第1章 有理数概念清单速记表（知识清单）数学新教材湘教版七年级上册

该初中数学有理数知识清单系统梳理了有理数全章内容，涵盖负数认识、数轴与绝对值、大小比较、四则运算、乘方及混合运算等核心知识范畴，构建了从概念定义到运算规则再到实际应用的阶梯式学习支架。 清单通过“章节-概念-定义-相关概念”四级结构呈现知识体系，如“1.2数轴”中“相反数”关联数轴、距离等概念，强化抽象能力。运算规则附具体示例，如“异号两数相加”举例(+5)+(-3)=2，培养运算能力。学生可快速查阅要点，教师能据此精准设计教学，提升复习效率。

第1章 有理数清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 1.1 认识负数 相反意义的量 属性相同但表示的意义却相反的量，如水位变化的“升高多少”与“降低多少”、经营情况的“盈利多少”与“亏损多少”、“收入多少”与“支出多少”、价格的“上涨”与“下跌”等。 正数、负数、规定为正、规定为负 正数 为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，把其中一种意义的量（如水位升高、价格上涨等）规定为正的，用小学学过的大于 0 的数（如 2，0.6 等）来表示，这样的数叫作正数。 负数、0、正号、相反意义的量 负数 把与正的量意义相反的量（如水位降低、价格下跌等）规定为负的，用在正数前面添上“-”（称作“负号”）的数（如 -3（读作“负 3”）、-0.4 等）来表示，这样的数叫作负数。 负号、正数、相反意义的量 正号 正数的前面也可添上“+”，称作“正号”，如 +3（读作“正 3”）、+0.618。通常情况下，正数前面的正号可省略不写。 负号、正数、省略不写 0 0 既不是正数，也不是负数。 正数、负数、非负数 非负数 正数和 0 统称为非负数。 正数、0、绝对值 正整数 像 1，2，3，…这样的正数称为正整数。 负整数、整数、零 负整数 像 -1，-2，-3，…这样的负数称为负整数。 正整数、整数、零 正分数 像 这样的正数称为正分数；正有限小数和正无限循环小数都可以化为正分数的形式。 负分数、分数、有限小数 负分数 像 这样的负数称为负分数；负有限小数和负无限循环小数也可化成负分数的形式。 正分数、分数、有限小数 整数 正整数、负整数、零统称为整数。 分数、有理数、零 分数 正分数、负分数统称为分数。 整数、有理数、小数 有理数 整数和分数统称为有理数。 整数、分数、分类 有理数的分类 有理数可分为整数和分数两类：整数包括正整数、零、负整数，分数包括正分数、负分数；也可以分为正有理数、零、负有理数三类。 整数、分数、正有理数、负有理数 1.2 数轴、相反数与绝对值 原点 画一条直线（通常把它水平放置），在直线上任取一点 O，把点 O 叫作原点，用原点表示数 0。 数轴、单位长度、正方向 正方向 画数轴时规定直线的正方向（标上箭头）。在未作特别说明时，通常把直线上从原点向右的方向规定为正方向，从原点向左的方向规定为负方向。 数轴、原点、负方向 单位长度 画数轴时选取适当的长度作为单位长度：从原点向右，距原点 1 个单位长度的点表示数 1，距原点 2 个单位长度的点表示数 2…；从原点向左，距原点 1 个单位长度的点表示数 -1，距原点 2 个单位长度的点表示数 -2…。 数轴、原点、正方向 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 原点、正方向、单位长度 数轴上的点与有理数 任何有理数都可以用数轴上唯一的点来表示，即每个有理数都对应数轴上的一个点：表示正有理数的点都在原点右侧，表示负有理数的点都在原点左侧，表示 0 的点就是原点。 数轴、原点、数形结合 相反数 像 5 和 -5 这样，如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫作另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，如 2.6 与 -2.6 互为相反数；0 的相反数是 0。 符号、互为相反数、数轴 相反数的记法 通常把数 a 的相反数记作 ，如 ，，。 相反数、符号化简 互为相反数的几何意义 互为相反数的两个数（0 除外）在数轴上对应的两个点，分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 数轴、原点、距离 绝对值 数学上规定：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。为了简便，常用“”表示一个数 a 的绝对值，如 ，。 相反数、距离、非负数 绝对值的代数意义 一般地，如果 a 表示一个数，则：当 a 是正数时，；当 时，；当 a 是负数时，。 正数、负数、0 绝对值的非负性 一个数的绝对值一定是一个非负数。 非负数、绝对值、0 绝对值的几何意义 一个数的绝对值表示这个数在数轴上的对应点与原点之间的距离。 数轴、原点、距离 互为相反数的绝对值 互为相反数的两个数的绝对值相等，如 。 相反数、绝对值、相等 1.3 有理数大小的比较 正数、0 与负数的大小 在小学已会比较正数的大小，正数都大于 0（如 ，）；认识负数后规定：正数大于负数，0 大于负数。 正数、负数、0 两个负数比较大小 两个负数，绝对值大的反而小。如 ，，由 可知 。 绝对值、负数、比较大小 数轴上比较大小 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 数轴、正方向、大小比较 1.4 有理数的加法和减法 同号两数相加 两个正数相加得正数，正数与 0 相加仍得这个正数；两个负数相加，结果是负数，并把它们的绝对值相加，如 。 绝对值、负数、加法法则 异号两数相加 异号两数相加，当正数的绝对值较大时，得正数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当负数的绝对值较大时，得负数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，如 ，。 绝对值、相反数、加法法则 互为相反数两数相加 互为相反数的两个数相加得 0；反之，如果两个数的和等于 0，那么这两个数互为相反数。 相反数、和为 0、加法 一个数与 0 相加 一个数与 0 相加，仍得这个数。 0、加法、加数 加法交换律 有理数的加法满足加法交换律：，即两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。 运算律、加法、简便运算 加法结合律 有理数的加法满足加法结合律：，即三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 运算律、加法、简便运算 加法运算律的应用 根据加法交换律和加法结合律，三个或三个以上的有理数相加，可以写成这些数的连加式；对于连加式，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的某几个数相加。 交换律、结合律、简便运算 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 。两个有理数相减，将减号变加号，减数变成它的相反数；较大的正数减去较小的正数或 0，仍按小学所学的方法进行运算。 相反数、转化、加法 有理数的加减混合运算 进行加减混合运算时，可根据“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，把算式中的减法全部转化为加法运算；也可以把括号及它前面的加号省略不写，直接写成如 8-5+3-7 的省略形式。 减法转加法、省略写法、运算律 1.5 有理数的乘法和除法 有理数乘法法则 同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘；0 乘任何数都得 0。如 ，，。 绝对值、符号、0 乘法对加法的分配律 有理数的乘法满足乘法对加法的分配律：，，即一个有理数与两个有理数的和相乘，可以先把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 运算律、乘法、简便运算 乘法交换律 有理数的乘法满足乘法交换律：，即两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。 运算律、乘法、积 乘法结合律 有理数的乘法满足乘法结合律：，即三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 运算律、乘法、积 -1 与 a 相乘 与 a 互为相反数，即 。 相反数、符号化简、乘法 多个数相乘的符号 几个不等于 0 的数相乘，当有偶数个负数时，积为正数；当有奇数个负数时，积为负数。可先确定积的符号，再把所有因数的绝对值相乘。 符号、因数、积 有理数除法的定义 对于两个有理数 a，b，其中 b 不为 0（即 0 不能作除数），如果有一个有理数 c，使得 ，那么规定 ，且把 c 叫作 a 除以 b 的商。 商、乘法、除数 有理数除法法则 同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0。 绝对值、符号、0 倒数 若两个有理数的乘积等于 1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数，如 -5 与 互为倒数；0 没有倒数。 乘积为 1、互为倒数、除法 除法转化为乘法 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 （b 不为 0）。因此，有理数的除法运算可以转化为乘法运算。 倒数、转化、乘法 有理数的乘除混合运算 在只有乘法和除法运算时，如果没有括号，则按照从左到右的顺序依次计算，并可以把除法转化为乘法，然后再按照乘法法则进行计算；如果有括号，就先做括号内的运算。 运算顺序、从左到右、括号 1.6 有理数的乘方 乘方 一般地，a 是有理数，n 是正整数，n 个相同因数 a 相乘的积简记为 ；求 n 个相同因数的乘积的运算，叫作乘方。 幂、底数、指数 幂 读作“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂”，乘方运算的结果叫作幂；特别地， 通常读作“a 的平方”， 通常读作“a 的立方”。 乘方、底数、指数 底数 在 中，a 叫作底数。 乘方、指数、幂 指数 在 中，n 叫作指数；一个数 a 可以看作 ，通常将指数 1 省略不写，只写作 a。 底数、乘方、幂 幂的符号规律 正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。如 ，，，。 符号、底数、奇偶性 负数与分数乘方的写法 在书写负数和分数的乘方时，一定要把负数、分数用括号括起来。 表示“-2 的 4 次方”，结果为 16； 表示“2 的 4 次方的相反数”，结果为 -16，二者含义不同，结果也不同（ 与 含义不同，但结果相同）。 括号、底数、含义区别 10 的 n 次幂 就是 1 后面有 n 个 0，如 ，，。 乘方、科学记数法、大数 科学记数法 把一个大于 10 的数记作 的形式（其中 a 大于或等于 1，且 a 小于 10，n 是正整数），这种记数法就是科学记数法，如 511 000 000 = ，160 000 000 = 。 乘方、大数、a 的取值范围 小于 -10 的数的科学记数法 把一个小于 -10 的数也可表示成 的形式，其中 a 大于 -10，且 a 小于或等于 -1，n 是正整数，如 -511 000 000 = ，-32 000 000 000 = 。 科学记数法、负数、a 的取值范围 1.7 有理数的混合运算 有理数的混合运算 含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算的算式，称为有理数的混合运算。 运算顺序、乘方、四则运算 混合运算的顺序 有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先进行括号里面的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）。 乘方、乘除、加减、括号 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $