离差平方和最小的原则，应该采用方式一分组． ◆题型15 用样本所占百分比估计总体的数量 43．（2022·陕西·模拟预测）习总书记指出，“生态文明建设是关系中华民族永续发展的根本大计”“建设生态文明，关系人民福祉，关乎民族未来”．为全面贯彻可持续发展理念、践行“两山”理论、聚焦“双碳”目标、建设美丽中国，某校举行生态环境保护竞赛活动．竞赛试题一共有8道题，竞赛后发现所有参赛学生至少答对5道题，随机抽取部分学生的试题，对学生答对的题数量进行统计，并得到如下不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)求所抽取学生试题答对题数量的中位数、众数与平均数； (3)若参赛学生共有400人，请估计全部答对的学生有多少人？ 【答案】(1) (2)中位数是6道，众数是6道，平均数是6.3道． (3)估计全部答对的学生有40人． 【分析】（1）求出答对8道题的人数，补全条形统计图即可； （2）根据中位数、众数与平均数的定义求解即可； （3）用总人数乘以全部答对的学生所占的比例即可得出答案． 【详解】（1）解：这次调查一共抽查学生（名）， 答对8题的有（名）． （2）解：中位数是第10和11个数据的平均数，分别是6道，6道， 所抽取学生试题答对题数量的中位数是道， 出现次数最多的是6道， 所抽取学生试题答对题数量的众数是6道， （道）， 所抽取学生试题答对题数量的平均数是6.3道． （3）解：（人）， 估计全部答对的学生有40人． 44．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）为了解靖江市民对“垃圾分类”的知晓程度，数学兴趣小组设计了两种抽样调查方案： 方案一：设计好问卷，进入滨江学校附近的三个小区进行调查； 方案二：设计好问卷，利用假期到城区和农村多个社区进行调查． 数学兴趣小组用较科学的方案随机调查了若干人，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图：（其中“A．非常了解”“B．了解”“C．基本了解”“D．不太了解”）； (1)你认为最合适的调查方案是________； (2)随机调查了________人，扇形统计图中表示“A”的扇形圆心角为________°； (3)补全条形统计图； (4)估计在60万名市民中不太了解垃圾分类的人数为________万． 【答案】(1)方案二 (2)； (3)： (4) 【分析】（1）根据抽样调查样本需具有代表性、广泛性的原则判断； （2）根据A组的人数及占比得到调查总人数，再计算圆心角即可； （3）计算出B组的人数，再补全条形统计图即可； （4）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：最合适的调查方案是方案二； （2）解：A组有150人，占，则随机调查了（人）； 扇形统计图中表示“A”的扇形圆心角为； （3）解：B组有（人）， 补全条形统计图略 （4）解：根据题意得不太了解垃圾分类占， （万人）， 答：估计在60万名市民中不太了解垃圾分类的人数为6万人． 45．（2026·湖南永州·模拟预测）教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要试行》指出，学生要承担一定的家庭劳动．某学校为了解全校学生每月参与家庭劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为_____，图①中的值为_____，被调查学生每月参与家庭劳动的次数的统计中，众数和中位数分别为_____和_____； (2)求被调查学生参加家庭劳动次数的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参与家庭劳动的次数是7次的人数为多少？ 【答案】(1)，，7， (2)平均数是6.48； (3)估计该校学生每月家庭劳动次数是7次的人数为360人 【分析】（1）根据条形统计图求得总人数，即可求得，进而求得的值． （2）运用平均数的定义进行计算，即可作答． （3）根据样本估计总体进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可知， ， ，即， 每月参与家庭劳动次数中人数最多的是7次， 众数是7， 将这组数据按从小到大的顺序排列，第25、26个数据分别为6，7， 中位数是 ． （2）解： ， 被调查学生参加家庭劳动次数的平均数是6.48； （3） （人）， 答：估计该校学生每月家庭劳动次数是7次的人数为360人 ◆题型16 用样本的频数估计总体的频数 46．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）体育课上，老师对某班50名同学进行1分钟单摇跳绳的个数测试；体育委员将统计结果绘制成了如下的频数分布表与频数分布直方图： 频数分布表 组别 次数x 频数（人数） A 3 B 10 C 15 D a E 2 试回答下列问题： (1)表中____________，跳绳个数统计结果的中位数出现在____________组； (2)补全频数分布直方图； (3)若B组10人的成绩从小到大依次为：110，112，113，114，115，115，116，117，118，119，那么这组数据的第三四分位数是____________； (4)若1分钟跳绳数低于120则视为不合格，由此估计八年级全体1500名学生中，不合格的同学有多少人？ 【答案】(1)20；C； (2)； (3)； (4)不合格的同学有390人 【分析】（1）根据学生总数为50即可求出a，再根据中位数的定义求解即可； （2）根据（1）求出的数据补全统计图即可； （3）根据四分位数的求法求解即可； （4）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵将50个数据从小到大排列，中位数是第25个和第26个数据的平均数， 又∵A组：累计3人；B组：累计（人）；C组：累计（人）， ∴第25、26个数据都落在范围内， ∴中位数出现在C组； （2）略 （3）解：由题意得，B组10个成绩从小到大排列为， 解法一：∵， ∴第三四分位数为； 解法二：10个数据中的前半部分为：第个数据；后半部分为：第个数据， ∵第三四分位数是后半部分数据的中位数， ∴第三四分位数为； （4）解：由题意得，样本中不合格总人数为（人）， ∴八年级1500名学生中，不合格人数约为（人）， 答：不合格的同学有390人． 47．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）年月日，神舟二十三号载人飞船成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，现从七、八年级各随机抽取了名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：，，，，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，，，，； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校八年级有名学生，估计八年级可以获得奖励的学生人数为多少？ 【答案】(1)84，88 (2)八年级的成绩较好．理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数比七年级高，所以八年级的成绩较好． (3)八年级获得奖励的学生总人数为220人 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求解； （2）利用中位数和众数做决策； （3）利用样本频数估计总体频数． 【详解】（1）解：七年级的测试成绩从小到大排列后位于正中间的为第8位数， ∴； ∵八年级数据中出现的次数最多， ∴众数； （2）解：略； （3）解：（人）， 答：八年级获得奖励的学生总人数为220人． 48．（25-26九年级下·浙江舟山·开学考试）舟山人文积淀丰厚，历史文化悠久，是典型的港口城市．为了增进学生对舟山文化的了解，学校开展了一次普及宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校决定从全校1000名学生中随机抽取200名学生进行一次知识测试（注：测试满分100分，分数取整数），并根据这200人的测试成绩，制作了如下统计图表． 成绩a（分） 频数（人） 频率 10 0.05 30 n 70 0.35 m 0.25 40 0.20 (1) ， ； (2)补全频数分布直方图； (3)这200名学生成绩的中位数会落在 分数段； (4)如果80分以上（包括80分）为“优秀”，请估计全校1000名学生中，成绩为“优秀”的有几人． 【答案】(1)50；0.15 (2) (3) (4)成绩为“优秀”的有450人 【分析】（1）用200乘以的频率，即可求得m的值．用的频数除以200，即可求得n的值； （2）由（1）知，即可补全频数分布直方图； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用总人数乘以80分以上的频率，即可求解。 【详解】（1）解：，； （2）解：由（1）知，补全的频数分布直方图如图所示； （3） 解：将200名学生知识测试成绩从小到大排列，第100、101名的成绩都在分数段，中，因此这200名学生成绩的中位数会落在分数段； （4） 解： （人）， 即成绩为“优秀”的有450人． ◆题型1 平均数压轴题型 49．（2022·河南·模拟预测）在发生某公共卫生事件期间，某专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是：“连续14天，每天新增疑似病例不超过7人”．已知在过去14天，甲、乙两地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为2，方差为2； 乙地：中位数为3，众数为4和5． 请你运用统计知识对数据分析并判断：甲、乙两地是否会发生大规模群体感染？请说明理由． （方差公式：） 【答案】解：①甲地不会发生大规模群体感染， 理由如下： 由题意可知：样本容量，平均数为，方差为， 则由方差计算公式得：， 若甲地天中存在某一天新增疑似病例超过人，则最少为人， 由于， 所以没有一天新增疑似病例超过人， 故甲地不会发生大规模群体感染； ②乙地不会发生大规模群体感染， 理由如下： 由于样本容量， 所以中位数为中间两个数（即第，个数）的平均数， 因为中位数为，众数为和． 所以第，个数可能为，或，两种情况， 且和的个数只能都是三个， 若中间两个数为和， 则前面个数只能取，，这三个数， 从而有一个数至少出现三次， 于是这个数也是众数，不合题意； 若中间两个数都是， 因为众数为和， 所以较大的六个数恰好是和各有三个， 故这个数只能是： ，，，，，，，，，，，，，， 所以乙地不会发生大规模群体感染． 【分析】根据平均数和方差的意义分析甲地的情况，根据中位数、众数，分析判断乙地的情况，结合题意“连续14天，每天新增疑似病例不超过7人”进行判断，即可求解． 【详解】略 50．（2026·福建漳州·模拟预测）刘老师设计一些阳光课间活动，其中一项是定点投沙包，规则如下： 如图，四名同学站在同一起投线a上，每人前方一定距离处对应一个位于直线b上的圆圈，且．四名同学分别投掷沙包，共进行5局，每局的计分规则如下： ①若第一次投入圈中，则该局结束，得10分； ②若第一次未投入圈中，则继续投掷，直至投入圈中，每多投一次扣2分（比如前两次未投中，第三次投中，本局得6分）； ③每局每名同学最多可投5次，若第5次仍未投中，则该局得0分． 5 局结束后，累计得分最高者获胜． 四名同学5 局结束后的投圈次数条形统计图和统计表如下： 甲、乙每局投圈次数条形统计图 丙、丁每局投圈次数统计表 局次 一 二 三 四 五 丙每局投圈次数 5 m 3 1 2 丁每局投圈次数 4 x n 3 1 根据以上信息，解答下列问题． (1)当时，若乙、丁每局投圈次数的中位数相同，求n的值； (2)已知四名同学第二局投圈次数的平均数为3，求的值； (3)若丁5局投圈的总次数为 14次，甲同学说：“丁同学 5局累计得分最多是32 分．”请判断甲同学的说法是否正确，并结合计分规则说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)甲同学的说法正确，理由见解析 【分析】（1）根据中位数的含义求解即可； （2）根据平均数的含义求解即可； （3）先求解，根据计分规则得到每局的得分，进一步讨论即可． 【详解】（1）解：由条形图可得乙每局的投圈次数从小到大分别为，，，，，， ∴中位数为， 当时， 丁每局的投圈次数为：，，，，，其中为到的整数， ∵乙、丁每局投圈次数的中位数相同， ∴丁每局的投圈次数的中位数为， ∴或． （2）解：∵四名同学第二局投圈次数的平均数为3， ∴， 解得：． （3）解：∵丁5局投圈的总次数为 14次， ∴， ∴， ∵为到的整数， ∴或或或或， ∵第一次投入圈中得分，第二次投入圈中得分，第三次投入圈中得分，第四次投入圈中得分，第五次投入圈中得分，第五次没有投中得分； ∴结合统计图可得： 局次 一 二 三 四 五 丁每局投圈次数 4 x n 3 1 丁每局得分 4 6 10 ∴当时，丁的得分为：（分）或（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）或（分）； ∴甲同学说：“丁同学 5局累计得分最多是32 分．”说法正确． 51．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）在某次演讲比赛中，八个评委给选手健健打分，得到八个互不相等的分数，若去掉一个最高分，平均分为；若去掉一个最低分，平均分为；若去掉一个最高分与一个最低分，平均分为．则(        )． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义． 【详解】解：由题意可得，若去掉一个最高分，平均分为，则此时的一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为， 去掉一个最低分，平均分为，则此时的一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为， 故， 故选：A． ◆题型2 四分位数与箱线图压轴 52．（25-26八年级下·吉林延边·期末）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【分析】根据箱线图的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由箱线图可知，这组数据的下四分位数是4，原说法正确，不符合题意； B、由箱线图可知，这组数据的中位数为，原说法错误，符合题意； C、由箱线图可知，这组数据的上四分位数是15，原说法正确，不符合题意； D、由箱线图可知，这组数据的最小值为3，故被墨水污染的数据一个数是3；将已确定的数进行排序为3、4、4、4、7、10、11、15、15、17、18，设另外一个被污染的数为， 当时，中位数为，不符合题意； 当时，中位数为，不符合题意， 当，中位数为，符合题意， ，则下四分位数为（取排序后的前6个数，计算这6个数的中位数也是4），上四分位数为（取排序后的后6个数，计算这6个数的中位数也是15），满足题意； 当时，，排序后的第9个数字为15，第10个数字大于15，此时上四分位数大于15（取排序后的后6个数，计算这6个数的中位数也是大于15），不符合题意； 综上所述，，故另外一个被污染的数可以为13，原说法正确，不符合题意． 53．（25-26八年级下·广东云浮·期末）某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，，80，，95．（，且，为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求，，． (2)观察图中乙组比赛成绩的箱线图求，． 【答案】(1)，，； (2)或93、； 【分析】（1）根据四分位数的定义进行解答即可； （2）根据题意进行分析讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100         第一四分位数： 法一：，向上取整为第3个数据， ∴第一四分位数，         法二：∵甲组共有10个数据，第一四分位数为前5个数据的中位数， ∴第一四分位数， 第二四分位数： 法一：，为第5个数据， ∴第二四分位数，         法二：∵甲组共有10个数据，第二四分位数为第5个和第6个数据的平均数， ∴第二四分位数， 第三四分位数： 法一：，向上取整为第8个数据， 则第三四分位数； 法一：甲组共有10个数据，第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数， （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96         若在第4个位置，则中位数为，不符合题意；         若在第5个位置，则中位数为，即，由于， 不符合题意         若在第6个位置，则中位数为，即，         若在第7个位置，则中位数为，此时，         当时，乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时，乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； 54．（25-26八年级下·福建福州·期末）福州本土生鲜超市日渐增多，配送服务遍布全城．各大生鲜超市为提升同城配货效率，设立分拣、扫码、称重、打包四道连续工序作为全套流程，完成四道工序用时越少说明员工的业务水平越好．现对甲、乙、丙三家超市每超市名员工进行调研． 【数据统计】 数据随机抽取乙组名员工单人完成全套流程的用时（单位：分钟） 、、、、、、、、、 数据甲、乙、丙三家超市员工全套流程用时绘制了箱线图如下： (1)根据数据，箱线图中的值为________；比较三家超市完成全套工序耗时的集中趋势或离散程度，不难发现：________超市员工完成全套工序业务水平整体最好，________超市员工完成全套工序耗时离散程度最小．（填“甲”、“乙”或“丙”） (2)【深度分析】 为了让顾客更快收到货品，缩短出货耗时，各大超市都在努力提升超市配货效率．丙超市安排名员工采用流水接力作业模式，即每个员工负责一道工序并交接给下一个员工．默契的工序衔接，能省去每道工序单独启动准备的时间，因此四人流水接力总耗时，少于四道工序单独由一人完成所耗时之和．在员工训练过程中，店长发现平均每次交接工序节约时间（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，，并且道工序流水作业总用时满足此公式：名员工完成全套工序流水接力作业用时总和一名员工单独完成四项工序用时三次交接总节约时间． ①求关于的函数表达式； ②已知丙超市的A仓库一名员工单独完成四道工序用时为分钟，则该仓库名员工完成全套工序流水作业用时总和（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）之间的函数表达式为______________；（化简为的形式） ③丙超市B仓库一名员工单独完成四项工序用时比丙超市C仓库快7分钟，但由于员工培训时间太少，导致B仓库四名员工流水接力完成全套用时却比C仓库的流水接力用时慢分钟，且两个仓库的交接工序训练时长之和为小时．求B仓库交接工序训练时长． 【答案】(1)；丙；乙 (2)①； ②； ③B仓库交接工序训练时长为5小时 【分析】（1）箱线图：箱线图矩形框下方横线代表下四分位数，箱体总长判断数据波动；用时越少代表业务水平越好； （2）①一次函数：已知两组点直接代入列方程组求解析式； ②将①中解析式代入即可求得； ③先拆分“单人独立用时、流水节约用时、总流水用时”三层关系，再设未知数联立方程消元求解． 【详解】（1）解：数据1为乙组10名员工用时先从小到大排序：24.4，24.7，24.9，25.5，25.7，26，26.3，26.4，26.5，26.6， 共10个数据，箱线图矩形框下方横线代表下四分位数， 解法一：为前5个数的中位数，即为24.4，24.7，24.9，25.5，25.7的中位数，因此， 解法二：，所以为排序后的第3个数，因此； 业务水平越好，完成工序用时越少：丙箱线整体位置最低，用时最少，丙超市整体业务水平最好； 离散程度看箱线图箱体的总长度，长度越短数据越集中、离散程度越小：乙的箱线最短，乙超市耗时离散程度最小． （2）解：①设一次函数解析式： 已知两组对应值：；，代入得方程组： ， 解得，， 函数表达式：． ②公式：流水总用时单人独立总用时三次交接总节约时间， 单人独立用时26.4分钟，每次节约，三次共节约， 即， 将代入： ， 解析式：． ③设B仓库训练时长为，C仓库训练时长为， 训练时长和：， B单人独立用时比C快0.7分钟：， B流水总用时比C流水慢1.1分钟：， 对C：， 对B：， 代入列等式： ， 整理得， ， 解得，， 检验范围、均满足，符合题意． B仓库交接工序训练时长为5小时． ◆题型3 方差压轴 55．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示． 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 如下图所示，根据上表中甲、乙两地的气温数据计算出四分位数，并在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点，得出四个结论，其中表述正确的个数为（    ） ①甲、乙两地气温的中位数相同； ②甲地气温的波动明显比乙地的大； ③甲地约有的时刻的气温高于乙地的最高气温； ④甲地气温的第一四分位数明显大于乙地的． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】将甲、乙两地气温数据分别从小到大排序，利用四分位数的两种求法（解法一：取中位数法；解法二：百分比法）分别求出两地的、中位数、，再结合箱线图逐一判断四个说法的正误． 【详解】解：将甲地数据从小到大排列：9，10，11，12，13，14，16，16，18，21，21，23，24， 将乙地数据从小到大排列：11，12，13，14，15，15，16，17，17，18，19，20，21， 两地各有13个数据，中位数均为第7个数据， 甲地中位数，乙地中位数， 解法一（取中位数法）： 为奇数，去掉中位数（第7个数据）后分左右两半， 甲地左半部分（前6个）：9，10，11，12，13，14， 甲地， 甲地右半部分（后6个）：16，18，21，21，23，24， 甲地， 乙地左半部分（前6个）：11，12，13，14，15，15， 乙地， 乙地右半部分（后6个）：17，17，18，19，20，21， 乙地， 解法二（百分比法）： ， 的位置，向上取整为第4个， 的位置，向上取整为第10个， 甲地第4个数据为12，第10个数据为21， 甲地，， 乙地第4个数据为14，第10个数据为18， 乙地，， 说法①：甲地气温的中位数与乙地气温的中位数相同， 由上述计算知，两地中位数均为16， 说法①正确， 说法②：由箱图可知，甲地箱体比乙地箱体长， 甲地气温波动明显比乙地大，结论②正确； 说法③：乙地最高气温 = 甲地高于的数据：23，24 ，共2个， 总数据量 = 13，占比为，故说法③错误； 说法④：甲地气温的比乙地气温的大， 解法一：甲地乙地， 解法二：甲地乙地， 两种方法均有甲地小于乙地， 说法④错误， 综上所述，正确的说法有①②． 56．（25-26八年级下·甘肃天水·期末）甲、乙两班同学举行数学知识竞赛，竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 甲 45 83 86 82 乙 45 83 84 135 若再把这两班的成绩制作成箱线图，某同学综合分析以上统计表和统计图后得到如下结论： ①甲、乙两班学生的成绩箱线图的宽度相同； ②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀）； ③甲班成绩的离差平方和是3690． 上述结论中正确的是__________（填写所有正确结论的序号） 【答案】 ②③ 【分析】逐个分析三个结论，根据已知统计量的定义和性质判断结论是否成立. 【详解】解：①箱线图的宽度由成绩的极差（最大值减最小值）决定，题目仅给出平均数、中位数、方差，未给出两班成绩的最值，无法确定极差相同，因此箱线图宽度不一定相同，故①错误； ②两班参赛人数均为，排序后中位数是第个数据， ∵甲班中位数为，说明至少有个得分， ∵乙班中位数为，说明最多有个得分， ∴乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数，故②正确； ③根据方差的定义，， ∴甲班离差平方和，故③正确， 综上，正确结论为②③. 57．（25-26八年级下·云南昆明·期末）某班举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．若甲组和乙组人数相等，两组竞赛成绩的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲组成绩的波动明显比乙组的小 B．甲、乙两组成绩的第二四分位数相同 C．甲组约有的成绩高于乙组的最高成绩 D．甲组约有的成绩低于乙组的最低成绩 【答案】A 【分析】根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】由箱线图可知：甲组数据：最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值； 乙组数据：最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值， 对于A，甲组极差为，乙组极差为，且甲组箱体更长，说明甲组成绩波动比乙组大，故A说法错误； 对于B，甲、乙两组的中位数均为，即第二四分位数相同，故B说法正确； 对于C，乙组最高成绩为，甲组上四分位数为，根据定义甲组约有的成绩高于分，故C说法正确； 对于D，乙组最低成绩为，甲组下四分位数为，根据定义甲组约有的成绩低于分，故D说法正确． ◆题型4 数据分析与统计综合大题 58．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： (1)______，______，______，______； (2)补全条形图和扇形图； (3)______，______； (4)若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ (5)对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 【答案】(1)8；3；； (2)补全条形图和扇形图如下： (3)；230 (4)54人 (5)看法：分组数增加时，每个组内的数据量会变少，组内数据的相似度会提升，组内离差平方和会持续降低，但组数过多会让各组数据过于零散，无法体现立定跳远成绩的分布规律，掩盖不同水平群体的特征，还会大幅增加数据处理的冗余度，失去分组统计的实际意义； 根据这组立定跳远数据的特征，分为组‌最为合适，理由如下： 这组数据的分布存在明显的低分段（）、中低分段（）、中高分段（）、高分段（），4组可以清晰对应不同运动水平的群体，既保证每组内成绩接近、组内离差平方和足够小，也能直观呈现整体的成绩分布特征． 【分析】（1）根据表格数据计算即可； （2）结合（1）中的计算结果补全条形图和扇形图； （3）根据方差的定义和第三四分位数的定义计算； （4）利用样本估计总体的思想求解即可； （5）根据分组统计的意义解答． 【详解】（1）解：由表格数据可知，的有8人，的有3人， ∴，， ∵，， ∴，； （2）解：略 （3）解：方差； 20个数据从小到大排列：162 165 167 203 205 208 210 210 210 210 212 220 223 225 228 232 235 236 238 241， 后十位为212 220 223 225 228 232 235 236 238 241，则第三四分位数为（取中位数计算）：， ，则第三四分位数为（取百分数计算）：， ∴； （4）解：（人）， 答：估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有54人； （5）解：略 59．（2026·北京·一模）为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 (1)表中的值为_____，的值为_____； (2)丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； (3)根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据平均数和方差的定义计算出结果即可； （2）先求出丙选手的中位数为，根据丙选手有两轮的成绩为，可知丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； （3）根据排名的方法和丙选手获得第二名，分情况讨论确定性丙选手其余两轮成绩． 【详解】（1）解：由统计图可得甲选手五轮成绩为，，，，， 平均成绩（环）； 由统计图可得乙选手五轮成绩为，，，，，由统计表可知其平均成绩为环， 方差为； （2）解：将丙选手这五轮成绩按从小到大的顺序排列为，，，，， 排在第个的数据为， 丙选手五轮成绩的中位数为， ， 丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； （3）解：根据排名规则，先比较甲、乙、丙选手成绩的平均数，可知甲、乙选手成绩的平均数均为环，且大于丙选手成绩的平均数环， 丙选手不可能是第一名和第二名； 再比较甲、乙选手成绩的方差， ， 甲排在乙前，故甲、乙、丙的排名为甲、乙、丙， 最终丁选手获得第二名， 丁选手排在甲和乙之间，根据排名规则可知丁选手的平均分为环，方差＜2.24， 丁选手五轮成绩的总环数为（环）， 丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环， 其余两轮的成绩总环数为16（环）， 乙选手也有三轮成绩分别为环、环、环， 丁其余两轮成绩不可能是环和环； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，不符合题意； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，符合题意， 丁选手其余两轮的成绩分别为环和环． 60．（2026·北京·一模）某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 ▲ 10 3 二班人数 1 7 ▲ 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 m 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 (1)表中m的值为______，n的值为______； (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，八年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有______人． 【答案】(1)8；8.35 (2)二 (3)19 【分析】（1）根据众数和平均数的定义解答即可； （2）比较方差大小即可； （3）根据中位数、众数和平均数的定义列式解答即可． 【详解】（1）解：一班和二班各40名学生， 一班得分为8分的人数为； 二班得分为8分的人数为； 一班得分为8分的人数为12，是出现次数最多的， ； 二班的平均分（分）； （2）解：， 一班成绩的方差大于二班成绩的方差， 二班的成绩比较整齐． （3）解：由题意知一班总人数为40， 中位数为8.5分，众数为9分， 将所有同学的成绩按从大到小（或从小到大）的顺序排列后， 第21，20（或20，21）名同学的成绩只能为8分和9分， 评分前7分和8分的总人数为20，评分为9分和10分的总人数为20， 又众数为9，若要使平均数尽可能大，则评分10分的学生人数应尽可能多， 评分为9分的人数为11，评分为10分的人数为9，则评分为7分和8分的人数均为10， 要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有19人． 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）一家汽车零售店的9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）分别为12，10，3，9，10，12，2，6，14，则该组数据的第三四分位数（上四分位数）是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】解题思路为：先将数据从小到大排序，再计算分位数对应的位置，最后根据计算四分位数的规则得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， 方法一：∵第三四分位数为分位数，计算位置得， ∴将向上取整得7，对应排序后第7个数据为，即该组数据的第三四分位数为； 方法二：原数据的中位数为，后半部分的中位数为，即该组数据的第三四分位数为． 2．（25-26八年级下·河北保定·期末）在学校组织的初三学生体检中，某班名同学视力检查数据如表所示： 视力 人数 这40名同学视力检查数据的众数、中位数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，根据概念计算即可． 【详解】解：总共有名同学，各视力对应的人数中，视力为的人数最多，为人， 众数为； 将数据从小到大排列，累加人数得：，， 第个和第个数据都是， 中位数为 ． 3．（25-26八年级下·河北衡水·期末）某电商平台统计了A、B两种热门电子产品的100名用户的使用评分（满分10分），并将统计结果绘制成如图所示的箱线图．关于结论①、②，下列判断正确的是（     ） 结论①：A产品用户使用评分的中位数低于B产品 结论②：A产品用户使用评分分布更集中 A．结论①、②都对 B．结论①、②都不对 C．只有结论①对 D．只有结论②对 【答案】D 【分析】根据箱线图的性质，箱体中间的横线代表中位数，箱体的长短及须的范围反映数据的离散程度（集中程度）逐一判断即可． 【详解】解：观察箱线图可知： A产品评分的中位数高于7分，B产品评分的中位数低于7分， ∴A产品用户使用评分的中位数高于B产品，故①错误 由箱线图可知，A产品的箱体长度及须的长度均明显小于B产品， ∴A产品用户使用评分的波动较小，分布更集中，故②正确； ∴只有结论②正确． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）有一组被墨水污染的数据：，，，，，★，★，，，，，，其箱线图如图所示．则这组数据的第一四分位数和平均数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据箱线图可确定第一四分位数，以及最小数和最大数，则可得到被污染的两个数，再根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，这组数据的第一四分位数为4，最小数为3，最大的数为18 ∴这两个被污染的数为3和18， ∴这组数据的平均数为． 5．（25-26八年级下·河北沧州·期末）为了反映全班学生跳绳次数的整体情况，小亮画出了如图所示的箱线图，则下列说法错误的是（     ） A．该班学生跳绳次数的中位数为136 B．第三四分位数为144 C．第一四分位数为132 D．最大值与最小值的差为30 【答案】D 【分析】根据箱线图逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由箱线图得该班学生跳绳次数的中位数为136，第三四分位数为144，第一四分位数为132，最大值为，最小值为，故ABC说法正确， 故最大值与最小值的差为，故D说法错误． 6．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若一组数据，，，的众数和中位数相等，则的值为________． 【答案】 【分析】这组数据存在众数，因此只能等于已有数据，，中的一个，分类讨论验证众数和中位数是否相等即可． 【详解】解：∵这组数据存在众数， 又∵原有数据各出现一次， ∴或或， 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，不合题意，舍去； 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，符合题意； 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，不合题意，舍去； 综上，． 7．（25-26八年级下·河北保定·期末）甲、乙、丙、丁四位同学进行投篮比赛，投中的个数分别为6，10，7，9，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】10 【分析】先根据平均数计算公式求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义计算结果． 【详解】解：这组数据的平均数， ∴这组数据的离差平方和． 8．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）一组数据分成两组，第一组12，14，第二组17，19，21，则第一组数据的离差平方和为_______，第二组数据的方差为_______． 【答案】 【分析】根据离差平方和与方差的定义，先分别计算两组数据的平均数，再按定义计算第一组的离差平方和与第二组的方差即可． 【详解】解：对于第一组数据，平均数， 则离差平方和为： ； 对于第二组数据，平均数， 则方差为： ． 9．（25-26八年级上·四川成都·期末）高二1班7位计划高考体考选考篮球的同学进行10次一组的投篮训练，投中的次数分别如下：，若去掉其中一个数据6，则平均数、中位数、众数、方差中不发生变化的量有___________个． 【答案】3 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的定义判断即可． 【详解】解：∵数据4，5，6，6，6，7，8中， 平均数为， 中位数为6， 众数为6， 方差为； 去掉一个6后， 平均数为， 中位数为， 众数为6， 方差为， ∴不发生变化的量有平均数、中位数、众数，一共3个． 故答案为：3． 10．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）求一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，则该组数据的方差___________． 【答案】 【分析】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差的定义及其计算公式． 先由方差计算公式得出这组数据为，再根据算术平均数计算公式计算出这组数据的平均数，然后代入方差公式计算即可． 【详解】解：由方差计算公式可得，这组数据为， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·河北唐山·期末）主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：，，，，，，，，，． 八年级：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：________，________； (2)求的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：把七年级学生的打分情况从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∵位于第位和第位的分别为，，其中出现了次，出现的次数最多， ∴中位数；众数； （2）解：∵八年级打分的平均分为分， ∴，             即， ； （3）略 12．（2026·河北沧州·三模）计算能力是数学的基本能力，为了进一步了解学生的计算情况，数学老师对某次考试中第19题计算题的得分情况进行了调查，现分别从，两班随机各抽取10名学生的成绩如下： A班10名学生的成绩绘成了条形统计图，如图． B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：7，8，8，8，9，9，9，9，10，10． 经过老师对所抽取学生成绩的整理与分析，得到了如下表数据： 班 班 平均数 8.2 中位数 9 众数 8 方差 1.56 0.81    根据以上信息，解答下列问题． (1)补全条形统计图； (2)直接写出表中，，的值：________，________，________； (3)根据以上数据，你认为，两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由（写出其中两条即可）； (4)若9分及9分以上为优秀，班共45人，则班计算题优秀的大约有多少人？ 【答案】(1) (2)，， (3)B班计算题掌握得更好，理由：①B班的平均分高于A班，整体平均成绩更好；②B班的中位数高于A班，中等水平成绩更高． (4)班计算题优秀的大约有18人 【分析】（1）求出A班抽取的学生成绩为10分的人数，据此补全条形统计图即可； （2）根据平均数计算公式、中位数与众数的定义求解即可； （3）从平均数、中位数的角度进行分析即可； （4）利用A班的学生总人数乘以9分及9分以上的学生人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：A班抽取的学生成绩为10分的人数为（人）， 则补全条形统计图：略． （2）解：B班10名学生成绩的平均数； 在B班10名学生的成绩中，9出现了4次，次数最多， ∴其众数； 由条形统计图可知，A班10名学生的成绩（单位：分）分别为：，第5个数和第6个数都是8， ∴其中位数； （3）略． （4）解：（人）， 答：班计算题优秀的大约有18人． 13．（25-26八年级下·河北唐山·期末）为促进人工智能的学习和运用，某学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了40名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息： 八年级40名学生竞赛成绩在C组中的数据：80，80，81，81，82，82，82，82，82，83，83，83，84，85，86，86． 根据以上信息，结合图1、图2解答下列问题： (1)计算抽取的七年级学生竞赛成绩中C组人数，并补全七年级成绩数据条形统计图； (2)计算抽取的八年级40名学生竞赛成绩数据的中位数； (3)该校七年级有学生280人，八年级有学生320人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生共有多少人？ 【答案】(1)10人； (2)83分 (3)408人 【分析】（1）用40减去其他三组的人数可得C组人数，即可求解； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用样本估计总体解答即可． 【详解】（1）解：抽取的七年级学生竞赛成绩中C组人数为人， 补全七年级成绩数据条形统计图略； （2）解：抽取的八年级学生竞赛成绩中A、B组人数之和为，C组人数为16人， 位于第20位和第21位的均为83分， 所以抽取的八年级40名学生竞赛成绩数据的中位数为分； （3）解：人， 即该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生共有408人． 14．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）为了解某长跑俱乐部成员的跑步成绩情况，某学校的长跑社团收集了该俱乐部年和年半程马拉松“大师赛”的比赛成绩，分为两个研究小组进行调查研究． (1)第一个研究小组随机抽取了该俱乐部年一些成员的比赛成绩，部分统计结果如下： 成绩（分钟） 频数（人） 频率 合计 ①请把上面的频数分布直方图补充完整； ②在年，该俱乐部共有名成员，根据上面的统计结果，请估计该年俱乐部中成绩不超过分钟的人数； (2)第二个研究小组从该俱乐部年和年均参加了半程马拉松“大师赛”的选手中抽取了名选手的跑步成绩，绘制了统计图（如图所示）． 请根据以上信息解答下面的问题： ①小赵年的比赛用时比年的比赛用时 （填“多”或“少”）； ②将这名选手中年成绩优于年成绩的人数记为，其余选手人数记为，则（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)① ②估计该年俱乐部中成绩不超过分钟的人数为人； (2)①少；②． 【分析】（1）①用成绩为的人数除以其人数占比求出参与调查的人数再乘以成绩在分钟的人数占比，求出成绩在分钟的人数，进而补全统计图即可；②用乘以样本中成绩成绩不超过分钟的人数占比即可得到答案； （2）①、②根据统计图即可得到答案． 【详解】（1）解：①总人数：（人）， 成绩在分钟的人数：（人）， 频数分布直方图补充略； ②方法一：成绩不超过分钟的人数：（人）； 方法二：成绩不超过分钟的人数：（人）； （2）解：①∵由图可知，小赵用时大于分钟，接近分钟， ∴小赵年的比赛用时比年的比赛用时少； ②如图，由统计图可知在左上方的点少于右下方的点，即年成绩比年成绩好的人数多于不好的人数， ∴． 15．（25-26八年级下·河北保定·期末）为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛．从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用x表示，共分四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩（单位：分）：． 七、八两年级各名学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的年级去县里参加团体赛，请问选________年级更合适（填“七”或“八”）； (2)上述图表中：中位数________，第一四分位数________； (3)若该校七年级有人，八年级有人参加本次知识竞赛，且规定不低于分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】(1)八 (2)； (3)估计该校七、八年级成绩优秀的学生总人数为人． 【分析】（1）在平均数相同的情况下，方差小的成绩稳定，即选八年级更合适． （2）根据中位数和第一四分位数的定义分别计算即可． （3）分别计算两年级成绩为优秀的百分比，再分别乘以各自总人数即可． 【详解】（1）解：∵在七、八两年级平均数均为的情况下，七年级的方差大于八年级的方差， ∴八年级成绩稳定， 故选八年级更合适． （2）解：∵八年级名学生的竞赛成绩从小到大排列为（单位：分）：， ∴八年级成绩的中位数为第十位和第十一位成绩的平均值，即，第一四分位数为第五位和第六位成绩的平均值，即． （3）解：由题意可得七年级名学生在A等级的百分比为：， ∵八年级名学生不低于分的成绩有五人， ∴其所占百分比为：， ∴七年级人中成绩为优秀的人数约为（人），八年级人中成绩为优秀的人数约为（人）， ∴该校七、八年级成绩优秀的学生总人数为人． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 数据分析与统计估计全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 求一组数据的平均数 题型2 已知平均数求相关数据 题型3 利用平均数做决策 题型4 求加权平均数 题型5 运用加权平均数做决策 题型6 求中位数与众数 题型7 利用中位数、众数做决策 题型8 求四分位数 题型9 画箱线图 题型10 求方差 题型11 利用方差求相关数据 题型12 运用方差做决策 题型13 求离差平方和 题型14 离差平方和的应用 题型15 用样本所占百分比估计总体的数量 题型16 用样本的频数估计总体的频数 核心提升：重难题型归纳 题型1 平均数压轴题型 题型2 四分位数与箱线图压轴 题型3 方差压轴 题型4 数据分析与统计综合大题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 求一组数据的平均数 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 2．（25-26八年级下·重庆南川·期末）数据2，3，4，5，6，这组数据的平均数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）现有一组数据6，3，9，8，10，12，5，11，则这组数据的平均数是________________． ◆题型2 已知平均数求相关数据 4．（25-26八年级下·广东江门·期末）一组数据：、、、的平均数为8，则的值是_________． 5．（2025·江苏盐城·二模）某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则_____． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）若数据a，b，c的平均数是3，数据d，e的平均数是2，则a，b，c，5，d，e这组数据的平均数是____． ◆题型3 利用平均数做决策 7．（2026·贵州铜仁·模拟预测）某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（25-26八年级下·广东广州·期末）某商场招聘一名员工，现有甲、乙两人竞聘．通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自的成绩（百分制）如下表所示． 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 70 50 80 乙 50 60 85 (1)商场对计算机、语言和商品知识分别赋权2、3、5，计算两名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？ (2)该商场员工月收入如下表，试计算该商场员工月收入的平均数；若用平均数来代表这个商场员工月收入的大致情况是否合理？请说明理由． 月收入/元 20000 18000 12000 8000 6000 5000 人数 1 2 4 5 7 6 9．（2026·安徽合肥·三模）安徽合肥“人造太阳”（）实验装置的科研团队，为优化实验观测系统的操作便捷性，邀请75名不同领域的科研人员对系统操作界面进行“操作复杂度评分”（评分为整数，单位：分，分数越低表示操作越便捷），并将评分按以下六组整理，同时统计了各组对应的“操作耗时”（单位：分钟），部分信息如下： 组别 A B C D E F 分组 （复杂度评分） 人数 8 15 22 10 6 该组平均操作耗时 （分钟） 3 5 7 10 14 18 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求的值； (2)若以“复杂度评分的中位数对应的组”来代表整体操作复杂度水平，判断该中位数落在哪个组； (3)科研团队规定：若“平均操作耗时”不超过9分钟，则认定界面“操作高效”．请结合各组人数与对应平均耗时，计算这75名科研人员的平均操作耗时，并判断该界面是否达到“操作高效”标准． ◆题型4 求加权平均数 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 78 80 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 11．（2022·陕西西安·模拟预测）夏良是一位有心的同学，他把自己八年级第一学期的数学质量检测成绩（单位：分）作了统计（如表）： 质量检测类型 平时 期中 期末 检测 检测 检测 检测 成绩 (1)计算夏良该学期数学平时质量检测的平均成绩； (2)如果学期总评成绩是按照图所示的权重计算，请计算出夏良该学期的数学总评成绩． 12．（2026·安徽·二模）为了解某辖区老人健康意识和锻炼习惯，随机调查了辖区内部分岁以上老人一个月在本小区健身设施上的锻炼情况，统计了一个月来他们的锻炼次数，并将调查数据加以整理： 组别 锻炼次数 频数 频率 请根据以上信息解答下列问题： (1)__________；__________； (2)补全频数分布直方图； (3)若，，，，，这六组数据的平均数分别为，，，，，，估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数． ◆题型5 运用加权平均数做决策 13．（25-26八年级上·河南郑州·期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表： 项目 甲班的成绩（分） 乙班的成绩（分） 服装统一 95 90 进退场有序 90 85 动作规范 85 b 动作整齐 90 95 平均分 a 90 (1)表中a的值为___________；b的值为___________． (2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按 的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩； (3)你认为上面四项中，哪一项最重要? 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩最高? 14．（25-26八年级下·河北保定·期末）一家公司招聘英文翻译，对甲、乙两名应试者的听、说、读、写四项能力进行测试，成绩如下： 应试者 听 说 读 写 甲 85 75 85 75 乙 70 80 82 83 若将听、说、读、写的成绩按比例计分，则最终成绩更高的是________（填“甲”或“乙”）． 15．（2025·山西吕梁·三模）五一期间，文旅团举办了“孝义·最爱妈妈的城市”活动，数百名志愿者“红马甲”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“红马甲”，必须经过层层考验，下面是志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）． 项目 语言能力 综合素质 形象礼仪 服务经验 甲 10 9 9 8 乙 9 7 10 9 (1)如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“红马甲”？ (2)如果语言能力、综合素质、形象礼仪、服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将入选？ ◆题型6 求中位数与众数 16．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图描述了某班10名学生对课后延时服务的打分情况，下列判断不正确的是（   ） A．打分的众数为4分 B．打分的平均数为3.2分 C．去掉一个最高分和一个最低分后，中位数和众数都不会发生改变 D．若该班有50名学生，估计打分为4分的有25人 17．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）某校从八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分、2分、3分、4分这4个等级，并根据调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，则学生成绩的中位数是______，众数是______．    18．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮次，投中一次计分．随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 成绩/分 4 3 2 1 0 频数 12 15 6 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出，的值和样本的众数； (2)若该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数． ◆题型7 利用中位数、众数做决策 19．（24-25八年级上·山西晋中·期末）为了解学生的书写水平，为教师教学提供有针对性的参考依据，某区对各校初中学生的英语书写能力进行测评．其中某中学八年级随机抽取了50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 成绩（分） 频数 1 12 12 18 成绩在这一组的是（单位：分）：80，81，82，82，85，87，88，88，88，89，89，89，根据以上信息，回答下列问题： (1)这次成绩的中位数是__________分，成绩在这一组数据的众数为_____分． (2)这次成绩的平均分是84.4分，丽丽的成绩是85分．明明说：“丽丽的成绩高于平均分，所以丽丽的成绩高于一半学生的成绩．”你认为明明的说法正确吗？请说明理由． (3)若测试成绩不低于80分，则认定学生对英语书写能力优秀．若该校八年级学生共有800人，请估计该校八年级学生英语书写能力优秀的人数． 20．（25-26八年级下·广东广州·期末）某班有20名男生，老师为了解这些男生的体能情况，对20名男生进行体能测试，并对测试成绩（百分制，单位：分）进行了统计和分析： 数据收集： 100 89 79 81 60 79 83 64 78 87 76 79 91 71 77 79 72 75 86 73 数据整理： 对这20名男生成绩（用x表示）整理，老师规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀． 测试成绩 等级 不合格 合格 良好 优秀 频数 0 a 11 b 数据分析： 平均数 众数 中位数 79 c d 解决问题： (1)填空：________，________，________； (2)老师对本次测试数据分析以后，准备对成绩排在前一半的男生进行表扬．班上的男同学小林说：“我的测试成绩是78分，比平均数79低，所以肯定不会被表扬”，你认为小林的说法对吗？并请说明理由． 21．（2021·重庆·一模）4月，某校初2021级800名学生进行了一次政治测试（满分：50分）．测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息： 甲班20名同学的测试成绩统计如下： 41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47． 乙班20名同学的测试成绩统计如下： 组别 频数 1 1 6 9 其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，48，48，47，48，48． 甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 47.5 48.5 乙班 47.5 49 (1)根据以上信息可以求出：_____，_____，_____； (2)你认为甲乙两个班哪个班的学生政治测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）； (3)若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？ ◆题型8 求四分位数 22．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某支排球队队员身高情况箱线图如图所示，则该排球队队员身高的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知一组数据从小到大排列为：1，2，3，5，6，7，8，9，10，14，15，18，则这组数据的第一四分位数为_______． 24．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为了让同学们铭记历史、缅怀先烈，弘扬伟大的爱国主义精神、伟大的抗战精神，某地区甲、乙两个学校举行了“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”知识竞赛，最后的决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了10名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙校：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． ◆题型9 画箱线图 25．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）李老师根据期中考试的五科成绩，绘制了如下的箱线图．请你根据各科的统计图分析各科成绩情况． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 27．（2025八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ ◆题型10 求方差 28．（2022·河南信阳·模拟预测）有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 29．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：小聪：8，8，7，8，9；小明：10，9，7，5，9 (1)填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 0.4 小明 8 9 3.2 (2)根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？ (3)如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差_____．（填“变大”、“变小”或“不变”） 30．（2025·广西南宁·三模）某城市推行“绿色出行”宣传活动，五位评审对甲、乙、丙三位宣传志愿者的表现进行打分，相关得分数据整理如下统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 9 a 乙 b 丙 c 8 根据以上信息，完成下列问题： (1)直接写出a，b，c的值， ______， ______， ______； (2)从三位选手中选一位进行表彰，你认为选谁更合适？请选择一个统计量进行说明； (3)如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的中位数记为d，判断d与b的大小关系，并说明理由． ◆题型11 利用方差求相关数据 31．（25-26八年级下·浙江台州·期末）为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 32．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 _____． 33．（25-26八年级下·福建泉州·期末）为响应“健康中国2030”行动，某校开展了为期五周的“每日步数达标打卡”积分活动．已知甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同，相关数据如下： 甲同学五次打卡积分统计表（单位：分） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 积分 33 35 34 36 乙同学五次打卡积分的方差计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是__________； (2)根据甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数和方差，判断谁的打卡表现更稳定，并说明理由； (3)如果甲同学再打卡一次，第六次积分为35分，与前五次相比，甲同学六次打卡积分的方差将__________（填“变大、变小”或“不变”）． ◆题型12 运用方差做决策 34．（25-26八年级下·河北张家口·期末）赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 35．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，你认为选取________队参加决赛比较合适． 36．（2022·吉林长春·模拟预测）从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人进行了五次模拟，并对成绩（单位：分）进行了整理，计算出，．绘制成如下尚不完整的统计图表． 甲、乙两人模拟成绩统计表 ① ② ③ ④ ⑤ 甲成绩/分 79 86 82 a 83 乙成绩/分 88 79 90 81 72 根据以上信息，解答下列问题： (1)________； (2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线； (3)已知．计算甲的成绩的方差，综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由． ◆题型13 求离差平方和 37．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）五位同学的实心球成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如下表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（     ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案④ 38．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）有四名学生某次航天知识竞赛的成绩（单位：分）分别是，，，，现将这组数据分成和两组，则这种分法的组内离差平方和是________． 39．（25-26八年级下·江西南昌·期末）5个城市冬季平均气温如下表： 城市 郑州 成都 南昌 广西 广州 平均气温 2 4 8 10 12 按气温由低到高的顺序，将它们分成两组共有4种方案，如下表： 方案 第一组 第二组 组内离差平方和 方案① {2} {4，8，10，12} 35 方案② {2，4} {8，10，12} ？ 方案③ {2，4，8} {10，12} 20.67 方案④ {2，4，8，10} {12} 40 (1)请计算出方案②的组内离差平方和． (2)为使得组内差异最小，应该选择方案____________． ◆题型14 离差平方和的应用 40．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）【活动背景】 李伟学习完了“数据的分组”这一节内容后有个疑问，明明一眼就能看明白如何划分两组，为什么要费这么大的力气算如此多的数据，于是他请教了信息技术老师．老师告诉他，工业、商业等领域有很多庞大的数据需要分组，但数据庞大到人几乎无法计算，于是就将分组的方法和规则通过编程做成分组模型嵌入到系统中，由系统来处理这些数据后直接给出结论，准确而迅速．而组内离差平方和最小原则就是系统中分组功能的核心模型（算法）． 【教材背景】 10个城市12月份的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示． 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温 3 3 10 21 22 12 9 17 (1)【任务1：求基本数据】 ①求出该组数据的众数； ②求出该组数据的中位数． (2)【任务2：根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，将10个城市分为两组】 将10个城市12月份的每日最高温度的平均数从小到大排列，得 ，，3，3，9，10，12，17，21，22， 信息技术老师利用系统中的分组功能，分别计算了9种情况的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），得到了一张表，如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 a 584.2 d 第2个间隔 32 380.9 412.9 第3个间隔 98.7 285.7 384.4 第4个间隔 132 158.8 b 第5个间隔 228.8 113.2 c 第6个间隔 308.8 62 370.8 第7个间隔 397.4 14 411.4 第8个间隔 562 0.5 562.5 第9个间隔 789.6 0 789.6 ①_________，_________； ②请直接写出最终城市的分组结果； (3)【任务3：跨学科拓展】 结合地理课所学知识，请你指出系统将城市划分为哪两类城市？ 41．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）大连某饮品企业为优化生产管理、提升产品品质；针对旗下灌装生产线与合作代工厂开展数据统计分析，请结合所学知识解答下列问题： (1)甲、乙两条自动灌装线均灌装标准含量为的瓶装饮料，现从两条生产线上各随机抽取瓶产品，测量实际含量，结果（单位：）记录如下： 甲生产线： 乙生产线： 根据行业标准： 若单瓶饮料的含量误差（实际含量-标准含量）的绝对值超过，则判定该条灌装线的灌装质量不合格. 甲组误差/mL 乙组误差/mL ①请判断甲、乙两条灌装线的灌装质量是否合格，并说明理由； ②计算甲、乙灌装线被抽取的饮料实际含量的平均数和方差，分析哪条灌装线的灌装质量更好； (2)该企业有家合作代工厂，去年的年产值统计如表： 企业 产值/亿元 企业计划将这家代工厂按年产值的组内离差平方和最小的原则，把这家代工厂分为两组．请写出符合要求的分组方案． 小明的思路如下：将表中的数据按从小到大排序，可得，，，，，，将它们分成两组共有种分法，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和，结果如下表所示： 分组间隔 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 观察表中最后一列的组内离差平方和可以发现，当第 个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值．因此，按组内离差平方和最小的原则，分组方案为 ． 请补全小明同学的解题过程． 42．（25-26八年级下·陕西安康·期末）为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题．竞赛结束后，学校随机抽取了20名同学的答卷，他们答对的题数（单位：道）统计如下：2，4，6，7，8，9，10，10，10，11，12，13，13，14，15，15，16，17，18，20． 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组2人，乙组3人 m 方式二 Ⅰ组3人，Ⅱ组2人 (1)这20名同学答对题数的众数为_________道，中位数为_________道； (2)这20名同学中答对题数最少的5名同学打算一起分组学习航天知识，若按照答对的题数将他们分为2人组和3人组，现有以下两种分组方式，根据组内离差平方和最小的原则，应该采用哪种分组方式？ ◆题型15 用样本所占百分比估计总体的数量 43．（2022·陕西·模拟预测）习总书记指出，“生态文明建设是关系中华民族永续发展的根本大计”“建设生态文明，关系人民福祉，关乎民族未来”．为全面贯彻可持续发展理念、践行“两山”理论、聚焦“双碳”目标、建设美丽中国，某校举行生态环境保护竞赛活动．竞赛试题一共有8道题，竞赛后发现所有参赛学生至少答对5道题，随机抽取部分学生的试题，对学生答对的题数量进行统计，并得到如下不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)求所抽取学生试题答对题数量的中位数、众数与平均数； (3)若参赛学生共有400人，请估计全部答对的学生有多少人？ 44．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）为了解靖江市民对“垃圾分类”的知晓程度，数学兴趣小组设计了两种抽样调查方案： 方案一：设计好问卷，进入滨江学校附近的三个小区进行调查； 方案二：设计好问卷，利用假期到城区和农村多个社区进行调查． 数学兴趣小组用较科学的方案随机调查了若干人，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图：（其中“A．非常了解”“B．了解”“C．基本了解”“D．不太了解”）； (1)你认为最合适的调查方案是________； (2)随机调查了________人，扇形统计图中表示“A”的扇形圆心角为________°； (3)补全条形统计图； (4)估计在60万名市民中不太了解垃圾分类的人数为________万． 45．（2026·湖南永州·模拟预测）教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要试行》指出，学生要承担一定的家庭劳动．某学校为了解全校学生每月参与家庭劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为_____，图①中的值为_____，被调查学生每月参与家庭劳动的次数的统计中，众数和中位数分别为_____和_____； (2)求被调查学生参加家庭劳动次数的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参与家庭劳动的次数是7次的人数为多少？ ◆题型16 用样本的频数估计总体的频数 46．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）体育课上，老师对某班50名同学进行1分钟单摇跳绳的个数测试；体育委员将统计结果绘制成了如下的频数分布表与频数分布直方图： 频数分布表 组别 次数x 频数（人数） A 3 B 10 C 15 D a E 2 试回答下列问题： (1)表中____________，跳绳个数统计结果的中位数出现在____________组； (2)补全频数分布直方图； (3)若B组10人的成绩从小到大依次为：110，112，113，114，115，115，116，117，118，119，那么这组数据的第三四分位数是____________； (4)若1分钟跳绳数低于120则视为不合格，由此估计八年级全体1500名学生中，不合格的同学有多少人？ 47．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）年月日，神舟二十三号载人飞船成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，现从七、八年级各随机抽取了名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：，，，，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，，，，； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校八年级有名学生，估计八年级可以获得奖励的学生人数为多少？ 48．（25-26九年级下·浙江舟山·开学考试）舟山人文积淀丰厚，历史文化悠久，是典型的港口城市．为了增进学生对舟山文化的了解，学校开展了一次普及宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校决定从全校1000名学生中随机抽取200名学生进行一次知识测试（注：测试满分100分，分数取整数），并根据这200人的测试成绩，制作了如下统计图表． 成绩a（分） 频数（人） 频率 10 0.05 30 n 70 0.35 m 0.25 40 0.20 (1) ， ； (2)补全频数分布直方图； (3)这200名学生成绩的中位数会落在 分数段； (4)如果80分以上（包括80分）为“优秀”，请估计全校1000名学生中，成绩为“优秀”的有几人． ◆题型1 平均数压轴题型 49．（2022·河南·模拟预测）在发生某公共卫生事件期间，某专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是：“连续14天，每天新增疑似病例不超过7人”．已知在过去14天，甲、乙两地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为2，方差为2； 乙地：中位数为3，众数为4和5． 请你运用统计知识对数据分析并判断：甲、乙两地是否会发生大规模群体感染？请说明理由． （方差公式：） 50．（2026·福建漳州·模拟预测）刘老师设计一些阳光课间活动，其中一项是定点投沙包，规则如下： 如图，四名同学站在同一起投线a上，每人前方一定距离处对应一个位于直线b上的圆圈，且．四名同学分别投掷沙包，共进行5局，每局的计分规则如下： ①若第一次投入圈中，则该局结束，得10分； ②若第一次未投入圈中，则继续投掷，直至投入圈中，每多投一次扣2分（比如前两次未投中，第三次投中，本局得6分）； ③每局每名同学最多可投5次，若第5次仍未投中，则该局得0分． 5 局结束后，累计得分最高者获胜． 四名同学5 局结束后的投圈次数条形统计图和统计表如下： 甲、乙每局投圈次数条形统计图 丙、丁每局投圈次数统计表 局次 一 二 三 四 五 丙每局投圈次数 5 m 3 1 2 丁每局投圈次数 4 x n 3 1 根据以上信息，解答下列问题． (1)当时，若乙、丁每局投圈次数的中位数相同，求n的值； (2)已知四名同学第二局投圈次数的平均数为3，求的值； (3)若丁5局投圈的总次数为 14次，甲同学说：“丁同学 5局累计得分最多是32 分．”请判断甲同学的说法是否正确，并结合计分规则说明理由． 51．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）在某次演讲比赛中，八个评委给选手健健打分，得到八个互不相等的分数，若去掉一个最高分，平均分为；若去掉一个最低分，平均分为；若去掉一个最高分与一个最低分，平均分为．则(        )． A． B． C． D． ◆题型2 四分位数与箱线图压轴 52．（25-26八年级下·吉林延边·期末）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 53．（25-26八年级下·广东云浮·期末）某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，，80，，95．（，且，为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求，，． (2)观察图中乙组比赛成绩的箱线图求，． 54．（25-26八年级下·福建福州·期末）福州本土生鲜超市日渐增多，配送服务遍布全城．各大生鲜超市为提升同城配货效率，设立分拣、扫码、称重、打包四道连续工序作为全套流程，完成四道工序用时越少说明员工的业务水平越好．现对甲、乙、丙三家超市每超市名员工进行调研． 【数据统计】 数据随机抽取乙组名员工单人完成全套流程的用时（单位：分钟） 、、、、、、、、、 数据甲、乙、丙三家超市员工全套流程用时绘制了箱线图如下： (1)根据数据，箱线图中的值为________；比较三家超市完成全套工序耗时的集中趋势或离散程度，不难发现：________超市员工完成全套工序业务水平整体最好，________超市员工完成全套工序耗时离散程度最小．（填“甲”、“乙”或“丙”） (2)【深度分析】 为了让顾客更快收到货品，缩短出货耗时，各大超市都在努力提升超市配货效率．丙超市安排名员工采用流水接力作业模式，即每个员工负责一道工序并交接给下一个员工．默契的工序衔接，能省去每道工序单独启动准备的时间，因此四人流水接力总耗时，少于四道工序单独由一人完成所耗时之和．在员工训练过程中，店长发现平均每次交接工序节约时间（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，，并且道工序流水作业总用时满足此公式：名员工完成全套工序流水接力作业用时总和一名员工单独完成四项工序用时三次交接总节约时间． ①求关于的函数表达式； ②已知丙超市的A仓库一名员工单独完成四道工序用时为分钟，则该仓库名员工完成全套工序流水作业用时总和（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）之间的函数表达式为______________；（化简为的形式） ③丙超市B仓库一名员工单独完成四项工序用时比丙超市C仓库快7分钟，但由于员工培训时间太少，导致B仓库四名员工流水接力完成全套用时却比C仓库的流水接力用时慢分钟，且两个仓库的交接工序训练时长之和为小时．求B仓库交接工序训练时长． ◆题型3 方差压轴 55．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示． 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 如下图所示，根据上表中甲、乙两地的气温数据计算出四分位数，并在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点，得出四个结论，其中表述正确的个数为（    ） ①甲、乙两地气温的中位数相同； ②甲地气温的波动明显比乙地的大； ③甲地约有的时刻的气温高于乙地的最高气温； ④甲地气温的第一四分位数明显大于乙地的． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 56．（25-26八年级下·甘肃天水·期末）甲、乙两班同学举行数学知识竞赛，竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 甲 45 83 86 82 乙 45 83 84 135 若再把这两班的成绩制作成箱线图，某同学综合分析以上统计表和统计图后得到如下结论： ①甲、乙两班学生的成绩箱线图的宽度相同； ②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀）； ③甲班成绩的离差平方和是3690． 上述结论中正确的是__________（填写所有正确结论的序号） 57．（25-26八年级下·云南昆明·期末）某班举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．若甲组和乙组人数相等，两组竞赛成绩的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲组成绩的波动明显比乙组的小 B．甲、乙两组成绩的第二四分位数相同 C．甲组约有的成绩高于乙组的最高成绩 D．甲组约有的成绩低于乙组的最低成绩 ◆题型4 数据分析与统计综合大题 58．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： (1)______，______，______，______； (2)补全条形图和扇形图； (3)______，______； (4)若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ (5)对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 59．（2026·北京·一模）为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 (1)表中的值为_____，的值为_____； (2)丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； (3)根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 60．（2026·北京·一模）某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 ▲ 10 3 二班人数 1 7 ▲ 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 m 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 (1)表中m的值为______，n的值为______； (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，八年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有______人． 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）一家汽车零售店的9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）分别为12，10，3，9，10，12，2，6，14，则该组数据的第三四分位数（上四分位数）是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（25-26八年级下·河北保定·期末）在学校组织的初三学生体检中，某班名同学视力检查数据如表所示： 视力 人数 这40名同学视力检查数据的众数、中位数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级下·河北衡水·期末）某电商平台统计了A、B两种热门电子产品的100名用户的使用评分（满分10分），并将统计结果绘制成如图所示的箱线图．关于结论①、②，下列判断正确的是（     ） 结论①：A产品用户使用评分的中位数低于B产品 结论②：A产品用户使用评分分布更集中 A．结论①、②都对 B．结论①、②都不对 C．只有结论①对 D．只有结论②对 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）有一组被墨水污染的数据：，，，，，★，★，，，，，，其箱线图如图所示．则这组数据的第一四分位数和平均数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26八年级下·河北沧州·期末）为了反映全班学生跳绳次数的整体情况，小亮画出了如图所示的箱线图，则下列说法错误的是（     ） A．该班学生跳绳次数的中位数为136 B．第三四分位数为144 C．第一四分位数为132 D．最大值与最小值的差为30 6．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若一组数据，，，的众数和中位数相等，则的值为________． 7．（25-26八年级下·河北保定·期末）甲、乙、丙、丁四位同学进行投篮比赛，投中的个数分别为6，10，7，9，则这组数据的离差平方和为______． 8．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）一组数据分成两组，第一组12，14，第二组17，19，21，则第一组数据的离差平方和为_______，第二组数据的方差为_______． 9．（25-26八年级上·四川成都·期末）高二1班7位计划高考体考选考篮球的同学进行10次一组的投篮训练，投中的次数分别如下：，若去掉其中一个数据6，则平均数、中位数、众数、方差中不发生变化的量有___________个． 10．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）求一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，则该组数据的方差___________． 11．（25-26八年级下·河北唐山·期末）主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：，，，，，，，，，． 八年级：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：________，________； (2)求的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 12．（2026·河北沧州·三模）计算能力是数学的基本能力，为了进一步了解学生的计算情况，数学老师对某次考试中第19题计算题的得分情况进行了调查，现分别从，两班随机各抽取10名学生的成绩如下： A班10名学生的成绩绘成了条形统计图，如图． B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：7，8，8，8，9，9，9，9，10，10． 经过老师对所抽取学生成绩的整理与分析，得到了如下表数据： 班 班 平均数 8.2 中位数 9 众数 8 方差 1.56 0.81    根据以上信息，解答下列问题． (1)补全条形统计图； (2)直接写出表中，，的值：________，________，________； (3)根据以上数据，你认为，两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由（写出其中两条即可）； (4)若9分及9分以上为优秀，班共45人，则班计算题优秀的大约有多少人？ 13．（25-26八年级下·河北唐山·期末）为促进人工智能的学习和运用，某学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了40名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息： 八年级40名学生竞赛成绩在C组中的数据：80，80，81，81，82，82，82，82，82，83，83，83，84，85，86，86． 根据以上信息，结合图1、图2解答下列问题： (1)计算抽取的七年级学生竞赛成绩中C组人数，并补全七年级成绩数据条形统计图； (2)计算抽取的八年级40名学生竞赛成绩数据的中位数； (3)该校七年级有学生280人，八年级有学生320人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生共有多少人？ 14．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）为了解某长跑俱乐部成员的跑步成绩情况，某学校的长跑社团收集了该俱乐部年和年半程马拉松“大师赛”的比赛成绩，分为两个研究小组进行调查研究． (1)第一个研究小组随机抽取了该俱乐部年一些成员的比赛成绩，部分统计结果如下： 成绩（分钟） 频数（人） 频率 合计 ①请把上面的频数分布直方图补充完整； ②在年，该俱乐部共有名成员，根据上面的统计结果，请估计该年俱乐部中成绩不超过分钟的人数； (2)第二个研究小组从该俱乐部年和年均参加了半程马拉松“大师赛”的选手中抽取了名选手的跑步成绩，绘制了统计图（如图所示）． 请根据以上信息解答下面的问题： ①小赵年的比赛用时比年的比赛用时 （填“多”或“少”）； ②将这名选手中年成绩优于年成绩的人数记为，其余选手人数记为，则（填“”或“”或“”）． 15．（25-26八年级下·河北保定·期末）为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛．从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用x表示，共分四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩（单位：分）：． 七、八两年级各名学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的年级去县里参加团体赛，请问选________年级更合适（填“七”或“八”）； (2)上述图表中：中位数________，第一四分位数________； (3)若该校七年级有人，八年级有人参加本次知识竞赛，且规定不低于分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $