第2章 常用逻辑用语全章高频重点题型突破（专项训练）数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦常用逻辑用语全章高频重难点，以题型分层构建从基础到核心提升的训练体系，强化命题、量词、充分必要条件的逻辑推理与应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|5题型+16题|覆盖命题真假判断、充分必要条件辨析、量词命题否定等基础核心题型|从命题概念生成到量词应用，构建“概念理解-简单判定”的逻辑链条| |核心提升|4题型+20题|突出参数求解、充要条件证明等综合应用题型|承接基础，形成“条件判定-参数转化-逻辑证明”的递进式知识架构|

第2章 常用逻辑用语全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 命题真假的判断 题型2 充分条件、必要条件的辨析与判定 题型3 含有全称量词与存在量词命题的否定 题型4 含有量词命题的真假判定 题型5 探求命题的充分、必要条件 核心提升：重难题型归纳 题型1 由命题真假情况求解参数 题型2 根据充分、必要条件求参数取值 题型3 充要条件的证明 题型4 由含量词命题真假求参数 题型专练：高频重难特训 题型1 命题真假的判断 1．（2026·高一·广东·阶段检测）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 2．（2026·高二·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 3．下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 4．下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 充分条件、必要条件的辨析与判定 5．（2026·高一·四川德阳·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·高一·云南文山·期中）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·高一·吉林白城·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·高一·河南·阶段检测）“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荀子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型3 含有全称量词与存在量词命题的否定 9．（2026·高三·广东深圳·开学考试）命题“，”的否定为（      ） A．， B．， C．， D．， 10．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高二·辽宁抚顺·期末）命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型4 含有量词命题的真假判定 13．（2026·高一·全国·单元测试）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ）． A．实数都大于0 B．有些菱形是正方形 C．三角形内角和为180° D．有小于1的自然数 14．（2026·高一·全国·单元测试）下列命题中是全称命题并且是真命题的是（    ） A．， B．，2x为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 15．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）下列四个命题中真命题是（   ） A．， B．， C．，使 D．， 16．（2026·高一·江苏·阶段检测）设有下面四个命题： 是质数； ： ； . 其中真命题共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5 探求命题的充分、必要条件 17．（2026·黑龙江·一模）已知a，，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 18．（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 19．若都是实数，试从①；②；③；④中选出适合下列条件的，用序号填空： （1）“都为”的必要条件是　______　. （2）“都不为”的充分条件是　______　. 20．（2026·高一·四川泸州·期中）使方程有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是________. 题型1 由命题真假情况求解参数 21．若下列三个关于的方程，，中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围． 22．（2026·高一·上海·阶段检测）已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 23．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 24．（2026·高一·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 题型2 根据充分、必要条件求参数取值 25．（2026·高一·江苏·阶段检测）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 26．（2026·高一·上海松江·阶段检测）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 27．（2026·高一·广东汕头·阶段检测）设，. (1)若，求；（直接写出结果，不必说明理由） (2)若，求实数的取值范围；（直接写出结果，不必说明理由） (3)若，设，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.（直接写出结果，不必说明理由） 28．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知集合，，，. (1)求，； (2)如果是的充分条件，求的取值范围； (3)当时，求使，，三条件中恰有两个成立的的取值范围. 题型3 充要条件的证明 29．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 30．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 31．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 32．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. 证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； 题型4 由含量词命题真假求参数 33．已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 34．（2026·高一·四川成都·期中）设集合． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 35．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 36．（2026·高一·江苏徐州·阶段检测）已知命题；命题. (1)若，试判断命题的真假； (2)若中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 1．（2026·高一·重庆北碚·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·高一·四川巴中·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 3．（2026·高一·陕西西安·期末）命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（2026·高一·上海虹口·期末）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．（2026·上海徐汇·一模）已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 6．（2026·高一·江苏淮安·期中）已知集合，.若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·广东湛江·期末）若“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·江苏南京·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·贵州毕节·期末）下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 10．（多选题）（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 11．（多选题）（2026·高一·山西太原·阶段检测）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 12．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 13．（2026·高一·四川泸州·期中）若“，”是假命题，则的取值范围为_________． 14．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知命题，使，则命题p的否定为__________；若命题p为真命题，则实数a的取值范围为_________． 15．已知关于的方程，求使方程有两个大于1的实根的充要条件． 16．（2026·高一·重庆·期中）已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（2026·高一·江西南昌·期中）已知全集，：，：，其中. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．（2026·高一·北京·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，补充在横线上，并解答：若________，求实数a的取值范围． 条件①：“”是“”的充分条件； 条件②：“”是“”的必要条件； 条件③：对，，使得成立． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 常用逻辑用语全章高频重点题型突破参考答案 题型1 命题真假的判断 1．【答案】C 【解析】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 2．【答案】B 【解析】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误； 故选：B 3．【答案】A 【解析】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题； 对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立. 如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题； 对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题； 对选项D， 与的和为锐角，所以D选项为假命题． 故选：A. 4．【答案】B 【解析】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 故选：B 题型2 充分条件、必要条件的辨析与判定 5．【答案】B 【解析】时不一定满足，而时，一定满足， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．【答案】B 【解析】若，则或，故由推不出；反之，若，则， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 7．【答案】B 【解析】由不能推出，但由必有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8．【答案】B 【解析】依题意，不积累一步半步的行程，就没有办法达到千里之远； 不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海，等价于“汇成江河大海，则积累细小的流水”， 所以“积小流”是“成江海”的必要条件. 故选：B 题型3 含有全称量词与存在量词命题的否定 9．【答案】D 【解析】命题“，”的否定为“，”. 10．【答案】B 【解析】原命题中的量词为，改为；原命题结论为，其否定为， 所以原命题的否定为：，. 11．【答案】D 【解析】”的否定为. 12．【答案】C 【解析】就是对命题改量词并否结论，所以，． 题型4 含有量词命题的真假判定 13．【答案】C 【解析】实数都大于0，是全称命题，但不是真命题，所以A.选项错误； 有些菱形是正方形，不是全称命题，所以B选项错误； 三角形内角和为180°，是真命题，也是全称命题，所以C选项正确； 有小于1的自然数，是真命题，但不是全称命题，所以D选项错误. 故选：C. 14．【答案】C 【解析】对于A，是全称命题，当，，故是假命题，故A不符合题意； 对于B，是特称命题，不是全称命题，故B不符合题意； 对于C，是全称命题，也是真命题，故C符合题意； 对于D，是真命题，但不是全称命题，故D不符合题意． 故选：C. 15．【答案】C 【解析】对于A，显然，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由，故D错误. 故选：C 16．【答案】A 【解析】：当时，为质数，故是真命题； 当时，，故是假命题； 不存在，，故是假命题； 当时，，故是假命题. 故选：A 题型5 探求命题的充分、必要条件 17．【答案】B 【解析】对于A选项，当时，，此时，故不是的必要条件，故错误； 对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确； 对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误； 对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误. 故选：B 18．【答案】D 【解析】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分不必要条件， 故选：. 19．【答案】 ①②③ ④ 【解析】①或，即至少有一个为； ②互为相反数，则可能均为，也可能为一正一负； ③或； ④或，则都不为. 所以“都为”的必要条件有①②③；“都不为”的充分条件有④. 20．【答案】(答案不唯一). 【解析】因为方程有实根， 所以，即，解得， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为： (答案不唯一). 题型1 由命题真假情况求解参数 21．【解析】从“三个方程中至少有一个方程有实根”的否定“三个方程都无实根”考虑． 若三个方程都无实根，结合判别式可得， 解得， 所以，当三个方程中至少有一个方程有实根时，的取值范围是或. 22．【解析】（1）由题意可知. （2）当为真命题时，即对于任意恒成立. 当，不等式即为，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，当为真命题时， ，则当为假命题时或； 由第（1）可知，当为真命题时， ，则当为假命题时； 若、有且只有一个真命题，则真假或假真. 当真假时，的范围是或； 当假真时，的范围是. 所以若、有且只有一个真命题，的范围是. 23．【解析】（1）由题设两根为，则判别式或. 关于的方程在有两个不相等的实数根， 则，由韦达定理：. 则，结合或，可得实数的取值范围为：； （2）即方程无解. 当时，方程显然无解，满足题意； 当时，判别式. 综上可得，实数的取值范围为； （3）由（1）（2）分析，若命题为假，实数的取值范围为； 若命题q假，实数的取值范围为或. 命题与命题恰有一个为真，则真假或假真. 若真假，则； 若假真，则. 综上，实数的取值范围为：或. 24．【解析】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 题型2 根据充分、必要条件求参数取值 25．【解析】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 26．【解析】（1）令，， 因为是的必要条件， 所以, 可得：解得：， 即实数的取值范围是； （2）由是的充分条件， 可得：， 当时，满足题意，此时，即； 当时，需满足此时，解集为； 综上：实数的取值范围 27．【解析】（1）当时，，所以； （2）若，则，解得， 所以实数的取值范围； （3）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集. 因为，故，因为是的真子集 所以或，解得， 实数的取值范围是. 28．【解析】（1），或， 所以. （2）是的充分条件， ，则. （3），，， 若，，，则，则， 若，，，则，则， 若，，，则，无解， . 题型3 充要条件的证明 29．【解析】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 30．【解析】（1）略 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设， 因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）若是复活集时, 不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有， 因此，则，解得， 所以，即； 当时， ，故是“复活集”，即. 综上可知，当时， 命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 31．【解析】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. 必要性：若为等边三角形，即， （3）显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 32．【答案】必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得：，即； 充分性：若成立，此时方程一元二次方程的， 方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根. 所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. 题型4 由含量词命题真假求参数 33．【解析】由为真命题，对恒成立，得；① 由为真命题，即方程有实根，得， 即或;② 对①②求交集，可得或， 综上，所求实数的取值范围为或. ． 34．【解析】（1）若，则， 当时，，满足， 当时，，要使， 则需，解得， 综上所述，的取值范围是. （2）若，， 先求时的取值范围： 当当时，，满足. 当当时，，要使， 则需或，解得. 综上所述，时，或， 所以当时，. 35．【解析】（1）由命题为真命题可得，且 则，解得. 即实数的取值范围为. （2），是假命题 ，是真命题，即 ，解得， 即实数的取值范围为. 36．【解析】（1）当，可得：，真命题； ，满足，真命题， （2）当为真时， 可得：时，满足， 或解得：， 综上：， 若为真， 可得：在上有解，因为， 所以. 因为中恰有一个为真命题， 若真，则，假，则或，取交集可得：， 若假，则则或，真，则，取交集可得：， 综上所述：中恰有一个为真命题，实数的取值范围或. 1．【答案】A 【解析】解不等式得， 因为“”是“”的充分不必要条件, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．【答案】D 【解析】因为，所以两边平方得，所以“”是“”的充分条件； 当时，去掉平方得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件； 故选：D. 3．【答案】B 【解析】“，”的否定是“，”. 故选：B 4．【答案】B 【解析】因为，所以 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，由 解得 或 ， 均不符合 ，故此情况下原等式不成立； 综上，或. 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 5．【答案】B 【解析】若是有理数，不妨取，则，但是无理数， 即“是有理数”不能推出“是有理数”， 若为有理数，则存在、且，使得，则为有理数， 故“是有理数”“是有理数”， 所以“是有理数”是“是有理数”的必要非充分条件， 故选：B. 6．【答案】B 【解析】因为“”是“”的必要条件， 所以， 由， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：B 7．【答案】D 【解析】因为命题“”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 8．【答案】A 【解析】由题意可知是的真子集， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：A 9．【答案】AC 【解析】对于A选项，取，则，故A正确； 对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”， 若，不妨取，，此时，即“”“”， 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，由全称量词命题的否定可知， 命题“，”的否定是“，”，故D错误. 10．【答案】ACD 【解析】对于A，若，则成立，但若，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B,若，则成立，若，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B不正确； 对于C，若，则成立，若，则， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，若，则或，若，则， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确； 故选：ACD 11．【答案】ACD 【解析】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，所以，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故； 当时，，所以，所以， 即整数属于同一“类”，故D正确． 故选：ACD. 12．【答案】 【解析】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 13．【答案】 【解析】由“，”是假命题， 得“，”， 则或， 解得或． 故答案为：. 14．【答案】 ，使 【解析】因为命题，使，且全称命题的否定是特称命题， 所以命题p的否定为，使； 若命题p为真命题，等价于， 且函数的开口向上，对称轴为， 因为，可知当时，函数取得最小值， 可得，即， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：，使；. 15．【解析】设方程的两根分别为，， 根据韦达定理：，. 由题意知， 整理得：， 解各不等式得：或，，. 三者取交集解得：. 检验充分性：当时，，，均成立，故两根均大于 1. 所以方程有两个大于 1 的实根的充要条件是. 16．【解析】（1）由，， 结合图象可得阴影部分表示的集合为； （2）由“”是“”的必要不充分条件，则， 因为，所以， 即， 所以， 故实数的取值范围. 17．【解析】（1）由题意可知：， 若，则，可得， 所以. （2）若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 18．【解析】（1）当时，， ，所以， 所以． （2）， 选①：“”是“”的充分条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     选②：“”是“”的必要条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     选③：对，，使得成立．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 常用逻辑用语全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 命题真假的判断 题型2 充分条件、必要条件的辨析与判定 题型3 含有全称量词与存在量词命题的否定 题型4 含有量词命题的真假判定 题型5 探求命题的充分、必要条件 核心提升：重难题型归纳 题型1 由命题真假情况求解参数 题型2 根据充分、必要条件求参数取值 题型3 充要条件的证明 题型4 由含量词命题真假求参数 题型专练：高频重难特训 题型1 命题真假的判断 1．（2026·高一·广东·阶段检测）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【解析】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 2．（2026·高二·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【答案】B 【解析】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误； 故选：B 3．下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【解析】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题； 对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立. 如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题； 对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题； 对选项D， 与的和为锐角，所以D选项为假命题． 故选：A. 4．下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 故选：B 题型2 充分条件、必要条件的辨析与判定 5．（2026·高一·四川德阳·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】时不一定满足，而时，一定满足， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（2026·高一·云南文山·期中）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则或，故由推不出；反之，若，则， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 7．（2026·高一·吉林白城·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由不能推出，但由必有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8．（2026·高一·河南·阶段检测）“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荀子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】依题意，不积累一步半步的行程，就没有办法达到千里之远； 不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海，等价于“汇成江河大海，则积累细小的流水”， 所以“积小流”是“成江海”的必要条件. 故选：B 题型3 含有全称量词与存在量词命题的否定 9．（2026·高三·广东深圳·开学考试）命题“，”的否定为（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题“，”的否定为“，”. 10．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】原命题中的量词为，改为；原命题结论为，其否定为， 所以原命题的否定为：，. 11．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】”的否定为. 12．（2026·高二·辽宁抚顺·期末）命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】就是对命题改量词并否结论，所以，． 题型4 含有量词命题的真假判定 13．（2026·高一·全国·单元测试）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ）． A．实数都大于0 B．有些菱形是正方形 C．三角形内角和为180° D．有小于1的自然数 【答案】C 【解析】实数都大于0，是全称命题，但不是真命题，所以A.选项错误； 有些菱形是正方形，不是全称命题，所以B选项错误； 三角形内角和为180°，是真命题，也是全称命题，所以C选项正确； 有小于1的自然数，是真命题，但不是全称命题，所以D选项错误. 故选：C. 14．（2026·高一·全国·单元测试）下列命题中是全称命题并且是真命题的是（    ） A．， B．，2x为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 【答案】C 【解析】对于A，是全称命题，当，，故是假命题，故A不符合题意； 对于B，是特称命题，不是全称命题，故B不符合题意； 对于C，是全称命题，也是真命题，故C符合题意； 对于D，是真命题，但不是全称命题，故D不符合题意． 故选：C. 15．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）下列四个命题中真命题是（   ） A．， B．， C．，使 D．， 【答案】C 【解析】对于A，显然，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由，故D错误. 故选：C 16．（2026·高一·江苏·阶段检测）设有下面四个命题： 是质数； ： ； . 其中真命题共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】：当时，为质数，故是真命题； 当时，，故是假命题； 不存在，，故是假命题； 当时，，故是假命题. 故选：A 题型5 探求命题的充分、必要条件 17．（2026·黑龙江·一模）已知a，，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，当时，，此时，故不是的必要条件，故错误； 对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确； 对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误； 对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误. 故选：B 18．（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【答案】D 【解析】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分不必要条件， 故选：. 19．若都是实数，试从①；②；③；④中选出适合下列条件的，用序号填空： （1）“都为”的必要条件是　______　. （2）“都不为”的充分条件是　______　. 【答案】 ①②③ ④ 【解析】①或，即至少有一个为； ②互为相反数，则可能均为，也可能为一正一负； ③或； ④或，则都不为. 所以“都为”的必要条件有①②③；“都不为”的充分条件有④. 20．（2026·高一·四川泸州·期中）使方程有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是________. 【答案】(答案不唯一). 【解析】因为方程有实根， 所以，即，解得， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为： (答案不唯一). 题型1 由命题真假情况求解参数 21．若下列三个关于的方程，，中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围． 【解析】从“三个方程中至少有一个方程有实根”的否定“三个方程都无实根”考虑． 若三个方程都无实根，结合判别式可得， 解得， 所以，当三个方程中至少有一个方程有实根时，的取值范围是或. 22．（2026·高一·上海·阶段检测）已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【解析】（1）由题意可知. （2）当为真命题时，即对于任意恒成立. 当，不等式即为，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，当为真命题时， ，则当为假命题时或； 由第（1）可知，当为真命题时， ，则当为假命题时； 若、有且只有一个真命题，则真假或假真. 当真假时，的范围是或； 当假真时，的范围是. 所以若、有且只有一个真命题，的范围是. 23．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题设两根为，则判别式或. 关于的方程在有两个不相等的实数根， 则，由韦达定理：. 则，结合或，可得实数的取值范围为：； （2）即方程无解. 当时，方程显然无解，满足题意； 当时，判别式. 综上可得，实数的取值范围为； （3）由（1）（2）分析，若命题为假，实数的取值范围为； 若命题q假，实数的取值范围为或. 命题与命题恰有一个为真，则真假或假真. 若真假，则； 若假真，则. 综上，实数的取值范围为：或. 24．（2026·高一·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【解析】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 题型2 根据充分、必要条件求参数取值 25．（2026·高一·江苏·阶段检测）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 26．（2026·高一·上海松江·阶段检测）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）令，， 因为是的必要条件， 所以, 可得：解得：， 即实数的取值范围是； （2）由是的充分条件， 可得：， 当时，满足题意，此时，即； 当时，需满足此时，解集为； 综上：实数的取值范围 27．（2026·高一·广东汕头·阶段检测）设，. (1)若，求；（直接写出结果，不必说明理由） (2)若，求实数的取值范围；（直接写出结果，不必说明理由） (3)若，设，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.（直接写出结果，不必说明理由） 【解析】（1）当时，，所以； （2）若，则，解得， 所以实数的取值范围； （3）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集. 因为，故，因为是的真子集 所以或，解得， 实数的取值范围是. 28．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知集合，，，. (1)求，； (2)如果是的充分条件，求的取值范围； (3)当时，求使，，三条件中恰有两个成立的的取值范围. 【解析】（1），或， 所以. （2）是的充分条件， ，则. （3），，， 若，，，则，则， 若，，，则，则， 若，，，则，无解， . 题型3 充要条件的证明 29．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【解析】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 30．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 【解析】（1）略 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设， 因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）若是复活集时, 不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有， 因此，则，解得， 所以，即； 当时， ，故是“复活集”，即. 综上可知，当时， 命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 31．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【解析】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. 必要性：若为等边三角形，即， （3）显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 32．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. 证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； 【答案】必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得：，即； 充分性：若成立，此时方程一元二次方程的， 方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根. 所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. 题型4 由含量词命题真假求参数 33．已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 【解析】由为真命题，对恒成立，得；① 由为真命题，即方程有实根，得， 即或;② 对①②求交集，可得或， 综上，所求实数的取值范围为或. ． 34．（2026·高一·四川成都·期中）设集合． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）若，则， 当时，，满足， 当时，，要使， 则需，解得， 综上所述，的取值范围是. （2）若，， 先求时的取值范围： 当当时，，满足. 当当时，，要使， 则需或，解得. 综上所述，时，或， 所以当时，. 35．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）由命题为真命题可得，且 则，解得. 即实数的取值范围为. （2），是假命题 ，是真命题，即 ，解得， 即实数的取值范围为. 36．（2026·高一·江苏徐州·阶段检测）已知命题；命题. (1)若，试判断命题的真假； (2)若中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）当，可得：，真命题； ，满足，真命题， （2）当为真时， 可得：时，满足， 或解得：， 综上：， 若为真， 可得：在上有解，因为， 所以. 因为中恰有一个为真命题， 若真，则，假，则或，取交集可得：， 若假，则则或，真，则，取交集可得：， 综上所述：中恰有一个为真命题，实数的取值范围或. 1．（2026·高一·重庆北碚·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解不等式得， 因为“”是“”的充分不必要条件, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（2026·高一·四川巴中·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【解析】因为，所以两边平方得，所以“”是“”的充分条件； 当时，去掉平方得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件； 故选：D. 3．（2026·高一·陕西西安·期末）命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】“，”的否定是“，”. 故选：B 4．（2026·高一·上海虹口·期末）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】因为，所以 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，由 解得 或 ， 均不符合 ，故此情况下原等式不成立； 综上，或. 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 5．（2026·上海徐汇·一模）已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【解析】若是有理数，不妨取，则，但是无理数， 即“是有理数”不能推出“是有理数”， 若为有理数，则存在、且，使得，则为有理数， 故“是有理数”“是有理数”， 所以“是有理数”是“是有理数”的必要非充分条件， 故选：B. 6．（2026·高一·江苏淮安·期中）已知集合，.若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为“”是“”的必要条件， 所以， 由， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：B 7．（2026·高二·广东湛江·期末）若“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题“”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 8．（2026·高一·江苏南京·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知是的真子集， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：A 9．（多选题）（2026·高一·贵州毕节·期末）下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 【答案】AC 【解析】对于A选项，取，则，故A正确； 对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”， 若，不妨取，，此时，即“”“”， 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，由全称量词命题的否定可知， 命题“，”的否定是“，”，故D错误. 10．（多选题）（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则成立，但若，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B,若，则成立，若，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B不正确； 对于C，若，则成立，若，则， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，若，则或，若，则， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确； 故选：ACD 11．（多选题）（2026·高一·山西太原·阶段检测）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 【答案】ACD 【解析】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，所以，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故； 当时，，所以，所以， 即整数属于同一“类”，故D正确． 故选：ACD. 12．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 13．（2026·高一·四川泸州·期中）若“，”是假命题，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】由“，”是假命题， 得“，”， 则或， 解得或． 故答案为：. 14．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知命题，使，则命题p的否定为__________；若命题p为真命题，则实数a的取值范围为_________． 【答案】 ，使 【解析】因为命题，使，且全称命题的否定是特称命题， 所以命题p的否定为，使； 若命题p为真命题，等价于， 且函数的开口向上，对称轴为， 因为，可知当时，函数取得最小值， 可得，即， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：，使；. 15．已知关于的方程，求使方程有两个大于1的实根的充要条件． 【解析】设方程的两根分别为，， 根据韦达定理：，. 由题意知， 整理得：， 解各不等式得：或，，. 三者取交集解得：. 检验充分性：当时，，，均成立，故两根均大于 1. 所以方程有两个大于 1 的实根的充要条件是. 16．（2026·高一·重庆·期中）已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，， 结合图象可得阴影部分表示的集合为； （2）由“”是“”的必要不充分条件，则， 因为，所以， 即， 所以， 故实数的取值范围. 17．（2026·高一·江西南昌·期中）已知全集，：，：，其中. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可知：， 若，则，可得， 所以. （2）若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 18．（2026·高一·北京·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，补充在横线上，并解答：若________，求实数a的取值范围． 条件①：“”是“”的充分条件； 条件②：“”是“”的必要条件； 条件③：对，，使得成立． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分． 【解析】（1）当时，， ，所以， 所以． （2）， 选①：“”是“”的充分条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     选②：“”是“”的必要条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     选③：对，，使得成立．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $