第2章 常用逻辑用语（3大知识点+6大易错点+易错训练）（知识清单）数学苏教版必修第一册

第2章 常用逻辑用语 知识点一、充分条件与必要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 3、大小关系（设包含的对象分别组成集合） ①若，则是的充分条件 ②若，则是的必要条件 ③若，则是的充分不必要条件 ④若，则是的必要不充分条件 ⑤若，则是的充要条件 知识点二、全称量词和存在量词 1、全称量词与存在量词的概念 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些等 2、全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对中任意一个，有成立 存在中一个，有成立 简记 ， ， 否定 ， ， 知识点三、常用二级结论 1、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 简记：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 易错点1 充分条件、必要条件的辨析与判定 易错提醒 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据，是否成立进行判断. (2)集合法：根据，成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 【对点训练】1．（多选题）（2026·高一·四川南充·期中）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】对于A，取，满足，而， 因此“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，取显然，但， 因此“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 易错点2 根据充分、必要条件求参数取值范围 易错提醒 求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 【对点训练】2．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【解析】（1）不存在， 若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 易错点3 含有全称量词与存在量词命题的否定 易错提醒 含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论. 【对点训练】3．（2026·高一·云南昆明·期中）“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】原命题，这是一个全称命题， 根据全称命题的否定规则，可得：， 故选：A 易错点4 含有量词命题的真假判定 易错提醒 判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. 【对点训练】4．（多选题）（2026·高一·广东佛山·阶段检测）下列命题为真命题的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AC 【解析】对于A，若，则，故充分性成立； 若，取，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，若，但时，，故充分性不成立； 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，若， 等式变形为，所以，故充分性成立； 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件，故C正确； 对于D，若，例如，，则，“”不成立，故充分性不成立； 若，则当时，，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：AC 易错点5 由命题真假情况求解参数 易错提醒 由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围. 【对点训练】5．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题设两根为，则判别式或. 关于的方程在有两个不相等的实数根， 则，由韦达定理：. 则，结合或，可得实数的取值范围为：； （2）即方程无解. 当时，方程显然无解，满足题意； 当时，判别式. 综上可得，实数的取值范围为； （3）由（1）（2）分析，若命题为假，实数的取值范围为； 若命题q假，实数的取值范围为或. 命题与命题恰有一个为真，则真假或假真. 若真假，则； 若假真，则. 综上，实数的取值范围为：或. 1．（2026·高一·云南昭通·期末）已知命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由命题的否定的概念知，改量词否结论，条件不变， 所以命题的否定形式为：，. 2．（2026·高一·上海·期中）若命题为“”，命题为“”，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】B 【解析】充分性分析：，或，不一定有，则是的不充分条件； 必要性分析：由可以得到，则是的必要条件； 综上可知，是的必要不充分. 故选：B 3．（2026·高三·湖南株洲·阶段检测）设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 【答案】B 【解析】， ， ， ， ， 且，即都不为1， 故选：B. 4．（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）若为实数，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意，若，则或，故充分性不成立； 若，则，故必要性成立. 因此，是的必要不充分条件. 故选：B 5．（2026·高一·江苏·单元测试）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【答案】A 【解析】命题的大前提是“在三角形中”，条件是“大边”，结论是“对大角”. 故选:A. 6．（2026·浙江·模拟预测）在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记，则“整数a，b属于同一‘类’”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若整数a，b属于同—“类”， 则整数a，b被6除的余数相同，从而a-b被6除的余数为0， 反之也成立， 故“整数a，b属于同—“类”的充要条件是“a-b∈[0]". 故选:C. 7．（2026·高一·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【解析】等价于，即且， 故选：C 8．（2026·高一·福建·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，可得“，”为真命题，即方程无解. 当时，方程无解； 当时，得，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 9．（多选题）（多选）下列各题中，是的充要条件的有（   ） A．：关于的方程有唯一解 B．：两个三角形相似；：两个三角形三边成比例 C．； D．是一元二次方程的一个根； 【答案】ABD 【解析】对于A：当时，方程无解，当时，方程有唯一解， 故是的充分必要条件；故A正确； 对于B：两个三角形相似与两个三角形三边成比例可以互相推导， 故是的充要条件；故B正确； 对于C：，则或，故不是的充要条件.故C错误； 对于D：将1代入方程，可得， 反之，若，则， 代入方程，可得， 解得或，所以是一元二次方程的一个根， 故是的充要条件.故D正确. 10．（多选题）（2026·高一·安徽·期中）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】当时，显然，使得； 当时，，. 综上，命题为真命题的充要条件是， 故选：. 11．（2026·高一·四川成都·期中）数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 【答案】 必要不充分条件 充分不必要条件 必要不充分条件 【解析】（i）在本题的情境中，网络暴力是截图加上恶毒的语言辱骂共同作用的结果，因此q 是 s 的不充分条件； 网络暴力是在校园论坛上发生的，其起因是宋某将蔡宇杰的朋友圈内容截图和转发行为，如果没有宋某的这一行为，该事件就不会发生，故q 是 s 的必要条件， 故q 是 s 的必要不充分条件； （ii）宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰，这必然导致论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力，所以r 是 s 的充分条件， 但网络暴力的产生不一定是由宋某的这一行为发生的，可能是其他人的行为发生的，所以r 是 s 的不必要条件， 故r 是 s 的充分不必要条件； （iii）宋某不直接辱骂，他有其他违法行为仍需承担责任，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的不充分条件， 若宋某直接辱骂了，他显然是需承担责任的，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要条件， 故“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要不充分条件. 12．（2026·高一·北京延庆·期中）已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】因为是的必要不充分条件，则， 又，，所以， 故答案为：. 13．（2026·高一·上海·阶段检测）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为是的必要非充分条件， 设集合或，或，, 当，得时，此时成立，，成立， 当时，即时，再满足，得：，此时的取值为， 所以 故答案为： 14．（2026·高一·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）略. （2）假设存在实数使得， 则当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）因为，，， 所以，当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （4）因为命题“，使得”为真命题，所以， 所以且，即，解得，即. 所以，实数的取值范围为. 15．（2026·高一·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）若，则，而， 又因为，且不能推出， 所以是的必要不充分条件； （2）， 若是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以的取值范围是. 16．（2026·高一·安徽六安·期中）已知命题：关于的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)记是真命题时，实数的取值集合为，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当为真命题时，有实数解， 即， 解得， 即； （2）由（1）知，， 因为，“”是“”的必要不充分条件， 所以，因此，解得， 即实数的取值范围是. 17．（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. (3)若，求实数的取值范围； 【解析】（1）当时，，所以. 所以或. （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又， 则，解得，经验证时满足题意， 故实数的取值范围是. （3）因为， 所以由，得， ①当时，，解得， ②当时，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 18．（2026·高一·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）因命题：不等式对任意恒成立，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 所以实数的取值范围为 （2）若命题为真命题，由，，， ①当，即，，符合； ②当，即或， 当时，，不符合； 当时，，符合； ③当，即或，设方程的两根为. 当时，，所以，，此时，所以不符合题意； 当时，，所以，，此时，所以符合题意； 综上可得，命题为真命题时，. 所以命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为. 所以实数的取值范围为R. 19．（2026·高一·山东济宁·期中）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以； 当时，此时满足，则，解得； 当且，则 ，解得，所以 ， 综上所得，实数的取值范围是； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集,则，解得，所以实数的取值范围是； 20．（2026·高一·江苏宿迁·期中）已知 (1)求； (2)若，求的范围； (3)若“”是“”的充分条件，求的范围. 【解析】（1）由可得，. （2）当时，，可得， 即的范围为. （3）当“”是“”的充分条件时，可知， 即，可得，即的范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 常用逻辑用语 知识点一、充分条件与必要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 3、大小关系（设包含的对象分别组成集合） ①若，则是的充分条件 ②若，则是的必要条件 ③若，则是的充分不必要条件 ④若，则是的必要不充分条件 ⑤若，则是的充要条件 知识点二、全称量词和存在量词 1、全称量词与存在量词的概念 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些等 2、全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对中任意一个，有成立 存在中一个，有成立 简记 ， ， 否定 ， ， 知识点三、常用二级结论 1、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 简记：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 易错点1 充分条件、必要条件的辨析与判定 易错提醒 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据，是否成立进行判断. (2)集合法：根据，成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 【对点训练】1．（多选题）（2026·高一·四川南充·期中）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 易错点2 根据充分、必要条件求参数取值范围 易错提醒 求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 【对点训练】2．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 易错点3 含有全称量词与存在量词命题的否定 易错提醒 含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论. 【对点训练】3．（2026·高一·云南昆明·期中）“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 易错点4 含有量词命题的真假判定 易错提醒 判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. 【对点训练】4．（多选题）（2026·高一·广东佛山·阶段检测）下列命题为真命题的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 易错点5 由命题真假情况求解参数 易错提醒 由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围. 【对点训练】5．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 1．（2026·高一·云南昭通·期末）已知命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·高一·上海·期中）若命题为“”，命题为“”，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 3．（2026·高三·湖南株洲·阶段检测）设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 4．（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）若为实数，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·高一·江苏·单元测试）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 6．（2026·浙江·模拟预测）在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记，则“整数a，b属于同一‘类’”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·高一·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 8．（2026·高一·福建·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（多选）下列各题中，是的充要条件的有（   ） A．：关于的方程有唯一解 B．：两个三角形相似；：两个三角形三边成比例 C．； D．是一元二次方程的一个根； 10．（多选题）（2026·高一·安徽·期中）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·高一·四川成都·期中）数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 12．（2026·高一·北京延庆·期中）已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是______ 13．（2026·高一·上海·阶段检测）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是______. 14．（2026·高一·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 15．（2026·高一·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．（2026·高一·安徽六安·期中）已知命题：关于的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)记是真命题时，实数的取值集合为，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. (3)若，求实数的取值范围； 18．（2026·高一·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 19．（2026·高一·山东济宁·期中）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 20．（2026·高一·江苏宿迁·期中）已知 (1)求； (2)若，求的范围； (3)若“”是“”的充分条件，求的范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $