第1章 有理数（知识清单）数学湘教版2024七年级上册

第一章 有理数 【清单01】有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称 . (2)有理数的分类: ① ② (3)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数； a≥0 a是 a是 ； a≤ 0 a是 a是 . 【清单02】数轴 数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 数轴的三要素： . 画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度. 【清单03】相反数 概念：只有符号不同的两个数叫做 .（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 意义：任何一个数都有且只有一个相反数.（正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是 ；0的相反数仍是0.） 几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数. 表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为 . 【清单04】绝对值 概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小. 代数意义：正数的绝对值是 ；负数的绝对值是 ；0的绝对值是 . 【扩展】 1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0⇔|a|=a. 2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0⇔|a|=-a. 3) 一个数的绝对值不可能为负数. 4) 一个负数的绝对值是它的相反数. 【清单05】实数比较大小 【清单06】加法法则 有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算） 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数） 4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a 【清单07】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单08】乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2）任何数同0相乘，都得0。 3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单9】 倒数 1）定义： 乘积为1的两个数互为 。 2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 . 【清单10】除法法则 1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单11】乘方法则运算 1）正数的任何次幂都是正数 2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是 3）0的任何正整数次幂都是 【清单12】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 【清单13】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 一、有理数的定义与分类 1.混淆有理数与整数 注意：有理数包括整数和分数（形如，其中为整数，）． 例如：（可化为）也是有理数． 2.忽略“0”的特殊性 注意：（1）0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； 二、数轴与有理数的表示 注意： （1）数轴是一条可向两段无限延伸直线. （2）数轴的三要素缺一不可. （3）同一数轴上的单位长度要统一. （4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定. （5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应. 2.相反数与位置对称性 注意： （1）特别注意，0的相反数是0. （2）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同. （3）通常a与-a互为相反数； （4）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； （5）一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数. （6）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为0. （7）相反数等于它本身的数只有0. （8）多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负. 3.绝对值意义的误解 注意： （1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），即：|a|≥0. （2）0的绝对值是0，即：a=0⇔|a|=0.（扩展：绝对值最小的数是0） （3）互为相反数的两个数绝对值相等，即：a+b=0或a=-b⇔|a|=|b|. （4）绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|=|b|⇒a=b或a=-b. （5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：|x|=a⇔x=±a. （6）若几个数的绝对值的和为0，则这几个数分别为0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0⇒a=b=c=...=m=0. （7）若|a|/a=1，则a>0, 若|a|/a=−1，则a<0. 三、比较有理数的大小 1.负数大小比较 注意： 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 2.分数与小数比较 注意： 统一化为小数或通分后比较． 四、有理数的运算 1.加法运算规律 注意： （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a； （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。 运用有理数加法的运算律进行计算时，通常： 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。 3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。 2.乘法运算规律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 五、科学计数法 注意： （1）对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 （2） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （3）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 重难点01 忽略“0”的特殊性 1下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 重难点02 忽略数本身的符号 1.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则b ．（填“”“”或“”） 重难点03 违背运算顺序 1. 小明在计算题目：时，步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 根据小明的计算过程解答下列过程： (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步； (2)写出该题正确的解题过程． 重难点04 有理数的加减中的简便运算 1．例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 2．计算： (1)； (2)． 重难点05 有理数的乘除中的简便运算 1．阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 2．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 重难点06 有理数的乘方运算 1.阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 2.已知有理数满足：，且，则请求的值． 重难点07 程序流程图与有理数的运算 1.小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 2.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为 ． 重难点08 数轴上表示两点之间的距离 1.在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 2．在数轴上，点，分别表示的数是和，则线段的中点表示的有理数是 ． 3．数轴是数形结合思想的重要载体，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离． (1)对于有理数，如果，那么可能对应下面数轴上的点________或点________．（填字母） (2)，表示有理数与0在数轴上对应的点之间的距离．事实上，数轴上任意两个数对应的点之间的距离都能用两数之差的绝对值来表示． 例如：与6在数轴上对应的点之间的距离可以记作或，结果是13． 那么，对于有理数： ①可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ②可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ③若，请画出数轴并用数形结合思想求的值． 重难点09 科学计数法的应用 1.将80800用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 2.下列是用科学记数法表示的数，把原数填在横线上： ； ． 3.2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”．当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需，而截至2020年世界最快的超级计算机则需要6亿年．“九章”平均每秒可处理多少个样本？（用科学记数法表示） 4.“一粥一饭当思来处不易”，勤俭节约是中华民族的传统美德，一粒大米虽然微不足道，但聚少成多，数量大了也是非常可观的．为了让同学们体会到节约爱护每一粒粮食的重要性，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重约10克． (1)一粒大米重约多少克？ (2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，则一年大约能节约大米多少千克（用科学记数法表示）？ (3)若把（2）中节约的大米卖成钱，按5元/千克计算，则大约可卖得多少元（用科学记数法表示）？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 【清单01】有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. (2)有理数的分类: ① ② (3)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数； a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数. 【清单02】数轴 数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度. 画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度. 【清单03】相反数 概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 意义：任何一个数都有且只有一个相反数.（正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.） 几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数. 表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为-a. 【清单04】绝对值 概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小. 代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【扩展】 1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0⇔|a|=a. 2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0⇔|a|=-a. 3) 一个数的绝对值不可能为负数. 4) 一个负数的绝对值是它的相反数. 【清单05】实数比较大小 【清单06】加法法则 有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算） 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数） 4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a 【清单07】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单08】乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2）任何数同0相乘，都得0。 3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单9】 倒数 1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【清单10】除法法则 1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单11】乘方法则运算 1）正数的任何次幂都是正数 2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 3）0的任何正整数次幂都是0 【清单12】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 【清单13】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 一、有理数的定义与分类 1.混淆有理数与整数 注意：有理数包括整数和分数（形如，其中为整数，）． 例如：（可化为）也是有理数． 2.忽略“0”的特殊性 注意：（1）0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； 二、数轴与有理数的表示 注意： （1）数轴是一条可向两段无限延伸直线. （2）数轴的三要素缺一不可. （3）同一数轴上的单位长度要统一. （4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定. （5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应. 2.相反数与位置对称性 注意： （1）特别注意，0的相反数是0. （2）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同. （3）通常a与-a互为相反数； （4）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； （5）一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数. （6）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为0. （7）相反数等于它本身的数只有0. （8）多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负. 3.绝对值意义的误解 注意： （1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），即：|a|≥0. （2）0的绝对值是0，即：a=0⇔|a|=0.（扩展：绝对值最小的数是0） （3）互为相反数的两个数绝对值相等，即：a+b=0或a=-b⇔|a|=|b|. （4）绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|=|b|⇒a=b或a=-b. （5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：|x|=a⇔x=±a. （6）若几个数的绝对值的和为0，则这几个数分别为0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0⇒a=b=c=...=m=0. （7）若|a|/a=1，则a>0, 若|a|/a=−1，则a<0. 三、比较有理数的大小 1.负数大小比较 注意： 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 2.分数与小数比较 注意： 统一化为小数或通分后比较． 四、有理数的运算 1.加法运算规律 注意： （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a； （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。 运用有理数加法的运算律进行计算时，通常： 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。 3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。 2.乘法运算规律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 五、科学计数法 注意： （1）对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 （2） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （3）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 重难点01 忽略“0”的特殊性 1下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 【答案】D 【解析】A、0是整数，∴A正确； B、0既不是正数，也不是负数，∴B正确； C、0乘任何有理数仍得0，∴C正确； D、0除以0，没有意义，∴D不正确． 故选：D． 重难点02 忽略数本身的符号 1.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则b ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】解：观察数轴可知，且， ∴． 故答案为：． 重难点03 违背运算顺序 1. 小明在计算题目：时，步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 根据小明的计算过程解答下列过程： (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步； (2)写出该题正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【解析】（1）解：小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第一步，原因是除法没有分配律； 故答案为：一 （2）解: 重难点04 有理数的加减中的简便运算 1．例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【解析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】本题考查有理数的加减法，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算法则进行解题即可； （2）根据有理数的加法法则进行解题即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 重难点05 有理数的乘除中的简便运算 1．阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)①(2)③(3) 【解析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 2．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【解析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 重难点06 有理数的乘方运算 1.阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)，， (3)， (4) 【解析】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）分别计算和即可验证； （2）根据上面的验证计算即可； （3）根据上面的验证计算即可； （4）根据上面的验证计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1，1； （2）解：猜想：，，， 理由：； ； ； 故答案为：，，； （3）解：依题意得：，； 验证：； ； 故答案为：，； （4）解：原式 ． 2.已知有理数满足：，且，则请求的值． 【答案】4或8或 【解析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘方，根据绝对值的意义，和乘方法则，求出的值，再进行减法运算即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，或 ∴或或． 重难点07 程序流程图与有理数的运算 1.小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【解析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【详解】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 2.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为 ． 【答案】 【解析】本题考查了程序框图，含乘方的有理数的混合运算．理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 由题意知，第一次输入的数是，则，由，可知第二次输入的数是，则，由，可输出结果． 【详解】解：由题意知，第一次输入的数是， ∴， ∵， ∴第二次输入的数是， ∴， ∵， ∴输出结果为， 故答案为：． 重难点08 数轴上表示两点之间的距离 1.在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间距离的知识点，解题的关键是掌握数轴上两点间距离的计算方法． 利用数轴上两点间距离公式计算表示\[-1\]的点与表示8的点之间的距离，再与选项对比． 【详解】在数轴上，两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值． 的点与表示8的点之间的距离， 故选：B． 2．在数轴上，点，分别表示的数是和，则线段的中点表示的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，分别表示的数是和， 线段的中点表示的有理数是， 故答案为：． 3．数轴是数形结合思想的重要载体，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离． (1)对于有理数，如果，那么可能对应下面数轴上的点________或点________．（填字母） (2)，表示有理数与0在数轴上对应的点之间的距离．事实上，数轴上任意两个数对应的点之间的距离都能用两数之差的绝对值来表示． 例如：与6在数轴上对应的点之间的距离可以记作或，结果是13． 那么，对于有理数： ①可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ②可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ③若，请画出数轴并用数形结合思想求的值． 【答案】(1)A，D (2)①；②；③数轴见详解， 【分析】本题考查了绝对值的意义，在数轴上表示有理数以及数轴两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）化简绝对值，得，即可作答． （2）①依题意，可以看作和3在数轴上对应的点之间的距离； ②可以看作和在数轴上对应的点之间的距离； ③依题意作出数轴，再运用数形结合思想，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴可能对应下面数轴上的点A或点D． 故答案为：A，D； （2）解：依题意，①可以看作和3在数轴上对应的点之间的距离； 故答案为：； ②， ∴可以看作和在数轴上对应的点之间的距离； 故答案为：； ③∵， ∴和3在数轴上对应的点之间的距离等于和在数轴上对应的点之间的距离 如图： 此时， ∴． 重难点09 科学计数法的应用 1.将80800用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：确定的值：将80800的小数点从末尾向左移动，使数值变为1到10之间的数，移动四位后得到8.0800，即； 确定的值：小数点向左移动了四位，因此； 验证结果：，与原数一致， 选项B符合科学记数法的要求，其他选项的或指数均不符合条件． 故选：B． 2.下列是用科学记数法表示的数，把原数填在横线上： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的形式为，其中，为整数，当时，原数等于把小数点向右移动位，据此解答． 【详解】解：； ． 故答案为：；． 3.2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”．当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需，而截至2020年世界最快的超级计算机则需要6亿年．“九章”平均每秒可处理多少个样本？（用科学记数法表示） 【答案】“九章”平均每秒可处理个样本． 【分析】本题考查科学记数法，有理数的除法运算，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 根据题意计算，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：（个）． ∴“九章”平均每秒可处理个样本． 4.“一粥一饭当思来处不易”，勤俭节约是中华民族的传统美德，一粒大米虽然微不足道，但聚少成多，数量大了也是非常可观的．为了让同学们体会到节约爱护每一粒粮食的重要性，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重约10克． (1)一粒大米重约多少克？ (2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，则一年大约能节约大米多少千克（用科学记数法表示）？ (3)若把（2）中节约的大米卖成钱，按5元/千克计算，则大约可卖得多少元（用科学记数法表示）？ 【答案】(1)0.02克 (2)千克 (3)元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意列出算式进行计算． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）用大米的质量乘以单价求出结果即可． 【详解】（1）解： （克）． 答：一粒大米重约0.02克； （2）解：（千克）． 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）． 答：大约可卖得元． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$