专题05 有理数的乘法与除法12大题型（重难点讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘法与除法，系统梳理乘法法则（符号判断、多因数相乘）、倒数概念（求法及0无倒数）、除法法则（转化为乘法）、运算律（交换律、结合律、分配律）及乘除混合运算（顺序与转化），构建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料通过典例与多变式题型（如实际应用、规律计算、新定义问题），培养学生运算能力与应用意识，结合生活实例（出租车里程、农产品销售）让学生用数学眼光观察现实世界，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题05 有理数的乘法与除法 1. 掌握有理数乘法法则，能准确判断积的符号，熟练完成多个有理数相乘的运算。 2. 理解倒数概念，会求各类有理数的倒数，分清 0 没有倒数这一特殊情况。 3. 掌握有理数除法法则，能把除法转化为乘法，规范进行有理数除法计算。 4. 灵活运用乘法运算律简化运算，辨别符号陷阱，减少简便运算中的符号错误。 5. 熟练完成有理数乘除混合运算，理清运算顺序，能解决简单实际应用问题。 一、集合的表示方法 一、有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 二、有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 三、倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 四、有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 五、有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 题型01有理数的乘法运算 【典例】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02有理数乘法的实际应用 【典例】科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【变式1】某校将劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七（1）班的学生在本班劳动区域内种植花生，经过精心培育，同学们收获了10袋花生，以每袋为标准，超过的重量记作正数，不足的重量记作负数，称重后记录如下： 袋数 重量 (1)求这袋花生的实际重量； (2)已知在播种时，七（1）班学生以8元的价格购进花生种子，收获后将花生以18元的价格全部售出．求他们将花生全部售出获得的利润． 【变式2】某共享单车厂计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖25元；少生产一辆扣30元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【变式3】启正中学举办“科技点亮未来”科技节，科学社团的同学们要制作植物标本礼盒用于成果展示．商户为学校提供了一批制作标本的干燥植物材料，以每盒克为标准，共计盒，将超出标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，记录结果如表所示： 与标准质量的差值 盒数 1 (1)求这盒干燥植物材料的总质量； (2)已知这种干燥植物材料直接制作成基础标本礼盒，单价为元克；若进行深加工（压制型覆膜封装）后，制成精品标本礼盒，单价为元克，但深加工后的质量为原质量的，且每克材料的深加工费为元．请帮学校计算，这批材料深加工后比直接制作基础标本礼盒多盈利多少元． 题型03倒数 【典例】的倒数是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】若a与b互为相反数，c与d互为倒数，数轴上表示数m的点到原点的距离是1，则的值是（   ） A．2021 B．2021或 C．2027或 D． 【变式2】已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且，若，则_____________． 【变式3】课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下： 小明的解法： 原式． 小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式． (1)小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）； (2)请你运用上述正确的方法计算：． 题型04有理数的乘法运算律 【典例】请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【变式1】下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3】简便计算： (1) (2) 题型05有理数的除法运算 【典例】计算： 【变式1】阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法__________是错误的． (2)请用你认为简便的方法计算：． 【变式2】阅读下列材料，计算： 解法一：原式 解法二：原式的倒数为 所以，原式 (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______正确． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算： 【变式3】（1）根据倒数的定义我们知道，若，则________． （2）计算． （3）根据以上信息可知：________． 题型06有理数除法的应用 【典例】学校图书馆平均每天借出图书100册．如果某天借出102册，就记作；如果某天借出90册，就记作．上星期图书馆借出图书记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 (1)星期五借出图书_______册； (2)前三天比后两天共计多借出图书多少册？ (3)这5天平均每天借出图书多少册？ 【变式1】全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走 ． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【变式2】春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【变式3】近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走多少？ (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 题型07有理数乘除混合运算 【典例】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】计算，能简算的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【变式2】用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【变式3】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08有理数乘除中的简便运算 【典例】用运算律简便运算 (1) (2) 【变式1】计算 【变式2】请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【变式3】运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 题型09有理数四则混合运算 【典例】计算下列各题： (1) (2) 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2】计算： 【变式3】计算：. 题型10有理数四则混合运算的实际应用 【典例】近年来，我国的新能源汽车越来越受消费者青睐，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”（如下表）． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 里程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________km； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知这辆新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小明家新能源汽车这7天的行驶用了多少元钱电费？ 【变式1】随着网络时代的到来，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．小明把自家的冬枣产品放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖千克冬枣，但由于种种原因，实际每天的销量与计划量相比有出入，下表是某星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 千克． (2)本星期实际销量是否达到了计划销量?请说明理由． (3)若每千克冬枣按元出售，每千克冬枣需要小明支付的平均运费是元，则小明本星期销售冬枣实际共得多少元？ 【变式2】某批发商于周日购进某种水果10000千克，进价为每千克6.2元，周一开始进入批发市场后共占5个摊位进行销售，每个摊位最多能容纳该农产品2000千克，每个摊位的市场管理费为每天30元．该周日这种水果的批发价为每千克元，下表为该水果每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负） 星期 一 二 三 四 五 与前一天相比价格的涨跌情况（元） 当天的交易总量（千克） 2500 2000 3000 2000 500 (1)星期四该水果批发价格为每千克 元； (2)该批发商销售该种水果时的最高价格与最低价格相差 元； (3)该批发商为了降低成本，在实际销售过程中采用每天减少一个摊位的方法增加收益．若每天的交易总量如上表，试求该批发商售完这批水果一共赚了多少钱？ 【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如下表： 居民每月用电量 单价(元/度) 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小刚家上半年的用电情况如下表(以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负)： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)小刚家一月份应交纳电费 元； (3)若小刚家七月用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费(用含的代数式表示)． 题型11有理数四则混合运算的规律计算 【典例】研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【变式1】阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【变式2】观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 【变式3】观察下列各式： ；；； (1)按照上述规律，第4个等式是：______； (2)运用你发现的规律计算： (3)计算： 题型12有理数四则混合运算的新定义问题 【典例】对于有理数、，定义运算：．计算_______． 【变式1】我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如．在上述运算法则下，______． 【变式2】定义运算“”为：． (1)求； (2)求． 【变式3】定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题 ； ； ． 请你想一想： (1)______，______； (2)若，那么______；（填入“”或“”） (3)计算：． 【巩固训练】 1．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算式中的“”里，填入运算符号 ，使得算式的值最大，则这个符号是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）运算结果大于1的选项是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 5．（2026·江苏淮安·模拟预测）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 6．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 7．（25-26九年级下·北京·阶段检测）某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船（限乘两人） 四人船（限乘四人） 六人船（限乘六人） 八人船（限乘八人） 每船租金（元/小时） 90 100 130 150 若家庭3人想划船，最少需准备租船费用______元；若某班18名同学一起去该公园划船，且每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为______元． 8．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算＝_______ ． 9．（25-26六年级上·上海青浦·期中）对于有理数，，若，则的值是______． 10．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，，a，小明写出的是0，，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是________． 11．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·广西玉林·期末）计算： (1)； (2) 13．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下表是九年级某班50位同学参加某次一分钟仰卧起坐比赛的情况，规定标准数量为每人每分钟50个． 实际数量与标准数量的差值 0 1 3 4 人数 6 8 3 10 9 8 6 (1)50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做多少个？ (2)该班所有同学一分钟共做仰卧起坐多少个？ (3)一分钟仰卧起坐比赛的计分方式为：刚好达到标准数量不得分，若每分钟仰卧起坐个数超过规定标准数量，每多做一个加3分，没有达到规定标准数量的，每少做1个扣2分，则该班50名学生的总积分是多少？ 14．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 15．（25-26七年级上·全国·期末）实际应用与探究：某数学兴趣小组设计了一种“有理数运算器”，其运算规则如下： 对于任意有理数，，定义运算：． (1)计算和的值，观察结果有什么规律 (2)探究：对于任意有理数，，是否等于，请说明理由． 【强化训练】 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法：①零是最小的有理数；②正整数、负整数统称为整数；③任意一个有理数都可在数轴上找到一个点来表示；④若，则；⑤几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（   ） A．8080 B．8100 C．8084 D．8096 18．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在一个由8个圆圈组成的正方形里，把这8个数分别填入图中的圆圈，要求正方形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 19．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 20．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1．现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．5 C．2 D．0 21．（25-26七年级上·贵州毕节·阶段检测）已知，且，则的值为___________． 22．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新运算：，如，则______． 23．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）一个三位数，个位，十位，百位数字和为9，我们称之为“美好数”，若把一个“美好数”十位与个位数字对调，我们称之为“和谐数”．已知一个美好数为，它的和谐数为，当时，若能被整除，则的最小值为___________． 24．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，学校数学兴趣小组活动室的门上安装了密码锁．请根据门上的小提示，确定正确的密码是________． 数学兴趣活动室欢迎你！ 6#4@7=284270 4#7@8=563288 8#4@6=244872 3#9@8=密码 25．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，若，则的最大值与最小值的乘积为__________． 26．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 27．（24-25七年级上·江苏常州·期中）奥运（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的纪念品．巴黎奥运会期间，中国的熊猫因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 枚数 (1)30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多_______g； (2)与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ (3)若允许有的误差，30枚样品中不合格的有_______枚． 28．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）规定“”是一种新的运算法则，满足：．示例：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 29．（25-26七年级上·广东惠州·期中）（1）观察并补全下面的算式： ___________；___________；___________； ___________；___________；___________． （2）算式___________． （3）计算：． 30．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ； (2)请用含n的式子表示第n（n正整数）个等式． (3)求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的乘法与除法 1. 掌握有理数乘法法则，能准确判断积的符号，熟练完成多个有理数相乘的运算。 2. 理解倒数概念，会求各类有理数的倒数，分清 0 没有倒数这一特殊情况。 3. 掌握有理数除法法则，能把除法转化为乘法，规范进行有理数除法计算。 4. 灵活运用乘法运算律简化运算，辨别符号陷阱，减少简便运算中的符号错误。 5. 熟练完成有理数乘除混合运算，理清运算顺序，能解决简单实际应用问题。 一、集合的表示方法 一、有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 二、有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 三、倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 四、有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 五、有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 题型01有理数的乘法运算 【典例】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型02有理数乘法的实际应用 【典例】科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)立方米； (2)元． 【分析】（1）先将8个数据的绝对值相加，求出总行车里程，再乘以每公里消耗天然气量求解即可； （2）分别求出位乘客的车费，再求和即可． 【详解】（1）解：总行车里程为， 共消耗天然气（立方米）， 答：共消耗天然气立方米； （2）解：行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； （元）， 答：小李这天上午共得车费元． 【变式1】某校将劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七（1）班的学生在本班劳动区域内种植花生，经过精心培育，同学们收获了10袋花生，以每袋为标准，超过的重量记作正数，不足的重量记作负数，称重后记录如下： 袋数 重量 (1)求这袋花生的实际重量； (2)已知在播种时，七（1）班学生以8元的价格购进花生种子，收获后将花生以18元的价格全部售出．求他们将花生全部售出获得的利润． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算的应用． （1）先计算1袋花生的标准总重量，再加上所有袋数对应的超过或不足的重量之和，得到实际总重量； （2）根据“利润总售价总成本”的关系，分别求出总售价与总成本，再通过作差计算出最终利润 【详解】（1）解：10袋花生的标准总重量为 超过或不足的重量总和： 实际总重量： 答：这袋花生的实际重量为 （2）解：购进花生种子的成本：元 售出花生的总收入：元 获得的利润：元 答：他们将花生全部售出获得的利润为元 【变式2】某共享单车厂计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖25元；少生产一辆扣30元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【答案】(1)2107 (2)27 (3)该厂工人这一周的工资总额是126460元 (4)实行每周计件工资制的工资更多 【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）用周计划生产总量加上本周总的增减产量，即可求得本周的实际生产量； （2）找出增减产量中的最大值与最小值，二者相减即可； （3）由（1）及题意先得出此时的工资，然后再加上减产和增产的工资即可； （4）由（1）及题意可直接进行求解 【详解】（1）解：该厂本周实际生产自行车数量为： （辆）， 故答案为：； （2）解：根据表格得：产量最多的一天为周六，最少的一天为周日， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车：辆， 故答案为：27； （3）解：（元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是126460元； （4）解：实行每周计件工资制的工资为， 所以按周计件制的一周工资较高． 【变式3】启正中学举办“科技点亮未来”科技节，科学社团的同学们要制作植物标本礼盒用于成果展示．商户为学校提供了一批制作标本的干燥植物材料，以每盒克为标准，共计盒，将超出标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，记录结果如表所示： 与标准质量的差值 盒数 1 (1)求这盒干燥植物材料的总质量； (2)已知这种干燥植物材料直接制作成基础标本礼盒，单价为元克；若进行深加工（压制型覆膜封装）后，制成精品标本礼盒，单价为元克，但深加工后的质量为原质量的，且每克材料的深加工费为元．请帮学校计算，这批材料深加工后比直接制作基础标本礼盒多盈利多少元． 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题考查了正数和负数的实际应用，有理数加减混合运算的应用，有理数乘法的实际应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别求出标准总质量为，与标准质量的总差值为，然后相加即可求解； （）分别直接制作盈利为（元），深加工盈利为（元），然后相减即可求解． 【详解】（1）解：标准总质量为， 与标准质量的总差值为：， ∴总质量为， 答：这盒干燥植物材料的总质量为； （2）解：直接制作盈利为（元）， 深加工后质量为， 深加工收入为（元）， 深加工费为（元）， 深加工盈利为（元）， 所以多盈利为（元）， 答：多盈利元． 题型03倒数 【典例】的倒数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将这个数化简，再求倒数即可． 【详解】解：，而的倒数是． 【变式1】若a与b互为相反数，c与d互为倒数，数轴上表示数m的点到原点的距离是1，则的值是（   ） A．2021 B．2021或 C．2027或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、倒数的性质以及绝对值的意义，解题的关键是根据定义得出、和m的值，再代入式子计算． 由a与b互为相反数得；由c与d互为倒数得；由m到原点距离是1得；分别将和代入式子计算结果． 【详解】解：∵a与b互为相反数， ∴． ∵c与d互为倒数， ∴． ∵数轴上表示数m的点到原点的距离是1， ∴． 当时, 当时, ． 因此式子的值为或． 故选：B． 【变式2】已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且，若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义，求一个数的绝对值． 根据“b与c互为相反数，且”可知c是负数，进而根据求出，进而根据倒数的定义，相反数的定义求出b、a的值即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数，且， ∴c是负数， ∵， ∴， ∴， ∵a与b互为倒数， ∴， 故答案为：． 【变式3】课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下： 小明的解法： 原式． 小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式． (1)小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）； (2)请你运用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)小丽 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算和倒数，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． （1）根据题目中小明和小丽的解答过程，可以判断小丽的解法正确； （2）仿照小丽的解法，先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值． 【详解】（1）解：小明的解法中没有按照先算小括号，再算除法的顺序做，故小明的解法错误； 小丽的解法是正确的； 故答案为：小丽； （2）解：原式的倒数为： ， 原式． 题型04有理数的乘法运算律 【典例】请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法分配律． （1）直接根据乘法分配律计算即可； （2）将化为，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型05有理数的除法运算 【典例】计算： 【答案】2 【分析】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键．将除法转化为乘法，再用乘法分配律计算，最后计算加减法即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式1】阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法__________是错误的． (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查倒数与分数的混合运算，能够根据题目中几种方式进行计算是解题的关键． （1）除法没有分配律，乘法有分配律； （2）选取解法中正确的一种解法进行解题即可． 【详解】（1）解法一是错误的，除法没有分配律； 故答案为：一． （2）原式的倒数为， 其值 ， ∴原式． 【变式2】阅读下列材料，计算： 解法一：原式 解法二：原式的倒数为 所以，原式 (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______正确． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算： 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，乘法分配律： （1）根据除法没有分配律可知解法一错误； （2）模仿题干解法二计算即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是有误的，原因是除法没有分配律，解法二，先转化为倒数，再利用乘法的分配律简化计算，过程正确； 故答案为：二． （2）解：原式的倒数为 所以，原式． 【变式3】（1）根据倒数的定义我们知道，若，则________． （2）计算． （3）根据以上信息可知：________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，有理数的除法计算，有理数乘法分配律： （1）根据倒数的定义即可得到答案； （2）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律求解即可； （3）根据倒数的定义得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2） ； （3）∵， ∴， ∴． 题型06有理数除法的应用 【典例】学校图书馆平均每天借出图书100册．如果某天借出102册，就记作；如果某天借出90册，就记作．上星期图书馆借出图书记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 (1)星期五借出图书_______册； (2)前三天比后两天共计多借出图书多少册？ (3)这5天平均每天借出图书多少册？ 【答案】(1)92 (2)前三天比后两天共计多借出图书113册 (3)这5天平均每天借出图书101册 【分析】本题考查了有理数运算的应用，正负数的意义，解题的关键是理解题意，掌握正负数的意义． （1）根据题意，可知周五比100册少8册，从而得出答案； （2）可算出每天的册数，然后计算出前三天比后两天多借出的册数即可； （3）计算出这5天平均每天比100册多几册，从而得出答案． 【详解】（1）解：（册） 故答案为：92． （2）解：星期一的册数为：册， 星期二的册数为：册， 星期三的册数为：册， 星期四的册数为：册， 星期五的册数为：册， 那么前三天比后两天多的册数为：（册）， 答：前三天比后两天共计多借出图书113册． （3）解：（册） （册） 答：这5天平均每天借出图书101册． 【变式1】全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走 ． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)； (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了千米； (3)小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省元． 【分析】本题主要考查了正负数，有理数混合运算的实际运用，理解正负数的实际意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （）从表格中确定最多一天的路程，最少一天的路程，运用有理数的减法运算即可求解； （）用天的标准量之和与天的超出或不足的量求和即可； （）计算出天的总路程，分别算出汽油车的费用，新能源汽车电费，然后进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，最多的一天为多于标准，最少的一天为少于标准， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得， ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了千米； （3）解：汽油车这天行驶的费用为（元）， 新能源汽车这天行驶的费用为（元）， 则（元）， 答：小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省元． 【变式2】春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【答案】(1)60元 (2)120个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）用购买金额除以数量，即可得到进价； （2）设打9折前共售出x个“巳升升”摆件，根据这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）； 答：每个“巳升升”摆件的进价是60元； （2）解：设打9折前共售出x个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得， ∴打9折前共售出120个“巳升升”摆件． 【变式3】近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走多少？ (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1)多走； (2)这七天平均每天行驶了； (3)这天的行驶费用比原来节省元． 【分析】本题主要考查了正负数的意义、平均数的计算以及费用的计算，熟练掌握正负数的运算和相关公式是解题的关键． （1）找出表格中最大和最小的数，求差得到最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）先计算七天与标准路程差值的平均数，再加上标准路程得到平均每天行驶的路程； （3）分别计算汽油车和新能源车七天的行驶费用，再求差值得到节省的费用． 【详解】（1）解：， 答：多走； （2）解： ， ， 答：这七天平均每天行驶了； （3）解：七天总路程： 汽油车费用：（元） 新能源车费用：（元） （元） 答：这天的行驶费用比原来节省元． 题型07有理数乘除混合运算 【典例】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算，能简算的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2)39 (3) (4)8 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解决此题的关键是注意计算的正确性；根据有理数的运算步骤先乘除后加减，有括号的先算括号里面的，一步步进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式2】用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的简便计算，熟练掌握加法交换律和乘法分配律可简化计算是解题的关键； （1）用加法交换律将和先算，再进行加减计算即可； （2）用乘法分配律将原式变为，再进行计算即可； （3）利用乘法交换律，先算，即可求解； （4）用乘法分配律将原式变为子，再进行计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式3】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，有理数的乘除混合运算，乘法分配律，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则进行计算，即可解题； （2）根据有理数的加减和乘除混合运算法则进行计算，即可解题； （3）利用乘法分配律进行计算，即可解题； （4）根据有理数的加减和乘除混合运算法则进行计算，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型08有理数乘除中的简便运算 【典例】用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】计算 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘法、加法和除法．将除法转换成乘法，根据乘法分配律和逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【变式3】运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型09有理数四则混合运算 【典例】计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)10 (2) (3)8 (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式2】计算： 【答案】 【详解】解： 【变式3】计算：. 【答案】0 【详解】解： ． 题型10有理数四则混合运算的实际应用 【典例】近年来，我国的新能源汽车越来越受消费者青睐，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”（如下表）． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 里程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________km； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知这辆新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小明家新能源汽车这7天的行驶用了多少元钱电费？ 【答案】(1)49 (2)400（千米） (3)36（元） 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第二天，最少的一天是第六天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走． 故答案为：49； （2）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：用电的费用： 答：小明家这7天的行驶费用是36元． 【变式1】随着网络时代的到来，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．小明把自家的冬枣产品放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖千克冬枣，但由于种种原因，实际每天的销量与计划量相比有出入，下表是某星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 千克． (2)本星期实际销量是否达到了计划销量?请说明理由． (3)若每千克冬枣按元出售，每千克冬枣需要小明支付的平均运费是元，则小明本星期销售冬枣实际共得多少元？ 【答案】(1) (2)达到了计划销量，理由见解析 (3)元 【分析】（）用最大数减去最小数即可求解； （）把所有数相加求出结果，再根据正负数的意义即可判断求解； （）根据题意求出总销售量，再乘以每千克收入即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数加减和混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵（千克）， ∴销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售千克， 故答案为：； （2）解：本星期实际销量达到了计划销量，理由如下： ∵（千克）， ∴本星期实际销量达到并超过了计划销量； （3）解：（元）， 答：小明本星期销售冬枣实际共得元． 【变式2】某批发商于周日购进某种水果10000千克，进价为每千克6.2元，周一开始进入批发市场后共占5个摊位进行销售，每个摊位最多能容纳该农产品2000千克，每个摊位的市场管理费为每天30元．该周日这种水果的批发价为每千克元，下表为该水果每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负） 星期 一 二 三 四 五 与前一天相比价格的涨跌情况（元） 当天的交易总量（千克） 2500 2000 3000 2000 500 (1)星期四该水果批发价格为每千克 元； (2)该批发商销售该种水果时的最高价格与最低价格相差 元； (3)该批发商为了降低成本，在实际销售过程中采用每天减少一个摊位的方法增加收益．若每天的交易总量如上表，试求该批发商售完这批水果一共赚了多少钱？ 【答案】(1) (2) (3)批发商售完这批水果一共赚了元 【分析】本题考查了有理数混合运算在实际销售问题中的应用，解题的关键是依次计算每日批发价格，结合交易量、成本与管理费计算总利润． （1）从周日价格开始，累加周一至周四的价格涨跌得到周四价格； （2）计算每日价格，找出最高与最低价格求差； （3）计算销售总价总和，减去进价总成本与摊位管理费得到总利润． 【详解】（1）解：周日价格为元/千克， 周四价格为： + - + - = ． 故答案为：． （2）解：计算每日价格：周一元，周二元，周三元，周四元，周五元； 最高价格元，最低价格元，差价：． 故答案为：． （3）解：每日销售总价周一：元； 周二：元； 周三：元； 周四：元； 周五：元； 销售总价总和：元； 进价总成本：元； 摊位管理费：元； 总利润：元． 答：该批发商售完这批水果一共赚了元． 【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如下表： 居民每月用电量 单价(元/度) 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小刚家上半年的用电情况如下表(以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负)： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)小刚家一月份应交纳电费 元； (3)若小刚家七月用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费(用含的代数式表示)． 【答案】(1)五， (2) (3)元 【分析】本题考查列代数式，有理数的混合运算的应用； （1）根据表格中的数据可以解答本题； （2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费； （3）根据表格中的数据，可以用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费． 【详解】（1）解：由表格可知，五月份用电量最多，实际用电量为：度， 故答案为：五，； （2）小刚家一月份用电：度， 小刚家一月份应交纳电费：元， 故答案为：； （3）当时，电费为元； 当时，电费为元； 当时，电费为 元． 答：小刚家七月份应交纳的电费元． 题型11有理数四则混合运算的规律计算 【典例】研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、有理数的混合运算． 根据题干中式子的变化规律写出第个式子； 根据中的规律写出第个式子； 根据中式子的变化规律可得：原式，再根据分数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第个式子， 第个式子， 第个式子， 第个式子， ， 第个式子， 故答案为：； （2）解：由中的规律可知，第个式子为， 故答案为：； （3）解：由 . 【变式1】阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 【变式2】观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 【答案】(1)64， (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可；掌握有理数的运算法则是解题的关键； （2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，即可总结出含有n的式子表示的规律；发现数字间的关系是解题的关键； （3）将原式变形为知，，然后再利用（2）的规律计算即可；灵活对原式进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：． 故答案为：64，． （2）解：观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，则第n个等式为：． 故答案为:． （3）解： ． 故答案为． 【变式3】观察下列各式： ；；； (1)按照上述规律，第4个等式是：______； (2)运用你发现的规律计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，抽象概括出规律并能计算是解题的关键． （1）按照上面计算方法计算即可得出答案； （2）根据题目规律可发现，，再利用公式计算； （3）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案． 【详解】（1）解：按照上述规律，第4个等式是：， 故答案为：； （2）解：按照上述规律，第n个等式是， ∴ （3）解： ． 题型12有理数四则混合运算的新定义问题 【典例】对于有理数、，定义运算：．计算_______． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，有理数混合运算，正确理解新定义的运算和有理数混合运算法则是解题的关键． 根据定义新运算，将化成，再根据有理数混合运算法则与顺序计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式1】我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如．在上述运算法则下，______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，根据“”的运算法则列式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】定义运算“”为：． (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义法则、熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据新定义列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解； （）根据新定义列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴ ， ∴． 【变式3】定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题 ； ； ． 请你想一想： (1)______，______； (2)若，那么______；（填入“”或“”） (3)计算：． 【答案】(1)11； (2) (3)4 【分析】本题主要考查了有理数下的新定义运算，准确分析计算是解题的关键． （1）根据所给的算式，可得答案； （2）若，根据：，，据此判断出它们的大小关系即可； （3）根据：，求出的值，进而求出的值． 【详解】（1）解：∵；；， ∴，． 故答案为：11；． （2）解：若，，， ∵， ∴． 故答案为：． （3）解：． 【巩固训练】 1．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算式中的“”里，填入运算符号 ，使得算式的值最大，则这个符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算四种运算结果，对比即可． 【详解】解：A．； B．； C．； D．； ∵， ∴“”里，填入运算符号“”时，算式的值最大． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）运算结果大于1的选项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分数与小数的四则运算及数的大小比较，依次计算各选项的运算结果，将结果与1比较大小即可得到答案． 【详解】解：选项A：，， A不符合要求， 选项B：，， B不符合要求， 选项C：， ，， C符合要求， 选项D：，， D不符合要求． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． 4．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 【答案】D 【分析】根据给出的计算方法，分别列式计算即可. 【详解】解：天干为：， 地支为：， 故2035年为农历乙卯年. 5．（2026·江苏淮安·模拟预测）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 6．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】1103 【分析】观察原式中各数字的关系，对各项变形后，利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】解： ． 7．（25-26九年级下·北京·阶段检测）某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船（限乘两人） 四人船（限乘四人） 六人船（限乘六人） 八人船（限乘八人） 每船租金（元/小时） 90 100 130 150 若家庭3人想划船，最少需准备租船费用______元；若某班18名同学一起去该公园划船，且每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为______元． 【答案】 100 380 【分析】根据收费标准，枚举方案求解即可 【详解】解：家庭3人想划船，需租四人船，最少需准备租船费用100元； 3艘四人船，1艘六人船的费用为：（元）； 2艘四人船，1艘八人船，1艘两人船的费用为：（元）； 1艘四人船，2艘六人船，1艘两人船的费用为：（元）； 1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船的费用为：（元）； 3艘六人船的费用为：（元）； 2艘八人船，1艘两人船的费用为：（元）； 因为， 故租船的总费用最低为380元． 8．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算＝_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据去括号法则去掉括号，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：. 9．（25-26六年级上·上海青浦·期中）对于有理数，，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除法，绝对值的计算，正确确定，的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键． 由可知与异号，代入表达式计算即可． 【详解】解：， ，异号． 当，时，则； 当，时，则； 综上，的值是． 故答案为： 10．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，，a，小明写出的是0，，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的有关运算，由小明的数中有0，可得小聪的数中必有0．又由分数有意义，可得分母．因此只能是，即．由于小聪的数中有1，可得小明的数中必有1．因此或．再求解即可． 【详解】解：由题意，小聪写的三个数是1，，a，小明写的三个数是0，，b，且两组数完全相同． 因为小明的数中有0， 所以小聪的数中必有0． 又因为分数有意义， 所以分母． 因此只能是，即． 因为小聪的数中有1， 所以小明的数中必有1． 因此或． 若，将代入得，即，此式不成立，故舍去． 所以只能是． 将代入得，解得． 检验：当时，小聪的数为，小明的数为，两组数相同且互不相等，符合题意． 故． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 12．（25-26七年级上·广西玉林·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的混合运算法则，先算乘，再加减即可求解． （2）根据有理数的混合运算法则，先算平方、绝对值、乘、除，再加减即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下表是九年级某班50位同学参加某次一分钟仰卧起坐比赛的情况，规定标准数量为每人每分钟50个． 实际数量与标准数量的差值 0 1 3 4 人数 6 8 3 10 9 8 6 (1)50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做多少个？ (2)该班所有同学一分钟共做仰卧起坐多少个？ (3)一分钟仰卧起坐比赛的计分方式为：刚好达到标准数量不得分，若每分钟仰卧起坐个数超过规定标准数量，每多做一个加3分，没有达到规定标准数量的，每少做1个扣2分，则该班50名学生的总积分是多少？ 【答案】(1)9个 (2)2508个 (3)73分 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用以及有理数的混合运算．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数意义，用最大值减去最小值计算即可； （2）先计算出实际数量与标准数量的差值的和，再加上每人每分钟50个乘人数即可； （3）结合计分方式列式计算即可． 【详解】（1）解：（个）， 答：50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做9个； （2）解： （个）， 答：该班所有同学一分钟共做仰卧起坐2508个； （3）解： （分）， 答：该班50名学生的总积分为73分． 14．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 15．（25-26七年级上·全国·期末）实际应用与探究：某数学兴趣小组设计了一种“有理数运算器”，其运算规则如下： 对于任意有理数，，定义运算：． (1)计算和的值，观察结果有什么规律 (2)探究：对于任意有理数，，是否等于，请说明理由． 【答案】(1)，；规律：（交换律成立） (2)，理由见解析 【分析】本题考查了数字规律探索，找出正确的规律是解决本题的关键． （1）根据题意进行计算即可得出结果，再进行探索规律即可； （2）将和表达出来，进而分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； ， 观察结果：，推测交换律成立， ∴规律为（交换律成立）； （2）解：． 理由：； ， ∵，且， ∴， 即． 【强化训练】 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法：①零是最小的有理数；②正整数、负整数统称为整数；③任意一个有理数都可在数轴上找到一个点来表示；④若，则；⑤几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的相关概念和有关计算；①根据没有最小的有理数，进行判断即可；②根据有理数的分类进行判断；③根据每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，进行判断；④根据绝对值的性质进行判断即可；⑤根据多个数相乘法则进行判断，即可． 【详解】解：①没有最小的有理数；①说法错误； ②正整数、负整数和0统称为整数，②说法错误； ③每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，③说法正确； ④若，则或，④的说法错误； ⑤几个有理数相乘，当几个有理数中含有因数0时，无论负因数有几个，其乘积都为0，例如，⑤的说法不正确； 综上可知：说法正确的有1个， 故选：A． 17．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（   ） A．8080 B．8100 C．8084 D．8096 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法． 一个正整数通过分解把它写为四个不同的整数的乘积，要考虑有两个正因数，两个负因数，从而再结合题意解决问题即可． 【详解】∵，， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 18．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在一个由8个圆圈组成的正方形里，把这8个数分别填入图中的圆圈，要求正方形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． 要使每条边上的三个数的和最大，则要把尽量大的4个数填入四个顶点，再结合每条边上的三个数的和S都相等求解即可． 【详解】解：要使每条边上的三个数的和最大，则要把尽量大的4个填入四个顶点， 若四个顶点填5，6，7，8，由于，故不符合题意； 若四个顶点填4，6，7，8，由于，故不符合题意； 若四个顶点填3，6，7，8，由于，故符合题意； ∵， ∴S的最大值是． 如图所示． 故选C． 19．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 先算，列式为，然后再算即可． 【详解】解： ， 则 ， 故选：C． 20．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1．现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．5 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算得出从第1次破译的结果开始按4，9，2，7，0，5，8，3，6，1循环是解题的关键． 根据所给破译的方式，依次求出每次破译的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 密文第1次破译得4， 第2次破译得9， 第3次破译得2， 第4次破译得7， 第5次破译得0， 第6次破译得5， 第7次破译得8， 第8次破译得3， 第9次破译得6， 第10次破译得1， 第11次破译得4， ， 由此可见，从第1次破译的结果开始按4，9，2，7，0，5，8，3，6，1循环． 因为， 所以第2025次破译得0． 故选：D． 21．（25-26七年级上·贵州毕节·阶段检测）已知，且，则的值为___________． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的混合运算，根据绝对值的意义，以及，求出的值，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或． 22．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新运算：，如，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了新定义运算的计算，解题的关键是遵循新运算的规则，先计算括号内的式子，再计算括号外的式子． 先根据新运算规则计算括号内的，得到结果后，将该结果与按照新运算规则计算最终值． 【详解】解： ． 故答案为：． 23．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）一个三位数，个位，十位，百位数字和为9，我们称之为“美好数”，若把一个“美好数”十位与个位数字对调，我们称之为“和谐数”．已知一个美好数为，它的和谐数为，当时，若能被整除，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查新定义数，涉及列代数式、整式混合运算、有理数加法与乘法运算等知识，读懂题意，理解新定义的数的概念是解决问题的关键． 设美好数，则，且，再由和谐数定义得到，计算，再由，且能被整除（即个位数是或），逐个验证，得到符合要求的为和，比较大小即可得到答案． 【详解】解：设美好数，则，且， 把一个“美好数”十位与个位数字对调，我们称之为“和谐数”， 美好数的和谐数， 则， 由可得， ， 则， ，且能被整除（即个位数是或）， 当时，，个位数不是或，舍去； 当时，，个位数不是或，舍去； 当时，，个位数不是或，舍去； 当时，，个位数，符合要求； 当时，，个位数不是或，舍去； 当时，，个位数不是或，舍去； 当时，，个位数不是或，舍去； 当时，，个位数不是或，舍去； 当时，，个位数是，符合要求； ， 的最小值为， 故答案为：． 24．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，学校数学兴趣小组活动室的门上安装了密码锁．请根据门上的小提示，确定正确的密码是________． 数学兴趣活动室欢迎你！ 6#4@7=284270 4#7@8=563288 8#4@6=244872 3#9@8=密码 【答案】 【分析】本题考查了数字中的规律问题，理解题目中的规律是解题关键． 根据给定的三个例子，分析出的操作规则：结果是一个六位数，由三部分组成，前两位是b和c的乘积，中间两位是a和c的乘积，后两位是a与b的和与c的乘积． 【详解】由题意分析出的操作规则：结果是一个六位数，由三部分组成，前两位是b和c的乘积，中间两位是a和c的乘积，后两位是a与b的和与c的乘积， 所以对于，， 计算， ， ， 将连接，得到． 故答案为． 25．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，若，则的最大值与最小值的乘积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，多个有理数的乘法法则等知识，判断出a、b、c三个因数中负因数的个数为奇数个，结合的特点分情况讨论是解题关键．先根据，,进而得到．根据得到a、b、c三个因数中负因数的个数为奇数个，结合的特点得到当时，的最大值为，当时，的最小值为，即可求出乘积为． 【详解】解：∵， ∴, ． ∵， ∴a、b、c三个因数中负因数的个数为奇数个， 又∵， ∴a、b、c三个数必有1个负数，2个正数， ∴当时，可有， 当时，可有， 当时，可有， 故的最大值为8，,最小值为， ∴乘积为． 故答案为： 26．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）利用绝对值的定义及相反数的定义求得m，n的值即可； （2）结合（1）中所求结果，根据定义的新运算列式计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 解得：； （2）解：，， ． 27．（24-25七年级上·江苏常州·期中）奥运（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的纪念品．巴黎奥运会期间，中国的熊猫因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 枚数 (1)30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多_______g； (2)与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ (3)若允许有的误差，30枚样品中不合格的有_______枚． 【答案】(1)6 (2)30枚样品总计超过的质量为6g (3)3 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握相关知识点是关键． （1）由超过最多的减去超过不足最多的可得答案； （2）把不足的与超过的相加，根据结果可得答案； （3）根据绝对值大于2的有3枚可得答案． 【详解】（1）解：30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多： ； （2）解：． 因为， 所以30枚样品总计超过的质量为． （3）解：由题意可得：绝对值大于2的有3枚， 因此允许有的误差，30枚样品中不合格的有3枚． 28．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）规定“”是一种新的运算法则，满足：．示例：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，有理数的四则运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 29．（25-26七年级上·广东惠州·期中）（1）观察并补全下面的算式： ___________；___________；___________； ___________；___________；___________． （2）算式___________． （3）计算：． 【答案】（1），，，，，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的混合运算、数字规律等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）由（1）可知，再进行计算即可； （3）仿照（2）的计算方法求解即可． 【详解】解：（1）；；； ；； 故答案为：；；；；；． （2）由（1）可知，，， 即， ∴ ； （3） ． 30．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ； (2)请用含n的式子表示第n（n正整数）个等式． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干给出的式子写出第5个等式即可； （2）根据题干给出的式子得出规律，写出第n（n正整数）个等式即可； （3）根据（2）中得出的规律结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：； 故答案为：；； （2）解：由题意可得：用含n的式子表示第n（n正整数）个等式为； （3）解： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $