专题02 整式的加减16大题型（重难点讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“整式的加减”核心知识点，系统梳理单项式与多项式的概念（含系数、次数、项），同类项的判断与合并法则，去括号与添括号规则，以及整式加减运算步骤与实际应用，构建从概念辨析到运算技能再到问题解决的递进式学习支架。 该资料以分层题型设计（典例+变式）和易错点提示为特色，如通过单项式规律题培养抽象能力与创新意识（数学眼光），借助化简求值题提升运算能力与推理意识（数学思维），课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

专题02 整式的加减 1. 理解单项式、多项式、整式相关概念，准确识别系数、次数、项，厘清概念间从属关系。 2. 掌握同类项定义，能够准确判断同类项，熟练运用合并同类项法则进行化简运算。 3. 熟记去括号法则，分清括号前符号，正确处理变号问题，规避去括号常见计算错误。 4. 熟练掌握整式加减运算步骤，规范完成化简求值，代入数值时注意括号规范使用。 5. 会分析实际问题数量关系，列整式解决简单应用，发展符号意识与代数运算能力。 一、整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 二、合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 三、去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 四、整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 五、代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 题型01 单项式的判断 【典例】下列关于代数式的说法错误的是（   ） A．是单项式 B．系数为 C．次数为2 D．是它的同类项 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式的定义、系数、次数，由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数；如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．逐一分析选项判断正误，即可求解． 【详解】解：∵单项式是由数或字母的积组成的代数式， ∴是单项式，选项A说法正确； ∵单项式的系数是其数字因数， ∴的系数为，选项B说法正确； ∵单项式的次数是所有字母的指数和，的指数为2，的指数为1， ∴次数为，选项C说法错误； ∵同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同的项， ∴与是同类项，选项D说法正确． 故选：C． 【变式1】下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 【答案】3 【分析】本题考查单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．由单项式的概念，即可判断． 【详解】解：代数式（1）是数字与字母的积，是单项式； （2）是单独字母，是单项式； （3）是单独数字，是单项式； （4）分母有字母，是分式； （5）是多项式； （6）是多项式； （7）分母有字母，是分式； （8）是多项式； （9）分母有字母，是分式； 故单项式有3个； 故答案为：3． 【变式2】下列各式，，，，，m，，，中单项式的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义，逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：根据题意，单项式有，，，m，共4个， 故选：B． 【变式3】下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子，或单独的一个数或字母．分别检查各选项中的代数式是否符合定义． 【详解】解：∵单项式是数或字母的积，或单独的数或字母； 选项A中，含有减法，不是单项式； 选项B中，是常数与字母的积，为单项式；是单项式；是单项式； 选项C中，分母有字母，是分式，不是单项式； 选项D中，含有加法，不是单项式； ∴全是单项式的一组是B． 故选B 题型02 单项式的系数、次数 【典例】单项式的系数是_________． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义，找出给定单项式中的数字因数即可得到结果. 【详解】解：对于单项式，其数字因数为， 故单项式的系数是. 【变式1】单项式的系数是______ ，次数是______ ． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的数字因数是，因此它的系数是， 单项式中字母的指数为，字母的指数为，所有字母的指数和为，因此它的次数是． 【变式2】若单项式的系数为，次数为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的系数和次数，熟练掌握单项式系数和次数的定义是解题的关键．根据项式系数和次数的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， 故答案为：． 【变式3】已知是关于x、y的五次单项式，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查单项式的次数的概念，绝对值的概念，掌握以上知识点是解题的关键，注意单项式的系数不是0． 一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数，单项式的系数不是0，由此即可得到答案． 【详解】解：是关于、的五次单项式， ， ， 或， ， ， 故选：B． 题型03 单项式规律题 【典例】一列单项式：，按此规律，第100个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将单项式拆分为符号、系数、次数三部分分别找规律，即可得到结果. 【详解】解：观察可知，奇数位的符号为负，偶数位的符号为正，系数的绝对值为从2开始连续的偶数，字母的次数是从1开始连续的整数， ∴第100个单项式是. 【变式1】一组按规律排列的单项式：，，，，，根据其中的规律，第10个单项式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式找规律，细心观察每一项系数和次数的变化是关键． 观察符号、系数和指数的规律，然后推断出第10项即可． 【详解】解：观察规律得，第n个单项式的符号规律：n为奇数时正，n为偶数时负；系数的绝对值为；指数为n； 由此推断第10个单项式：为偶数，符号负；系数的绝对值；指数为10；故为． 故选：A． 【变式2】按一定规律排列的单项式： ，，，，，…，第 个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过观察多项式中的系数和指数规律即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴第个单项式是， 故选：． 【变式3】有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【答案】(1)这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正 (2) (3) 【分析】本题考查代数式． （1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可； （2）根据这串代数式的规律解答即可； （3）根据这串代数式的规律解答即可． 【详解】（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正． （2）根据这串代数式的规律，第2009个代数式是； （3）第n个代数式是，第个代数式是． 题型04 多项式的判断 【典例】下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】多项式是几个单项式和的形式． 【详解】解：多项式有：、共2个 故选：B． 【点睛】本题考了多项式的概念，抓住多项式是几个单项式的和． 【变式1】下列结论中，正确的是（   ） A．单项式的系数为-1，次数是4 B．多项式是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．单项式的系数是3，次数是2 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式的系数与次数、多项式的项数与次数的定义，熟练掌握单项式和多项式的相关定义是解题的关键．根据单项式的系数、次数定义和多项式的项数、次数定义，对每个选项逐一进行判断，从而找出正确的结论． 【详解】∵单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和，多项式的次数是最高次项的次数 ∴对各选项分析如下： A．单项式的数字因数为，所有字母指数和为，故系数为，次数是4，该选项正确； B．多项式的最高次项次数为2，是二次三项式，不是四次三项式，该选项错误； C．单项式的系数为1，次数是1，不是系数0，该选项错误； D．可拆分为，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式，该选项错误； 故选：A． 【变式2】下列结论：①是单项式；②的次数是；③的系数是，次数是；④多项式是三次三项式，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式与多项式的定义，单项式的次数，多项式的项，次数的含义，熟练掌握知识点是解题的关键． 单项式：数字与字母的积，单个的数与单个的字母也是单项式，其中数字因数是单项式的系数，几个单项式的和叫多项式，其中的单项式叫多项式的项，最高次项的次数是多项式的次数，根据定义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：∵ 单项式是数字或字母的积，1是数字， ∴ 结论①正确. ∵ 单项式的次数是所有字母指数的和，中字母指数和为， ∴ 结论②错误. ∵ 单项式的系数是数字部分，包括常数，故系数为；次数是字母指数和， ∴ 结论③错误. ∵ 多项式的次数是最高次项的次数，的次数为，的次数为，的次数为，故最高次数为，是四次三项式， ∴ 结论④错误. 综上，只有结论①正确， 故选：A． 【变式3】把下列各代数式填在相应的横线上． ，，，，， (1)单项式________________________________； (2)多项式________________________________； (3)二次三项式________________________________． 【答案】(1)，； (2)，，； (3)． 【分析】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据单项式是数与字母的积可得答案； （2）根据多项式是几个单项式的和可得答案； （3）根据多项式中的每个单项式是多项式的项结合多项式的次数概念可得答案． 【详解】（1）解：，中分母带字母， ∴不是整式， ∴单项式有，， 故答案为：，； （2）解：多项式有，，， 故答案为：，，； （3）解：二次三项式有， 故答案为：． 题型05 多项式系数、指数中字母求值 【典例】已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 【变式1】若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查多项式的定义，绝对值的应用．根据二次三项式的定义，多项式最高次项为二次，且必须有三项．因此，，且一次项系数据此计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴最高次项的次数为2，即， ∴或． 又∵多项式有三项， ∴一次项的系数． 当时，，多项式为，符合条件； 当时，，一次项消去，多项式为，是二次二项式，不符合条件． ∴． 故答案为：2． 【变式2】若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和项数，列出方程求解和的值． 本题考查了多项式的项数和次数，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：由题可知次数为3， 则第一项的次数， 解得, 由项数为2，且第一项系数3和第三项系数1均不为零， 故第二项系数， 解得, 因此, 故答案为． 【变式3】在七年级数学活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别写了，，，三个整式，其中是未知的． C (1)若A为二次三项式，求的值； (2)若A为二次二项式，，求整式C； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的定义，整式的加减． （1）根据二次三项式的定义得到且，求解即可； （2）根据A为二次二项式得到，根据得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：∵A为二次三项式， ∴且， ∴且， 解得； （2）解：∵为二次二项式， ∴， 解得：， 即， ， ． 题型06 将多项式按某个字母升降幂排列 【典例】对于整式表述正确的是（    ） A．该整式已按字母升幂排列 B．该整式已按字母降幂排列 C．该整式的常数项是4 D．该整式最高次项的系数是1 【答案】B 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，逐项分析判断即可． 本题主要考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的次数、项和项数是解题的关键． 【详解】解：整式为， 选项A：按字母升幂排列需指数从小到大，但各项指数依次为1、3、0，非升幂排列，故A错误； 选项B：按字母降幂排列需指数从大到小，各项指数依次为2、1、0，是降幂排列，故B正确； 选项C：常数项为不含字母的项，即，非4，故C错误； 选项D：最高次项为，次数为4，系数为，非1，故D错误； 故选：B． 【变式1】已知关于、的多项式是五次四项式（、为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)将这个多项式按x的降幂重新排列． 【答案】(1) ，； (2) ． 【分析】本题考查了多项式的项与次数，单项式的次数，熟练掌握以上定义是解题的关键． （1）根据关于、的多项式是五次四项式，求出，根据单项式的次数与该多项式的次数相同，可得：，解方程求出的值； （2）由、的值分别为2、5，可知多项式为，再按的降幂排列即可． 【详解】（1）解：关于、的多项式是五次四项式， ， 解得：， 单项式的次数与该多项式的次数相同， ， 解得：， 、的值分别为2、5； （2）解：由（1）可知、的值分别为2、5， 多项式为， 按的降幂排列为：． 【变式2】已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是 ． (2)按的降幂排列为： ． (3)若，求该多项式的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）先分别说出各项的次数，再得出多项式的次数； （2）将多项按的次数由高到低排列即可； （3）先利用绝对值的非负性求出、的值，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：，第1项为2次，第2项为3次，第3项为常数项， 故该多项式的次数是3， 故答案为：3； （2）按的降幂排列为：， 故答案为：； （3）∵， ∴，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了多项式的项、项数或次数，将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，已知字母的值求代数式的值，绝对值非负性等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式3】在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂（或升幂）排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了．（温馨提示：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的降幂排列．把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的升幂排列．） 比如，计算就可以列竖式为： 根据上述阅读材料，解决下列问题：已知，，， (1)将按的降幂排列：______； (2)请仿照上述方法计算：； (3)请写出一个多项式：______，使其与的和是二次三项式． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减法是关键． （1）根据降幂排列的定义进行解答即可； （2）利用题中的方法计算即可； （3）选取合适的多项式，进行整式的加减法进行验证即可． 【详解】（1）解：按的降幂排列为， 故答案为：； （2）解： 即 （3）当时， 故答案为： 题型07 整式的判断 【典例】关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．的次数是 B．是七次三项式 C．是单项式 D．的系数是 【答案】D 【分析】根据单项式的次数为单项式中所有字母的指数和，单项式的系数为单项式中的数字因数，多项式的次数为多项式中最高次项的次数，分母含有字母的式子不是整式，也不是单项式，即可逐一判断． 【详解】解：A 、的次数是，A错误； B、是五次三项式，B错误； C、分母含有字母，不是单项式，C错误； D、的系数是，D正确． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．0不是单项式 C．是二次三项式 D．是整式 【答案】C 【分析】本题考查单项式和多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、的系数是 ，不是，故A错误； B、单独的数字是单项式，∴ 0是单项式，故B错误； C、是二次三项式，故C正确； D、整式要求分母中不含字母，∴ 不是整式，故D错误． 故选：C． 【变式2】把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 【答案】(1)④⑤⑥⑧ (2)①②③⑦ (3)①②③④⑤⑥⑦⑧ (4)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 根据单项式，多项式，整式，代数式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式有：④⑤⑥⑧； （2）解：多项式有：①②③⑦； （3）解：整式有：①②③④⑤⑥⑦⑧； （4）解：代数式有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； 【变式3】将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 【答案】 解：单项式：； 多项式：； 整式：． 【分析】本题考查单项式与多项式的概念，熟练掌握多项式和单项式的概念，能进行正确的分类是解题的关键． 由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由若干个单项式的和组成的代数式；单项式和多项式统称整式． 【详解】略 题型08 同类项及其求值 【典例】先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】先标出各多项式中的同类项，再按合并同类项法则计算． 【详解】（1） 解：； （2） 解：； （3） 解：． 【变式1】若单项式与的和是单项式，则_______． 【答案】18 【分析】根据合并同类项法则得出且，求出m、n的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴且， 解得：，， ∴． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型09 去括号与添括号 【典例】判断下列去括号是否正确，如果不正确，请说明错在哪里，并加以改正： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不正确．理由：∵括号前为负号，去括号时括号内各项符号均需改变， ∴原式中未改变符号，存在错误． 改正：． (2)正确 (3)不正确． 理由：∵括号前的系数需与括号内每一项相乘， ∴原式中系数漏乘项，存在错误． 改正：． 【分析】根据去括号的符号变化规则与系数分配规则，逐式判断正误即可． 【详解】（1）略 （2）解：正确，理由如下： ∵括号前为负号，去括号后得，与原式一致， ∴原式正确． （3）略 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】若当时，的值为，那么当时，的值为____________． 【答案】4 【分析】根据题意可得的值，再把代入到得到，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，的值为， ∴， ∴， ∴当时， ． 【变式3】在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变． 【详解】解：对第一个因式变形：， 第一个括号内应填； 对第二个因式变形：， 第二个括号内应填； 综上所述，括号内依次填入和． 题型10 整式的加减运算 【典例】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】三个小题均为整式加减计算，先去括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ； （3） 解： ． 【变式1】某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 【答案】 【分析】首先根据错误的运算关系求出，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴， ∴ ． 【变式2】已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴ 【变式3】【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用合并同类项法则计算即可； （2）把代数式变形后整体代入即可； （3）把代数式去括号并利用加法交换律和结合律变形，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 题型11 整式加减中的化简求值 【典例】先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，4 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 【变式1】先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，6 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 【变式2】先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，． 【答案】， 【分析】先根据整式的加减运算法则化简原式，再求得x值，然后将x、y代入化简式子求解即可． 【详解】解： ， ∵x是最大的负整数， ∴， 将，代入，则原式． 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，． 【分析】本题考查整式的加减运算，涉及去括号、合并同类项两步，解决问题的关键是要能熟练运用运算法则进行计算．先去括号，再合并同类项化简后，代入数值进行计算． 【详解】解：          当，时， 原式     ． 题型12 整式加减中的无关型问题 【典例】整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 (1)若，则的值为_________； (2)若，求的值； 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式1】已知：，．若的取值与y无关，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的加减； 先计算，化简得，根据取值与y无关，得y的系数为0，即，解得，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵的取值与y无关， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式2】已知关于x，y的代数式化简后值与x无关，求多项式的值． 【答案】1 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先对已知代数式去括号、合并同类项，根据代数式的值与无关得出含项的系数为0，求出、的值，再化简所求多项式并代入计算即可． 【详解】解： ， ∵该代数式的值与的取值无关， ∴，， 则，， ， 将，代入得． 【变式3】已知代数式：． (1)若，求代数式； (2)在（1）的条件下，若，求代数式的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，整式的加减无关型问题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （）由已知得，再把代入计算即可求解； （）把，代入（）中的结果计算即可； （）求出的值，再根据的值与的取值无关得到关于项的系数为，列出关于的方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：当，时， 原式 ． （3）解： ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 题型13 整式加减的应用 【典例】定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 【变式1】对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，……，也可以用手指直观地展示出来．请用本章学过的知识解释其中的道理． 【答案】用字母a表示这九个数中的任意一个数，设弯下去的是第个手指，则左边的手指数为，作为十位数字，右边的手指数为，作为个位数字，则组成的两位数为． 【分析】用字母a表示这九个数中的任意一个数，设弯下去的是第个手指，则左边的手指数为，作为十位数字，右边的手指数为，作为个位数字，根据两位数的组成规则列代数式，利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】略 【变式2】某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 【答案】B 【分析】设甲、乙机器人数量为正整数x、y，用x、y表示A、B零件总数a、b，推导是9的倍数，从选项中选9的倍数． 【详解】解：设生产甲机器人和乙机器人的数量分别为x，y， 则，， ，一定是9的倍数， 359、361、362不能被9整除，只有360能被9整除， 则的值可能为360． 【变式3】【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （2）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合平方数的非负性判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （3）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴． 题型14 带有字母的绝对值化简问题 【典例】对于三个非零有理数a，b，c，那么____________． 【答案】 或或或 【分析】根据的正负性分类讨论，利用绝对值的性质计算即可 【详解】解：对任意非零有理数，当时，，当时，，按中负数的个数分类讨论： 当负数个数为，即三个数都为正数，原式； 当负数个数为，即两个正数一个负数，原式； 当负数个数为，即一个正数两个负数，原式； 当负数个数为，即三个数都为负数，原式； 综上，原式的结果为或或或． 【变式1】若，，且，那么的值是（    ）． A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 【答案】D 【分析】由推出是解题关键，结合绝对值的定义确定的取值后代入计算． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ，或， 当时，， 当时，， 的值为或． 【变式2】已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较，，，的大小，并用连接起来． ____________________________________________________________； (2)用“”或“”填空． ____________；____________；____________； (3)化简：． 【答案】(1) (2)；；； (3) 【详解】（1）解：由图可得，，， ，， ， ． （2）解：， ． ， ，， ，． （3）解：， ， ． 原式． 【变式3】阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由数轴得，再结合题干所给材料计算即可得出结果； （2）由题意可得，同号，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果； （3）由题意可得，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：∵a，b是有理数，， ∴，同号， 当，时，， 当，时，； 综上所述，或 （3）解：∵， ∴，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数， 当，，全为正数时，， 当，，其中两个为负数，一个为正数时，不妨设，，，则， 综上所述，或． 题型15 数字类规律探索 【典例】若一列数依次为，，，，…即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第6个数为__________． 【答案】 【分析】根据题目给出的递推关系，依次计算即可得到第6个数． 【详解】解：∵从第二个数开始，后一个数总是前一个数的倍加， ∴第2个数为，符合给出的数列， ∴第3个数为，符合给出的数列， ∴第4个数为，符合给出的数列， ∴第5个数为， ∴第6个数为． 【变式1】有一组数：a，，，，…，其中从第二个数开始，每个数都是它前面那个数的2倍． (1)第个数为多少？ (2)若，则第9个数为多少？ 【答案】(1) 第个数为. (2) 第9个数为. 【详解】（1）解：由题意得：第一个数为a，即，第二个数为，即，第三个数为，即，第四个数为，即，…，第个数为； （2）解：当时，则第9个数为． 【变式2】已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 【变式3】下边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是______． 【答案】 【分析】观察数阵可得规律，第行共有个数，最后一个数为，利用规律确定所在的行数和位置，再计算即可． 【详解】解：∵第1行有个数，最后一个数为， 第2行有个数，最后一个数为， 第3行有个数，最后一个数为， 第4行有个数，最后一个数为 …… ∴第行共有个数，最后一个数为， ∵，，且， ∴排在从上向下数的第行，即， ∵第行的最后一个数是， ∴第行的第一个数为， ∴是该行从左向右数的第个数，即， ∴． 题型16 图形类规律探索 【典例】甲、乙、丙、丁四个图都是平面图，观察图甲和表中对应数值，探究计数的方法并作答． (1)数一数每个图形各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少个区域，并将结果填入下表． 图 甲 乙 丙 丁 顶点数 4 7 8 边数 6 9 区域数 3 (2)根据表中数值，写出平面图的顶点数，边数，区域数之间的一种关系：（   ） (3)如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）题中得出的关系，可求出这个平面图形有（   ）条边． 【答案】(1)第一行：10；第二行：12，15；第三行：3，5，6． (2) (3)30 【分析】（1）按照规律去数顶点数，边数以及区域数； （2），，，，所以可得到一般规律：顶点数区域数边数； （3）将，代入到（2）中的公式，即可求出的值． 【详解】（1）解：结合图形可以得出： 图甲有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域； 图乙有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域； 图丙有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域； 图丁有10个顶点、15条边、这些边围成6个区域． （2）解：∵，，，， ∴顶点数区域数边数， 即． （3）解：∵，， ∴，解得， ∴这个平面图形有30条边． 【变式1】用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 【答案】(1) 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2) 【分析】第一个图形有小棒根，第二个图形有小棒根，第三个图形有小棒根，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，根据此规律可得答案． 【详解】（1）解：第一个图形小棒根数，第二个图形小棒根数为，第三个图形小棒根数为，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，所以第四个图形小棒根数为，第五个图形小棒根数为． （2）解：由小问1可知后面的图形都比前面相邻的图形多根， 第一个图形小棒根数为，可表示为， 第二个图形小棒根数为，可表示为， 第三个图形小棒根数为，可表示为， 第个图形可表示为． 【变式2】某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 【答案】(1)摆4张桌子可坐12人，摆5张桌子可坐14人，摆n张桌子可坐人 (2)摆4张桌子可坐18人，摆5张桌子可坐22人，摆n张桌子可坐人 (3)按第二种方式所需要的餐桌数较少 【分析】（1）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐2人，n张餐桌共可坐（人）； （2）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐4人，n张餐桌共可坐（人）． （3）分别求出两种方式坐300人各需多少张桌子，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加2人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人） 摆n张桌子可坐（人）； （2）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加4人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人）， 摆n张桌子可坐（人）； （3）解：若按第一种方式， 由， 得， 则需要148张桌子； 若按第二种方式， 由， 得， 则需要75张桌子； ∵， ∴按第二种方式所需要的餐桌数较少． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律是解决问题的关键． 【变式3】【综合实践】 【项目前景】王老师教七年级学生做数正方形小游戏．问图1（）中有多少个正方形，孩子一眼就看出有5个正方形，接着问图2（）中有多少个正方形，孩子安静下来，不到半分钟，说有14个正方形；老师说：“你们真棒！”，问哪位小朋友能说出图3（）中有多少个正方形，我手中的这个玩具就给谁！大概1分钟，大家都异口同声地回答，有30个．老师先是高兴，接着慌了，手中只有一个玩具，于是打电话找班主任求助！ 【数据分析与运用】 花有重开日，人无再少年，作为新时代的我们，更应该努力学习． (1)任务1：图3中有30个正方形，小朋友是如何想出来的，请帮助小朋友写出正确的过程． (2)任务2：图4（）中，设正方形的个数为，，则_______．参考公式：． (3)任务3：如图5，我们将正方形改为的长方形，请帮助计算它有多少个正方形？ 【答案】(1)边长为的正方形有个，边长为的正方形有个，边长为的正方形有个，边长为的正方形有个， ∴正方形的个数一共有（个）． (2) (3) 【分析】（1）分析每种边长的正方形的个数，求和即可； （2）根据前三个图总结出规律可得，再计算出，最后求比值即可； （3）分别计算每种边长的正方形的个数，求和即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题干总结规律可得，， ， ∴； （3）解：如图， 边长为1的正方形每一行有10个，共4行， ∴共有个； 边长为2的正方形每一行有9个，共3行， ∴共有个； 边长为3的正方形每一行有8个，共2行， ∴共有个； 边长为4的正方形每一行有7个，共1行， ∴共有个； 综上，正方形个数为（个）． 【巩固训练】 1．下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 2．下列说法中，正确的是（） A．单项式的系数是 B．单项式x的系数是1，次数是0 C．多项式是二次三项式 D．多项式的次数是2 【答案】A 【详解】解：∵单项式的数字因数为，即系数是，∴A说法正确，符合题意； ∵单项式的系数为，次数为，∴B说法错误，不符合题意； ∵多项式的最高次项是，次数为，该多项式是三次三项式，∴C说法错误，不符合题意； ∵多项式的最高次项是，次数为，即多项式的次数是， ∴D说法错误，不符合题意． 3．已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． 4．下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了整式、单项式和多项式的定义，根据相关定义进行判断即可． 【详解】解：∵ 单项式是数字与字母的积， ∴ 是单项式，故①错误； ∵ 多项式是几个单项式的和， ∴ 是多项式，故②正确； ∵ 0 是数字，为单项式，故③错误； ∵ 整式要求分母中不含字母， ∴ 不是整式，故④错误； 综上，只有②正确， 故选：B． 5．若与的和仍是单项式，则=__________． 【答案】2 【详解】解：与的和仍是单项式， 与是同类项， 根据同类项的定义，可得，， ． 6．单项式的系数是______． 【答案】 【详解】解：单项式的系数是. 7．如果单项式与的和仍是单项式，那么的值等于_________． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，掌握其定义得到，的值是关键．两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数相等，由此即可求解． 【详解】解：单项式与的和仍是单项式， 它们为同类项，即相同字母的指数相等， ，， ，， ． 故答案为：． 8．下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号、加法运算律等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据整式的加减运算、去括号、加法运算律逐项判断即可． 【详解】解：①，括号前是负号，去括号后括号内各项变号，故①正确； ②，括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，故②正确； ③，应用分配律，故③正确； ④，但原式给出，故④错误． 综上，正确的共有3个． 故答案为：3． 9．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】， 【详解】解： ∵ ∴ ∴      ∴原式． 【强化训练】 11．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（     ） A．0 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【分析】先找出的各次幂的个位数字的循环规律，再计算总项数，得到循环组数和剩余项，最后计算出总和的个位数字即可． 【详解】解：∵的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，…… ∴ 的幂的个位数字每个一循环，且一个循环内个位数字的和为，个位为， ∵从到，总项数为 ， ∵ ， ∴ 总和的个位数字等于剩余项的个位数字和的个位， 计算得 ，个位数字为， 因此结果的个位数字是． 12．下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】根据单项式系数为单项式的数字因数，单项式次数为所有字母的指数和，注意是常数不是字母，多项式的次数为最高次项的次数，项数为单项式的个数，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，不是，结论错误； B、单项式中字母的指数是，的指数是，总次数为，不是，结论错误； C、单项式的系数是，不是没有系数，结论错误； D、多项式 有、、共三项，最高次项的次数是，是二次三项式，结论正确． 13．在一列数、、、…、中，已知，且当时，（取整符号表示不超过有理数a的最大整数），如，．则等于（    ）． A．1 B．4 C．5 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查数字类型规律探究问题，观察题干并归纳出一般规律是解题关键． 通过计算数列前几项发现其以5为周期循环，再计算2026在周期中的位置即可求解． 【详解】解：根据题意，计算前几项如下： ， ， ， ， ， ， ， 由此可得数列周期为，循环序列为，，，，． ∵， ∴． 故选：A． 14．如图是手的示意图，在各手指间标记字母，按箭头所指方向从开始数连续的整数：，当第2024次出现时，恰好数到的数是（   ） A．2024 B．6071 C．2026 D．6074 【答案】B 【分析】本题考查的是数字类的规律变化，由图中可以看出：，6个字母一循环，在这一个循环里面，C出现2次，由此规律解决问题． 【详解】解：由图中可以看出：， 6个字母一循环，在这一个循环里面，C出现2次， ∵， 当第2024次出现时， ∴， ∴． 故选：B． 15．如图，鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以看作一条直线．切5刀最多可以将鸡蛋饼分成______块． 【答案】16 【分析】根据所给图形，依次求出鸡蛋饼被分成的最多块数，即切n刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶，再结合，代入计算，即可解决问题． 【详解】解：由题知，切1刀可将鸡蛋饼分成的块数为∶； 切2刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶； 切3刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶； …… ∴切n刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶， 当时，（块）． 即切5刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为16块． 16．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 17．现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为，最小值记为，则的值等于______． 【答案】 【分析】根据规律，第n个数为，时，三个数的和最大；时，三个数的和最小； 【详解】解：根据题意，得1，，4，，16，，……， 其规律是，，， ，，， 故第n个数为， 由三张卡片上的数字乘积为， 故三数之和的最大值为； 由三张卡片上的数字乘积为， 故三数之和的最小值为； 故 18．已知，，若的值与x无关，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意计算，合并同类项后根据的值与x无关，得出，，求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵的值与x无关， ∴，， 解得：，， ∴． 19．如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， (1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； (2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 【答案】(1) (2) ， ∵ ，可以被3整除，         又可以被9整除，9可以被3整除， ∴可以被3整除， ∴可以被3整除. 【分析】（1）根据四位数字的表示方法列出代数式即可； （2）根据，结合可以被9整除，进行说明即可. 【详解】（1）略 （2）略 20．对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） 【答案】（1） （2）①，；②（答案不唯一） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，非负数的性质． （1）计算，根据结果可得答案； （2）①由恒成立，可得且，进一步可得答案；②由，可令，从而可得答案． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴恒成立， ∴且， 解得：，； ②∵，无论取何值，总有， ∴可以为：（答案不唯一）． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的加减 1. 理解单项式、多项式、整式相关概念，准确识别系数、次数、项，厘清概念间从属关系。 2. 掌握同类项定义，能够准确判断同类项，熟练运用合并同类项法则进行化简运算。 3. 熟记去括号法则，分清括号前符号，正确处理变号问题，规避去括号常见计算错误。 4. 熟练掌握整式加减运算步骤，规范完成化简求值，代入数值时注意括号规范使用。 5. 会分析实际问题数量关系，列整式解决简单应用，发展符号意识与代数运算能力。 一、整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 二、合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 三、去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 四、整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 五、代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 题型01 单项式的判断 【典例】下列关于代数式的说法错误的是（   ） A．是单项式 B．系数为 C．次数为2 D．是它的同类项 【变式1】下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 【变式2】下列各式，，，，，m，，，中单项式的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 题型02 单项式的系数、次数 【典例】单项式的系数是_________． 【变式1】单项式的系数是______ ，次数是______ ． 【变式2】若单项式的系数为，次数为，则________． 【变式3】已知是关于x、y的五次单项式，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．3 题型03 单项式规律题 【典例】一列单项式：，按此规律，第100个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】一组按规律排列的单项式：，，，，，根据其中的规律，第10个单项式是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】按一定规律排列的单项式： ，，，，，…，第 个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 题型04 多项式的判断 【典例】下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列结论中，正确的是（   ） A．单项式的系数为-1，次数是4 B．多项式是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．单项式的系数是3，次数是2 【变式2】下列结论：①是单项式；②的次数是；③的系数是，次数是；④多项式是三次三项式，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】把下列各代数式填在相应的横线上． ，，，，， (1)单项式________________________________； (2)多项式________________________________； (3)二次三项式________________________________． 题型05 多项式系数、指数中字母求值 【典例】已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【变式1】若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 【变式2】若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【变式3】在七年级数学活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别写了，，，三个整式，其中是未知的． C (1)若A为二次三项式，求的值； (2)若A为二次二项式，，求整式C； 题型06 将多项式按某个字母升降幂排列 【典例】对于整式表述正确的是（    ） A．该整式已按字母升幂排列 B．该整式已按字母降幂排列 C．该整式的常数项是4 D．该整式最高次项的系数是1 【变式1】已知关于、的多项式是五次四项式（、为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)将这个多项式按x的降幂重新排列． 【变式2】已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是 ． (2)按的降幂排列为： ． (3)若，求该多项式的值． 【变式3】在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂（或升幂）排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了．（温馨提示：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的降幂排列．把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的升幂排列．） 比如，计算就可以列竖式为： 根据上述阅读材料，解决下列问题：已知，，， (1)将按的降幂排列：______； (2)请仿照上述方法计算：； (3)请写出一个多项式：______，使其与的和是二次三项式． 题型07 整式的判断 【典例】关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．的次数是 B．是七次三项式 C．是单项式 D．的系数是 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．0不是单项式 C．是二次三项式 D．是整式 【变式2】把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 【变式3】将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 题型08 同类项及其求值 【典例】先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【变式1】若单项式与的和是单项式，则_______． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)． 题型09 去括号与添括号 【典例】判断下列去括号是否正确，如果不正确，请说明错在哪里，并加以改正： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】若当时，的值为，那么当时，的值为____________． 【变式3】在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型10 整式的加减运算 【典例】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 【变式2】已知． (1)求； (2)求． 【变式3】【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 题型11 整式加减中的化简求值 【典例】先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式1】先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式2】先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，． 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 题型12 整式加减中的无关型问题 【典例】整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 (1)若，则的值为_________； (2)若，求的值； 【变式1】已知：，．若的取值与y无关，则的值为______． 【变式2】已知关于x，y的代数式化简后值与x无关，求多项式的值． 【变式3】已知代数式：． (1)若，求代数式； (2)在（1）的条件下，若，求代数式的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 题型13 整式加减的应用 【典例】定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【变式1】对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，……，也可以用手指直观地展示出来．请用本章学过的知识解释其中的道理． 【变式2】某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 【变式3】【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 题型14 带有字母的绝对值化简问题 【典例】对于三个非零有理数a，b，c，那么____________． 【变式1】若，，且，那么的值是（    ）． A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 【变式2】已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较，，，的大小，并用连接起来． ____________________________________________________________； (2)用“”或“”填空． ____________；____________；____________； (3)化简：． 【变式3】阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 题型15 数字类规律探索 【典例】若一列数依次为，，，，…即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第6个数为__________． 【变式1】有一组数：a，，，，…，其中从第二个数开始，每个数都是它前面那个数的2倍． (1)第个数为多少？ (2)若，则第9个数为多少？ 【变式2】已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【变式3】下边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是______． 题型16 图形类规律探索 【典例】甲、乙、丙、丁四个图都是平面图，观察图甲和表中对应数值，探究计数的方法并作答． (1)数一数每个图形各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少个区域，并将结果填入下表． 图 甲 乙 丙 丁 顶点数 4 7 8 边数 6 9 区域数 3 (2)根据表中数值，写出平面图的顶点数，边数，区域数之间的一种关系：（   ） (3)如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）题中得出的关系，可求出这个平面图形有（   ）条边． 【变式1】用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 【变式2】某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 【变式3】【综合实践】 【项目前景】王老师教七年级学生做数正方形小游戏．问图1（）中有多少个正方形，孩子一眼就看出有5个正方形，接着问图2（）中有多少个正方形，孩子安静下来，不到半分钟，说有14个正方形；老师说：“你们真棒！”，问哪位小朋友能说出图3（）中有多少个正方形，我手中的这个玩具就给谁！大概1分钟，大家都异口同声地回答，有30个．老师先是高兴，接着慌了，手中只有一个玩具，于是打电话找班主任求助！ 【数据分析与运用】 花有重开日，人无再少年，作为新时代的我们，更应该努力学习． (1)任务1：图3中有30个正方形，小朋友是如何想出来的，请帮助小朋友写出正确的过程． (2)任务2：图4（）中，设正方形的个数为，，则_______．参考公式：． (3)任务3：如图5，我们将正方形改为的长方形，请帮助计算它有多少个正方形？ 【巩固训练】 1．下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列说法中，正确的是（） A．单项式的系数是 B．单项式x的系数是1，次数是0 C．多项式是二次三项式 D．多项式的次数是2 3．已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 4．下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 5．若与的和仍是单项式，则=__________． 6．单项式的系数是______． 7．如果单项式与的和仍是单项式，那么的值等于_________． 8．下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 9．化简： (1)； (2)． 10．先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【强化训练】 11．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（     ） A．0 B．3 C．4 D．1 12．下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 13．在一列数、、、…、中，已知，且当时，（取整符号表示不超过有理数a的最大整数），如，．则等于（    ）． A．1 B．4 C．5 D．2026 14．如图是手的示意图，在各手指间标记字母，按箭头所指方向从开始数连续的整数：，当第2024次出现时，恰好数到的数是（   ） A．2024 B．6071 C．2026 D．6074 15．如图，鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以看作一条直线．切5刀最多可以将鸡蛋饼分成______块． 16．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 17．现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为，最小值记为，则的值等于______． 18．已知，，若的值与x无关，则的值为________． 19．如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， (1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； (2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 20．对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） / 学科网（北京）股份有限公司 $