清单10 函数应用（考点清单，知识导图+3个考点清单+9题型解读+变式训练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单10 函数应用（3个考点梳理+9题型解读+变式训练） 【清单01】函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以 方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点． （2）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【清单02】用二分法求方程的近似解 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证． （2）求区间的中点． （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令． （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）． 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解． 【清单03】函数模型的应用 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等． 考点题型1：求函数的零点 【典例1-1】（2024·高一·云南昆明·期中）函数的两个零点为，则= 【答案】/ 【解析】令， 得的零点为1与，则. 故答案为： 【典例1-2】（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）函数的零点为 . 【答案】2 【解析】解方程得， 所以函数的零点为2. 故答案为：2. 【变式1-1】（2024·高一·河南驻马店·期末）已知函数，则函数的零点是 ． 【答案】和 【解析】依题意，或， 解得或（负根舍去）. 故答案为：和 【变式1-2】（2024·高一·安徽阜阳·期中）函数的零点是 ． 【答案】 【解析】由已知可得，当时，； 当时，由，得， 故的零点是． 故答案为：. 考点题型2：判断零点所在的区间 【典例2-1】（2024·高一·北京·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因和都是上的增函数，故也是上的增函数， 又，由零点存在定理，可得函数的零点所在的区间是. 故选：B. 【典例2-2】（2024·高一·北京·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】在上的函数的图象是连续不断的， 由数表知，， 因此函数在区间上分别至少有1个零点， 所以函数的零点个数至少为3个. 故选：C 【变式2-1】（2024·高一·山东菏泽·期中）若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得，则， 所以，显然为连续函数， 又，所以，，， ，， 根据零点存在性定理可知的第三个零点. 故选：A 【变式2-2】（2024·高一·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 考点题型3：函数零点个数的判断 【典例3-1】（2024·高一·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且， 由，得，则， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增，且，， ， 所以的取值范围是． 故选：B． 【典例3-2】（2024·高一·广东广州·期末）已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的图象如图所示， 因为方程有3个实数解， 所以与的图象有3个不同的交点， 由图可知. 故选：A 【变式3-1】（2024·高一·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作的图象如下， 由图可知，函数图象有3个交点， 则， 即实数k的取值范围为. 故选：D． 【变式3-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则. 因为方程有解， 所以的图象与的图象有解. 当时，， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且. 作出函数的图象如图所示： 由图可得，的图象与的图象有解， 则. 故选:D. 考点题型4：判断函数y＝f（x）是否存在零点 【典例4-1】（2024·高一课时练习）若函数的图象是一条连续不断的曲线，且>0，>0，<0，则y＝有唯一零点需满足的条件是（    ） A．<0 B．函数在定义域内是增函数 C．>0 D．函数在定义域内是减函数 【答案】A 【解析】∵>0，>0，<0， ∴在(1,2)上一定有零点，且图象是一条连续不断的曲线．若要保证只有一个零点，只需上且上，如下图示： ∴在定义域内不一定单调，但<0. 故选：A 【典例4-2】（2024·河南濮阳·高一统考期末）已知是函数的零点，若，则（    ） A． B． C． D．的符号不确定 【答案】B 【解析】根据题意判断得函数的定义域，分析函数的单调性，由函数零点的定义可得，利用单调性即可判断出.函数的定义域为，已知函数，，在上是减函数，所以可判断函数在上是减函数，又因为是函数的零点，即，根据单调性可得，当，. 故选：B. 【变式4-1】（2024·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，则的值（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．与0的大小关系无法确定 【答案】D 【解析】先由题中条件，判定，再举例判断可能大于0或小于0，即可得出结果.因为函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，所以当时，对应区间内的任意实数，都有，所以； 若，满足在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，此时； 若，也满足在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，此时； 所以的值与0的大小关系无法确定. 故选：D. 考点题型5：用二分法求函数的零点问题 【典例5-1】（2024·高一·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 【答案】7 【解析】设至少需要计算次，则满足，即， 由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 故答案为：7 【典例5-2】（2024·高一·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【解析】（1）在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 【变式5-1】（2024·高一·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 【答案】8 【解析】根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过次操作后，区间的长度为， 若，即，故最少为8次. 故答案为：8. 【变式5-2】（2024·高一·重庆北碚·期末）用二分法求图象是连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到，，，则函数的零点落在区间 . 【答案】 【解析】因函数是连续不断的，且，又有，，，由，而， 根据零点存在定理知，函数的零点落在区间上. 故答案为：. 【变式5-3】（2024·高一·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为 （精确到0.1） 【答案】 【解析】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间， 结合题设要求，可得方程的一个近似解为. 故答案为：. 考点题型6：根据零点情况求参数值（范围） 【典例6-1】（2024·高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高一·四川·期中）若函数在区间内有零点（即函数在区间内与轴有交点），则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得:为连续函数, 且在上单调递减,在上单调递增, 故, 所以只需或, 解得:, 所以实数的取值范围是. 故答案为: 【变式6-1】（2024·高一·云南昆明·期中）已知，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】作出函数的图象如下图所示： 设， 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个公共点， 且点、关于直线对称，则，且， 故. 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高一·广东东莞·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】的图象如图所示， 因为的图象关于直线对称，且函数有四个不同的零点，， ， 所以，， 所以， 因为， 所以，得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 考点题型7：函数模型的增长差异 【典例7-1】（2024·高一·江苏南京·期中）某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：        横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（  ） A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B．注入时间恰为小时，不采用方案三 C．注入时间恰为小时，采用方案二 D．注入时间恰为小时，采用方案二 【答案】D 【解析】对A，由图可知，注入时间在小时以内（含小时）时，方案一的注入量都大于其他两种方案，故A正确，不符合题意； 对B，当注入时间恰为小时，由图可知，方案三的注入量都小于其他两个方案，故B正确，不符合题意； 对C，当注入时间恰为小时，方案二的注入量大于其他两个方案，故C正确，不符合题意； 对D，当注入时间大于8小时，由图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三，D错误，符合题意. 故选：D 【典例7-2】（2024·高一·湖北武汉·期末）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D， 停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除B． 能反映血液中药物含量随时间变化的图象是C． 故选：C． 【变式7-1】（2024·高一·广东深圳·期末）下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快， 比幂函数，对数函数，一次函数增长的速度快， 所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是， 故选：A 【变式7-2】（2024·高一·山东聊城·期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 3 9 27 81 2 4 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢， A选项，函数增长速度不变，不符合题意. BC选项，当时，函数、增长越来越快，不符合题意. D选项，当时，函数的增长速度越来越慢，符合题意. 故选：D 【变式7-3】（2024·高一·全国·课后作业）下面对函数，与在区间上的递减情况说法正确的是（    ） A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度比较平稳 B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快 C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度比较平稳 D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快 【答案】C 【解析】观察函数、、在区间上的图象如下图所示： 函数的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢； 函数在区间上，递减较慢，且越来越慢． 同样，函数的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢． 函数的图象递减速度比较平稳． 故选：C. 考点题型8：函数的实际应用 【典例8-1】（2024·高一·浙江金华·期中）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数与时刻时的函数关系为，，其中为空气治理调节参数，且． (1)若，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； (2)规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？ 【解析】（1）时，，， 令，解得， 因此：一天中第个时刻该市的空气污染指数最低． （2）令 当时，单调递减，． 当时，单调递增，． 联立，解得．可得． 因此调节参数应控制在范围． 【典例8-2】（2024·高一·浙江台州·期中）去年尔滨凭借一己之力带火了整个东北旅游市场，风头一时无两.出圈的同时，也出现了一些不和谐的声音，有游客反映房费太高住不起.这引起了相关部门的高度重视，立即展开了调查.若某酒店去年每间客房的住宿费为800元，整年的入住房间数为间.酒店承诺，今年每间客房的住宿费可以根据不同时期进行调整，价格在550元/间至750元/间上下浮动，而游客则希望每间客房的住宿费用能下调到.经过测算，若酒店下调客房的住宿费后，则新增入住房间数量和客房的实际住宿费与游客的期望价格的差成反比（比例系数为）.设每个房间的成本费用为300元.（包括水电费、人工费等） (1)请直接写出今年价格下调后酒店的收益（单位：元）关于实际住宿费（单位：元/间）的函数解析式； (2)若酒店仍希望今年的收益比上年至少增长，则客房的住宿费最低应定为多少元/间？ (3)当客房的住宿费定为多少元/间时，可以使酒店的收益达到最大？ 【解析】（1）由题意得，今年新增入住房间数量为， 所以. （2）依题意有， 整理得，解得. 即若酒店仍希望今年的收益比上年至少增长，则住宿费最低定为600元/间. （3）由（1）知， 故设，，. ， 令，得， 由对勾函数的性质，函数在上单调递增，故当即时，最大.即当客房的住宿费定为750元/间时，可以使酒店的收益达到最大. 【变式8-1】（2024·高一·广东东莞·期中）某公司打算在2023年度建设某型手机芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本V（x）（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出． (1)设2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，要产出多少万枚芯片才能使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 【解析】（1）由题意可得，， 所以， 即. （2）当时，； 当时，，在上单调递增，； 当时，由基本不等式有，当且仅当，即时等号成立， 此时. 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元. 【变式8-2】（2024·高一·广东广州·期中）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【解析】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以的函数解析式为. （2）当时，， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当，即时取等号，则， 而，所以当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元. 【变式8-3】（2024·高一·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 【解析】（1）由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①， 由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②， 对于模型①，由点及，可得函数周期满足， 即，所以， 又函数最大值为，最小值为，解得，， 所以，又，所以， 又，所以， 所以模型①； 对于模型②，图象过点，， 所以， 解得：，所以模型②； （2）由（1）设，， 若时则盈利，若则亏损； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损． 考点题型9：函数的综合应用 【典例9-1】（2024·高一·天津·期末）已知函数是奇函数，且一个零点为1. (1)求，的值及解析式； (2)已知函数在单调递减，在满足，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点. 【解析】（1）因为函数的一个零点是1，所以， 是奇函数，所以， 所以，，解得， ，定义域为. ，都有， 所以，是奇函数，满足题意，故，， （2）函数满足，所以是偶函数且在单调递减 因为不等式恒成立 所以， 所以 （3）， 因为函数的一个零点为2，所以，解得. 所以， 令，得或，解得. 所以函数的其余零点为0，4. 【典例9-2】（2024·高一·北京东城·期末）已知函数，，. (1)当时，判断函数的奇偶性并证明； (2)当且时，利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增； (3)求证：当且时，方程在内有实数解. 【解析】（1）当时，，，定义域关于原点对称； ，即， 所以为定义在上的奇函数. （2）当且时，， 当时，设， ， 因为，所以，，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）当且时，， 设， ， 因为，所以， ，， 则，，， 所以，即， 所以在上单调递增； 因为，， 所以根据零点存在性定理：使； 所以当且时，方程在内有实数解. 【变式9-1】（2024·高一·北京延庆·期末）已知函数 (1)当时，若，求x的值: (2)若是偶函数，求出m的值: (3)时，讨论方程根的个数.并说明理由. 【解析】（1）当时, 若; （2）若是偶函数, 所以， 即: ， 所以； （3）当时，由（2）可知， 令，设， 则， 因为，则， 所以， 即 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递减， 又是偶函数，所以在上单调递增， 易知，所以为偶函数，， 则， 当时，方程没有实数根，          当时，方程，有且仅有1个实数根，              当 时，取，则， 所以在上，且在上单调递减， 由零点存在性定理可知在上，有1个实数根， 所以时，方程，有2个实数根. 综上所述：当时，方程没有实数根； 当时，方程有且仅有1个实数根； 当 时，方程有2个实数根. 【变式9-2】（2024·高一·河北石家庄·期末）设函数 (1)当时，对恒成立，求m的取值范围； (2)若函数在时有两个零点，求两个零点之间距离的最小值，并求此时a的值． 【解析】（1）当时，，对称轴为， 又因为，所以，当时，取到最小值为， 所以. （2）因为在时有两个零点，设两个零点为，且是方程的两根， 所以且， 整理得到，所以， 又， 所以，此时. 【变式9-3】（2024·高一·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 【解析】（1）当时，， 令，得或， 当时，即，此时，所以的解集为； 当时，即，此时，解得或，所以解集为； 当，即，此时，解得或，所以解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2）由，即，得， 由，即，即有两个不相等的负根， 则，解得. 故的取值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单10 函数应用（3个考点梳理+9题型解读+变式训练） 【清单01】函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以 方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点． （2）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【清单02】用二分法求方程的近似解 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证． （2）求区间的中点． （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令． （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）． 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解． 【清单03】函数模型的应用 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等． 考点题型1：求函数的零点 【典例1-1】（2024·高一·云南昆明·期中）函数的两个零点为，则= 【典例1-2】（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）函数的零点为 . 【变式1-1】（2024·高一·河南驻马店·期末）已知函数，则函数的零点是 ． 【变式1-2】（2024·高一·安徽阜阳·期中）函数的零点是 ． 考点题型2：判断零点所在的区间 【典例2-1】（2024·高一·北京·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·北京·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（2024·高一·山东菏泽·期中）若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 考点题型3：函数零点个数的判断 【典例3-1】（2024·高一·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高一·广东广州·期末）已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高一·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点题型4：判断函数y＝f（x）是否存在零点 【典例4-1】（2024·高一课时练习）若函数的图象是一条连续不断的曲线，且>0，>0，<0，则y＝有唯一零点需满足的条件是（    ） A．<0 B．函数在定义域内是增函数 C．>0 D．函数在定义域内是减函数 【典例4-2】（2024·河南濮阳·高一统考期末）已知是函数的零点，若，则（    ） A． B． C． D．的符号不确定 【变式4-1】（2024·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，则的值（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．与0的大小关系无法确定 考点题型5：用二分法求函数的零点问题 【典例5-1】（2024·高一·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 【典例5-2】（2024·高一·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【变式5-1】（2024·高一·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 【变式5-2】（2024·高一·重庆北碚·期末）用二分法求图象是连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到，，，则函数的零点落在区间 . 【变式5-3】（2024·高一·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为 （精确到0.1） 考点题型6：根据零点情况求参数值（范围） 【典例6-1】（2024·高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 【典例6-2】（2024·高一·四川·期中）若函数在区间内有零点（即函数在区间内与轴有交点），则实数的取值范围是 ． 【变式6-1】（2024·高一·云南昆明·期中）已知，若，且，则的取值范围是 . 【变式6-2】（2024·高一·广东东莞·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是 ． 考点题型7：函数模型的增长差异 【典例7-1】（2024·高一·江苏南京·期中）某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：        横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（  ） A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B．注入时间恰为小时，不采用方案三 C．注入时间恰为小时，采用方案二 D．注入时间恰为小时，采用方案二 【典例7-2】（2024·高一·湖北武汉·期末）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·高一·广东深圳·期末）下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·高一·山东聊城·期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 3 9 27 81 2 4 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·高一·全国·课后作业）下面对函数，与在区间上的递减情况说法正确的是（    ） A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度比较平稳 B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快 C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度比较平稳 D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快 考点题型8：函数的实际应用 【典例8-1】（2024·高一·浙江金华·期中）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数与时刻时的函数关系为，，其中为空气治理调节参数，且． (1)若，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； (2)规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？ 【典例8-2】（2024·高一·浙江台州·期中）去年尔滨凭借一己之力带火了整个东北旅游市场，风头一时无两.出圈的同时，也出现了一些不和谐的声音，有游客反映房费太高住不起.这引起了相关部门的高度重视，立即展开了调查.若某酒店去年每间客房的住宿费为800元，整年的入住房间数为间.酒店承诺，今年每间客房的住宿费可以根据不同时期进行调整，价格在550元/间至750元/间上下浮动，而游客则希望每间客房的住宿费用能下调到.经过测算，若酒店下调客房的住宿费后，则新增入住房间数量和客房的实际住宿费与游客的期望价格的差成反比（比例系数为）.设每个房间的成本费用为300元.（包括水电费、人工费等） (1)请直接写出今年价格下调后酒店的收益（单位：元）关于实际住宿费（单位：元/间）的函数解析式； (2)若酒店仍希望今年的收益比上年至少增长，则客房的住宿费最低应定为多少元/间？ (3)当客房的住宿费定为多少元/间时，可以使酒店的收益达到最大？ 【变式8-1】（2024·高一·广东东莞·期中）某公司打算在2023年度建设某型手机芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本V（x）（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出． (1)设2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，要产出多少万枚芯片才能使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 【变式8-2】（2024·高一·广东广州·期中）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【变式8-3】（2024·高一·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 考点题型9：函数的综合应用 【典例9-1】（2024·高一·天津·期末）已知函数是奇函数，且一个零点为1. (1)求，的值及解析式； (2)已知函数在单调递减，在满足，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点. 【典例9-2】（2024·高一·北京东城·期末）已知函数，，. (1)当时，判断函数的奇偶性并证明； (2)当且时，利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增； (3)求证：当且时，方程在内有实数解. 【变式9-1】（2024·高一·北京延庆·期末）已知函数 (1)当时，若，求x的值: (2)若是偶函数，求出m的值: (3)时，讨论方程根的个数.并说明理由. 【变式9-2】（2024·高一·河北石家庄·期末）设函数 (1)当时，对恒成立，求m的取值范围； (2)若函数在时有两个零点，求两个零点之间距离的最小值，并求此时a的值． 【变式9-3】（2024·高一·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司4 学科网（北京）股份有限公司 $$